华东师范大学2004数学分析试题

华东师范大学2004数学分析试题

华东师范大学2004数学分析

一、（30分）计算题。 1、求

2

1

20)2

(cos lim x x x x -→

2、若)),

sin(arctan 2ln x x e y x

+=-求'

y .

3、求

⎰--dx

x xe x

2)1(.

4、求幂级数∑∞

=1

n n

nx 的和函数)(x f . 5、

L

为过

)

0,0(O 和

)0,2

(π

A 的曲线

)

0(sin >=a x a y ,求

⎰+++L

dy y dx y

x .

)2()(3

xdx

a x da dy x a y cos sin ,sin ===

6、求曲面积分⎰⎰++S

zdxdy dydz z x )2(,其中)

10(,22

≤≤+=z y x

z ,

取上侧.

.

二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）

1、若},,2,1,{ =n x n

是互不相等的非无穷大数列，则}

{n

x 至少存在一个聚点).

,(0

+∞-∞∈x

2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连

续. 3、若

)

(x f ,

)

(x g 在]

1,0[上可积，则

∑⎰=∞→=-n i n dx

x g x f n i g n i f n 1

10)()()1()(1lim .

4、若∑∞=1n n

a 收敛，则∑∞

=1

2n n

a 收敛.

5、若在

2

R 上定义的函数

)

,(y x f 存在偏导数

),(y x f x ,)

,(y x f y 且),(y x f

x

,

)

,(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在

(0,0)上可微.

6、),(y x f 在2

R 上连续,}

)

()(|),{(),(22

2

r y y x x y x y x D r

≤-+-=

若⎰⎰=>∀∀r

D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(0

0 则.),(,0),(2

R y x y x f ∈=

三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞

→

求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。 四、（15分）求证不等式:].

1,0[,122∈+≥x x x

五、设)

(x f

n

,

,2,1=n 在],[b a 上连续,且)

(x f

n

在],[b a 上一致

收敛于

)

(x f .若

]

,[b a x ∈∀,

)(>x f .求证:

,

0,>∃δN 使

],[b a x ∈∀,

N

n >,.

)(δ>x f

n

六、（15分）设}{n

a 满足（1）;

,2,1,1000 ++=≤≤k k n a a n k

（2）级数∑∞

=1

n n a 收敛.

求证:0

lim =∞

→n

n na

.

七、（15分）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证：

x

x f )(在),1[+∞上有界.

八、（15分）设),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在3

R 有连续偏导数，而且对以任意点)

,(00,

0z y x 为中心，以任意正数r

为半径的上半球面,

,)()()(:02202020z z r z z y y x x S

r

≥=-+-+-

恒有⎰⎰r

S .0),,(),,(),,(=++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P

求证:

.

0),,(),,(,0),,(),,,(=+=∀z y x Q z y x P z y x R z y x y x