2.2 正态总体均值的区间估计

1.寻找未知参数 的一个良好估计 寻找未知参数θ的一个良好估计 寻找未知参数 的一个良好估计T. 2.寻找一个与待估参数和估计量有关的随 寻找一个与待估参数和估计量有关的随 寻找一个与待估参数和估计量有关的 机变量 Z，要求其分布为已知 ，要求其分布为已知. 3. 若置信水平是 1−α,
求 使 (a < Z < b) =1−α成 的 ， ； 出 P 立 a b P 形 4. 把 (a < Z < b) =1−α变 为P(θ1 <θ <θ2) =1−α
ˆ ˆ P(θ1 <θ <θ2 ) =1−α
ˆ ˆ 是 置信水平（置信度、 则称区间 [θ1,θ2 ] θ 的置信水平（置信度、
置信概率） 的置信区间. 置信概率）为 1−α 的置信区间 ˆ θ 分别称为置信下限 置信上限. 置信下限和 θ1和 ˆ2 分别称为置信下限和置信上限
（二）正态总体均值 的区间估计 正态总体均值u的区间估计 均值
(1)σ 2 = σ 0 2已知
p( z)
①选 µ的点估计为 X Z X −µ Z ~N(0, 1) −Z ② 取 Z= σ n ③对给定的置信水平 1−α, X −µ P(| |< Z α ) =1−α 查正态分布表得 Z α , 1− 1− σ n 2 2
1−
α
1−
α
2
2
④ (X − P
σ
n
Z
1−
1−
(2).σ2未知 σ
α
2
1−
α
2
S
n
2
2
S S ④ (X − P T α <µ< X + T α ) =1−α n 1− 2 n 1− 2
∴u的 信 为 -α的 信 间 [X − 置 度 1 置 区 为 S S T α,X + T α] n 1− 2 n 1− 2
例5.2.3 （第116页） 页
N (u ,
X −u
σ2
n
)
~ N (0,1)
L .1） （5 L .2） （5 L .3） （5
或者 σ
n
X −u （2） ~ S n
t (n − 1)
1 n 其中S = ( X i − X ) 2 为样本标准差。 ∑ n − 1 i =1
二、新课引入
前面，我们讨论了参数点估计 前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 是用样本算得的一个值去估计未知参数 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 但是， 近似值， 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 差范围，使用起来把握不大 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
也就是说，我们希望确定一个区间， 也就是说，我们希望确定一个区间，使我 们能以比较高的可靠程度 可靠程度相信它包含真参 们能以比较高的可靠程度相信它包含真参 数值. 数值 湖中鱼数的真值 [ • ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率 置信度或置信水平. 置信概率， 称为置信概率，置信度或置信水平 习惯上把置信水平记作1−α，这里 α是一个 很小的正数. 很小的正数
例5.2.2
n = 15 区间估计精度
(高) (低)
置信度 置信区间 置信区间长度 (1)95% 低）【193.021,203.779】 10.758 （ （短） (2)99% 高）【191.333,205.467】 （ 14.134 长） （
说明：在样本容量不变的情况下，置信区间的 说明：在样本容量不变的情况下，置信区间的 置信度和区间长度构成一对矛盾。
(1)σ 2 = σ 0 2已知
p( z)
①选 µ的点估计为 X Z X −µ Z ~N(0, 1) −Z ② 取 Z= σ n ③对给定的置信水平 1−α, X −µ P(| |< Z α ) =1−α 查正态分布表得 Z α , 1− 1− σ n 2 2
1−
α
1−
α
2
2
④ (X − P
σ
n
Z
1−
置信水平的大小是根据实际需要选定的. 置信水平的大小是根据实际需要选定的 例如， 例如，通常可取置信水平1−α=0.95或0.9等. 或 等 根据一个实际样本，由给定的置信水平， 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
ˆ ˆ， 们求出一个尽可能 们求出一个尽可能 小的区间 (θ1,θ2 ) 使
ˆ ˆ P(θ1 <θ <θ2 ) =1−α
ˆ ˆ 称区间(θ1,θ2 )为 θ 的 置信水平为1−α 的
置信区间. 置信区间
三、新课
（一） 置信区间定义 一个待估参数， 设 θ 是 一个待估参数，给定 α > 0, 若由样本X 若由样本 1,X2,…Xn确定的两个统计量 ˆ ˆ ˆ ˆ , θ1 =θ1(X1, X2,L Xn),θ2 =θ2(X1, X2,L Xn) , ˆ ˆ (θ1 <θ2 ) 满足
譬如，在估计湖中鱼数的问题中， 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数N的估 我们根据一个实际样本，得到鱼数 的估 计为1000条. 计为 条 实际上， 的真值可能大于 的真值可能大于1000条， 实际上，N的真值可能大于 条 也可能小于1000条. 也可能小于 条 若我们能给出一个区间， 若我们能给出一个区间，在此区间 的真值位于其中. 内我们合理地相信 N 的真值位于其中 这样对鱼数的估计就有把握多了. 这样对鱼数的估计就有把握多了
六、作业 第119页 第3题 页 题
（三）置信区间的求法
1.寻找未知参数 的一个良好估计 寻找未知参数θ的一个良好估计 寻找未知参数 的一个良好估计T. 2.寻找一个与待估参数和估计量有关的随 寻找一个与待估参数和估计量有关的随 寻找一个与待估参数和估计量有关的 机变量 Z，要求其分布为已知 ，要求其分布为已知. 3. 若置信水平是 1−α,
σ
σ
n n
Z
1−
α,X +
2
σ
σ
n
Z Z
1−
α]
2
Z3α , X +
4
n
1−
α]
4
−α置信区间不唯一 注：µ的1−α置信区间不唯一 −α 。
例5.2.2 （第115页） 页
（二）正态总体均值 的区间估计 正态总体均值u的区间估计 均值
p (T )
①选 µ的点估计为 X X −µ ② 取 T= ~ t(n −1 ) T −T T S n ③对给定的置信水平 1−α, X −µ P(| |<T α ) =1−α 查正态分布表得 T−α , 1 1−
1−
(2).σ2未知 σ
α
2
1−
α
2
S
n
2
2
S S ④ (X − P T α <µ< X + T α ) =1−α n 1− 2 n 1− 2
∴u的 信 为 -α的 信 间 [X − 置 度 1 置 区 为 S S T α,X + T α] n 1− 2 n 1− 2
（三）、置信区间的求法 ）、置信区间的求法
α
2
<µ< X +
σ
∴u的 信 为 -α的 信 间 [X − 置 度 1 置 区 为
σ
n
n
Z
Z
1−
α ) =1−
2
α
Z
1−
1−
α,X +
2
σ
n
α]
2
3α 4 −Z
1−
α
4
Z
α
2
Z
Z
α
2
1−
Z
3α 4
Z
1−
α
4
(1 u的 信 为 -α的 信 间 [X − ) 置 度 1 置 区 为 (2)u的 信 为 -α的 信 间 [X − 置 度 1 置 区 为
ˆ ˆ P(θ1 <θ <θ2 ) =1−α
ˆ ˆ 是 置信水平（置信度、 则称区间 [θ1,θ2 ] θ 的置信水平（置信度、
置信概率） 的置信区间. 置信概率）为 1−α 的置信区间 ˆ θ 分别称为置信下限 置信上限. 置信下限和 θ1和 ˆ2 分别称为置信下限和置信上限
（二）、正态总体均值u的区间估计 ）、正态总体均值 的区间估计 正态总体均值
求 使 (a < Z < b) =1−α成 的 ， ； 出 P 立 a b P 形 4. 把 (a < Z < b) =1−α变 为P(θ1 <θ <θ2) =1−α
四、练习 第119页 第2题 页 题
五、小结
（一） 置信区间定义 一个待估参数， 设 θ 是 一个待估参数，给定 α > 0, 若由样本X 若由样本 1,X2,…Xn确定的两个统计量 ˆ ˆ ˆ ˆ , θ1 =θ1(X1, X2,L Xn),θ2 =θ2(X1, X2,L Xn) , ˆ ˆ (θ1 <θ2 ) 满足
α
2
<µ< X +
σ
∴u的 信 为 -α的 信 间 [X − 置 度 1 置 区 为
σ
n
n
Z
Z
1−
α ) =1−
2
α
Z
1−
1−
α,X +
2σnFra bibliotekα]2
（二）正态总体均值 的区间估计 正态总体均值u的区间估计 均值
p (T )
①选 µ的点估计为 X X −µ ② 取 T= ~ T(n −1 ) T −T T S n ③对给定的置信水平 1−α, X −µ P(| |<T α ) =1−α 查正态分布表得 T−α , 1 1−