伯德坐标纸
控制工程 第5章 系统的频率特性
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
18:10:18
5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
21
y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
18:10:18
或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
18:10:18
13
5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
18:10:18
5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即
系统的频率特性
三、机械系统动刚度的概念
质量-弹簧-阻尼系统(m- k- B)
f(t):输入力
x(t):输出位移
k
B
m
其传递函数
阻尼比
无阻尼自然频率
系统的频率特性
动柔度： 动刚度： ω = 0时，即为系统静刚度。 当
f
x1
k1
m1
k2
m2
x2
例p142：弹簧吸振器简化图示模型,若质量m1受到干扰力f=Asinωt,如何选择吸振器参数m2和k2,使质量m1产生的振幅为最小?
解 其稳态响应为： 求一阶系统G(s)=K/Ts+1的频率特性及在正弦信号xi(t)=Xsinωt作用下的频率响应。
求系统如图所示，当输入3cos(4t-30°)+sin(10t+45 °)时，试求系统的稳态输出。
[结论]：当传递函数中的复变量s用 jω代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下： 微分方程 频率特性 传递函数 脉冲函数
卡通风学期计划
频率特性
频率特性的对数坐标图
频率特性的极坐标图
最小相位系统
闭环频率特性与频域性能指标
系统辨识
第五章 系统的频率特性
B
D
F
A
C
E
掌握系统频率特性的概念和求法
掌握系统闭环频率特性的求取方法
根据bode图估计系统的传递函数
熟悉系统的bode图和nyquist图的构成
系统幅频特性和相频特性的求法
解:以f为输入,x1为输出,系统微分方程为
则位移x1与干扰力f之间的传递函数为
5·4-Bode稳定判据
– 若开环对数幅频特性达到0分贝，即交于ωc时，其对数相频特性还在-1800线
以上，即相位还不足-1800，则闭环系统稳定；
– 若开环相频特性达到-1800时，其对数幅频特性还在0分贝线以上，即幅值大 于1,则闭环系统不稳定。
• 一般系统的开环系统多为最小相位系统，即P=0
第10页，共20页。
第18页，共20页。
第19页，共20页。
作业
• 5.4（Routh法） • 5.9(2)(Nyquist) • 5.13(2) (Bode)
第20页，共20页。
5·4 Bode（伯德）稳定判据
•Nyquist稳定判据是利用开环频率特性G(K)的极坐 标图(Nyquist图）来判定闭环系统的稳定性。
•如果将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即Bode图， 同样可以利用它来判定系统的稳定性。 •这种方法称为对数频率特性判据，简称为对数判据或 Bode判据，它实质上是Nyquist判据的引申。
第1页，共20页。
一、Nyquist图和Bode图的对应关系
• Bode图与Nyquist图的对应关系： • （1）Nyquist图上的单位园 — Bode图
幅频特性上的0dB线 • （2）Nyquist图上的负实轴 — Bode图
相频特性上的-1800线
第2页，共20页。
2个重要频率
• Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数 幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输入 与输出幅值相等时的频率（开环输入与输出 的量纲相同），称为剪切频率或幅值穿越频 率、幅值交界频率，记为ωc。
第17页，共20页。
Im
G0 ( j g )
kg
-1 g• c•
c
第五章频率特性法
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性
频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2
1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
控制工程基础
控制工程基础名词解释1.频率特性：当输入信号的幅值不变而频率变化时，输入幅值和相位围着输入信号的变化而变化。
2.传递函数：传递函数时在拉氏变换的基础上，以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量和输出量的关系式。
3.伯德图：对数坐标图，是将幅值对频率的关系和相位对频率的关系分别画在两张图上，用半对数坐标纸绘制，频率坐标按对数分度，幅值和相角坐标则以线性分度。
4.稳态误差：系统过渡完成后控制准确度的一种度量。
5.乃氏图：频率响应G(jω)是输入频率ω的复变函数，是一种变换，当ω从0逐渐增长到+∞时，G(jω)作为一个矢量，其端点在复变平面相对应的轨迹就是频率响应的极坐标图。
6.反馈和反馈信号：输出量通过测量装置返回系统输入端，使之与输入端进行比较，并产生偏差〔给定信号与返回的输出信号之差〕信号，输出量的返回过程称为反馈，返回的全部或部分信号称为反馈信号。
7.瞬态响应：系统在输入信号的作用下，其输出从初始状态到稳定状态的相应过程。
8.n阶系统：由n阶微分方程描述的系统。
λ=n时的系统9.n型系统：开环频率特性G(jω)=k(jωτ1+1)(jωτ2+1)···(jω)λ(jωT1+1)(jωT2+1)···10.闭环控制系统误差：控制系统希望输出量和实际输出量之差。
11.最小相位系统：极点和零点全部位于s左半平面的系统。
12.幅值裕量：当ω为相位交界频率ω−S时，开环频率幅频特性|G(jω)|的倒数。
13.相位裕量：当ω等于剪切频率ωc时，相频特性据−1800线的相位差γ。
概论1.开环系统和闭环系统的优缺点开环系统：优点是结构简单，价格廉价，容易维修。
缺点是精度低，容易受环境变化〔如电源波动，温度波动〕的干扰闭环系统：优点是精度高，动态性能好，抗干扰能力强。
缺点是结构比较复杂，价格比较贵，对维修人员要求较高。
2.简要说明控制系统相应的快速性，稳定性，准确性和其之间的关系快速性：在系统稳定的条件下，当系统的输出量与给定的输入量之间产生偏差时消除偏差的快慢程度。
线性系统的频域分析法
5.1 频率特性
lg
1 0
2
0.301
3
0.477
4
0.602
5
0.699
6
0.778
7
0.845
8
0.903
9
0.954
10
1
※※
( )
40
20 0dB -20 -40
2、对数频率特性曲线 [ 伯德（Bode）图 ]
L ( ) 20 lg A( ) 20 lg G ( j ) ( dB )
L ( ) 20 lg (T ) 1 20 lg T
2
当 T 即 T 1 时
L(ω)dB 40 20 0dB -20 - 40
1
T
1 T
当
1 T
时 时
20 lg T 0
20 lg T 20
dB
dB
10 T
频 率 特 性 ： G ( j ) 1 j T 1
( ) tg T
1
A ( )
1 T 1
2 2
ω 1/10T φ (ω )(度) -5.7 L(ω )（dB）
从到值 取 代入计算,得
对数幅频特性曲线 Bode图如右
1/5T -11.3
1/2T -26.6
2.频域法的基本思想：利用系统的开环频率特 性来分析闭环响应。对系统进行定性分析和定量 计算。
3.频率特性的性质 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
典型环节伯德图
精选完整ppt课件
10
惯性环节的相频特性为:
对应的相频特性曲线如图5-14所 示。它是一条由 至 范围内变化 的反正切函数曲线，且以 和 的交点为斜对称.
精选完整ppt课件
11
四一阶微分环节 一阶微分环节频率特性为: 其对数幅频特性是:
一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示，渐
近线的转折频率为 ，转折频率处渐近特性与精确特
的误差愈大。 等于转折频率
时，误差最大，最大误差为:
精选完整ppt课件
9
时的误差是:
时的误差是:
误差曲线对称于转折频率 ，如 图5-15所示。由图5-15可知，惯 性环节渐近线特性与精确特性的误 差主要在交接频率 上下十倍频
程范围内。转折频率十倍频以上的 误差极小，可忽略。经过修正后的 精确对数幅频特性如图5-14所示 。
，与零分贝线重合； 是一条斜率为
-20（dB/dec.）的直线。
两条直线在 处相交， 称为转折频率，由这两条直
线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所 示。
精选完整ppt课件
8
很明显，距离转折频率 愈
远
, 愈能满足近似条
件，用渐近线表示对数幅频
特性的精度就愈高；反之，
距离转折频率愈近，渐近线
(5-62)
幅值的总分贝数为:
(5-63)
放大环节的相频特性是:
(5-64)
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无 关且与ω轴重合的直线。
精选完整ppt课件
4
二积分环节 积分环节的频率特性是: 其幅频特性为:
对数幅频特性是:
精选完整ppt课件
5
设
，则有:
可见，其对数幅频特性是一条在 ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω轴），且以每增加十倍频率降 低20分贝的速度（-20dB/dec） 变化的直线。
自动控制理论 5-2 频域：伯德图
Lω 20lg1 ＝0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
15
Lω 20lg 1 Tn ω
2
2 2
2ζ T ω
n
2
高频段，即ωTn>>1时
L() 20lg( Tn ) 40lg(Tn )
2 2
当ω增加10倍
ωTn 40 40lgωTn L() 40lg10
2
伯德图表示频率特性的优点： 把频率特性的乘除运算转变为加减运算； 在对系统作近似分析时，一般只需要画出 对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简 化了图形的绘制； 用实验方法，将测得系统频率响应的数据 画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线， 估计被测系统的传递函数。
3
二 典型因子的伯德图
5-2 对数坐标图
表示系统频率特性的图形有三种： 对数坐标图 极坐标图 对数幅相图
1
一、对数坐标图
1. 对数幅频特性图： 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。 纵坐标：L(ω)= 20lg|G(jω)| （dB）， 采用线性分 度；
2.相频特性图 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。 纵坐标：频率特性的相角，以度为单位，采用线性 分度；
20lg 1 jω T 20lg 1 ω 2 T 2
ωT ω arct an
13
L ( )
dB
20
20 0
( )
90
1 10T
1 T
10 T
45 0
1 10T
1 T
10 T
一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其 相位变化范围由0°（ω=0）经+45°至90°（ω=∞）
第四章分析自动控制系统性能常用的方法
第四章 分析自动控制系统性能常用的方法（10 学时）目的、教学要求：在经典控制理论中常用的分析方法有时域分析法(由时域响应及传递函 数出发去进行分析)、根轨迹分析法和频率特性分析法。
本章主要介绍其中的两种分析方法， 即：时域分析法和频域分析法。
因此在本章中主要掌握：² 时域分析法的基本概念及分析方法² 频域分析法的基本概念及分析方法重点、难点：本章的重点是： 频率特性的基本概念， 开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取， 控制系统的对数稳定性判据，系统频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。
本章的难点是：自动控制系统开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取、控制系 统的频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。
主要内容：² 频率特性的基本概念² 频率特性的图形表示法² 典型环节的 Bode 图² 自动控制系统的开环对数频率特性² 习题² 实验教学方式：该部分内容较难理解，应采用 PPT+《自动控制原理频域分析工具箱》教学软件 的多媒体教学方式；习题课采用课堂教学， 但至少应用一次课堂练习用来让学生学习绘制伯 德图。
教学设计：① 通过多媒体教学演示软件《自动控制原理频域分析工具箱》生动说明频率响应的概 念，引导学生对实验演示结果进行分析，从而引出占有率特性的基本概念。
② 通过一个案例（一阶 RC 电路）及多媒体教学演示软件来讲解：输出信号的幅值与相 位与频率之间的关系及频率特性与系统结构参数之间的关系（简要介绍，用 PPT+媒体教学 演示软件来讲）。
③ 采用课堂练习的方法，引导学生按步骤进行伯德图的绘制，学习绘制前要求学生准 备好二张以上的三级半对数坐标纸（从校园网上下载）。
教学内容：一、频率特性的基本概念1. 频率响应与频率特性频率响应的概念：线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应。
线性系统的 频域分析的出发点仍然是它的传递函数。
自动控制原理第5章
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1 sin(t arctanT ) 1 2T 2
1
e jarctanT
j 1
e 1 jT
1 2T 2
jT
1
1 jT
RC网络的频率特性
只要把传递函数式中的s以j置换，就可以 得到频率特性，即
1
1
1 jT 1 Ts sj
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
对数相频特性：( ) arctan 特征点： 1 , L( ) 3dB, 45
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
一阶微分环节的伯德图 幅相曲线
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
六、振荡环节
传递函数： 频率特性：
G(s)
2 n
s2 2n s n2
1
s
n
2
2 n
s1
G( j
M ( ) G(j )
G1(j ) G2 (j ) G3(j ) M1( ) M2 ( ) M3 ( )
( ) G(j ) G1(j ) G2(j ) G3(j ) 1( ) 2( ) 3( )
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1.开环幅相特性曲线的绘制
例 某0型单位负反馈控制系统，系统开环
频率特性： G(j) 2 j 2 2 j 1
对数幅频特性：
L() 20lg G j 20lg 1 22 2 2 2
对数相频特性：
arctan
1
2 2
2
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅相曲线: 0时，M 1, 0 ; 时，M =, =180
自动控制原理
3.1.2波特图的绘制(精)
图 1 波特图的横坐标和纵坐标
�����/��，即横轴对lg�将是等分的，如图 1 横轴对照图所示。 ����与����的对应关系如图 1 纵轴对照图所示。
由于习惯上都以频率�作为自变量，因此横轴为对数坐标，标以自变量 而波特图纵轴以等分坐标来标定����， 其单位是分贝����， 而且是20lgM���， 由图可见， 波特图是画在纵轴位等分坐标、 横轴为对数坐标的特殊Байду номын сангаас标纸上，
波特图的绘制
波特图（Bode 图）又叫伯德图。 引入对数幅频特性����，可以使串联环节的幅值相乘转化为对数幅频特性
的相加；而����或它的渐近线大多与���成线性关系，因此，若以����为纵轴， 单位长度， �将变化 10 倍[以后称这个为一个 “10 倍频程” （decade） ， 记为 dec]。 波特图的横坐标和纵坐标示意图如图 1 所示。 ���为横轴，则其图线将为直线。另一方面，若以���为横轴，则���每变化一个
特性����也画在与����完全相同的半对数坐标纸上，其横轴的取值与对数幅频 特性坐标相同，画在半对数坐标纸上的����称为对数相频特性。
这种坐标纸叫“半对数坐标纸” 。 注意： 1、对数坐标是不均匀坐标，是由疏到密周期性变化排列的，因此，不能像 等分坐标那样任意取值、任意移动，在对数坐标上的取值和移动是以“级”为单 位的。 2、对数坐标的每一级代表 10 倍频程，即每个等分的级的频率差 10 倍，若 第一个“1”处为 0.1，则以后的“1”处便分别为 1、10、100、1000 等。究 竟第一个“1”处的频率值取为多少，要视研究的系统所需要的频率段而定。在 一般的调速系统和随动系统中，第一个“1”处的频率值通常在 0.01、0.1、1 三个数值中取值。 由于对数幅频特性����是画在半对数坐标纸上的，为便于比较对照，相频
完整版bode图习题解析
作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频 和高频区域中各选择若干个频率进行计算， 然后连成曲线
Example
G ?s ??
10
s ?1
?1 ?
?1
2ss??,
H ?s ?? 1
Description
10 1 s 1? s
0.01 start plot
0
-20 0
Frequency(rad/s)
1 start 1 ? s
2 start 1 ? 1
20
20
1? 1 2s
0
Total slope
-20
(db/decade )
0
-20
0
-20
40
M db
20
0
-20
-40 10 -2
Example
40
G(s) ?
K?T2s ? 1?2 s?T1s ? 1?
when ? ? 1 rad s
30
???dBL
20 10
? 20
? 40
that is f ? 1 ?2? ?Hz 0
-10
20 lg K ? 30dB
So
K ? 31.6
-20 10-1
1
2?
0.54 100
4.4 101
102
The break frequencies are 0.54Hz and 4.4Hz respectively，then
10
20
1? s
0
1
1?1 2s
1
-20
s
-40
第五章频率特性分析法
146第5章 线性系统的频域分析与校正时域分析法具有直观、准确的优点。
如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。
然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。
而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是容易实现事。
本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。
频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故又称为频率响应法。
频率法的优点较多。
首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。
其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。
因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。
此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。
这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。
因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。
5.1 频率特性的基本概念5.1.1 频率特性的定义为了说明什么是频率特性，先看一个R －C 电路，如图5-1所示。
设电路的输入、输出电压分别为()r u t 和()c u t ，电路的传递函数为 ()1()()1c r U s G s U s Ts ==+ 式中，RC T =为电路的时间常数。
若给电路输人一个振幅为X 、频率为ω的正弦信号 即： ()sin r u t X t ω= (5-1) 当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为图5-1 R C -电路1472211()()11c r X U s U s Ts Ts s ωω==⋅+++ 对上式取拉氏反变换，得出输出时域解为()22()arctan 1t T c XT u t e t T T ωωωω-=+-+ 上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。
第4章控制系统的频率特性4.3对数坐标图
90 当有两个微分环节时，斜率
为40dB/dec，相位为180°。
当有n个微分环节时，斜率 为n×20dB/dec，相位为n×90°。
微分环节的Bode图
采用MATLAB绘制微分环节的Bode图：
G1=tf([1,0],[1]); G2=tf([1,0,0],[1]); G3=tf([1,0,0,0],[1]); G4=tf([1,0,0,0,0],[1]); w=logspace(-1,1,100); bode(G1,G2,G3,G4,w); grid;
arctg
2 T 1 T 2 2
,
1 T
180
arctg
2 T 1 T 2
2
,
1 T
对上述两个图的坐标进行对数变换，如下图所示，称为频率 特性的对数坐标图。因为此种图示方法由Bode提出，所以又被称 为Bode图。
A
1
1 T 2 2 2 2T2
arctg
2 T 1 T 2 2
（3）微分环节
传递函数 G( s ) S
L( )(dB)
频率特性 G( j ) j 20
0 0.1 1
对数幅频特性
20
20dB / dec
微分环节
(rad / s)
10
L( ) 20 lg A( )
20 lg
( )(deg)
对数相频特性 ( ) 90
90 0 0.1
微分环节
1
10
(rad / s)
2
2
4.3.1 典型环节的Bode图
① 比例环节 ② 积分环节 ③ 微分环节 ④ 一阶惯性环节 ⑤ 一阶微分环节 ⑥ 二阶振荡环节 ⑦ 二阶微分环节 ⑧ 延迟环节
频率特性分析(2)
i 1
n n
n
i 1 n
开环相频特性 开环对数幅频特性
20 lg G ( j ) 20 lg A( ) 20 lg Ai ( ) 20 lg Ai ( )
i 1 i 1
1.将系统的开环传递函数写成典型环节乘积（即串联）的形 式；
L( ) dB
40
20
40dB / dec
0.01
0
20 40
0.1
1
10
100
( )
900
450
45
0 0 0.01
0
0.1
1
10
100
900
1800
3.微分环节 频率特性为
G( j ) j
对数幅频特性 20lg G( j ) 20lg
对数相频特性
( ) 90
0
L( ) dB
40
20dB / dec
20
0
20 40
( )
900
0.01
0.1
1
10
100
450
45
0 0 0.01
0
0.1
1
10
100
900
微分环节的Bode图
4.惯性环节
频率特性为
对数幅频特性
G ( j )
1 jT 1
20lg G( j) 20lg T 2 2 1 10lg(T 2 2 1)
2 2
L( )
(dB )
1 T
10
0
20
1 1 20 T T
Matlab画伯德图
我们经常会遇到使用Matlab画伯德图的情况，可能我们我们都知道bode这个函数是用来画bode图的，这个函数是Matlab内部提供的一个函数，我们可以很方便的用它来画伯德图，但是对于初学者来说，可能用起来就没有那么方便了。
譬如我们要画出下面这个传递函数的伯德图：
(这是一个用butter函数产生的2阶的，频率范围为[2020K]HZ的带通滤波器。
)
我们可以用下面的语句：这样，我们就可以得到以下的伯德图
可能我们会对这个图很不满意，第一，它的横坐标是rad/s，而我们一般希望横坐标是HZ；第二，横坐标的范围让我们看起来很不爽；第三，网格没有打开（这点当然我们可以通过在后面加上grid on解决）。
下面，我们来看看如何定制我们自己的伯德图风格：在命令窗口中输入：bodeoptions我们可以看到以下内容：。
自动控制原理与系统第4章 自动控制系统的频率分析法
在以上各式中，通常称
U(ω )——实频特性 V(ω )——虚频特性 M(ω )——幅频特性
() ——相频特性
G(jω )——
(4-1) (4–2) (4–3)
显然，幅频特性 相频特性
3.图形表示方式
图4-4 常见的二、三阶系统的幅相频率特性曲线
例如，有G1(jω )和G2(jω )两个环节串联，则其等效频率 若绘制极坐标图，其模M=M1M2，绘制起来十分麻烦，这是
②对数相频特性 为与横轴重合的水平直线。
图4-7 比例环节的伯德图
增设比例环节后，将使系统的 向上(或 向下)平移，而不会改变的 形状。对系统 将不产生任何影响。这是比例环节的一大特点。
2.积分环节 (1)传递函数
(2)频率特性 (3)对数频率特性
(4) ①对数幅频特性
由式(4-8)有
图4-8 积分环节的伯德图
4.5 系统的闭环频率特性
系统的开环传递函数G(s)为
上式中 系统的闭环传递函数Φ (s)为
其闭环频率特性
闭环幅频特性 由式(4-20)及
,可得
若ω 为自变量，
、
为应变量，则可画出如
图4-19（a）所示的闭环幅频特性和如图4-19（b）所
示的闭环相频特性。
图4-19 典型二阶控制系统的闭环频率特性
积分环节的对数幅频特性曲线 可表述为：在ω =1
对数坐标图的公式
− ∞...
0
−2 0.01
−1 0.1
0 1
1 10
2 100
log ω
ω
由于ω 以对数分度，所以零频率点在－∞处。
更详细的刻度如下图所示
ω
lg ω
ω lgω
１ 0.00 0
2 0.30 1
3 0.47 7
4 0.60 2
5 0.69 9
6 0.77 8
7 0.84 5
−1 ϕ 相频特性： (ω ) = −tg
2ζωT 1 − T 2ω 2
1 π , ϕ (ω ) = − ; ω = ∞, ϕ (ω ) = −π。 T 2
几个特征点：ω = 0, ϕ (ω ) = 0; ω =
相频特性曲线在半对数坐标中关于( ω0, －90°)点是斜对称的。
1 1 这里要说明的是当 ω ∈ (0, ) 时， (ω ) ∈ (0,−90°) ,当 ω ∈ ( , ∞) ， , ϕ T T 时， (ω ) ∈ (−90°,−180°) 。此时若根据相频特性的表达式用计算器 ϕ
n2
− ∑ tg −1
l =1
n2
2ζ lTlω + ∠e − jTd ω 1 − ω 2Tl 2
• 所有的典型环节的幅频特性都可以用分段直线(渐近线)近似 表示。 • 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似 的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
5.2.2 典型环节的对数坐标图
π
L(ω ) / dB 40 20
ω
1 10 100
1 L (ω ) = 20 log A (ω ) = 20 log ω = − 20 log ω ,
伯德图分析-稳定性-及幅值和相角裕度
NdB20 lgN18 N7.94
这个结果接近于先前分析的结果 K=0.832. 误差是由伯德图的相角曲线 用直线近似引起的。
伯德图中的增益裕度和相角裕度
伯德图中的增益裕度
增益裕度 (用分贝表示)为 Kc 的分贝值 与增益K的分贝值之差。
GM Kc K
G d B M 2lK 0 g c 2lK 0 g
2型系统
GHsK s2b
GH jjK a2
如果 ka=1。对数幅频特性在当 ω =1时，其低频段或它的延长线会以 –40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。
Ka 的值可以通过测量ω = 1 处 的增益值来获得。
M db
40db/decad
e
20log10Ka
1
图.16.7 2 型系统的伯德图
获得最大值 Kmax=NK
1 1 2 0 l o g 1 0 N N 3 . 5 5 K 4 5 3 . 5 5 1 6 0
用劳斯阵列来验证结果： 特征方程为
( s 2 ) ( s 3 ) 2 K s 3 8 s 2 2 1 s 1 8 K 0
s3 :
1
21
s2 :
改进的奈奎斯特判据： 根据沿着频率增 加方向的频率特性，观察临界点是在 其左边还是右边通过，是由极坐标图 判断稳定性的唯一可靠的方法。
当 k > k1时， 系统是稳定的
Im
0
-1 Re
图.16.14 稳定系统的奈奎斯特图
例题 16.1
问题: 如图所示的系统， 画出当K=45时 的伯德图， 并确定增益裕度和相位裕度。 计算使系统稳定的最大K值， 并用劳斯阵 列验证其结果。
从根轨迹得到证实， 系统是条件稳定 的。