工程力学 06 第6章 轴和梁的刚度设计
工程力学复习题
《工程力学》复习题第一章静力学基本概念第二章平面力系复习思考题1、填空题⑴力的三要素是指大小、方向、作用点。
⑵对于作用在刚体上的任何一个力系，可以增加或去掉任一平衡力系，而不改变。
⑶合力投影定理是指：力系的合力在某轴上的投影等于力系中各分力在同轴上投影的代数和。
⑷刚体受三个共面但不互相平行的力作用而平衡时，则三力。
⑸力矩是指力对物体绕某一点的度量。
⑹一对等值、反向、不共线的平行力组成的特殊力系，称为力偶。
⑺作用在刚体上的力可以从原作用点等效地平行移动到刚体内任一指定点，但必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于。
⑻一物体的运动受到周围其它物体的限制，这种限制条件称为约束。
⑼常见的约束类型有：柔性约束，固定端约束，光滑面约束，铰链约束。
⑽画受力图的基本步骤一般为：截开，替代，平衡。
⑾若力系中各力的作用线在同一平面内，该力系称为平面力系。
⑿平面任意力系向一点简化，一般可得和。
⒀平面任意力系平衡的充分必要条件是。
⒁纯平面力偶系平衡的充要条件为：。
⒂平面平行力系平衡的充要条件为：。
⒃平面汇交力系平衡的充要条件为：。
⒄若干个物体以一定的约束方式组合在一起称为。
⒅力系中各力的作用线不在同一平面内，该力系称为。
⒆空间力系的合力投影定理：空间汇交力系的合力在某一轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。
⒇力使刚体绕一轴转动效应的度量称为。
2、选择题⑴下列说法错误的是（C ）A 如果力系可使物体处于平衡状态，则该力系为平衡力系。
B 若两力系分别作用于同一物体而效应相同，则二者互为等效力系。
C 若力系的合力为零而合力偶矩不为零，则物体也处于平衡状态。
⑵一力对物体的作用效应取决于力的（ C ）A 大小B 方向C 大小、方向、作用点⑶下列说法正确的是（A）A 力在坐标轴上的投影是矢量。
B 力的正交分解是两个代数量。
C 力在坐标轴上的投影是代数量。
⑷下列说法正确的是（ C ）A 两点受力作用而平衡的杆称为二力杆。
材料力学梁的挠度和刚度计算课件
桥梁刚度反映了桥梁结构抵抗变形的能力。刚度计算可以帮助工程师了解桥梁在不同载荷作用下的变形情况，从 而优化结构设计，提高桥梁的承载能力和稳定性。
梁的挠度和刚度在房屋建筑中的应用
房屋挠度
在房屋建筑中，挠度对建筑物的安全 性和稳定性具有重要影响。通过计算 和分析挠度，可以确保建筑物在使用 过程中不会发生过大的弯曲和变形， 从而保证居住者的安全。
泊松比与挠度
泊松比是衡量材料横向变形能力的 参数。泊松比越大，梁在受到压力 时横向变形越大，导致挠度增加。
剪切模量与刚度
剪切模量反映了材料抵抗剪切应力 的能力。剪切模量大的材料具有较 大的刚度，能够更好地抵抗变形。
材料的弹性模量对挠度和刚度的影响
01
弹性模量与挠度
弹性模量是衡量材料抵抗弹性变形能力的参数。弹性模量越大，梁在受
03
梁的挠度计算方法
挠度的计算公式
挠度计算公式：$y = frac{Fl^4}{48EI}$
$I$：梁的惯性矩 $E$：材料的弹性模量
$F$：施加在梁上的力 $l$：梁的长度
挠度的计算步骤
确定施加在梁上的力 $F$和梁的长度$l$。
将已知数值代入挠度 计算公式进行计算。
确定材料的弹性模量 $E$和梁的惯性矩$I$ 。
材料的泊松比对挠度和刚度的影响
泊松比与横向变形
泊松比描述了材料在受到压力时横向变形的程度。泊松比 越大，横向变形越明显，这可能对梁的挠度和刚度产生影 响。
泊松比与交叉应力
在分析梁的挠度和刚度时，需要考虑由于泊松比引起的交 叉应力效应。这种效应会影响梁的剪切力和弯矩分布，从 而影响挠度和刚度。
泊松比与材料非线性的考虑
梁的刚度定义
刚度
《梁的刚度分析》课件
截面形状的影响
矩形截面
矩形截面的梁在垂直于长边方向上刚 度较低，容易发生弯曲变形。
工字形截面
工字形截面的梁在垂直于腹板方向上 刚度较高，抗弯能力较强。
梁的跨度与支撑的影响
跨度大小
梁的跨度越大，其自由端处的转角和 挠度越大，刚度越小。
支撑条件
支撑条件如简支、固支等对梁的刚度 也有影响。例如，简支梁在跨中受到 集中载荷时，跨中挠度较大，刚度较 小。
案例三：实际工程中的梁刚度问题解决
总结词：实际应用
详细描述：在实际工程中，梁的刚度问题可能涉及到多种因素，如载荷、支撑条件、材料特性等。解决实际工程中的梁刚度 问题需要综合考虑多种因素，采用理论分析和实验验证相结合的方法。
外部载荷的影响
载荷大小
随着外部载荷的增大，梁的变形量增加，刚度减小。
载荷分布
集中载荷或分布载荷对梁的刚度有不同影响。例如，集中载荷可能导致梁在载 荷作用点处产生较大的局部变形。
03
梁的刚度分析方法
弹性分析
弹性分析方法基于弹性力学理论，通过求解弹性 方程得到梁的变形和应力分布。
弹性分析适用于材料处于弹性阶段的情形，能够 给出梁在受力过程中的变形和应力分布。
VS
详细描述
在梁的刚度设计中，应优先选择具有高弹 性模量和强度的材料，如钢铁、合金钢和 优质木材等。这些材料能够提供更好的抗 弯和抗剪切性能，从而提高梁的刚度。
截面形状优化建议
总结词
合理的截面形状可以有效地提高梁的刚度，常见的优化截面形状包括矩形、工字形和圆形等。
详细描述
根据梁所承受的载荷和跨度大小，可以选择不同的截面形状进行优化。例如，对于承受较大载荷的梁 ，可以选择工字形截面以提高抗弯刚度；对于跨度较大的梁，可以选择圆形截面以增强抗扭刚度。
工程力学第6节 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
318Nm 955Nm
955 1910 955 N m 3-3 截面的扭矩 TCD M D 318 N m
绘出的扭矩图如图所示， 显然BA和AC段扭矩最大。故
Tmax 955 N m
3）按强度条件确定轴径
Tmax 16Tmax max [ ] 3 WP D 3 16 Tmax 3 16 955 D m 47.6 mm 6 [ ] 4510
二、圆轴扭转时的强度条件
材料的扭转 许用应力 圆轴扭转时的 强度条件
[ ]
u
n
max [ ]
max 应发生在最大扭矩 Tmax 的横截 等截面圆轴： 面上周边各点处，所以其强度条件为
等截面圆轴扭转 时的强度条件
max
Tmax [ ] WP
T ) max 的 阶梯轴等变截面圆轴： max 应发生在 ( WP
在最大切应力相同的情况下，空心轴所用 的材料是实心轴的 61.1%，自重也减轻了 38.9%。其 原因是：圆轴扭转时，横截面上应力呈线性分布，越 接近截面中心，应力越小，此处的材料就没有充分发 挥作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到 轴的外缘，材料得到了充分利用，而且也减轻了构件 的自重。但空心轴的制造要困难些，故应综合考虑。
对于空心轴，由扭转时的强度条件
Tmax 16 T max [ ] 3 4 WP D2 (1 )
Tmax 16 T max [ ] 3 4 WP D2 (1 )
D2
3
16T 4 [ ](1 ) 161186 m 64.2 mm 6 4 3010 (1 0.7 )
2 2 2 2
3
工程力学 第6章 弹性静力学基本概念
第6章 弹性静力学的基本概念 刚体静力学研究力系的等效、简化与力系的平衡，并且应用这些基本概念和理论，分析、确定物体的受力。
刚体静力学的模型是质点和质点系以及刚体和刚体系。
弹性静力学则主要研究变形体受力后发生的变形，以及由于变形而产生的附加内力。
分析方法上，弹性静力学与理论力学刚体静力学也不完全相同。
建立在实验基础上的假定、简化计算，是弹性静力学分析方法的主要特点。
本章介绍弹性静力学的基本概念、研究方法以及弹性静力学对于工程设计的重要意义。
§6-1 弹性静力学概述 §6-2 弹性体及其理想化 ６－２－１ 各向同性与各向异性弹性体 ６－２－２ 各向同性弹性体的均匀连续性 §6-3 弹性体受力与变形特征 §6-4 应力及其与内力分量之间的关系 ６－４－１ 分布内力集度－应力 ６－４－２ 应力与内力分量之间的关系 §6-5 正应变与切应变 §6-6 线弹性材料的物性关系 §6-7工程结构与构件 §6-8 杆件变形的基本形式 §6-9 结论与讨论 ６－９－１ 关于刚体静力学模型与弹性静力学模型 ６－９－２ 关于弹性体受力与变形特点 ６－９－３ 关于刚体静力学概念与原理在弹性静力学中的 可用性与限制性 习 题 本章正文 返回总目录第6章 弹性静力学的基本概念 §６—１ 弹性静力学概述 弹性静力学(elastic statics)又称材料力学(strength of materials)，其研究内容分属于两个学科。
第一个学科是固体力学(solid mechanics)，即研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析(stress analysis)。
但是，弹性静力学所研究的仅限于杆、轴、梁等物体，其几何特征是纵向尺寸远大于横向尺寸，这类物体统称为杆或杆件（bars或rods）。
大多数工程结构的构件或机器的零部件都可以简化为杆件。
《工程力学》——梁的强度与刚度
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
四、 弯曲切应力的强度计算：
１、 强度条件： τmax≤[τ] [τ]---梁所用材料的许用切应力
（危险截面）。 (２)、 利用弯曲正应力强度条件求解。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
二、例题：
例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承 受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺 纹许用应力 ［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试 选择梁的截面尺寸。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短， 这一层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯
矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线 性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿 点。
１、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下 对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的 抗拉、压强度又相等。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
塑性材料的弯曲正应力强度条件为：
（1）、强度校核 （2）、截面设计 （3）、确定许可荷载
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
２、 弯曲正应力强度计算的步骤为： (１)、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩
2、求截面对形心轴z轴的惯性矩
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一）
目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度 计算。
教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。 教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。
《工程力学》课件第6章 截面图形的几何性质
Ip
r2dA A
D 2
r2
2
rdr
D4
0
32
Ip Iy Iz
Iy
பைடு நூலகம்
Iz
Ip 2
D4
64
四、组合截面的惯性矩与惯性积
z
I
例如工字型截面 A AI AII AIII
II
y
III
Iy
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
m
I yI I yII I yIII I yi
包括：形心、静矩、极惯性矩、惯性矩、惯性半径、惯 性积、主轴和形心主轴、主矩和形心主矩等
6.1 静矩和形心
一、静矩
截面对z轴的静矩
z
Sz
ydA
A
截面对y轴的静矩
y
dA
A
z
Sy
zdA
A
o
单位： m3
y
静矩的数值可大于零、等于零或小于零。
二、形心
如图所示均质薄板，重心与形心C重合，
由静力学可知形心坐标在yoz：
何关系， y R sin , dy R cosd ,
dA 2R cosdy 2R2 cos2 d
Sz
A
（2）形心
ydA yC
2 0
Sz A
R sin 2R2 cos2 d
2 R3 3
4R
1 R2 3
zC
2 3
0
R3
2
三、组合截面的静矩和形心 z
D d
y
整个图形对某一轴的静矩等于各个分图形对同一轴的静矩之和。
z1
y1 z
工程力学(第二版)章图文 (6)
(1) 一体重为700 N (2) 要求两名体重均为700 N的工人抬着1500 N的货物安全 走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h。
第6章 弯 曲
解 (1) 计算弯矩的最大值Ｍmax。当工人行走到跳板中央
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧(或右侧）所 有外力对该截面形心的力矩的代数和。
第6章 弯 曲
为了使所求得的剪力与弯矩符合前面的符号规定，按此 规律计算剪力时，截面左侧梁上外力向上取正值，向下取负 值，截面右侧梁上外力向下取正值，向上取负值；计算弯矩 时，截面左侧梁上外力对该截面形心的力矩顺时针转向取正 值，逆时针转向取负值，截面右侧外力对该截面形心的力矩 逆时针转向取正值，顺时针转向取负值。可以将这个规则归 纳为一个简单的口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯 矩为正。
第6章 弯 曲 图 6.10
第6章 弯 曲 解 设截面m-m与B端之间的距离为x，取m-m截面的右段
为研究对象，画出受力图，如图6.10(b)所示。 根据平衡条件：
由Fs=qx可绘出剪力图，如图6.10(c)所示；由 描点可绘出弯矩图，如图6.10(d)
第6章 弯 曲
6.3 弯曲时的正应力与强度计算
m，材料的许用应力[σ]=150 MPa， 求此悬臂梁的许可载荷。
图 6.15
第6章 弯 曲 解 绘出悬臂梁的弯矩图，如图6.15(b)所示。 图中，Mmax=Fl=4000F 梁的横截面抗弯截面系数为
由梁的弯曲正应力强度条件得
因此, 悬臂梁的许可载荷为F=25 000 N。
第6章 弯 曲 【例6.5】 某建筑工地上, 用长l=3 m的矩形截面木板做
建筑力学与结构选型第6章 结构的变形、位移与刚度
F A C B x B'
f
C'
梁上任意横截面的转角与该截面的挠度是相互影响的
dy tan f' dx
截面C的转动和移动可看作从支座A到截面C所有截面依次转动和移动 的效果的叠加。
M ( x) EI
1
M ( x) f ' d xC EI
M ( x) f d x d x Cx D EI
q ql
B
EI
EI l
C
3 2 ql 2
1
ql2 8
2
C
B
A
l
3
A
MP图 (a)
(b)
q
ql
B
EI EI l
C
3 2 ql 2
1
ql2 8
2
C
l
B
2l 3
l 2
1
C
B
A
l
3
A MP图
l
A
(a)
3 2 ql 2
(b)
ql2 8
3 2 ql 2
M 图
(c)
1
2
ql2 8
其他原因引起的静定结构的位移
1
yC 1
2 M P
2、若MP 与 M 均为直线图，则从任一图中 取yC（另一图则取）均可。
M
yC 2
( a ) 1yC1为正， 2yC2为负
3、对于变截面杆（阶梯状变化），应当分段图 乘，然后叠加。
1
EI1
EI 2
2 M P
yC 2
EI 2
yC 1
EI1
M
(b )
4、取yC的图形必须是直线图，不能是折线图或曲线图。
材料力学第六章弯曲变形
以图示悬臂梁为例： x
A
w
q qy
2.梁的变形可以用以下两个位移度量：
F Bx
B1
① 挠度：梁横截面形心的竖向位移y，向下的挠度为正 ② 转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正
简支梁
挠度方程：挠度是轴线坐标x的函数
转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系
=tan =dy =f ´(xd)x
梁在简单荷载作用下的转 角和挠度可从表中查得。
例3 图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q
A
C
F
1.在F作用下：
查表： BF
Fl 2 2EI
,
yBF
Fl 3 3EI
B
2.在q作用下：
查表： Cq
q(l / 2)3 6EI
ql3 48 EI
A A
qBF
F
B
q(l / 2)4 ql4
M图 Fl / 4
Wz
M max
35 103 160 106
2.19 10 4 m3
3、梁的刚度条件为：
Fl3 l 48EIz 500
解得
Iz
500 Fl 2 48 E
500 35 103 42 48 200 109
2.92 10 5 m4
由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz＝3.09×l0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40×10-5m4，可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。
提高梁刚度的措施：
y ln EI
1.增大梁的弯曲刚度 EI；主要增大截面惯性矩I值，在截面 面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴 较远的地方。例如：工字形、箱形等。
工程力学习题 及最终答案
.1第一章 第二章第三章 绪论 思 考 题1) 现代力学有哪些重要的特征？2) 力是物体间的相互作用。
按其是否直接接触如何分类？试举例说明。
3) 工程静力学的基本研究内容和主线是什么？ 4) 试述工程力学研究问题的一般方法。
第二章 刚体静力学基本概念与理论习 题2-1 求图中作用在托架上的合力F R 。
2-2 已知F 1=7kN ，F 2=5kN, 求图中作用在耳环上的合力F R 。
习题12030200N.22-3 求图中汇交力系的合力F R 。
2-4 求图中力F 2的大小和其方向角。
使 a )合力F R =1.5kN, 方向沿x 轴。
b)合力为零。
2-5 二力作用如图，F 1=500N 。
为提起木桩，欲使垂直向上的合力为F R =750N ，且F 2力尽量小，试求力F 2的大小和角。
F4560F1习题b)xy453F 1=30N F 2F 3=40N A xy456F 1=600NF 2=700N F 3=5A习题a )x 70F2F 1=1.25kNA习题3F 1=500NAF 2习题.32-6 画出图中各物体的受力图。
C(b)(a)C(c)C(d)FBEqDA CCD EBCAB DD.42-7 画出图中各物体的受力图。
2-8 试计算图中各种情况下F 力对o 点之矩。
习题b)Bc)d)习题B(a )a )ABCBABC.52-9 求图中力系的合力F R 及其作用位置。
习题P(d) c)Fb)(5kNM =6kN mxx.62-10 求图中作用在梁上的分布载荷的合力F R 及其作用位置。
(Bq 1=600N/m Bq=4kN(q A =3k q C =1C (习题2-(6kNx1=x.72-11 图示悬臂梁AB 上作用着分布载荷，q 1=400N/m ，q 2=900N/m, 若欲使作用在梁上的合力为零，求尺寸a 、b 的大小。
第三章 静力平衡问题 习 题3-1 图示液压夹紧装置中，油缸活塞直径D=120mm ，压力p =6N/mm 2，若3-2 图中为利用绳索拔桩的简易方法。
轴的结构设计,轴的强度计算,轴的刚度计算(2)
通用性好的万能型车床、加工精度高 的精密 型车床 和加工 效率高 的专用 型车床 的特点 于一身 ，是国 内使用 量最大 ，覆盖 面最广 的一种 数控机 床。 11.马鞍车床
马鞍车床在车头箱处的左端床身为下沉 状，能 够容纳 直径大 的零件 。车床 的外形 为两头 高，中 间低， 形似马 鞍，所 以称为 马鞍车 床。马 鞍车床 适
对于不变T： [ 1b ]
[ 1b ] 对于脉动循环的T：
[
1b
]
[ 0b ]
对于对称循环的T： [ 1b ]
M 当量弯矩；
[ 1b ]
对于心轴,T
2021/8/18
0 Байду номын сангаас 转动 [ 1b ]；不转
[
1b ]或[ 0b ]
20
16.3 轴的强度计算
3.计算步骤 （1）作空间受力简图（图a）；
位刀片的刀具。因此，对硬质合金可 转位刀 片的运 用是数 控机床 操纵者 必需了 解的内 容之一 。
选用机夹式可转位刀片，首先要了 解可转 位刀片 型
号表示规则。按国际尺度ISO 1832—1985，可转位刀片的代码表 示方法 是由10 位字符 串组成 的，其 排列如 下在一 般情况 下，第8 和9位 的代码 在有要 求
强度高达100-170公斤每立方毫米；但 性脆、 韧性差 、怕振 ；这些 缺点， 可通过 刃磨公 道的角 度予以 克服。 因此， 硬质合 金被广 泛应用 车刀
常用车刀种类
1、 尖形车刀 2、圆弧形车刀
3、成形车刀
4、机夹可转位不重磨车刀
5、切槽刀（切断刀）
常用车刀用途
①可转位刀片代码。从刀具的材料应用 方面， 数控机 床用刀 具材料 主要是 各类硬 质合金 。从刀 具的结 构方面 ，数控 机床主 要采用 镶嵌式 机夹可 转
6.3.3 梁的刚度计算_工程力学（第2版）_[共2页]
![6.3.3 梁的刚度计算_工程力学（第2版）_[共2页]](https://img.taocdn.com/s3/m/cf70c5fa7375a417876f8f18.png)
第6章 梁弯曲强度计算109例6-12 如图6-32所示为一简支梁受载情况，其中EI z 为已知数，试求C 点的挠度。
解：计算梁中点的挠度y c ，设集中力F 和均布载荷q单独作用时各产生的挠度分别y C 1和y C 2，查表6-3可得3148C z Fl y EI =，425384C zql y EI =- 当F 和q 同时作用在梁上时，C 点的挠度为叠加后的挠度，即 3412548384C C C z z Fl ql y y y EI EI =+=-6.3.3 梁的刚度计算对于机械工程中的梁，要使其正常工作，不但要求梁具有足够的强度，有时还需要对梁的变形加以限制。
例如对机床主轴的挠度和转角加以限制，以保证机械加工精度；对齿轮轴的挠度和转角加以限制，以保证齿轮的正常啮合；对传动轴在支承处的转角加以限制，以降低轴承的磨损速度等。
那么梁的刚度条件是 [][]max max y y θθ⎫⎪⎬⎪⎭≤≤ （6-10）式中，[y ]和[θ ]分别为梁的许用挠度和许用转角。
其值由梁的具体工作要求来确定，可以从有关设计手册中查得。
在设计梁时，通常根据强度条件、结构要求确定梁的截面尺寸，然后校核其刚度。
一根梁在设计时有时必须同时满足强度条件和刚度条件，对于刚度要求较高的梁，其截面尺寸往往取决于刚度条件。
例6-13 如图6-33（a ）所示为车床空心主轴简图。
轴的外径D =80mm ，内径d =40mm ，材料的弹性模量E =210GPa 。
已知切削力F 1=2kN ，齿轮传动力F 2 =1kN 。
主轴的许可变形为：卡盘C 处的挠度不超过两轴承间距的10−4，轴承B 处的转角不超过10−3rad ，试校核轴的刚度。
解：（1）计算主轴的惯性矩。
444444ππ8040(1)[1()]18810mm 646480z D I α⨯=-=-=⨯ （2）计算轴的变形。
如图6-33（c ）所示，查表6-3，并利用叠加法计算F 1力单独作用下B 截面的转角和C 截面的挠度分别为 图6-32 简支梁受载分析图6-33 车床空心主轴。
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第六章 轴和梁的刚度设计
❖ 在工程实际中，即使强度安全，但如果因外力引起的 变形超过某界限值，则构件也可能发生破坏。
❖ 可见，为确保构件的刚度安全，需要对构件的变形进 行研究，从而进度刚度设计，以保障其刚度安全。
第六章 轴和梁的刚度设计
❖ 本章将从微观角度，对构件进行受力分析。
有位移； • AB段没有轴力，没有发生拉伸
变形，但由于BC段的变形，从 而有位移。
变形和位移没有必然的 关系， 位移是梁各部分变形累 加的结果， 取决于杆件的变形量和 杆件受到的外部约束或 杆件之间的相互约束。
6.1 拉压应力及强度设计
❖ 6.1.3位移
2、以切代弧法求桁架节点的位移
❖ 位移在数值上取决于杆件的变形量和杆件受到的 外部约束或杆件之间的相互约束。
B
以 切 代
l1
l2 A2
弧 法
C
l2
A l1A
' A1
A
【例6.2】 图示为一简单托架。杆BC为圆钢，横截面直
径d＝20mm，杆BD为8号槽钢。若E=200GPa，FP＝ 60kN，试求节点B的位移。
l 1 .2 m
C
3 4
B FP 解：1）受力分析
y
FN1
FP
FN 2 x
D
y
FN1FPFN 2 Nhomakorabeax扭转刚度设计：
❖ 刚度校核 ❖ 截面设计 ❖ 许可载荷
❖ 本章主要从拉压变形、扭转变形、和弯曲变形 三种变形分析构件的变形情况，并建立相应的 刚度准则，供实际设计时应用。
第六章 轴和梁的刚度设计
6.1 拉压应力及强度设计 6.2 扭转刚度设计 6.3 弯曲变形 6.4 典型工程案例的编程解决 6.5团队合作解决工程问题
6.1 拉压应力及强度设计
6.1.1 轴向变形与胡克定律 16.1.2 横向变形与泊松比 26.1.3 位移
FN2 cos +FN1 0 FN 2 sin F p 0
FN1 45kN (拉 )
FN 2 75kN (压 )
2）求杆件变形
l 1 .2 m
C
3 4
D
B FP
l1
FN 1 • l1 E1 • A1
45 103 1.2 200 109 314 106
0.86mm（ 伸 长 ）
l2
T GIP
max ≤
(rad/m)
m ax
T GIP
180 ≤
max
(°/m)
6.2圆轴扭转时的变形和刚度条件
工程上扭转刚度有如下要求
❖ 对于精度高的轴，
❖ [ ]=0.25~0.5/m；
❖ 一般传动轴，
❖ [ ]=0.5~1.0/m；
❖ 对刚度要求不高对轴，
❖ [ ]=2/m。
FN 2 • l2 E2 • A2
0.732 m m（ 压 缩 ）
3）以切代弧法求水平和铅直位移
y
u B l1 0 .8 6 m m
B
l1 B1
uB
x
vB B1 B4 B3 B4
l2
l2 sin B2B4ctg
B2
vB
B4
l2 sin l2 cos l1 ctg
l2
4 5
l2
3 5
l1
3 4
B3
1.56mm
B B3 (B1B3 )2 (B B1 )2 1.78 10 3 m
6.2圆轴扭转时的变形和刚度条件
在工程上，对于发生扭转变形的圆轴，除了要考虑圆轴不发生破坏的
强度条件之外，还要注意扭转变形问题，以最大程度确保构件不发生失 效等工程要求。
1、当圆轴发生扭转时，其变形程度用扭转角 衡量
6.1 拉压应力及强度设计
❖6.1.1 轴向变形与胡克定律
FP
FP
线变形 l l1 l
l1
线应变
l l
胡克定律 只 要 p 则应力和应变成线性正比例关系：
E • FN l FN l
A
EA
6.1 拉压应力及强度设计
❖6.1.2 横向变形与泊松比
FP
b
b1
FP
l1
横向变形 b b1 b l l1 l
横向应变 ' b l
当
时
p
,
'
b
l
横向应变与线应变
' •
总同时产生、符号总相反
6.1 拉压应力及强度设计
表6-1 几种常用材料的E和μ值
材料
低碳钢 合金钢 灰铸铁 铜及其合金 铝合金
E（GPa） 196 ~ 216 186 ~216 78.5 ~ 157 72.6 ~ 128
70
μ
0.25 ~0.33 0.24 ~ 0.33 0.23 ~ 0.27 0.31 ~ 0.42
结构节点的位移是指 节点位置改变的直线距离或一段方向改变的角度。
变形量
变形图
位移值
计算节点 所连各杆 的变形量
结构的变形图： 根据变形相容 条件作出位移图
根据位移图 几何关系 计算出位移值
6.1 拉压应力及强度设计
❖ 6.1.3位移
2、以切代弧法求桁架节点的位移
❖ 位移在数值上取决于杆件的变形量和杆件受到的 外部约束或杆件之间的相互约束。
2、扭转变形的刚度条件
T
T
（1）扭矩是常量的等 A 截面圆轴，扭转变形的
刚度条件
B
m ax
Tmax GIP
≤
(rad/m)
m ax
Tmax GIP
180 ≤
(°/m)
6.2圆轴扭转时的变形和刚度条件
2、扭转变形的刚度条件
（2）对于扭矩是分段 常量的阶梯形截面圆轴 ，其刚度条件是
m ax
l
FN1L1 EA1
FN 2 L2 EA2
20103 200 200103 800
40103 200 200103 400
0.075mm
无变形 无位移
6.1 拉压应力及强度设计
❖ 6.1.3位移
有变形 有位移
1、直杆截面的位移
无变形 有位移
由轴力图可见： • CD段没有轴力，没有发生拉伸
变形，没有位移； • BC段有轴力，发生拉伸变形，
T A
T
B
d T
dx GIp
d Tdx
GIp
GIp ————
圆轴的抗扭刚度
d l T d Tl
l
0 GIp
GIp
如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则 式(6-12)的积分可以写成分段求和的形式， 即圆轴两端面之间的扭转角是
n
Tili
i1 GI pi
6.2圆轴扭转时的变形和刚度条件
0.33
例6-1变截面杆如图所示。已知：A1 = 8cm2，A2 =
4cm2，E = 200GPa。
求杆件的总伸长l。
40kN
A2 2 60kN
A1 1
20kN
2
200
200 1
❖解：(a) 求内力。用截面法求出截面1-1、2-2
杆的内力
FN1 20kN FN 2 40kN
❖(b) 求杆件的总伸长。由虎克定律可得