高中数学竞赛训练题(0530)

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高中数学联赛试题及答案

高中数学联赛试题及答案

高中数学联赛试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x)=x^2-2x+2,求f(1)的值。

A. 0B. 1C. 3D. 42. 已知等差数列{an}的首项a1=3,公差d=2,求第5项a5的值。

A. 13B. 15C. 17D. 193. 圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0,求该圆的半径。

A. 3B. 4C. 5D. 64. 函数y=|x-2|+|x+3|的最小值是多少?A. 1B. 2C. 5D. 6二、填空题(每题5分,共20分)5. 计算复数z=3+4i的模长,其值为______。

6. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求f'(x)的值。

7. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4,求斜边的长度。

8. 将函数y=2x^2-4x+1进行配方,得到的结果为________。

三、解答题(每题10分,共60分)9. 已知数列{an}满足a1=1,且an+1=an+n,求数列的前5项。

10. 证明:若a,b,c为实数,且满足a^2+b^2+c^2=1,则(a+b+c)^2≤3。

11. 已知函数f(x)=x^3-3x+1,求f'(x)和f''(x)。

12. 求解方程组:\[\begin{cases}x + y = 6 \\2x - y = 4\end{cases}\]四、证明题(每题10分,共20分)13. 证明:对于任意实数x,不等式x^3-3x+1≥0恒成立。

14. 证明:若a,b,c为正实数,且满足a+b+c=1,则(1/a)+(1/b)+(1/c)≥9。

答案:一、选择题1. B2. C3. B4. C二、填空题5. 56. 3x^2-6x7. 58. y=2(x-1)^2-1三、解答题9. 数列的前5项为:1, 2, 4, 7, 11。

10. 证明:略。

11. f'(x)=3x^2-3,f''(x)=6x。

2023全国高中数学竞赛试题

2023全国高中数学竞赛试题

2023全国高中数学竞赛试题全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:2023全国高中数学竞赛试题2023年全国高中数学竞赛将于下个月举行,为了更好地帮助同学们备战竞赛,我们特为大家准备了一份模拟试题。

以下是一部分试题,希望大家认真思考,尽力做出最好的成绩。

题一:已知a、b、c、d为正整数且a+b+c+d=20,求a、b、c、d的可能取值组合数。

题二:已知正整数m,n,且m/n为一个最简分式,满足m+n=2023,求m和n的取值。

题三:已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,且f(1)=9,f(2)=21,求a、b、c的值。

题四:在平面直角坐标系内,已知直线l1与直线l2分别过点A(2,4)、B(3,5),且l1:l2=1:2,求l1、l2的方程。

题五:已知数列{an}满足an=3n^2+5n+7,求数列{an}的前10项和。

题七:已知圆心为O的圆C1方程为x^2+y^2=25,点A(3,4)在圆C1上,求点A与圆心O之间的距离。

题九:已知集合A={x|0<x<2π},集合B={y|y=2sinx+cosx},求B的最大值和最小值。

题十:已知三角形ABC中,角A=60°,角B=45°,AB=3,BC=4,求AC的长度。

以上是部分模拟试题,希望同学们认真对待每一道题目,并在竞赛中取得优异的成绩。

祝愿大家取得理想的成绩,加油!第二篇示例:2023全国高中数学竞赛试题第一部分:选择题1. 若直线5x+12y=23 在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则a+b=A. 23/5B. 23/12C. 5/23D. 12/232. 若集合A=\{x | -3<x<5\}, 集合B=\{y | 2\leq y\leq7\},则A \cap B =A. \{2,3,4\}B. \{2,3,4,5\}C. \{3,4\}D. \{4\}3. 若函数f(x)=x^3-3x^2+2x-5 上任意两点x_1,x_2 处的切线斜率之差为9,则f(x) 在x=1 处的导数为A. -3B. -5C. 1D. 34. 若\triangle ABC 中,\angle A=60^{\circ},\angleB=45^{\circ},AB=2,则\sin C =A. 1/\sqrt{2}B. \sqrt{3}/2C. 1/2D. 2/\sqrt{3}5. 若函数f(x)=ax^2+bx+c,且f(0)=5,f(1)=1,f(2)=7,则a+b+c=A. 3B. -3C. 4D. -46. 若a,b,c 是等比数列,且a=2,c=32,则b=\underline{\hskip 2cm}.7. 设A,B 为两线性无关的2\times2 矩阵,则cA + dB = I的条件是c= \underline{\hskip 2cm},d= \underline{\hskip 2cm}.9. 已知函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1,求f(x) 的增减性和极值点.10. 设P 是椭圆\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 上一点,F_1(-c,0),F_2(c,0) 是椭圆的两个焦点,PF_1+PF_2 的最小值为多少?第三篇示例:2023全国高中数学竞赛试题在数学领域,竞赛是提高学生数学能力的一种重要方式。

高中数学竞赛试题及答案

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高中数学竞赛试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 下列哪个数不是有理数?A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1,求f(-2)的值。

A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5,它的面积是多少?A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3,公差为2,求第5项的值。

A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根?A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题(每题4分,共20分)6. 一个三角形的内角和为______度。

7. 若a,b,c是三角形的三边,且a^2 + b^2 = c^2,则此三角形是______三角形。

8. 一个正六边形的内角为______度。

9. 将一个圆分成4个扇形,每个扇形的圆心角为______度。

10. 若sinθ = 1/2,且θ在第一象限,则cosθ = ______。

三、解答题(每题10分,共65分)11. 证明:对于任意实数x,等式e^x ≥ x + 1成立。

12. 解不等式:2x^2 - 5x + 3 > 0。

13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2,求前n项和Sn。

14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a > b > 0),求椭圆的焦点坐标。

四、附加题(10分)16. 一个圆内接正六边形的边长为a,求圆的半径。

答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明:设g(x) = e^x - (x + 1),则g'(x) = e^x - 1。

当x < 0时,g'(x) < 0,当x > 0时,g'(x) > 0。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个数是无理数?A. 2B. πC. 0.5D. √4答案:B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案:A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7,求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案:A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案:A二、填空题(每题5分,共20分)5. 已知等比数列的公比为2,首项为1,求第5项的值。

答案:326. 已知向量a = (3, -4),向量b = (-2, 3),求向量a与向量b的点积。

答案:-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案:18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9,求圆心坐标。

答案:(2, 3)三、解答题(每题10分,共60分)9. 求证:对于任意正整数n,n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明:设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2,其中k为整数。

当n = 3k时,n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1),能被3整除。

当n = 3k + 1时,n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2),能被3整除。

当n = 3k + 2时,n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4),能被3整除。

因此,对于任意正整数n,n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x,求f(x)的单调区间。

解:首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

高一数学竞赛试题

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高一数学竞赛试题一、选择题1、若A={3,4,5},B={1,2},f为集合A到集合B的映射,则这样的映射f的个数为()A、8个B、6个C、9个D、12个2、已知I=R,A={x||x-a|≤2},B={x||x-1|≥3}且A∩B= ,则实数a的取值范围是()A、0≤a≤2B、0<a<2C、0≤a≤1D、0<a<13、已知函数,则它的定义域是()A、[-2,0)∪(0,2]B、C、D、(0,2]4、函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上递增,n=f(a2+a+1),则m,n的大小关系是()A、m>nB、m<nC、a>0时,m>nD、不能确定5、设a、b、c 分别是方程的实数根,则()A、a>b>cB、b>a>cC、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2,且g(b)=a,则f(2)=()A、a2B、2C、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2,且g(b)=a,则f(2)=()A、a2B、2C、D、7、数的大小顺序为()A、a>b>cB、a<b<cC、a<c<bD、c<a<b8、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在100个小伙子中如果某人不亚于其它99人,就称它为棒小伙子,那么,100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()A、1个B、2个C、50个D、100个[答案]二、填空题9、如果质数p、q满足关系式3p+5q=31,那么= ___________.10、非空集合则具备这样性质的集合s共有______个.11、若,则a0+a2+a4+a6=______.12、一个学校中有2001个学生,每人都学习法语或西班牙语,其中学习西班牙语的学生数在总人数中所占的比例介于80%与85%之间;学习法语的学生数在总人数中所占的比例介于30%与40%之间,设两门都学的学生数的最小值为m,最大值为M,则M-m的值为_____________.[答案]三、解答题13、设-1≤x≤0,求函数y=2x+2-3×4x的最大值及最小值.[解答]14、已知A={x|x2-7x+10≤0},B={x|x2+ax+b<0},且A∩B≠,A∪B={x||x-3|<4≤2x},写出集合s={x|x=a+b}.[解答]15、设其中a i∈N(i=1,2,3,4,5),a1<a2<a3 <a4<a5,且A∩B={a1,a4},a1+a4=10,又A∪B元素之和为224,求A.[解答]16、函数f(n)是定义在正整数集上,并取非负整数值,且对所有m,n,有f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1,以及f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333,求f(1982).[解答]。

数学竞赛试题及答案高中生

数学竞赛试题及答案高中生

数学竞赛试题及答案高中生试题一:代数问题题目:已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根,求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。

解答:根据韦达定理,对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \),其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。

因此,对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \),我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。

由于 \( a \) 是方程的一个根,我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

试题二:几何问题题目:在一个直角三角形中,已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米,求斜边的长度。

解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出,公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

将给定的边长代入公式,我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。

试题三:数列问题题目:一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \),公差 \( d = 2 \),求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。

解答:等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \),其中\( n \) 是项数。

将给定的值代入公式,我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。

试题四:组合问题题目:从 10 个不同的球中选取 5 个球,求不同的选取方式有多少种。

高一数学竞赛试题及答案

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高一数学竞赛试题及答案一、选择题(每题5分,共30分)1. 若a,b,c是三角形的三边长,且满足a² + b² = c²,那么这个三角形是:A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是:A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3},B = {2, 3, 4},求A∪B的元素个数:A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3,公差d = 2,第10项a₁₀的值是:A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9,圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是:A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行,那么k的值是:A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题(每题4分,共20分)7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4),则a =_______。

8. 已知等比数列的首项为2,公比为3,第5项的值为 _______。

9. 一个正六边形的内角和为 _______。

10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切,则b = _______。

11. 圆的方程为x² + y² = 25,圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。

三、解答题(每题25分,共50分)12. 已知直线l₁:2x - 3y + 6 = 0与直线l₂:x + y - 2 = 0相交于点M,求点M的坐标。

13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2,求证:对于任意的x > 0,都有f(x) > x。

高中数学竞赛试题

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高中数学竞赛试题一、选择题(每题5分,共50分)1. 若一个等差数列的首项为3,公差为4,那么它的第10项是多少?A. 37B. 41C. 43D. 472. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6,求f(x)的极值点。

A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 43. 一个圆的半径是5cm,求圆的面积(π取3.14)。

A. 78.5平方厘米B. 154平方厘米C. 78.5平方厘米D. 157平方厘米4. 若a, b, c是等比数列,且a + b + c = 0,那么b^2是多少?A. acB. -acC. a^2D. -a^25. 在直角坐标系中,点A(2,3)和点B(-2,-1)之间的距离是多少?A. 2√13B. √13C. 2√5D. √376. 已知一个等边三角形的边长为4cm,那么它的高是多少?A. 2√3 cmB. 4√3 cmC. √3 cmD. 2 cm7. 一个圆的周长是20π cm,那么它的直径是多少?A. 10 cmB. 20 cmC. 30 cmD. 40 cm8. 已知一个二次函数y = ax^2 + bx + c在点x = 2时取得最小值,且a > 0,那么a + b + c等于多少?A. -2B. 0C. 2D. 49. 若一个圆的面积是100π平方厘米,那么这个圆的半径是多少?A. 10 cmB. 5 cmC. 20 cmD. 50 cm10. 一个等差数列的前5项和为35,公差为3,求这个数列的首项。

A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题(每题5分,共50分)11. 若一个等差数列的前3项和为9,公差为2,那么它的首项是_______。

12. 已知函数g(x) = |x - 3| + |x - 5|,求g(x)的最小值是_______。

13. 在直角坐标系中,直线y = 2x + 5与x轴的交点的x坐标是_______。

高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案

高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案

高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案一、选择题(本题满分30分,每小题5分)已知关于x 的方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根,则实数a 的取值范围(A )(A )(B )(C )(D ) 解.利用数形结合,容易得出实数a 的取值范围a 1故选A 2.当直线所围成的图形的面积是(D)(A) (B)4 (C)9 (D)16解:直线方程可变为(x-1)cos +(y-1)sin =4于是求出点A (1,1)到直线的距离d=,所以当直线=+所围成的图形是以点A 为圆心,以4为半径的圆,从而所围成的图形的面积是16.故选D 3.数列{a n }中,相邻两项a n ,a n+1是方程x 2+3nx+b n =0的两根,已知a 10=-17.则b 51的值等于(B) (A )5800(B )5840(C )5860(D )6000解:∵a n +a n+1=-3n ,∴a n+2-a n =(a n+2+a n+1)-(a n+1+a n )=-3(n+1)-(-3n)=-3∴a 1,a 3,…,a 2n+1和a 2,a 4,…,a n 都是公差为-3的等差数列,∴{}1≥a a {}11-≤≥a a a 或{}11>-<a a a 或{}10<<a a ≥,取遍全体实数时ϑ)4sin(24sin cos πϑϑϑ++=+y x ππππϑϑ4sin cos 422=+ϑϑ,时R ∈ϑϑϑsin cos y x +4)4sin(2πϑ+πa 52=a 10+21(-3)=-80a 51=a 11+20(-3)∵a 10+a 11=-30∴a 11=-13∴a 51=-73,b 51=a 51·a 52=5840故选B4.已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数,且,,则的值等于(D)(A )2(B )1(C )0(D )解:由题意:, ∴a 、b 是方程的两根,∴,∴∴=.故选D5.设函数f(x)=,如果f()=,那么的值等于(C)(A )3(B )7(C )(D )解:取x=,有f()= 而当=时有x=所以故选C6、已知p,p+14,p+q 都是质数,并且p 有唯一的值和它对应,则q 只能取(A) A40B44C74D86解:q 只能取40。

高中数学竞赛赛题精选(带答案)

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高中数学竞赛赛题精选一、选择题(共12题)1.定义在R 上的函数()y f x =的值域为[m,n ],则)1(-=x f y 的值域为( ) A .[m,n ]B .[m-1,n-1]C .[)1(),1(--n f m f ]D .无法确定解:当函数的图像左右平移时,不改变函数的值域.故应选A.2.设等差数列{n a }满足13853a a =,且n S a ,01>为其前n 项之和,则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解:设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大,只须n a ≥0,即n ≤20.故应选C.3.方程log 2x=3cosx 共有( )组解.A .1B .2C .3D .4解:画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像,研究其交点情况可知共有3组解.应选C .4.已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大,另一个根比1小,则()A.11<<-a B.1-<a 或1>aC.12<<-aD.2-<a 或1>a解:令f(x)= ()2122-+-+a x a x ,其图像开口向上,由题意知f(1)<0,即 ()211122-+⨯-+a a <0,整理得022<-+a a ,解之得12<<-a ,应选C .5.已知βα,为锐角,,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α,则y 与x 的函数关系为( ) A .1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B .1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C .)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D .1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解: 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x , 得)1,53(∈x .故应选A. 6.函数sin y x =的定义域为[],a b ,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a-的最大值是( )A. πB. π2C.34πD. 35π解:如右图,要使函数sin y x =在定义域[],a b 上,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7.设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根,则的弧度数为 ( )A .6B .12或512C .6或512D .12解:由方程有重根,故14=4cos 2-cot =0,∵ 0<<2,2sin2=1,=12或512.选B . 8.已知M={(x ,y )|x 2+2y 2=3},N={(x ,y )|y=mx+b }.若对于所有的m ∈R ,均有M ∩N ,则b 的取值范围是 ( )A .[-62,62] B .(-62,62) C .(-233,233] D .[-233,233] 解:点(0,b )在椭圆内或椭圆上,2b 2≤3,b ∈[-62,62].选A .9.不等式log 2x -1+12log 12x 3+2>0的解集为A .[2,3)B .(2,3]C .[2,4)D .(2,4] 解:令log 2x=t ≥1时,t -1>32t -2.t ∈[1,2),x ∈[2,4),选C .10.设点O 在ABC 的内部,且有+2+3=,则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A .2B .32C .3D .53解:如图,设AOC=S ,则OC 1D=3S ,OB 1D=OB 1C 1=3S ,AOB=OBD=1.5S .OBC=0.5S ,ABC=3S .选C .11.设三位数n=,若以a ,b ,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( )A .45个B .81个C .165个D .216个 解:⑴等边三角形共9个;⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a ,b ),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b <a <2b .a=9或8时,b=4,3,2,1,(8种);a=7,6时,b=3,2,1(6种);a=5,4时,b=2,1(4种);a=3,2时,b=1(2种),共有20种不能取的值.共有236-20=52种方法,而每取一组数,可有3种方法构成三位数,故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数.选C .12.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆圆心,AB ⊥OB ,垂足为B ,OH ⊥PB ,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长为 ( )A .53 B .253 C .63 D .263解:AB ⊥OB ,PB ⊥AB ,AB ⊥面POB ,面PAB ⊥面POB .OH ⊥PB ,OH ⊥面PAB ,OH ⊥HC ,OH ⊥PC ,又,PC ⊥OC ,PC ⊥面OCH .PC 是三棱锥P -OCH 的高.PC=OC=2.而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形).当OH=2时,由PO=22,知∠OPB=30,OB=PO tan30=263.又解:连线如图,由C 为PA 中点,故V O -PBC =12V B -AOP ,S B 11OABCABPO H C而V O -PHC ∶V O -PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB ).记PO=OA=22=R ,∠AOB=,则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2,V B -PCO =124R 3sin2. PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2.V O -PHC =sin23+cos2112R 3. ∴ 令y=sin23+cos2,y=2cos2(3+cos2)-(-2sin2)sin2(3+cos2)2=0,得cos2=-13,cos =33, ∴ OB=263,选D .二、填空题(共10题)13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若510S =,105S =-,则公差为 解:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+,,545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+,,1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21),,它的反函数的图象经过点(28),,则b a +等于 4 .解:由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩,, 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩,解之得 1131a b =⎧⎨=⎩,; 2224.a b =-⎧⎨=-⎩,(舍去). 故a b +等于4.15.已知函数()y f x =的图象如图,则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-, .解: 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>,所以()2lg 6200x x -+<. 于是,由图象可知,2111x x +≤-,即 201x x +≤-,解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-,.16.圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 .解:原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ,即=2|3|2+-y x .所以动点),(y x 到定点(31)-,的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2.故此动点轨迹为双曲线,离心率为2.17.在ABC ∆中,已知3tan =B ,322sin =C ,63=AC ,则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解:在ABC ∆中,由3tan =B 得︒=60B .由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==.因为︒>60322arcsin,所以角C 可取锐角或钝角,从而31cos ±=C .sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <,命题Q : 对任何x ∈R ,都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立,则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解:由a a <2得10<<a .由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立,得04162<-=∆a ,即2121<<-a .因为命题P 、Q 有且仅有一个成立,故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a .19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 . 解:22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =,且对任意的x R ∈,都有1()2f x '<,则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 . 解:令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚-x ,由f '(x ) <1/2得,2f '(x ) -1<0,即'g ﹙x ﹚<0,g(x)在R 上为减函数,且g(1)=2f(1)-1=3,不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3,即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得:log2X<1,解得,0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=,(1,0)A ,在圆O 上取一个动点B ,设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=.则P 点的轨迹方程为 .解:设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1),ky),(λ=k1)。

高中数学奥林匹克竞赛试题

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高中数学奥林匹克竞赛试题高中数学奥林匹克竞赛试题一、选择题(共20小题,每小题2分,共40分。

从每题四个选项中选择一个正确答案,将其标号填入题前括号内)1. 已知函数f(x) = 2x^2 + bx + c, f(1) = 5, f(2) = 15,则b + c的值是:A. 4B. 6C. 8D. 122. 设等差数列{an}的公差为d,已知a₁ + a₃ + a₅ = 9d,a₂ + a₄ + a₆= 15d,则a₇的值为:A. 8dB. 9dC. 10dD. 11d3. 若复数z = a + bi满足|z - 1| = |z + 1|,则a的值为:A. -1B. 0C. 1D. 24. 若直线y = kx + m与椭圆(x + 2)²/9 + y²/16 = 1相交于点P,请问此时P点的横坐标x的取值范围是:A. [0, -4/3]B. [0, -2]C. (-∞, -2]D. (-∞, 0]5. 已知正整数a、b满足a + b = 10,ab = 15,则a/b的值是:A. 1/2B. 2/3C. 3/2D. 3/5二、填空题(共10小题,每小题4分,共40分)6. 若正整数x满足5x ≡ 15 (mod 17),则x的最小正整数解为_______。

7. 在平面直角坐标系中,一次函数y = kx + c经过点(1, 2),且该直线与x轴交于点(3, 0),则k的值为_______。

8. 设二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴交于A、B两点,若A、B两点间的距离为10,且判别式Δ = b² - 4ac > 0,则a/b的值为_______。

9. 设U为自然数集合,函数f: U → U满足f(f(f(x)))) = 1 + x,则f(2019)的值为_______。

10. 若平面上直线y = kx + 1与曲线y = x² + 2x相切于点P,请问k的取值范围是_______。

高中数学竞赛试题及答案

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高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3,直线l2过点(1,5)且与l1垂直,则l2的方程是:A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案:C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2},则A的值是: A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案:D二、填空题1.若a、b满足a+b=5,且ab=6,则a和b的值分别是____。

答案:2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V,且V>0,则该几何体的体积V的值为____。

答案:1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2 = an + 2n,求数列的通项公式。

解答:首先给出数列的前几项: a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到,第n项的值为n^2 - 1。

所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。

2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2,求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。

解答:对于任意x,有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。

令f’(x) = 0,可以解得x = 1。

再求f’‘(x) = 6x - 6,当x = 1时,f’’(x) = 0。

所以x = 1是f(x)的极小值点。

代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。

所以f(x)的最小值是-2,取得最小值时的x值为1。

四、简答题1.数列的极限是什么?如何判断一个数列的极限存在?答:数列的极限是指当项数趋向无穷大时,数列的项的值趋向的一个确定的数。

高中数学竞赛试题及答案

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高中数学竞赛试题及答案试题(一)一、 ABC ∆为等边三角形,P 为其内一动点,且120APC ∠=。

AP 交BC 于N 、CP交AB 于M 。

求BMN ∆外心O 的轨迹。

(12分)二、 任意选24个相异且小于88的正奇数,试证:其中必有两个数它们的和是90。

(12分)三、 试证:对实数,,,0a b c d ≥,()()()()()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。

(12分) 四、定义:设A 是二阶整系数方阵,若存在二阶整系数方阵B ,使得1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦,则称A 可逆。

(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。

试证:A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。

(2) 设A , B 均为二阶整系数方阵,且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可逆,试证:5A B +亦可逆。

试题(二) 一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭,试求A 。

(5分)二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。

求方程 22[2]2[][]x x x x -+=在03x ≤<内所有实数解。

(5分)三、设a 和b 为实数,且使方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根,对所有这种数对(,)a b ,求出22a b +的最小可能值。

(6分)四、令N 为自然数集,若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =,求(54)f 。

(5分)试题(一)解答一、 【解】令G 为ABC ∆的外心。

因120MPN APC ∠=∠=与B ∠互补,P 在BMN ∆的外接圆上。

因120APC AGC ∠=∠=,A 、P 、G 、C 共圆,且30CPG CAG ∠=∠=。

高中数学竞赛赛题精选(带答案)

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高中数学竞赛赛题精选一、选择题(共12题)1.定义在R 上的函数()y f x =的值域为[m,n ],则)1(-=x f y 的值域为( ) A .[m,n ]B .[m-1,n-1]C .[)1(),1(--n f m f ]D .无法确定解:当函数的图像左右平移时,不改变函数的值域.故应选A.2.设等差数列{n a }满足13853a a =,且n S a ,01>为其前n 项之和,则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解:设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大,只须n a ≥0,即n ≤20.故应选C.3.方程log 2x=3cosx 共有( )组解.A .1B .2C .3D .4解:画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像,研究其交点情况可知共有3组解.应选C .4.已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大,另一个根比1小,则()A.11<<-a B.1-<a 或1>aC.12<<-aD.2-<a 或1>a解:令f(x)= ()2122-+-+a x a x ,其图像开口向上,由题意知f(1)<0,即 ()211122-+⨯-+a a <0,整理得022<-+a a ,解之得12<<-a ,应选C .5.已知βα,为锐角,,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α,则y 与x 的函数关系为( ) A .1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B .1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C .)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D .1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解: 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x , 得)1,53(∈x .故应选A. 6.函数sin y x =的定义域为[],a b ,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a-的最大值是( )A. πB. π2C.34πD. 35π解:如右图,要使函数sin y x =在定义域[],a b 上,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7.设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根,则的弧度数为 ( )A .6B .12或512C .6或512D .12解:由方程有重根,故14=4cos 2-cot =0,∵ 0<<2,2sin2=1,=12或512.选B . 8.已知M={(x ,y )|x 2+2y 2=3},N={(x ,y )|y=mx+b }.若对于所有的m ∈R ,均有M ∩N ,则b 的取值范围是 ( )A .[-62,62] B .(-62,62) C .(-233,233] D .[-233,233] 解:点(0,b )在椭圆内或椭圆上,2b 2≤3,b ∈[-62,62].选A .9.不等式log 2x -1+12log 12x 3+2>0的解集为A .[2,3)B .(2,3]C .[2,4)D .(2,4] 解:令log 2x=t ≥1时,t -1>32t -2.t ∈[1,2),x ∈[2,4),选C .10.设点O 在ABC 的内部,且有+2+3=,则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A .2B .32C .3D .53解:如图,设AOC=S ,则OC 1D=3S ,OB 1D=OB 1C 1=3S ,AOB=OBD=1.5S .OBC=0.5S ,ABC=3S .选C .11.设三位数n=,若以a ,b ,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( )A .45个B .81个C .165个D .216个 解:⑴等边三角形共9个;⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a ,b ),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b <a <2b .a=9或8时,b=4,3,2,1,(8种);a=7,6时,b=3,2,1(6种);a=5,4时,b=2,1(4种);a=3,2时,b=1(2种),共有20种不能取的值.共有236-20=52种方法,而每取一组数,可有3种方法构成三位数,故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数.选C .12.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆圆心,AB ⊥OB ,垂足为B ,OH ⊥PB ,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长为 ( )A .53 B .253 C .63 D .263解:AB ⊥OB ,PB ⊥AB ,AB ⊥面POB ,面PAB ⊥面POB .OH ⊥PB ,OH ⊥面PAB ,OH ⊥HC ,OH ⊥PC ,又,PC ⊥OC ,PC ⊥面OCH .PC 是三棱锥P -OCH 的高.PC=OC=2.而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形).当OH=2时,由PO=22,知∠OPB=30,OB=PO tan30=263.又解:连线如图,由C 为PA 中点,故V O -PBC =12V B -AOP ,S B 11OABCABPO H C而V O -PHC ∶V O -PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB ).记PO=OA=22=R ,∠AOB=,则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2,V B -PCO =124R 3sin2. PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2.V O -PHC =sin23+cos2112R 3. ∴ 令y=sin23+cos2,y=2cos2(3+cos2)-(-2sin2)sin2(3+cos2)2=0,得cos2=-13,cos =33, ∴ OB=263,选D .二、填空题(共10题)13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若510S =,105S =-,则公差为 解:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+,,545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+,,1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21),,它的反函数的图象经过点(28),,则b a +等于 4 .解:由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩,, 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩,解之得 1131a b =⎧⎨=⎩,; 2224.a b =-⎧⎨=-⎩,(舍去). 故a b +等于4.15.已知函数()y f x =的图象如图,则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-, .解: 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>,所以()2lg 6200x x -+<. 于是,由图象可知,2111x x +≤-,即 201x x +≤-,解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-,.16.圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 .解:原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ,即=2|3|2+-y x .所以动点),(y x 到定点(31)-,的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2.故此动点轨迹为双曲线,离心率为2.17.在ABC ∆中,已知3tan =B ,322sin =C ,63=AC ,则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解:在ABC ∆中,由3tan =B 得︒=60B .由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==.因为︒>60322arcsin,所以角C 可取锐角或钝角,从而31cos ±=C .sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <,命题Q : 对任何x ∈R ,都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立,则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解:由a a <2得10<<a .由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立,得04162<-=∆a ,即2121<<-a .因为命题P 、Q 有且仅有一个成立,故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a .19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 . 解:22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =,且对任意的x R ∈,都有1()2f x '<,则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 . 解:令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚-x ,由f '(x ) <1/2得,2f '(x ) -1<0,即'g ﹙x ﹚<0,g(x)在R 上为减函数,且g(1)=2f(1)-1=3,不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3,即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得:log2X<1,解得,0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=,(1,0)A ,在圆O 上取一个动点B ,设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=.则P 点的轨迹方程为 .解:设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1),ky),(λ=k1)。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \),求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值和最小值。

答案:首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \),令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。

计算 \( f(0) = 0 \),\( f(1) = 0 \),\( f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{27} \),\( f(3) = 6 \)。

因此,最大值为 6,最小值为 0。

2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2} \)。

答案:使用洛必达法则,首先求导得到 \( \frac{e^x + \sinx}{2x} \),再次求导得到 \( \frac{e^x + \cos x}{2} \)。

当 \( x \to 0 \) 时,极限为 \( \frac{1}{2} \)。

3. 证明不等式 \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots +\frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2} \ln 2 \) 对所有正整数 \( n \) 成立。

答案:利用调和级数的性质,将不等式左边的和表示为\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)。

通过放缩和积分估计,可以证明该不等式成立。

4. 已知三角形 \( ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B +C = \pi \),且 \( \sin A + \sin B + \sin C =\frac{3\sqrt{3}}{2} \),求 \( \cos A + \cos B + \cos C \) 的值。

答案:利用三角恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) 和\( \sin x \) 的和为 \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \),通过平方和展开,可以求得 \( \cos A + \cos B + \cos C = -\frac{3}{2} \)。

高中数学竞赛试题三套

高中数学竞赛试题三套

问题一:(1)设L 为椭圆22221x y a b+=之一条切线,若L 的斜率为m ,试证:L 的方程式为y mx =±(8分)(2)求椭圆2255x y +=与圆22(2)5x y ++=之所有公切线的方程式。

(8分)(合计16分)问题二:设△ABC 满足AC AB =。

若点是△ABC 的内部一点,且 30=∠ACP 、PBC PCB ∠=∠2。

若直线CP 与中线AD 交于点F ,试证:AP 是△AFC的一内角平分线。

(16分)D CB问题三:设数列{}n a 满足:121a a == 及21121n n n na a a a +++++=,1,2,n ∀=.试证:数列{}n a 中任意相邻两项都是互质的整数。

(17分)1. 在(1)n x +的升幂展开式中,若第五项、第六项、第七项之系数成等差数列,则n 之所有可能值为 。

2. 已知等腰梯形ABCD 中,两底长的和为6,且两对角线所夹的锐角为60,则ABCD 的面积为 。

3. 设{}n a 为一数列,且()20101n a n n =--。

试问n 的值为 时,则12na a a n+++有最小值。

4. 将自然数依序由1,2,3,写出2010位数1234567891011121314151617181920试问此2010位数的末5位数字为 。

5. 设α为一正整数,则α的值为 。

6. 若锐角θ满足下述等式:()()2221cos sin 1sin 2sin cos 32sin cos θθθθθθθ-=+++- 则θ为 度。

7. 若二实数a 与b 满足18323=-ab a 与26332=-b b a ,则22b a +之值为 。

【试题一】设数列{}n T 满足()()0221 0 1 10 n n n n T T T n T T n +⎧=⎪=≥⎨⎪=-≥⎩;; 。

(1) 求1025T 的值。

(2) 试证明:数列{}n T 任意相邻六项中之第1、3及5项不会都相等。

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数学竞赛训练题
1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。

2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和,且2412-+=n n T S n n ,则=+++15
61118310b b a b b a _______。

3、若函数()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=x a x x f a 4log 在区间上为增函数,则a 的取值范围是为_______。

4、在四面体ABCD 中,已知DA ⊥平面ABC ,△ABC 是边长为2的正三角形,则当二面角A-BD-C 的正切值为2时,四面体ABCD 的体积为_______。

5、已知定义在R 上的函数()x f 满足:
(1)()11=f ; (2)当10<<x 时,()0>x f ;
(3)对任意的实数x 、y 均有()()()()y f x f y x f y x f -=--+12。

则=⎪⎭⎫ ⎝⎛31f _______。

6、已知x 、y 满足条件484322=+y x ,则542442222++-+++-+y x y x x y x 的最
大值为_______。

7、对正整数n ,设n x 是关于x 的方程nx 3
+2x-n=0的实数根,记()[]()11>+=n x n a n n (符号表示不超过x 的最大整数),则()=++++20114321005
1a a a a _______。

8、在平面直角坐标系中,已知点集I={(x ,y )|x 、y 为整数,且0≤x ≤5,0≤y ≤5},则以
集合I 中的点为顶点且位置不同的正方形的个数为_______。

9、若函数()x x x x f 2cos 24sin sin 42+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=π。

(1)设常数0>w ,若函数()wx f y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
32,2ππ上是增函数,求w 的取值范围; (2)集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=326ππx x
A ,(){}
2<-=m x f x B ,若B B A =⋃,求实数m 的取值范围。

10、已知F 1、F 2分别是椭圆C :13
42
2=+y x 的左、右焦点,点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)在椭圆C 上,若x 1+x 2=
21,且B F AF 22λ=,求λ的值。

11、已知二次函数()()a b c c bx ax x f >>++=22,其图象过点(1,0),并与直线a y -=有公共点,求证:10<≤
a
b 。

12、已知()1--=x e x f x 。

(1)求证:()0≥x f 恒成立;
(2)求证:+⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 23+⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 251
212-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+e e n n n
对一切正整数n 均成立。

答案:
1、
89;2、78
41;3、(]4,1;4、2; 5、2
1;6、138+;7、2013;8、105; 9、(1)430≤<w ;(2)41<<m 。

10、12ex a AF -=, 22ex a BF -= ,由x 1+x 2=
21,得θ22cos 12415e ep AB -==, 得54cos 2=θ;θcos 12e ep AF -=,θcos 12e ep BF +=,所以2
5322±==BF AF λ。

11、()021=++=c b a f ,a b c >>,022=+++a c bx ax 有解。

得021=++a c a b ,04422
≥--⎪⎭
⎫ ⎝⎛a c a b ,1<<a b a c 。

得10<≤a b 。

12、(1)略;(2)放缩法,令 +++=-=------25232112111e e e e e e e ,再逐项比较,利用导数知识解决。

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