九年级数学暑假班讲义(学生版)第7讲圆的认识满分班
初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义(学生版)
初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义知识图谱圆的相关概念知识精讲知识精讲一．圆的相关概念1.圆的概念（1）描述性定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径；（2）集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（3）圆的表示方法:用符号 表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O”，读作“圆O”；（4）同圆、同心圆、等圆：①圆心相同且半径相等的圆叫同圆；②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；③能够重合的两个圆叫做等圆．2.弦与弧的相关概念：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍；（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作 AB，读作弧AB；（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角与圆周角（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角；①将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧；②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；（2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三点剖析一．考点：圆的相关概念二．重难点：1.圆的两种定义的理解；2.弦心距、优弧、圆周角等陌生概念的理解与记忆．三．易错点：1.圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2.弓形只是由弧和弦所构成不包含半径；3.同圆、等圆、同心圆的联系与区别．圆的相关概念例题例题1、判断：（1）直径是弦，弦是直径（）（2）半圆是圆弧（）（3）长度相等的弧是等弧（）（4）能够重合的弧是等弧（）（5）圆弧分为优弧和劣弧（）（6）优弧一定大于劣弧（）（7）半径相等的圆是等圆（）例题2、设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了15米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（）A.你只能塞过一张纸 B.你只能塞过一只书包C.你能钻过铁丝 D.你能直起身体走过铁丝随练随练1、下列说法中，结论错误的是（）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随练2、过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（）A.1条 B.2条 C.3条D.无数条随练3、如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，74AOC ∠=︒，则E ∠=．垂径定理知识精讲一．垂径定理1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.推论1：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．补充说明：做题过程中，定理与推论1（1）可以直接使用，而推论1（2）、（3）需证明后再使用．三点剖析一．考点：垂径定理二．重难点：利用垂径定理求圆的半径、弦长和弦心距．三．易错点：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题垂径定理例题例题1、在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm ，则油的最大深度为（）A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm例题2、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长为（）A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸例题3、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分．如果M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交O 于点E ，并且4CD =，6EM =，求O 的半径．例题4、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm例题5、⊙O 的半径为10，两平行弦AC ，BD 的长分别为12，16，则两弦间的距离是（）A.2B.14C.6或8D.2或14随练随练1、如图，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA=30°，OC=3cm ，则弦AB 的长为（）A.9cmB.3cmC.cmD.cm随练2、如图，ABC ∆内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论AB DE AE BE OD DE AEO C ⊥==∠=∠①，②，③，④， 12AE AEB=⑤，正确结论的是随练3、如图，当圆形桥孔中的水面宽度AB 为8米时，弧ACB 恰为半圆．当水面上涨1米时，桥孔中的水面宽度A B ''为（）15米 B.215米 C.217米 D.不能计算随练4、如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AB BC ⊥，2cm AB =，4cm CD =．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离是多少？弧，弦，圆心角之间的关系知一推二知识精讲一．圆心角、弧、弦之间的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等．若AOB A OB ''∠=∠，则 AB A B ''=，AB A B ''=，AM A M ''=．2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．二．应用1.在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；2.有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距；3.在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角；4.有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）作等弧所对的圆心角三点剖析一．考点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系二．重难点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系三．易错点：1.两条弧存在倍数关系，但所对应的弦并不是存在相同的倍数关系；2.判断题中，注意题中前提条件，必须是在等圆或同圆中．弧，弦，圆心角之间的关系知一推二例题例题1、下列说法中正确的是（）①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．A.①③ B.②④ C.①④ D.②③例题2、如图，以ABC ∆的边BC 为直径的O 分别交AB AC 、于点D E 、，连结OD OE 、，若65A ∠=︒，则DOE ∠=．例题3、如图，AB 、CD 为⊙O 的直径， AC CE=，（1）试说明BD CE =；（2）若连结BE ，问BE 与CD 平行吗？请说明理由．随练随练1、如图所示，点D 是弦AB 的中点，点C 在⊙O 上，CD 经过圆心O ，则下列结论中不一定正确的是（）A.CD ⊥ABB.∠OAD=2∠CBDC.∠AOD=2∠BCDD.弧AC=弧BC随练2、如图，A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，且AB CD =，则下列说法不正确的是（）A.AOB COD ∠=∠B.AOC BOD ∠=∠C.AC BD =D.OC CD=随练3、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC ，则∠ABC=___________．拓展拓展1、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A.45（）cm B.9cm C.45 D.62cm拓展2、下列说法正确的有（）①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点．A.①②③④⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.②④⑤拓展3、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为____cm≤OP≤____cm．拓展4、如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=时，△PAD为等腰三角形．拓展5、在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，^^^AC CD BD==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是__________．拓展6、如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm．拓展7、在⊙O 中，点C 是劣弧AB 的中点，则线段AB 和线段AC 的大小为（）A.2AB AC =B.2AB AC >C.2AB AC< D.无法确定拓展8、如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是弧ACB 上一点，D 、E 是弧AB 上不同的两点（不与A 、B 两点重合），则D E ∠+∠的度数为（）A.mB.1802m︒-C.902m ︒+D.2m 拓展9、如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB=2，⊙O 上存在点C ，使得弦AC=22BOC=______________°．拓展10、如图9A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是弧 AB 的中点，求证四边形OACB 是菱形．图9。
初三数学第七章 圆知识精讲 人教版
初三数学第七章圆知识精讲人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第七章圆（二）直线和圆的位置关系［学习目标］1. 理解直线和圆相交、相切、相离的概念，掌握直线和圆的位置关系的性质和判定；2. 掌握切线的判定定理、性质定理和两个推论，并能应用它们证明有关问题；3. 会用尺规作三角形的内切圆，掌握三角形和多边形的内切圆，圆的外切三角形和圆的外切多边形，三角形内心的概念。
［知识回顾］1.2. 切线判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线叫圆的切线。
定理告诉我们：证明圆的切线必须满足2个条件：一是经过半径的外端，也就是直线与圆的那个唯一的交点；二是垂直于这条半径，这就保证了圆心到直线的距离恰好等于圆的半径。
3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
这里让我们抓住一条与切线有关的直线的特征：（1）垂直于切线，（2）经过切点，（3）经过圆心。
简称“两点一垂直”，只要满足其中两个条件必满足另一条件，这就告诉我们：已知圆心、切点只须连结这两点即得到与切线垂直的半径，这是我们常用的辅助线；若没给出切点，我们只要过圆心作切线的垂线，垂足就是切点；若没给出圆心，只须过切点，作切线的垂线则必过圆心，这样我们又学到了给残圆找圆心的一种方法。
4. 三角形的内心是它的内切圆的圆心，它是三个内角平分线的交点。
内心一定在三角形内部，等边三角形的内心与外心重合，等腰三角形的顶点、底边中点和内心、外心四点共线。
【典型例题】例1. 已知等腰△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，在△ABC外有一点D，DE⊥AB于E，且E为AB中点，DE＝1.5，现以D为圆心6为半径画圆，则直线AC、BC、AB与⊙D 的位置关系如何？解：连CE∵∴∵∵∴=+=CD51565..过D作DF⊥AC于F∠=∠∴A C E D C F Rt ACE Rt DCF，∆∆~∴==⋅=⨯==DF AE CDACDFAE CDACr ，1265136.AC⊥OP于C，AC⊥OP AC OP C CAB OBA⊥∴∠+∠=︒于，90＝∠D，代换出例3. 已知：⊙O求证：AB 分析： 证明：∵OC ⊥ ∴∠OCB ＝∠ ∵∠B ＝∠ ∴△OCB ∽△ ∴=OC BC ACOC∴OC ＝8＝r ，OC 为半径AB 经过半径OC 外端，且OC ⊥AB ∴AB 为⊙O 的切线此题也可先证明∠BOA ＝90°利用射影定理求OC 。
九年级下册数学同步课程讲义第07讲-圆与圆的对称性(培优)-学案
九年级下册数学同步课程讲义第07讲-圆与圆的对称性（培优）-学案学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题第07讲-----圆与圆的对称性授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标从不同角度深刻理解圆的定义；理解并识记与圆相关的概念；掌握点与圆的三种位置关系，及判定条件；掌握圆的两种对称性；理解圆的对称性，并掌握圆心角.弧.弦之间关系的定理及推论。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一.知识梳理二.知识概念（一）圆的定义1.描述定义在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。
2.集合定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点就是圆心，定长就是半径。
（二）与圆有关的概念1.圆心（确定圆的位置）；半径（确定圆的大小）；直径；2.圆弧.优弧.劣弧；3.圆心角.弦.弦心距.弓形.弓形高；4.同圆（同一个圆）；等圆（半径相等的圆，圆心在不同位置）；等弧（形状.大小均相等的弧）（三）点与圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd1.点在圆内dr；2.点在圆上dr；3.点在圆外dr（四）圆的对称性1.圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2.圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形（五）圆心角.弧.弦之间的关系1.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等2.推论同圆或等圆中1两个圆心角相等；2两条弧相等；3两条弦相等三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立考点一圆的定义例1.在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（）A直线B正方形C圆D菱形例2.某公园计划砌一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，若两种方案砌各圆形水池的周边需用的材料费分别为W1和W2，则（）AW1W2BW1W2CW1W2D无法确定考点二与圆有关的概念例1.下列说法正确的是（）A长度相等的两条弧是等弧B优弧一定大于劣弧C不同的圆中不可能有相等的弦D直径是弦且同一个圆中最长的弦例2.下列说法正确的是（）A半圆是弧，弧也是半圆B过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径C弦是直径D直径是同一圆中最长的弦例3.如图，在ABC中，C90，B28，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为（）A28B34C56D62考点三点与圆的位置关系例1.O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），P的坐标为（4，2），则P与O的位置关系（）A点P在O内B点P的O上C 点P在O外D点P在O上或O外例2.如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km 内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行为什么考点四圆的对称性例1.下列结论错误的是（）A圆是轴对称图形B圆是中心对称图形C半圆不是弧D同圆中，等弧所对的圆心角相等例2.将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分相互重合，这说明（）A圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴C圆的直径相互平分D垂直弦的直径平分弦所对的弧考点五圆心角.弧.弦之间的关系例1.如图，在RtABC中，C90，A26，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB.AC于点D.点E，则弧BD的度数为（）A26B64C52D128例2.已知如图，在O中，弦ABCD求证弧AC与弧BD是等弧PPractice-Oriented实战演练实战演练课堂狙击1.若O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A 与O的位置关系是（）A点A在圆外B点A在圆上C点A在圆内D不能确定2.在公园的O处附近有E.F.G.H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E.F.G.H四棵树中需要被移除的为（）AE.F.GBF.G.HCG.H.EDH.E.F3.下列命题，其中正确的有（）（1）长度相等的两条弧是等弧（2）面积相等的两个圆是等圆（3）劣弧比优弧短（4）菱形的四个顶点在同一个圆上A1个B2个C3个D4个4.下列语句中正确的是（）A一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧B平分弦的直径垂直于弦C长度相等的两条弧是等弧D经过圆心的每条直线都是圆的对称轴5.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，QON30，公路PQ 上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（）A12秒B16秒C20秒D24秒6.如图，AB是O的直径，，COD35，求AOE的度数7.如图，AB.CD是O的弦，AC求证ABCD课后反击1.下列说法中，正确的是（）A过圆心的线段是直径B小于半圆的弧是优弧C弦是直径D半圆是弧2.下列说法直径是弦半圆是弧弦是直径弧是半圆，其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个3.如图，O中点A.O.D以及点E.D.C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A2B3C4D54.一个圆的最长弦长为20cm，则此圆的直径为（）A10cmB20cmC40cmD无法确定5.如图所示，MN为0的弦，M40，MON则等于（）A40B60C100D1206.如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A猫先到达B地B老鼠先到达B地C猫和老鼠同时到达B地D无法确定7.如图，A.B.C.D四点在同一个圆上下列判断正确的是（）ACD180B当E为圆心时，CD90C若E是AB的中点，则E一定是此圆的圆心DCOD2CAD8.如图，在RtABC中，ACB90，点O是边AC上任意一点，以点O为圆心，以OC为半径作圆，则点B与O的位置关系（）A点B在O外B点B在O上C点B在O内D与点O在边AC上的位置有关9.如图，AB是O的弦，半径OA2，AOB120，则弦AB的长是A2B2CD310.在同圆中，若AB和CD都是劣弧，且AB2CD，那么弦AB和CD的大小关系是（）AAB2CDBAB2CDCAB2CDD无法比较它们的大小11.一条弦将圆分成13两部分，则劣弧所对的圆心角为（）A30B60C90D1xx.如图，已知点A.B.C.D在圆O上，ABCD求证ACBD13.如图，AOB90，C.D是的三等分点，AB分别交OC.OD于点E.F，求证AECD直击中考1.【xx深圳】下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCDxOyP图22.【xx深圳】如图2，点P（3a，a）是反比例函y（k0）与O的一个交点，图中阴影部分的面积为10，则反比例函数的解析式为（）AyByCyDy3.【xx深圳】下列命题是真命题的个数有（）垂直于半径的直线是圆的切线；平分弦的直径垂直于弦；若是方程xay3的一个解，则a1；若反比例函数的图像上有两点（，y1），（1，y2），则y1y2。
初三数学圆经典终极讲义
一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？MABCDOEB CB例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．例7.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。
暑假初三讲义
第一讲圆的有关性质一、圆的有关定义和性质：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做半径。
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为优弧、劣弧、等弧三类2、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧．推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧；推论2：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，且平分这条弦所对的另一条弧；推论3：弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧．3、在同圆或等圆中，等弦等弧等圆心角等圆周角4、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．5、半圆（或直径）所对的圆周角为90°，90°的圆周角所对的弦是直径。
6、圆内接四边形的对角互补．二、例题分析例题剖析1：⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若，则⊙O的半径为（）．A．B．C．D．例题剖析2.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝_________.例题剖析3.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，求∠ACD的度数．例题剖析4.一个圆形人工湖如图所示，弦AB为湖上一座桥，已知桥长AB＝100m ，测得圆周角∠ACB＝45°，求这个人工湖的直径AD的长．三、课堂练习1．如图，⊙O 的弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD=6，那么BD=_______.3.如图，⊙O 的直径CD=10，弦AB=8，AB ⊥CD ，垂足为点M ，则DM 的长为__________.4.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）A ．16B ．10C ．8D ．65.已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，则AB 、CD 之间的距离为（ ）cm ．A ．17B ．7C ．12D ．17或7 6.已知，弦BD 与AC 相交于点P ，∠BPC ＝80°，则∠ACD 为（ ）A ．40°B ．30°C ．25°D ．20°O M A B8.如图，△ABC为⊙O 的内接三角形，AB为⊙O 的直径，点D为⊙O 上一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为__________．9.如图，已知AB为⊙O 的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，连AC、OC、BC．（1）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的半径；（2）求证：∠ACO＝∠BCD．四、课后作业1．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为（）A．28° B．36°C．60° D．62°2，BD=3，2．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2则AB的长为（）A．2 B．3C．4 D．53.如图，⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__________cm．4．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC.（1）求证：AC平分∠OAB（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，求PE的长.第二讲点和圆、直线和圆的位置关系一、知识要点1、点和圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d：若点P在圆外d＞r，若点P在圆上d＝r，若点P在圆内d＜r．2、直线和圆的位置关系：①、设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：d＞r直线l与圆相离；d＝r直线l与圆相切；d＜r直线l与圆相交．②、切线的判定方法：①定义；②和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．③、切线的性质：①切线和圆心的距离等于半径；②切线垂直于过切点的半径；④、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3、圆与圆的位置关系：大圆半径为R，小圆半径为r①外离<=>d＞R＋r②外切<=>d＝R＋r③相交<=>R－r＜d＜R＋r④内切<=>d＝R－r⑤内含<=>d＜R－r二、例题分析例1．在数轴上，点A 表示实数3，点B 表示实数a ，⊙A 的半径为2，下列说法不正确的是（ ）A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外例2．两圆的圆心距为3，两圆半径分别为方程0342=+-x x 的两根，则两圆位置关系是（ ）A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切例3．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若∠APB=60°，⊙O 的半径为3，则阴影部分的面积为____________.例4.如图，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，且∠OBA ＝40°，求∠ADC 的度数．例5.如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA ，CB 于点E ，F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．例6.如图，△ABC 内接于⊙O ，CA ＝CB ，CD ∥AB 且与OA 的延长线交于点D ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若∠ACB ＝120°，OA ＝2，求CD 的长．三、课堂训练：1．图中圆与圆之间不同的位置关系是（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种2．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）A ．与x 轴相离、与y 轴相切B ．与x 轴、y 轴都相离C ．与x 轴相切、与y 轴相离D ．与x 轴、y 轴都相切3．如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．8≤AB ≤10 B ．AB ≥8C ．8＜AB ≤10D ．8＜AB ＜104．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB=2，OD=3，则BC 的长为（ ）A ．32 B ．23 C ．23 D ．225．如图，在Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA 、BC 为半径的圆形成一圆环，则该圆环的面积为__________.6．如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使AB BP 21 ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是AC 上和点C 不重合的一点，则∠D 的度数为__________.7.如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB ，AC ，切点分别为B ，C ，且⊙O 的直径BD ＝6，连CD ，AO ．求证：CD ∥AO ．四、课后作业1、两圆的圆心坐标分别为和（0，1），它们的半径分别为3和5，则这两个圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切2、在平面直角坐标系中，以点（－3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离（3、如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，∠B＝25°，则∠D＝（）A．25°B．40°C．30°D．50°4、已知两圆的半径R，r分别为方程x2－5x＋6＝0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系为（）A．相离B．内切C．相交D．外切5、如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点P，CP交⊙O于点D．求证：AP＝AC；6、如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．求证：CD 是⊙O的切线；第三讲弧长和扇形面积一、知识要点：1、如果弧长为l，圆心角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为；2、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形的面积为s，则扇形的面积的计算公式为或（其中l表示扇形的弧长）；3、圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图是扇形；4、设圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为S＝2πRh，圆柱的全面积为S＝2πR2＋2πRh；5、设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为S＝πar，圆锥的全面积为S＝πr2＋πar．二、例题分析例1、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F．（1）若弧CF长为，求圆心角∠CBF的度数；（2）求圆中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）．例2、如图，AB切⊙O于点B，，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的长为（）A．B．C．π D．例3、如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径为（）A．1 B．C． D．例4、如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．（1）证明：△AFO≌△CEB；（2）若EB＝5cm，，设OE＝x，求x的值及阴影部分的面积．例5、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是多少？三、课堂训练1．如图，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）A ．π4cm 2B ．π6 cm 2C ．π9cm 2D ．π12 cm 22．边长为a 的正六边形的面积等于（ ）A ．243a B ．a 2 C ．2233a D ．233a 3．挂钟分针的长为10cm ，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是（ ）A ．cm 215πB ．π15cmC ．275πcm D ．π75cm 4.如图，AB 为⊙O 的切线，半径OA ＝2，OB 交⊙O 于点C ，∠B ＝30°，则劣弧的长是__________．5.如果圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长为________．6．如图，一个圆锥的高为33cm，侧面展开图是半圆.求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）求∠BAC的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留 ）7.如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积．．四、课后作业：1、若一个圆锥的底面圆的周长为4π cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为（）A．40° B．80°C．120°D．150°2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6cm，CD⊥AB于D，以C 为圆心，CD为半径画弧，交BC于E，则图中阴影部分的面积为（）cm2．A．B．C． D．3、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，若把△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，所得的几何体的表面积为（）A．4πB．C．8πD．4、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，分别以A、C为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个图形，则剩余（阴影）部分的面积为__________cm2．5、如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．6、如图，已知点A，B，C，D均在已知图上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四边形ABCD的周长为15．（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．第一讲圆的有关性质一、知识要点：1、反比例函数的定义：一般地，形如 y＝( k是常数, k≠0) 的函数叫做反比例函数．反比例函数解析式有三种常见的表达形式：（A）y＝（k≠0），（B）xy＝ k（k ≠ 0），（C）y＝kx－1（k≠0）.2、反比例函数的图象和性质：（1）反比例函数的图象是双曲线．当k>0时，双曲线分别位于第一、三象限；当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内．（2）反比例函数性质：当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大．二、例题分析例1、若函数是反比例函数，则的值为（）A．B．C．或D．且例2、在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（）A．B．C．D．例3、如图所示，在函数的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是矩形，点B、P在曲线上，下列说法不正确的是（）A．矩形FOEP和正方形COAB面积相等B．点B的坐标是（4，4）C．点B在直线y＝x上D．矩形BCFG和矩形GAEP面积相等例4、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应（）A．小于m3B．大于m3C．不小于m3D．小于m3例5、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象相交于A、B 两点.（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.三、课堂训练：1、已知是的反比例函数，当时，，那么当时，的值为______.2、若反比例函数的图象经过二、四象限，则k＝_______.3、已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围（）A．B．C．D．4、已知反比例函数，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．随的增大而减小C．图象在第一、三象限内D．若，则5、如图，正比例函数y＝kx (k >0)与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，求△ABC的面积．6、如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，如果A点坐标为（2，0），点C、D分别在第一、三象限，且OA＝OB，点C的横坐标为4. 求：（1）一次函数的关系式；（2）点C的坐标；（3）反比例函数的关系式；（4）点D的坐标；（5）请观察图象回答：当x取何值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.四、课后作业1、正比例函数y＝2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，4），则另一个交点坐标为（）A．（2，－4）B．（－2，－4）C．（－2，4）D．（－2，－2）2、若m<－1时，则在下列函数①，②，③y＝mx，④中，y值随x值的增大而增大的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④3、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么k1和k2的关系一定是（）A．k1<0，k2>0 B．k1>0，k2<0C．k1、k2同号 D．k1、k2异号4、是y关于x的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m 的值为___________；5、考察的图象，当时，x的取值范围为________.6、在函数为常数）的图象上有三点，，，则y1，y2，y3的大小关系是________.7、设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则k的取值范围是________.8、已知反比例函数的图象经过点A（－2，1），一次函数的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B.（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式.（2）求点B的坐标.9、反比例函数的图象与一次函数的图象交于A（1，5），B（n ，－1）两点.（1）求反比例函数与一次函数的解析式.（2）当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？10、若一次函数y＝2x－1和反比例函数的图象都经过点（1，1）.（1）求反比例函数的解析式.（2）已知点Ａ在第三象限，且同时在两个函数的图像上，求点A的坐标.。
上海九年级数学上册复习寒假班讲义-圆与圆,圆与正多边形(学生版)
数学辅导讲义学员学校：年级：初三课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名组长备注课题圆与圆、圆与正多边形授课时间：备课时间：教学内容知识精要1、用数量关系识别两圆的位置关系：设两圆的半径分别为R，r，圆心距为d(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1)) 即：两圆外离d R r⇔>+；(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))即：两圆外切d R r⇔=+；(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3)) 即：两圆相交R r d R r⇔-<<+；(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))即： 两圆内切d R r ⇔=-； (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例.(图(6)) 即：两圆内含0d R r ⇔≤<-。
2、按公共点的个数分类可分为三类①相离 ②相切 ③相交圆与圆的位置关系 两圆位置关系 外离外切相交内切内含（包括同心）公共点d 与,R r 的关系外公切线 内公切线3、相交、相切两圆的性质定理相切两圆的性质定理：（1）两圆相切连心线必过切点。
（2）两圆外（内）公切线长相等。
相交两圆的性质定理：两圆相交，连心线垂直平分公共弦。
（一） 正多边形的概念 1.各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
有n 条边的正多边形(n 是正整数，且错误！未找到引用源。
)就称作正n 边形. 当n 为奇数时，正n 边形不是中心对称图形；当n 为偶数时，正n 边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点。
九年级圆全章辅导讲义
九年级圆全章辅导讲义学生：科目：第单元第节第课时教师：ABCD=12×15×12×12 =45cm 2知识概括、方法总结与易错点分析 1、点与圆的位置关系 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、内心 外心的理解针对性练习 一、 选择题1、如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【 】A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3．若1O 的半径为3cm ，2O 的半径为4cm ，且圆心距121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．内切 C ．相交 D ．内含4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 相切C ． 相离D ． 无法确定5．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点． 则B 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,-7. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则ΔADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:78．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．43B ．34 C ．45D ．359．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4 B ．8C ．43D ．8310．如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度数为（ ）A ．35B ．45C ．60D ．70（第8题） x yO1 1BAPB AO第9第10题图ABCO P（第11题A B C EFD O11、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为 （ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．2212．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（ ） A ．5cm B ．13cm C ．9 cm 或13cm D ．5cm 或13cm 二、 填空题1．如图，已知O 是ABC △的内切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为 度．2．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．3．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是 ．4．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A B ，间距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm ，16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．5. 如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离．．和 ． 6．如图，从O 外一点P 引O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是 ． 7．如图，AB 是O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O 的切线交AB延长线于点N ．若12cm ON =，则O 的半径为 cm ．8.分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________. 三、 解答题1．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ，求证：PC 是⊙O 的切线．BCA O （第1题）1o 2o 3o 4oCB D A 第（2）题图① 第（2）题图② 1o 2o 3o4o5oA BCEDABC第3题图 （第4题图）A B OA DPE B C（第6题图）AOBNMABO C PMPA2.如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ． （1）求证：BC 是O 的切线；（2）若1210BD EC ==，，求AD 的长．3.如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，2BAC B ∠=∠，6AC =，过 点A 作O 的切线与OC 的延长线交于点P ，求PA 的长．4.如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）求证：DE 与O 相切；（2）若O 的半径为3，3DE =，求AE ．5.（08山东潍坊20题）如图，AC 是圆O 的直径，10AC =厘米，PA PB ，是圆O 的切线，A B ，为切点．过A 作AD BP ⊥，交BP 于D 点，连结AB BC ，．（1）求证ABC ADB △∽△；（2）若切线AP 的长为12厘米，求弦AB 的长．6.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值．7、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.BCPO AB DCEAOA PDBCO CPBO A D8.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥． （1）判断直线AC 与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由； （2）若662AD AE ==，，求BC 的长．9、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 31=．．10.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为弧AF 的中点，连接AE ．求证：ABE OCB △≌△．11.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．12.如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，ADBOCE图ODBCF E ADCOABEC（第8题）BDAE连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）14.如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是 ；②写出求解过程（结果用字母表示）．15、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.巩固作业1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。
{教育管理}初三数学辅导班学习讲义圆
{教育管理}初三数学辅导班学习讲义圆（1）当d=14 厘米时，因为 d R+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（2）当d=2厘米时，因为d R－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（3）当d=15 厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（4）当d=7 厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（5）当d=1 厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：6、切线性质：例4：（1）如图，PA 是⊙O的切线，点A 是切点，则∠PAO=度（2）如图，PA、PB 是⊙O的切线，点 A、B 是切点，则= ，∠=∠；7、圆中的有关计算（1）弧长的计算公式：例 5：若扇形的圆心角为60°，半径为 3，则这个扇形的弧长是多少？解：因为扇形的弧长=所以== (答案保留π)（2）扇形的面积：例 6：①若扇形的圆心角为60°，半径为 3，则这个扇形的面积为多少？解：因为扇形的面积 S=所以 S== (答案保留π)②若扇形的弧长为12πcm，半径为 6㎝，则这个扇形的面积是多少？解：因为扇形的面积S=所以 S= =（3）圆锥：例 7：圆锥的母线长为 5cm，半径为 4cm，则圆锥的侧面积是多少？解：∵圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于∴圆锥的侧面积=8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；例 8：画出下列三角形的外心或内心（1）画三角形 ABC 的内切圆，（2）画出三角形 DEF 的外接圆，并标出它的内心；并标出它的外心 D二、练习： （一）填空题1、如图，弦 AB 分圆为 1：3 两段，则的度数的度数等于度；∠AOB＝ 度，∠ACB2、如图，已知 A 、B 、C 为⊙O 上三点，若、、的 度数之比为 1∶2∶3，则∠AOB＝，∠AOC＝ ，∠ACB＝，3、如图 1－3－2，在⊙O 中，弦 AB=1.8cm ，圆周角∠ACB=30○，则⊙O 的半径等于=cm ．4、⊙O 的半径为 5，圆心 O 到弦 A B 的距离 O D=3， 则 AD=，AB 的长为；5、如图，已知⊙O 的半径 OA=13㎝，弦 AB ＝24㎝， 则 OD=㎝。
人教版数学初三上册24.1.1圆的概念课件
子上,另一端栓
着一只牛,请画
出牛的活动区
域.
5
5m 4m o
5m 4m o
正确答案
亲爱的读者：
1、天盛生下年活兴不亡重相，来信匹，眼夫一泪有日，责难眼。再泪晨并20。不.7.及代14时表7.宜软14自弱.2勉。02，2002岁.07:.月2184不270.待1:24人8.2:。3002。J0u22l00-2:.2708.212040:72:2.8184:3.200J2u0l-20:2208:208:28:30Jul-2020:28
弧
（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称
弧．以A、B为端点的弧记作 ⌒AB，读作“圆弧
AB ”或“弧AB ”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成 两条弧，每一条弧都叫做半圆．
B
O·
A
B
O·
A
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 ⌒AC ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（必须用三个字母表示，
⌒ 如图中的 ABC ）叫做优弧. AB与ACB都是弦AB
亲爱的读者： 2、仁千世者里上见之没仁行有，绝智始望者于的见足处智下境。，二只20〇有20二对年〇处7月年境1七绝4日月望星十的期四人二日。二20〇20二年〇7月年1七4日月星十期四二日2020年7月14日星期二 春亲去爱春的又读回者，：新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、为少成中年功华易都之学永崛老远起难不而成会读，言书一弃。寸，光放20阴弃:28不者7可永.14轻远.2。不02。会02成0功:28。7.14.202020:28270.1:248.2:300270.2104:.22802200:208:23807.14.202020:287.14.2020
2.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,
人教版初三数学九年级上册 第24章 《圆》教材分析 课件(共38张PPT)
七.具体内容建议
1．圆的定义：
从动态定义中渗透轨迹思想。
数形结合：集合定义——圆的方程。
性质：同圆的半径相等。这既是圆的定义的 体现，也是本章中最简单、最重要的辅助线.
10
利用圆的集合定义可以 得到圆的方程，进而 转化为方程组求解的问题
y x 2
x
2
y2
10
2．圆的确定
从过一点，到过两点，到过不共线的三个 点作圆，得出定理，体会研究问题的一般 思路。
这既是圆的定义的体现也是本章中最简单最重要的辅助利用圆的集合定义可以得到圆的方程进而转化为方程组求解的问题从过一点到过两点到过不共线的三个点作圆得出定理体会研究问题的一般思路
《圆》教材分析
一.本章的地位和作用
(一)从知识角度看 本章在小学学过的一些圆的知识和上一章学习 了旋转的知识的基础上来进一步研究圆的一些 问题，是前面学习直线型有关知识的再应用。
请你用直尺和圆规画出来（要求保留作图痕迹，
不要求写作法）
B
为什么要画∠B 的角平分线？
C
A
9. 重视课本中的探究、活动部分
实验与探究： 103页：圆和圆的位置关系 117页：设计跑道（验证学校跑道规范性）
数学活动（119页）： 探究四点共圆的条件 设计图案
10.重视课本习题的使用 教具的制作 习题24.1——5，11，13
6.要有辅助圆的意识
不仅仅是构造辅助圆,更重要的是如何去 掉圆的干扰,认清直线形的基本图形。
建议把以前学的一些基本图形再拿出来 放在圆中研究，反复夯实。
7.重视信息技术的应用
本章教学中，可以让图形动起来，方便研 究不同情况下的图形的位置关系和数量关 系，有利于发现图形的性质。
(完整word版)初三数学圆的讲义
圆一．圆的定义及相关概念考点1：圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
考点2：确定圆的条件：圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆。
考点2：（圆的性质）圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔ d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm,ο30=∠CEA ， 求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．AB DCO· E二．垂径定理及其推论考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2．圆的两条平行弦所夹的弧相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
初三数学总复习讲座(七)圆-2
初三数学总复习讲座（七）——圆一、课程标准1、理解圆及其有关的概念,了解弧﹑弦﹑圆心角的关系，探索并了解点与圆﹑直线与圆以及圆与圆的位置关系．２、探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系,直径所对圆周角的特征．３、了解三角形的内心和外心 .4、了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线.5、会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积和全面积.6、探索圆的轴对称性及其相关性质,了解圆是中心对称图形,探索图形之间的变换关系,灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.二、09年中考考试说明▪C层次要求的知识点有:圆的性质,圆周角,直线与圆的位置关系.▪B层次要求的知识点有:圆的有关概念,垂径定理,切线长,弧长,扇形,圆锥的侧面积和全面积,圆与圆的位置关系.▪重点:圆的有关性质;圆周角的有关计算;直线与圆的位置关系.▪难点:综合运用所学知识解决有关问题.三、中考说明变化四、历年中考06—08中考分值五、知识结构圆锥侧面展开图 切线的证明908年中考 正多边形 切线的证明907年中考 圆锥侧面展开图 切线的证明1006年中考知识点分值 年份 圆周角及其与同弧上圆心角圆的对称性六、复习过程（一）圆的基本性质1、圆的概念:理解圆及其有关概念;会过一点和不在同一直线上的三点作圆;能利用圆的有关概念解决简单问题．2、垂径定理:会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论;能运用垂径定理解决有关问题.3、圆心角:能运用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题.4、圆周角:了解圆周角与圆心角的关系和直径所对圆周角的特征;会求圆周角的度数;能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题.点与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系扇形面积,弧长,圆锥的侧面积和全面积5、中考题型：这部分题目变化灵活，在历年各地中考试题中均占有较大比例，就考查的内容和形式来看，不仅可以单独考查，而且往往与几何前几章知识以及方程、函数等知识相结合,1、(07山东）．如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB= 42，则⊙O的直径等于。
2019-2020学年度九年级数学讲义：圆的有关概念及圆的确定
2019-2020学年度九年级数学讲义：圆的有关概念及圆的确定【学习目标】1．知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.3．情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内⇔d ＜ r ；点P在圆上⇔d = r ；点P在圆外⇔d ＞r.“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？【思路点拨】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.【答案与解析】∵导火索燃烧的时间为18=200.9（s）相同时间内，人跑的路程为20×6.5=130（m）∴人跑的路程为130m＞120m,∴点导火索的人安全.【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.类型二、圆的有关计算3．已知，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为( )A.2B.3C.4D.5【思路点拨】在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.【答案】 C.【解析】作图，过点P作直径AB，过点P作弦，连接OC则OC=5，CD=2PC，由勾股定理，得，∴CD=2PC=8，又∵AB=10，∴过点P的弦长的取值范围是，弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4 条.故选C.【总结升华】利用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围.根据圆的对称性，弦长为9的弦有两条，容易漏解.举一反三：【变式】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cmB.6.5cmC. 2.5cm或6.5cmD. 5cm或13cm【答案】C.类型三、确定圆的条件的有关作图与计算4．已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作：⊙O使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.【解析】作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.【变式】（2015•江干区二模）给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点【答案】D.提示：A、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；B、C、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误；D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确，故选D．5．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 .【思路点拨】求出符合条件的OP的最大值与最小值.【答案】3≤OP≤5.【解析】OP最长边应是半径长，为5；根据垂线段最短，可得到当OP⊥AB时，OP最短．∵直径为10，弦AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，=，∴OP最短为3.由勾股定理的3∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5.【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短.举一反三：【变式】已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是___ ____．【答案】 OP最大为半径，最小为O到AB的距离．所以5≤OP≤13.。
初三数学-初三园区班讲义1122
初三数学圆的认识(1) 11.22一、判断题1．直径是最大的弦，最大的弦是直径．( )2．半圆所对的弦是直径，直径所对的弧是半圆．( )3．等于半径两倍的弦必是直径．( )4．圆心相同的圆叫同心圆．( )5．圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )6．半圆是弧．( )7．菱形四边中点共圆．( )二、选择题8．下列命题：①弦是直径；②半径相等的圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9．下列命题中，真命题是( )A．两个端点能重合的弧是等弧B．若AB、CD是等弧，则AB、CD一定在同圆或等圆中C．圆上任一条弦必定把圆分成劣弧和优弧两部分D．到圆心距离小于半径的点，必定在圆外10．若以菱形对角线的交点为圆心作圆，如果四个顶点都在圆上，那么这个菱形为( )A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．正方形11．如图，⊙O中点A、O、D以及B、O、C分别在同一条直线上，图中弦的条数为( )A．2 B．3C．4 D．512．下列各图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )13．在线段、等边三角形、平行四边形、圆这四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A．1种B．2种C．3种D．4种14．下列由圆和弧所组成的图案中，是中心对称但不是轴对称的图案为( )15．如果每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是( )三、填空题16．同圆的半径，等圆的半径．17．连结圆上的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做．圆上的部分叫做弧，的弧叫做优弧，的弧叫做劣弧.18．过圆上任一点可作条直径，条弦；一个圆有条直径，条弦．19．在⊙O中，圆心角 AOB为100°,则劣弧AB的度数是.20．一个圆心角为44°28＇，它所对的弧的度数为.21．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ACBD一定是.四、简答题22．如图，请作出下面破残圆片的圆心．23．弦AB把⊙O分成度数为1：5的两段弧，∠AOB的度数．24．如图，弦AB将圆分成的两段弧的度数之比为5：4．求∠AOB的度数及∠ABO的度数．圆的认识(2)一、判断题1．弦的平分线必过圆心．2．垂直于弦的直线平分此弦，并且平分弦所对的弧．( )3．在同圆或等圆中，如果两条劣弧不等，那么大弧所对的弦较大．( )4．已知：AB是⊙O的直径，弦BC=5，则点O到弦AC的距离是2．5．( )5．过弦中点的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．( )二、选择题6．在下列说法中：①直径垂直平分弦；②平分弦的直线过圆心；③平分圆的弦所对两条弧的直线过圆心；④弦的垂直平分线过圆心，其中错误的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，AB是⊙O的直径，CD、EF分别为AO、OB的垂直平分线，则下列结论正确的是( )A．AD＝DF＝BF B．AD＞DFC．DF＜FB D．AD＝BF≠DF8．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AD＝DC B．OD∥BC C．AC⊥BC D．AC＝BC9．如果在⊙O中的两条弦AB和CD的弦心距分别为OE和OF，且OE＞OF，那么两弦AB和CD的大小关系是( )A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．无法确定10．半径为4的圆中，过一条半径的中点，且与此半径的交角是300 的弦的弦长为( )A．23B．1152C．15D．21511．已知⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB于E，若AE＝2，CD＝12，则AB的长是( ) A．16 B．18 C．20 D．237三、填空题12．如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，且OM＝2，ON＝3，则AB＝，AC＝，OA＝．13．已知⊙O的半径为1 cm，弦AB所对的劣弧为圆周的14，则∠AOB ，AB= cm.14．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD于P，OA=2 cm，OP=1 cm，则AB= cm，∠AOB= ，BD的度数是，△ADC的周长是cm．15．在半径为6 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，直径CD⊥AB，E是垂足，则AE= ，OE= cm．16．过⊙O内一点P的最长弦长为10 cm，最短弦长为8 cm，则OP的长为．17．在半径为20 cm的圆中，有长为20 cm的弦AB，则圆心O到AB的距离是，∠AOB的度数为．四、简答题18．如图，⊙O的直径AB=20 cm，∠BAC=30°，求弦AC的长．19．已知⊙O的半径是25 cm，弦AB=48 cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别是C、D，求AC和AD的长．20．已知如图，圆内两条弦AB和BC，找出圆心位置，并写出作法．圆的认识(3)一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A．等弧所对的圆周角相等B．相等的圆周角所对的弦相等C．长度相等的弦所对的圆周角相等相D．同圆中，同一条弦所对的圆周角相等2．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD等于( )A．75°B．72°C．70°D．65°3．如图，A、B、C是⊙O上的三点，AB的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC的度数为( )A．15°B．20°C．25°D．30°4．下列命题中，正确的是( )A．相等的圆心角所对的弧相等B．半径所对的角是直角C．同圆的两条相交弦(直径除外)不能互相平分D．等弦的弦心距相等5．一条弦所对的圆心角为60°，则此弦所对的圆周角为( )A．30°B．60°C．150°D．30°或150°6．在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=30°，AC=23，则此三角形外接圆半径为( )A．3B．2 C．23D．4二、填空题7．如图，其中所画出的圆周角有：.8．(1)如图a，∠AOB=120°，则∠APB= ；(2)如图b，∠AOB=120°，则∠APB= .9．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦AE∥CD，AE的度数是50°，则∠BOD的度数是______________10．如图，CD是⊙O的直径，∠BCD=45°，则∠BAC= ．11．如图，∠APC=30°，BD=300，则AC= 0. 则∠AEB= 0.三、简答题12．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，延长AB、CD交于E点，且AB=2DE，∠E=18°．求∠AOC的度数．13．如图，AB是半圆的直径，∠ABC=900，AC交半圆于D，若AD=6，DC=2．求：(1)B到AC的距离；(2)∠A的大小．14．已知：如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，AE是直径．求证：BC=DE．。
初三数学圆的经典讲义之欧阳育创编
圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM 是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。
⊙O于B，且AB=OC，求∠A例3 ⊙O平面内一点P和⊙O3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． 【考点速练】1.下列命题中，正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆D ．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2C ．3个D ．无数个A BDC O · E4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个B．2个C．3个D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cm D.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB的延长线于点D ，求CD 的长．12拱高CD ＝4cm m 。