圆锥曲线几何性质之离心率的求法
求离心率取值范围的八种方法-求离心率的方法总结
为 ， 焦点 到相 应 准 线 的 距 离 不 小 于 １ 则 该 椭 圆 的 离 ．
心 率 的 取值 范 围是 （
Ａ．（ ， ） １
）
Ｂ （ ） ． ０，
解 析 ： ｚ一 ２ Ｃ
解 析 ：设 Ｆ一目 由 Ｉ — ｌ ：２ ｌ ， ＰＦ１ ｌ ＰＦ２ １ ａ， ＰＦ】 一 ｌ
・
５ ・ ４
数 学教 育研 究
２１ ０ １年第 ４ 期
４ｊ ＰＦ
得Ｉ 警 ｌ 警． 目 ：Ｆ＝ ＇ ｌ ＇ 一 Ｐ Ｐ 一 ． Ｆ ２ 一ｓ
１ ７ ９
焦 点 Ｆ作 双 曲线 在 第 一 ， 象 限 的渐 近 线 的垂 线 ｚ若 ｚ 三 ． 与 曲 线 Ｃ的 两 支 各 有 一 个 交 点 ． 双 曲 线 离 心 率 的 取 求 值范围．
２ １ 年 第 ４期 ０１
数 学 教 育 研 究
・ ３ ５ ・
求 离 心率 取值 范 围的八 种方 法
方 海 兵 （ 安徽省太和县第八中学 ２６０） ３６０
离 ， 是 圆 锥 曲 线 的 一 个 重 要 性 质 ， 近 几 年 高 ｌ ｆ 率 在
． ・ ．
考 中频 繁 出现 ， 求 离 心 率 的 取 值 范 围 又 是 较 为 复 杂 而 的 一种 ， 面 介 绍 八 种 求 离 心 率 的 方 法 ， 大 家 参 考 ． 下 供
＜２
．
’ ． ．
２ ｅ＜ ５ ． √ 。 Ｐ ． ＜ 。 ‘ ＜√ ． ｌ ＜ ‘ 选 Ｂ ．故 ．
，
又 ・ ． ・
一 １ ．ａ － Ｃ ≥ ・ ２ ・ ≥ ２ ２ ．ｂ ≥ ．
圆锥曲线离心率的求法
离心率是圆锥曲线的一个几何性质.与圆锥曲线离心率有关的问题主要考查圆锥曲线的定义、性质以及离心率的公式，属于一类基础性的问题.求圆锥曲线离心率的关键是求得圆锥曲线方程中a、b、c的值或关系式.本文重点介绍求圆锥曲线离心率的三种方法，以供大家参考.一、公式法公式法是指运用公式e=c a求出离心率的方法.在解题时，我们可以根据已知条件以及圆锥曲线的标准方程、性质建立与a、c相关的关系式，结合圆锥曲线中a、b、c之间的关系求出a、c的值，然后利用公式e=ca求得离心率的大小.例1.过双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0的左顶点A作斜率为1的直线l，若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且||AB=||BC,则双曲线的离心率为____.解：由双曲线的方程可知a=1，∴点A()-1,0，∴直线l方程为y=x+1，∵双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0知两条渐近线分别为y=bx,y=-bx，∴Bæèöø-1b+1,b b+1，Cæèöø1b-1,b b-1，∵||AB=||BC，∴b2=9，c=b2+1=10，∴e=c a=10.我们首先根据双曲线的方程求出a的值，然后由B、C两点的坐标以及已知条件||AB=||BC建立关于b的式子，求得b、c的值，便可利用离心率公式求得问题的答案.二、齐次式法齐次式法是求圆锥曲线离心率的重要方法之一.齐次式法是指通过构建齐次式来解答问题的方法.有些问题中a、c的值不易直接求出，我们可以结合已知条件构造关于a、c的齐次式，通过解方程得到e=ca的值.例2.已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为____.解：结合题意绘制如图的图形，设||OF1=c，MF1的中点为P，∴点P的横坐标为-c2，∵||PF1=12||F1F2=c，由焦半径公式可得||PF1=-2x p-a，∴c=-c a×æèöø-c2-a，化简得c2-2a2-2ac=0，∴e2-2e-2=0，解方程得e1=1+3，e2=1-3()舍去，∴双曲线的离心率为1+3.在解答上题的过程中，需建立关于a、c的齐次式，再将其左右同除以a2，通过整理和化简得到关于e的一元二次方程，解方程便可求得e的值.三、定义法定义法是指利用圆锥曲线的定义求出离心率的方法.一般地，圆锥曲线的定义中都蕴含着a（动点到圆锥曲线上两焦点的距离之和或差）与c（焦点之间的距离）之间的关系.因此在求圆锥曲线的离心率时，我们可以根据圆锥曲线的定义绘制相应的图形，找出a、c对应的线段，建立关系式，便可求得圆锥曲线的离心率.例3.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点P在椭圆C,线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30∘，则椭圆的离心率为_____.解：∵线段PF1的中点在y轴上，F1F2的中点为点O，∴PF2//y轴，∴PF2⊥F1F2,∵∠PF1F2=30∘,∴在Rt△PF1F2中，||PF1:||PF2:||F1F2=2:1:3,∵2a=||PF1+||PF2,2c=|F1F2∴e=c a=2c2a=||F1F2||PF1+||PF2=.解答本题，需结合题意绘制出图形，通过解直角三角形PF1F2得到||PF1、||PF2、||F 1F2的关系式，结合椭圆的定义求得a与c的值以及e的值.公式法、齐次式法、定义法都是解答圆锥曲线离心率问题的有效方法.其中公式法和定义法是比较常用的方法，齐次式法虽然较为复杂，但能有效地简化运算.(作者单位:广东省惠州市博罗县石湾中学)解题宝典翟勇超38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。
二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。
1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ． 答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
曲线的离心率求法
圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+， （2）双曲线：222c b a =+3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解，或者带入曲线求解 （3）利用三角形的相似关系 （4）利用点线距离关系4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的坐标是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、考点一：求离心率 方法一：焦点三角形问题例1（1）：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．3 B ．6 C ．13 D ．16答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
高中数学圆锥曲线中离心率的14种求解方法
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。
本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。
每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。
方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。
对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。
这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。
方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。
当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。
当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。
这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。
方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。
通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。
这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。
方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。
通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。
这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。
方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。
通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。
这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。
方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。
求圆锥曲线离心率的几种方法
关于椭圆离心率设椭圆得左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P,使,求离心率e 得取值范围。
解法1:利用曲线范围 设P(x,y ）,又知,则将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()解法３:利用三角函数有界性 记||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有解法4:利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即解法5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||解法6:巧用图形得几何特性 由，知点Ｐ在以为直径得圆上。
又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点Ｐ 故有演练一、直接求出或求出a与ｂ得比值,以求解。
在椭圆中,,1、已知椭圆得长轴长就是短轴长得2倍,则椭圆得离心率等于_＿＿＿＿2、已知椭圆两条准线间得距离就是焦距得２倍,则其离心率为_____３、若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆得离心率为＿___4、已知矩形ＡBＣD,AＢ=4,BC＝3,则以Ａ、Ｂ为焦点,且过C、D两点得椭圆得离心率为＿__5、若椭圆短轴端点为满足,则椭圆得离心率为＿＿_6、、已知则当ｍｎ取得最小值时,椭圆得得离心率为_＿＿_７、椭圆得焦点为,,两条准线与轴得交点分别为,若,则该椭圆离心率得取值范围就是____＿＿_＿_8、已知F１为椭圆得左焦点,Ａ、B分别为椭圆得右顶点与上顶点，P为椭圆上得点,当ＰF1⊥F1A,PO∥AB(Ｏ为椭圆中心)时,椭圆得离心率为＿__＿_______9、P就是椭圆＋=1（a>b＞0)上一点,就是椭圆得左右焦点,已知椭圆得离心率为＿＿＿__10、已知就是椭圆得两个焦点,P就是椭圆上一点,若，则椭圆得离心率为____＿＿_１1、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴得弦长为，焦点到相应准线得距离为1,则该椭圆得离心率为_＿＿_＿__二、构造得齐次式,解出1.已知椭圆得焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆得离心率就是____２.以椭圆得右焦点F２为圆心作圆，使该圆过椭圆得中心并且与椭圆交于M、Ｎ两点,椭圆得左焦点为F1,直线ＭF１与圆相切，则椭圆得离心率就是____＿３.以椭圆得一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆得中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣ＭF∣=∣MO∣,则椭圆得离心率就是_＿__＿4.设椭圆得两个焦点分别为F1、、F2,过F２作椭圆长轴得垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆得离心率就是____＿５.已知Ｆ１、F2就是椭圆得两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直得直线交椭圆于A、Ｂ两点,若△ABF2就是正三角形,则这个椭圆得离心率就是_＿_＿_三、寻找特殊图形中得不等关系或解三角形。
求圆锥曲线的离心率的常用方法
求圆锥曲线的离心率的常用方法一、根据条件先求出a ，c ，利用e=c a 求解 例1 若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为( ) A .34 B .23 C .12 D .14解析：由F 1、F 2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a ﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e=c a =12.故选C . 例2 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A. 32B. 62C. 32 D2 解析：由题设a =2，2c =6，则c =3，e =c a =32,因此选C 二、构建关于a ，c 的齐次等式求解例3 设双曲线x 2a 2﹣y 2b2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线L 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.233解析：由已知，直线L 的方程为bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式，得 aba 2+b 2＝34c ，又c 2=a 2+b 2, ∴4ab=3c 2, 两边平方，得16a 2(c 2﹣a 2)=3c 4.两边同除以a 4，并整理，得 3e 4-16e 2+16=0.解得 e 2＝4或e 2＝43.又0<a<b ，∴e 2＝c 2a 2＝a 2+b 2a 2=1+b 2a 2>2，∴e 2＝4，∴e ＝2.故选A.例4 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120︒，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）62 （C ）63 （D ）33解析：如图2所示，不妨设M(0，b)，F 1(-c,0), F 2(c,0),则|MF 1|=|MF 2|=c 2+b 2.又|F 1F 2|＝2c ，在△F 1MF 2中， 由余弦定理，得cos ∠F 1MF 2＝|MF 1|2+|MF 2|2﹣|F 1F 2|22|MF 1|·|MF 2|,即(c 2+b 2)+(c 2+b 2)﹣4c 22c 2+b 2·c 2+b 2)＝cos 120︒＝﹣12，∴b 2﹣c 2b 2＋c 2＝﹣12， 图2∵b 2＝c 2﹣a 2，∴﹣a 22c 2﹣a 2＝﹣12，∴3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.故选B. 例5 双曲线x 2a 2﹣y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.32解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，∴a=b ，∴c=2a ，∴e ＝c a＝ 2.故选C. 三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e 的取值范围例6 设θ∈(0，π4)，则二次曲线x 2cot θ﹣y 2tan θ=1的离心率的取值范围为( ) A.(0，12) B.(12，22) C.(22，2) D.(2，+∞) 解析：由x 2cot θ﹣y 2tan θ=1，θ∈(0，π4)，得a 2＝tan θ，b 2= cot θ,∴c 2＝a 2+b 2＝tan θ+ cot θ,∴e 2＝c 2a 2＝tan θ+ cot θtan θ＝1+ cot 2θ,∵θ∈(0，π4)，∴cot 2θ>1,∴e 2>2，∴e >2.故选D. 四、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围例7 如图，已知梯形ABCD 中，｜AB ｜＝2｜CD ｜，点E 分有向线段AC →所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围． 解析：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图3所示的直角坐标系x Oy ，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D关于y 轴对称．依题意，记A(﹣c ，0)，C(c 2，h),E(x 0，y 0)，其中c =12｜AB ｜为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0＝-c+λ·c 21+λ＝(λ-2)c 2(1+λ)，y 0＝λh 1+λ． 设双曲线的方程为x 2a 2﹣y 2b 2＝1，则离心率e =c a. 由点C 、E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得 c 24a 2﹣h 2b2＝1 ①， 将点E 的坐标代入双曲线方程得c 24a 2(λ﹣21+λ)2－(λ1+λ)2h 2b 2＝1 ②． 再将e =c a ①、②得 e 24﹣h 2b 2＝1，∴h 2b 2＝e 24﹣1 ③，e 24(λ﹣21+λ)2－(11+λ)2h 2b 2＝1 ④． 将③式代入④式，整理得 e 24（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－3e 2+2． 图3由题设23≤λ≤34得，23≤1－3e 2+2≤34．解得7≤e ≤10． 所以双曲线的离心率的取值范围为［7，10］．。
圆锥曲线离心率的求解举例——椭圆(附详解解答)
圆锥曲线离心率的求解举例——椭圆的离心率椭圆离心率的定义：我们把椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记做aca c e e ==22,则，(0<e<1).下面举例说明其求法.如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e.证明（并记忆）：①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜1．以O 为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一个点M ，满足|1MF |＝2|MO →|＝2|2MF |，则该椭圆的离心率为( )A ．33B ．23C ．63D ．255[答案] C[解析] 过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(2c ，0)，并设|1MF |＝2||＝2|2MF |＝2t ，根据勾股定理可知， |1|2－|1|2＝|2MF |2－|2NF |2， 解得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.故选C ．2．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当21PF F ∠＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A ．33 B ．22C ．32D ．21[答案] A[解析] 设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111e e ca a c =⇒=；双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，e ＝e ca a c =⇒，a ＝c e .设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，(x>y>0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xycos60°＝x 2＋y 2－xy ，当点P 看做是椭圆上的点时，有4c 2＝(x ＋y)2－3xy ＝421a －3xy ， 当点P 看做是双曲线上的点时，有 4c2＝(x －y)2＋xy ＝42a ＋xy ， 两式联立消去xy 得4c 2＝21a ＋32a ，即4c 2＝(1c e )2＋3(c e )2，所以(1e1)2＋3(1e )2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋2e 3＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3，即331=e ，亦即椭圆的离心率为33.选A ．3．如图，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆22a x ＋22by ＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ， 则该椭圆的离心率为________．[答案] 2－1[解析] 如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF|＝p ，所以|AF ′|＝2p.因为|AF ′|＋|AF|＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e ＝ac＝2－1.4.椭圆（a >b >0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是________． [答案]21-5 [解析] 一条边所在直线的方程是ab ay bx =+，由条件可知，圆心到该直线的距离和半径等于c,也就是：c b a ab =+-+22|00|222111c b a =+⇒22244224)215(452625301303-=-=-=⇒=+-⇒=+-⇒e e e a c a c⇒215-=e5.已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率为________．12222=+by a x 21F F 、 75,151221=∠=∠F PF F PF[答案]36 [解析] 易得02190PF F =∠，又a PF PF 2||||21=+，c c PF 242615sin 2||01⨯-==，c c PF 242675sin 2||02⨯+==，所以，3626=⇒=e a c6.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为________. [答案]22 [解析] 易知222==⇒=⇒=a c e c a c b (注意：在椭圆中，，)7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于________． [答案]23 [解析] 由椭圆的性质及对应有2222243(42b a c a a b a =⇒-=⇒=）， 所以，离心率23=e8.已知矩形ABCD ，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．)0(,12222>>=+b a by a x P 21PF PF ⊥a c e =22222221ab a b a ac a c e -=-===[答案] 21[解析] 依题意可知22=⇒=c AB c ，又CA ＝5,所以，8352=+=+=CB CA a 从而，4=a ，所以这个椭圆的离心率为219.P 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点，是椭圆的左右焦点，已知椭圆的离心率为________．[答案] 13—[解析] 根据三角形内角和定理可得030=α,从而有02190=∠PF F ， 在21PF F Rt ∆中，c PF c PF c F F 3,,21221===， 由椭圆的定义可知1313223-=+==⇒=+a c e a c c10．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是________．[答案] 53[解析] 依据题设条件有c a b +=2,又222c b a +=,从而有5303250325222=⇒=-+⇒=-+e e e c ac c （构造a ，c 的齐次式，解出e ）11．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2[答案] 12—[解析] 由椭圆的性质可知，△F 1PF 2为等腰直角三角形，则有22a x 22b y 21F F 、,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 11201222||||2222221-=⇒=-+⇒-=⇒=⇒=e e e c a ac ab c PF F F12．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________． [答案]33 [解析] 由椭圆的性质可知，△2ABF 是正三角形（等边三角形），则有330323)(322232||23||222221=⇒=-+⇒-=⇒⨯=⇒=e e e c a ac a b c AB F F13．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F[答案]33 [解析] 依据平面几何中正六边形的性质有c AD F F 2||||21==所以，有c AE c c c c c AE 3||3120cos 2||20222=⇒=⋅⋅-+=依据椭圆的定义有a c c a AE ED 232||||=+⇒=+所以，13132-=+==a c e。
求圆锥曲线离心率的几种方法
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a ba 2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
圆锥曲线离心率的求法
圆锥曲线离心率的求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
高中数学圆锥曲线离心率知识点归纳总结
⾼中数学圆锥曲线离⼼率知识点归纳总结
基础知识点记忆
离⼼率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张⼝⼤⼩”的⼀个重要数据。
求离⼼率或取值范围题型综合性强，是解析⼏何的⼀个难点！
求离⼼率的常⽤⽅向
【具体⽅法】
1、利⽤椭圆上⼀点 P(x,y)坐标的取值范围，构造关于 a,b,c 的不等式
关于a,b,c 不等式
3、利⽤圆锥曲线的“焦三⻆形”+余弦定理+均值不等式
4、利⽤圆锥曲线的定义，结合完全平⽅数（式）⾮负的属性构造关于a,b,c 的不等式
5、将题中已知不等关系巧妙转化为关于 a,b,c 的不等式
6、利⽤圆锥曲线参数⽅程设点，结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c 的不等式
与离⼼率有关的⼆级结论。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
圆锥曲线定比分焦点弦求离心率
圆锥曲线定比分焦点弦求离心率圆锥曲线定比分焦点弦与其离心率的关系
在圆锥曲线中，离心率是一个重要的参数，它描述曲线与圆的偏离程度。
对于给定的焦点弦，我们可以通过以下定理确定圆锥曲线的离心率：
定理：对于一个离心率为 e 的圆锥曲线，焦点弦长为 2a，焦点与弦中点的距离为 c，则：
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2)
```
推导：
从圆锥曲线方程出发，我们可以导出以下恒等式：
```
c^2 = a^2(1 - e^2)
```
这个恒等式可以通过利用焦点和准线的定义以及弦中点到焦点的距离等于弦长的一半来推导出。
将上述恒等式代入定理中，即可得到：
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2)
```
应用：
该定理可以用于求解圆锥曲线的离心率，已知焦点弦长度和焦点到弦中点的距离。
例如：
对于椭圆，焦点弦长为 10，焦点到弦中点的距离为 6，则离心率为：
```
e = sqrt(1 - (6 / 10)^2) = sqrt(1 - 0.36) = 0.8
```
对于抛物线，焦点弦长为 2a，焦点到弦中点的距离为 a，则离心率为：
```
e = sqrt(1 - (a / a)^2) = sqrt(0) = 0
```
对于双曲线，焦点弦长为 2a，焦点到弦中点的距离为 c，则离心率为：
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2) > 1
```
结论：
焦点弦及其与焦点的距离提供了求解圆锥曲线离心率的便捷方法。
通过应用上述定理，我们可以轻松确定曲线与圆偏离的程度。
圆锥曲线离心率的求法教案
圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念，掌握圆锥曲线的标准方程。
2. 掌握离心率的定义，了解离心率与圆锥曲线的关系。
3. 学会运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。
4. 能够运用离心率解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及标准方程2. 离心率的定义及性质3. 公式法求解圆锥曲线的离心率4. 待定系数法求解圆锥曲线的离心率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：圆锥曲线的标准方程，离心率的求解方法。
2. 难点：待定系数法求解圆锥曲线的离心率，应用实例的解决。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解圆锥曲线的概念、标准方程及离心率的定义。
2. 利用案例分析法，分析求解圆锥曲线离心率的公式法和待定系数法。
3. 运用练习法，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
4. 开展小组讨论法，培养学生的合作意识，提高学生的创新能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过复习椭圆、双曲线、抛物线的概念及标准方程，引出圆锥曲线的概念及标准方程。
2. 讲解圆锥曲线的标准方程，阐述离心率的定义及性质。
3. 讲解求解圆锥曲线离心率的公式法，并通过实例演示求解过程。
4. 讲解求解圆锥曲线离心率的待定系数法，并通过实例演示求解过程。
5. 开展练习环节，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业，要求学生掌握圆锥曲线的标准方程，熟练运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。
六、教学评价1. 评价学生对圆锥曲线概念和标准方程的理解程度。
2. 评价学生对离心率定义和性质的掌握情况。
3. 评价学生运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线离心率的能力。
4. 评价学生在实际问题中运用离心率解决问题的能力。
七、课后作业1. 请学生完成教材后的相关练习题，巩固圆锥曲线标准方程和离心率的求解方法。
2. 请学生选取一个实际问题，运用离心率解决，并将解题过程和答案写成报告。
离心率的求法(解析版)
第一篇圆锥曲线专题05离心率的求法一、求离心率值的问题求离心率的值需要构造一个含有,,a b c 或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。
1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了,a c 的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。
例1：如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面1224AF AF a +==在12RT AF F ∆中满足2221212+=AF AF F F ，解得12AF AF则在双曲线中a c ==62e =例2：设椭圆的两个焦点分别是12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。
例3：已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形且顶角为120︒，则E 的离心率为_________.上图中A,B 两点不是焦点，2AB a =,且条件中没有b 和c 的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含,a b 的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M 的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。
【解析】从M 点作x 轴的垂线，垂足为C ，因为2,60BM a MBC ︒=∠=所以,BC a MC ==，所以点M 的坐标为(2)a 代入到双曲线中得2222(2)(3)1a a b -=整理得e =例4：设12,F F 分别是椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率。
解圆锥曲线离心率的求法大全
求解圆锥曲线离心率的方法离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。
椭圆的离心率e ∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式来解决。
例１. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.B. C.D.解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D ．变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( ) A.34 B.23 C.12 D.14解：由F1、F2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a ﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e=c a =12.故选C.变式练习２：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A.32B.62C.32D2解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=ca=32,因此选C变式练习３：点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D.解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得．则。
故选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
例２. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。
由焦半径公式，即，得，解得，故选D。
变式练习１：设双曲线x 2a 2﹣y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为34c ，则双曲线的离心率为( )A.2B. 3C. 2D.233解：由已知，直线L 的方程为bx+ay -ab=0. 由点到直线的距离公式，得 aba 2+b2＝34c ，又c 2=a 2+b 2, ∴4ab=3c 2,两边平方，得16a 2(c 2﹣a 2)=3c 4.两边同除以a 4，并整理，得 3e 4-16e 2+16=0.解得 e 2＝4或e 2＝43.又0<a<b ，∴e 2＝c 2a 2＝a 2+b 2a 2=1+b2a2>2，∴e 2＝4，∴e ＝2.故选A.变式练习２：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为（ ）（A ） 3 （B ）62 （C ）63（D ）33解：如图所示，不妨设M(0，b)，F 1(-c,0), F 2(c,0),则|MF 1|=|MF 2|=c 2+b 2.又|F 1F 2|＝2c ，在△F 1MF 2中， 由余弦定理，得cos ∠F 1MF 2＝|MF 1|2+|MF 2|2﹣|F 1F 2|22|MF 1|·|MF 2|,即(c 2+b 2)+(c 2+b 2)﹣4c 22c 2+b 2·c 2+b2)＝cos120°＝﹣12，∴b 2﹣c 2b 2＋c 2＝﹣12， ∵b 2＝c 2﹣a 2，∴﹣a 22c 2﹣a 2＝﹣12，∴3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.故选B.三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例３．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
曲线 x2 y2 1 的离心率是
.
m
答案： 5或 3 2
学习交流PPT
21
策略二：构造 a, c 的关系式求离心率
根据题设条件，借助 a,b, c 之间的关系，沟通 a、c 的关系（特别是齐次式），进而得到关于 的e
一元方程，从而解方程得出离心率.
学习交流PPT
22
1.代点法（点在曲线上）构造关于a、c关系求解
分别是双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的两个焦点，
A 和 B 是以 O 为圆心，以 OF1 为半径的圆与该双曲
线左支的两个交点，且F1AB 是等边三角形，则双
曲线的离心率是
；
答案：1 3
学习交流PPT
28
练习、（2016年新课标2第11题）
已知 F1, F2
是双曲线E：
x2 a2
y2 b2
1
的左，右焦点
端点，则曲线的离心率是________
答案： 5
学习交流PPT
25
例3：（2014年新课标2第20题第（1）问）
设
F1,
F2
分别是椭圆C:
x2 a2
by22
1ab0的左,右焦
点斜，率M为是34C上则一C点的且离心M 率F 2 为与__x_轴__垂_直__，若直线
MF
的
1
答案： 1 2
学习交流PPT
为（ A）
A．2
B． 3
C． 2
D．2 3
3
学习交流PPT
30
练1、（2017年新课标3第10题）
已知椭圆C
:
x2 a2
y2 b2
1（ ab0
）的左、右顶点
分别为 A1, A2 ,且以线段 A1 A2 为直径的圆与直线
bxay2ab0相切，则椭圆的离心率为（ A ）
A．3 6
B．3 3
C． 2
3
学习交流PPT
5
从题数与所占比重来看，几乎是两 小一大，各种曲线都会涉及到；出现只 有两道的年份，这样的差别是增加了直 线与方程、圆与方程等知识的题，使其 平面解析几何在整个高考卷中的比重趋 于稳定.
学习交流PPT
6
从题型与内容上看，椭圆在整个圆 锥曲线模块占的比重最大，年年都考； 双曲线、抛物线考查频率相差无几. 可见，新课标对椭圆的考查大于抛物线 与双曲线，尤其是双曲线的考查要求显 著降低，这一现象正符合新课标的要求.
学习交流PPT
14
表 3 2015-2018年圆锥曲线模块的解答题考查情况
学习交流PPT
15
解答题中第（1）问通常是简单性 质的应用；第（2）问则是直线与圆锥曲 线的综合应用，如定值定点问题、范围 问题、轨迹问题、探究存在性问题.尽管 题型基本趋于稳定，但又稳中求新.
学习交流PPT
16
题型归类及评析 纵观 2015-2018年高考全国卷，从整
体结构来看变化不大；从知识的角度去 分析，既突出了以教材为核心，又突出 本质特征且与其它领域的知识交叉甚广 ；从思想方法上看，考查了学生分类讨 论、数形结合等多种思想方法.
学习交流PPT
17
微专题：
关于离心率的求值问题分类精析与 方法归纳点拨
学习交流PPT
18
策略一：根据定义式求离心率的值
b
1.直接求出 a, c，或求出 a ，代公式
26
练习：椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的半焦距为c
，
若直线 y 2x 与椭圆C 的一个交点横坐标恰为c ，
则椭圆C 的离心率是（ C ）
（A） 2 2
2
（C） 2 1
（B） 2 2 1
2
（D） 3 1
学习交流PPT
27
2.借助圆锥曲线的定义构造a,c的关系求解
例
4：
F1
和
F2
11
选择、填空中考查频率最高的是离 心率，其次是标准方程、范围距离、最 值，考查的知识点是几何性质的应用（ 包括定义、标准方程、焦点、焦点弦、 渐进线等）.
学习交流PPT
12
表 3 2015-2018年圆锥曲线模块的解答题考查情况
学习交流PPT
13
表 3 2015-2018年圆锥曲线模块的解答题考查情况
例2、（2015年新课标2第11题）
已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，
∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心
率为（ D ） （A） 5 （B）2
（C） 3 （D） 2
学习交流PPT
23
学习交流PPT
24
练习、设F是双曲线C:
x2 a2
y2 b2
1的一个焦点，若曲
线C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个
，点M在E上，MF1与x轴垂直，
sinMF2F1
,1则E的
3
离心率为（ A）
（A） 2
（B）3 （C） 3 （D）2
2
学习交流PPT
29
3.题目已知等量关系建立a,c齐次式方程来求解
例4、（2017年新课标2第9题）
若双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0）的一条渐近线
被圆 x22y2 所4截得的弦长为2，则的离心率
D．13
学习交流PPT
31
练2、（2017年新课标1第15题）
ห้องสมุดไป่ตู้
已知双曲线C：x
a
2 2
y2 b2
1（a>0，b>0）的右顶点
为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的
一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离
心率为________
答案：2 3
3
学习交流PPT
学习交流PPT
7
表 2 2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
学习交流PPT
8
表 2 2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
学习交流PPT
9
表 2 2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
学习交流PPT
10
表 2 2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
学习交流PPT
圆锥曲线内容梳理 与常见问题类型解答
学习交流PPT
1
圆锥曲线是高中数学的重、难点， 是每年高考的主干考点，它包含的内容 丰富、题型多样.
学习交流PPT
2
表1 2015-2018年高考全国卷对圆锥曲线的总体考查情况
学习交流PPT
3
学习交流PPT
4
由上表数据可看出：近四年高考中 圆锥曲线模块出现的题目呈现稳定的趋 势，分值在22分左右，几乎每年试题中 出现选填位置（双、抛）相对靠后、第 20(19)题都是直线与椭圆曲线的综合题 目，难度系数相对而言比较高，因此称 其为压轴题.
求解. e椭 圆 a c1b a2 2， e双
c
b2
曲 a线 1a2
学习交流PPT
19
例1.（2018年新课标2第5题改编）
双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a>0,b>0）的渐近线方程为 y
，2x
则离心率为________
答案： 3
学习交流PPT
20
练习：若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥