圆锥曲线几何性质之离心率的求法

例2、（2015年新课标2第11题）
已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，
∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心
率为（ D ） （A） 5 （B）2
（C） 3 （D） 2
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练习、设F是双曲线C:
x2 a2
y2 b2
1的一个焦点，若曲
线C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个
曲线 x2 y2 1 的离心率是
.
m
答案： 5或 3 2
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策略二：构造 a, c 的关系式求离心率
根据题设条件，借助 a,b, c 之间的关系，沟通 a、c 的关系（特别是齐次式），进而得到关于 的e
一元方程，从而解方程得出离心率.
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1.代点法（点在曲线上）构造关于a、c关系求解
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表 3 2015-2018年圆锥曲线模块的解答题考查情况
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解答题中第（1）问通常是简单性 质的应用；第（2）问则是直线与圆锥曲 线的综合应用，如定值定点问题、范围 问题、轨迹问题、探究存在性问题.尽管 题型基本趋于稳定，但又稳中求新.
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题型归类及评析 纵观 2015-2018年高考全国卷，从整
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表 2 2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
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表 2 2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
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表 2 2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
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表 2 2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
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求解. e椭 圆 a c1b a2 2， e双
c
b2
曲 a线 1a2
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例1.（2018年新课标2第5题改编）
双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a>0,b>0）的渐近线方程为 y
，2x
则离心率为________
答案： 3
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练习：若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥
分别是双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的两个焦点，
A 和 B 是以 O 为圆心，以 OF1 为半径的圆与该双曲
线左支的两个交点，且F1AB 是等边三角形，则双
曲线的离心率是
；
答案：1 3
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练习、（2016年新课标2第11题）
已知 F1, F2
是双曲线E：
x2 a2
y2 b2
1
的左，右焦点
圆锥曲线内容梳理 与常见问题类型解答
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1
圆锥曲线是高中数学的重、难点， 是每年高考的主干考点，它包含的内容 丰富、题型多样.
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2
表1 2015-2018年高考全国卷对圆锥曲线的总体考查情况
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3
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4
由上表数据可看出：近四年高考中 圆锥曲线模块出现的题目呈现稳定的趋 势，分值在22分左右，几乎每年试题中 出现选填位置（双、抛）相对靠后、第 20(19)题都是直线与椭圆曲线的综合题 目，难度系数相对而言比较高，因此称 其为压轴题.
为（ A）
A．2
B． 3
C． 2
D．2 3
3
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练1、（2017年新课标3第10题）
已知椭圆C
:
x2 a2
y2 b2
1（ ab0
）的左、右顶点
分别为 A1, A2 ,且以线段 A1 A2 为直径的圆与直线
bxay2ab0相切，则椭圆的离心率为（ A ）
A．3 6
B．3 3
C． 2
3
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练习：椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的半焦距为c
，
若直线 y 2x 与椭圆C 的一个交点横坐标恰为c ，
则椭圆C 的离心率是（ C ）
（A） 2 2
2
（C） 2 1
（B） 2 2 1
2
Hale Waihona Puke Baidu（D） 3 1
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2.借助圆锥曲线的定义构造a,c的关系求解
例
4：
F1
和
F2
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5
从题数与所占比重来看，几乎是两 小一大，各种曲线都会涉及到；出现只 有两道的年份，这样的差别是增加了直 线与方程、圆与方程等知识的题，使其 平面解析几何在整个高考卷中的比重趋 于稳定.
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从题型与内容上看，椭圆在整个圆 锥曲线模块占的比重最大，年年都考； 双曲线、抛物线考查频率相差无几. 可见，新课标对椭圆的考查大于抛物线 与双曲线，尤其是双曲线的考查要求显 著降低，这一现象正符合新课标的要求.
端点，则曲线的离心率是________
答案： 5
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例3：（2014年新课标2第20题第（1）问）
设
F1,
F2
分别是椭圆C:
x2 a2
by22
1ab0的左,右焦
点斜，率M为是34C上则一C点的且离心M 率F 2 为与__x_轴__垂_直__，若直线
MF
的
1
答案： 1 2
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选择、填空中考查频率最高的是离 心率，其次是标准方程、范围距离、最 值，考查的知识点是几何性质的应用（ 包括定义、标准方程、焦点、焦点弦、 渐进线等）.
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表 3 2015-2018年圆锥曲线模块的解答题考查情况
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表 3 2015-2018年圆锥曲线模块的解答题考查情况
体结构来看变化不大；从知识的角度去 分析，既突出了以教材为核心，又突出 本质特征且与其它领域的知识交叉甚广 ；从思想方法上看，考查了学生分类讨 论、数形结合等多种思想方法.
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微专题：
关于离心率的求值问题分类精析与 方法归纳点拨
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策略一：根据定义式求离心率的值
b
1.直接求出 a, c，或求出 a ，代公式
D．13
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练2、（2017年新课标1第15题）
已知双曲线C：x
a
2 2
y2 b2
1（a>0，b>0）的右顶点
为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的
一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离
心率为________
答案：2 3
3
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，点M在E上，MF1与x轴垂直，
sinMF2F1
,1则E的
3
离心率为（ A）
（A） 2
（B）3 （C） 3 （D）2
2
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3.题目已知等量关系建立a,c齐次式方程来求解
例4、（2017年新课标2第9题）
若双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0）的一条渐近线
被圆 x22y2 所4截得的弦长为2，则的离心率