数字积分插补

DDA圆弧插补与直线插补的主要区别有两 点： 一是坐标值x、y存入被积函数器JVX、JVY 的对 应关系直线不同，即x不是存入JVX而是存入 JVY 、y不是存入JVY而是存入JVX；
二是JVX、JVY寄存器中寄存的数值与DDA直线插补有 本质的区别： 直线插补时，JVX（或JVY ）寄存的是终点坐标xe （或ye），是常数，而在DDA圆弧插补时寄存的是 动点坐标，是变量。因此在插补过程中，必须根据 动点位置的变化来改变JVX和JVY中的内容。在起点 时， JVX和JVY分别寄存起点坐标y0、x0。对于第一 象限逆圆来说，在插补过程中， JRX每溢出一个 △Y脉冲， JVx应该加1； JVx每溢出一个△X脉冲， JVY应减1。对于其他各种情况的DDA圆弧插补， JRX和JVY是加1还是减1，取决于动点坐标所在象限 及圆弧走向。
运算。当两个计数器均为零时，圆弧插补结束。
Y
次序
JVX (Yi)
0 1 2 3 4 5 000 000 000 001 001 001 010 011 011 011 100 100 100 101 101 101 101 101 101
X积分器
JRX
000 000 000 001 010 100 111 010 110 010 111 001 001 110 011
JVY (Xi)
101 101 101 101 101 101 101 101 100 100 011 011 010 010 001 001 001 000
JRY
000 101 010 111 100 001 110 011 111 011
△Y
0 0 1 0 1 1 0 1 0 1
X
4. DDA 圆 弧 插 补 举 例
6 7 8 9 10 11 12 13 14
修正Xi 修正Xi
结束
（4）进给速度的均匀化措施 ——左移规格化
ì D x = kxeD t ï ï í ï D y = kyeD t ï î
各坐标轴的位移量为 n t ì ï ï x= ï ò0 kxe dt = k å= 1 xeD t ï i ï í n ï ï y = t ky dt = k ï å= 1 yeD t ò0 e ï ï i î
所以，动点从原点走向终点的过程，可以看作是各坐标 ky 轴每经过一个单位时间间隔 D t ，分别以增量kxe、 e 同 时累加的过程。据此可以作出直线插补原理图，
可满足
因此，累加次数n为
1 n = = 2N k
如果将
xe 累加m次以后x的积分值应为
x=
å
m
i= 1
xe mxe = n n 2 2
当累加值大于2N -1时，便发生溢出，而余数仍存 放在累加器中。
积分值=溢出脉冲数代表的值+余数
当两个积分累加器根据插补时钟脉冲同步累加时，
用这些溢出脉冲数（最终X坐标接收Xe个脉冲、Y
圆弧插补时，是对切削点的即时坐标Xi与Yi的数值分 别进行累加
特点是：
1) 各累加器的初始值为零，各寄存器为起点坐标值； 2) X被寄函数积存器存Yi ,Y被寄函数积存器存Xi，为动点 坐标； 3) Xi 、 Yi在积分过程中，产生进给脉冲△X、△Y时，要 对相应坐标进行加1或减1的修改； 4) DDA圆弧插补的终点判别要有二个计数器，哪个坐标终 点到了，哪个坐标停止积分迭代； 5) 与DDA直线插补一样，JVX、JVY中的值影响插补速度。
ky 和 e
向
各自的累加器里累加一次，累加的结果有无溢出 脉冲 （ 或 ），取决于累加器的容量和 e kx
或 kye 的大小。
假设经过n次累加后（取D t =1）， x和y分 别（或同时）到达终点（ xe， e），则下式成 y
n ì ï ï x = å kxeD t = kxe n = xe ï ï i= 1 ï í n ï ï y= ï å= 1 kyeD t = kye n = ye ï ï i î nk＝1，即n＝1/k 上式表明比例常数k和累加次数n的关系， 由于n必须是整数，所以k一定是小数。
立
K的选择主要考虑每次增量 或 不大于1，以 保证坐标轴上每次分配进给脉冲不超过一个，也 就是说，要使下式成立
ì D x = kxe < 1 ï ï í ï D y = kye < 1 ï î
若取寄存器位数为N位，则 xe 及 ye 的最大寄存器 容量为2N-1，故有
若取寄存器位数为N位，则 xe及 ye 的最大寄存器 容量为2N-1，故有
说明：
1.直线的数字积分插补器由两个数字积分器组成， 其被积函数寄存器中存放终点坐标值Xe和Ye ，△t 相当于插补控制源发出的控制信号。 2.每发出一个插补迭代脉冲，就控制被积函数Xe 和Ye向各自的积分累加器相加一次。 3.取 k=1/2n ，2n ≧ max(Xe,Ye) 累加器为n位，最大存数为 2n -1，当计数满时必然 发生溢出。
来代替积分运算所引起的误差一般不会超过容
许的数值。
2)DDA直线插补
设XY平面内直线OA，起点（0， 0），终点为（Xe，Ye）， 如图所示。若以匀速V沿OA位移， 则v可分为动点在X轴和Y轴方向的 两个速度Vx、Vy，根据前述积分 原理计算公式，在X轴和Y轴方向 上微小位移增量 、 。应为
Y Y
坐标接收Ye个脉冲）分别控制相应坐标轴的运动， 加工出要求的直线。
终点判别 因为直线程序段需要进行2N次累加运算，进行2N 次累加后就一定到达终点，故可由一个与积分器 中寄存器容量相同的终点计数器 J E实现，其初值 为0。每累加一次，J E 加1，当累加2N 次后，产 生溢出，使 J E =0，完成插补。 累加次数、即插补循环数是否等于2N可作为 DDA法直线插补判别终点的依据。
溢出
JE
000 001 010
备 注
初始状态 第一次迭代 X溢出 Y溢出 X溢出 X溢出
1
011 100 101
6
7 8
101
101 101
110
011 000 1 1
011
011 011
010
101 000
1
110
111
Y溢出
X溢出 X,Y溢出
1
000
例2 插补第一象限直线OE，起点为O（0，0），
1
011 011
1 1 1
010 001 000
X、Y溢出 y溢出 X,Y溢出
1
011
3) DDA法圆弧插补 DDA法圆弧插补的积分表达式 由 V VX VY
R = Yi = Xi = K
Y B
VX = KYi
VY = KX i
V
Vx
Vy
P A X
令 则
Dt = 1
1 K= N 2
O
R
ì ï 1 m ïX= Yi ï N å ï 2 i= 1 ï í ï 1 m ïY = Xi ï N å ï 2 i= 1 ï î
DDA圆弧插补时，由于x、y方向到达终点的时间 不同，需对x、y两个坐标分别进行终点判断。
实现这一点可利用两个终点计数器JEX和JEY，把x、
y坐标所需输出的脉冲数|x0-xe|、|y0-ye|分别存入这 两个计数器中，x或y积分累加器每输出一个脉冲， 相应的减法计数器减1，当某一个坐标的计数器为 零时，说明该坐标已到达终点，停止该坐标的累加
4.把2n规定为单位1（相当于一个输出脉冲），
积分累加器中的数< 2n ，即为小于1的分数， 称之为积分余数。 例如将Xe 累加m次以后X的积分值为：
X e m Xe X n n 2 i 1 2
该数的整数部分表示溢出的脉冲数，而余数部分存放 在累加器中。这种关系可表示为： 积分值 = 溢出脉冲数 + 余数
X被积函数寄存器Xe
+
X t 插补迭代 控制脉冲 X积分累加器 X轴溢出脉冲 Y Y轴溢出脉冲
Y分累加器
+
Y被积函数寄存器Ye
平面直线插补器由两个数字积分器组成，每个坐 标的积分器由累加器和被积函数寄存器组成。终
点坐标值存在被积函数寄存器中t D
D 代脉冲（即来一个t
，相当于插补
控制脉冲源发出的控制信号。每发生一个插补迭 ），使被积函数 e kx
m
(4
直线的数字积分插补法
当两个坐标同步插补时，溢出脉冲数必 然符合该式，用它们去控制机床进给就可以 走出所需的直线轨迹。 当 插 补 迭 加 次 数 m=2n 时 ,X=Xe, Y=Ye.两坐标轴同时到达终点.
DDA直线插补软件流程
用DDA法进行插补时，x和y两坐标可同时进给， 即可同时送出 、 脉冲，同时每累加一次，要 J
0
此面积可以看作是许多长方形小面积之和，长 方形的宽为自变量 D t，高为纵坐标 yi 。 则S＝
＝
这种近似积分法称为矩形积分法，该公式又称
为矩形公式。数学运算时，如果取 D t=1
即一个脉冲当量，可以简化为：
S=
由此，函数的积分运算变成了变量求和运算。 如果所选取的脉冲当量足够小，则用求和运算
2.数字积分法插补
数字积分法：也称DDA法 (Digital Differential Analyzer) ，
它是建立在数字积分器基础上的一种插补算法，其最大特
点是易于实现多坐标插补联动，它不仅能实现平面直线、 圆弧的插补，而且还可实现空间曲线的插补，在轮廓控制 数控系统中得到广泛应用。以下首先介绍数字积分器的工 作原理，然后介绍数字积分法的直线和圆弧插补方法。
A(Xe,Ye)
V
△Y
△X
Vy y
O
X X
Vx
应为
对于直线函数来说，Vx、Vy、V和L满足下式： ì Vx xe ï ï = ïV ï L ï í ï Vy ï = ye ï ïV L ï î