力学习题中的能量守恒问题

力学习题中的能量守恒问题

Mechanical Problem in the conservation of energy

摘要：大量事实证明，在能量转化过程中，功是能量转化的量度，某力做了多少功就有相应的多少能量发生了转化，如物体克服摩擦力做了多少功，就有多少机械能转化为能量。在能量的转移过程中，消耗多少某种形式的能量，就得到多少其他形式的能量，不关是哪种问题，它的解题思路大体有相似之处，这需要我们去不断发现和总结。但我们有理由相信，通过大家的积极探索，有关能量守恒这类问题必将不是个问题。

关键词：能量转化守恒

能量的转化和守恒定律是自然界中最基本和最普遍的规律之一。运用能量守恒的观点分析物体的运动与相互作用规律，是物理学中常用的研究问题的一种方法。能量守恒定律指出：在一个与外界没有能量交换的系统内，各种能量在相互转化或转移的过程中，能的总量保持不变。大量事实证明，在能量转化过程中，功是能量转化的量度，某力做了多少功就有相应的多少能量发生了转化，如物体克服摩擦力做了多少功，就有多少机械能转化为能量。在能量的转移过程中，消耗多少某种形式的能量，就得到多少其他形式的能量，如在热传递过程中，高温物体放出多少热量（减少多少内能），低温物体就吸收多少热量（增加多少内能）。利用能量守恒的观点解决具体问题，关键是明确在某个系统内有多少种能量发生了变化，在该系统与外界没有能量交换的条件下，增加的总能量等于减少的总能量。那么如何判定某个系统内哪几种能量发生了变化，又变化了多少？这是我们必须要解决的问题。下面本人就列举力学中常见的几种题型来简单谈谈。

1.系统内只有重力做功的情况

系统内物体在只有重力做功的情况下，只有重力势能和动能相互转化，如果重力做正功，则重力势能减少，动能增加；重力做负功，则重力势能增加，动能减少，两者在转化过程中总能量保持不变，即机械能守恒。其中，重力做功是重力势能变化的量度：重力做了多少正功，重力势能就减少了多少；重力做了多少负功，重力势能就增加了多少。

例1．如图1所示，长为L的轻竿，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在光滑的水平轴O上，使小球从最高点以速度V0在竖直平面内作圆周运动，求小球到达最低点时的速度V1？

图1

分析：在小球，轻竿和地球组成的系统内，只有小球的重力做功，所以系统内只有动能和重力势能相互转化。轻竿没有重力势能和动能，小球重力做正功，在该系统内小球的重力势能的减少量等于小球动能的增加量，即2mgL= mV12/2 - mV02/2，由此便可解得V1。

2．系统内只有弹力做功的情况

在高中阶段我们一般只谈弹簧弹力做功的情况，系统内物体在只有弹力做功的情况下，

只有弹性势能和动能相互转化，如果弹力做正功，则弹性势能减少，动能增加；弹力做负功，则弹性势能增加，动能减少，两者在转化过程中总能量保持不变，即机械能守恒。其中，弹

力做功是弹性势能变化的量度：弹力做了多少正功，弹性势能就减少了多少；弹力做了多少负功，弹性势能就增加了多少。

例2．如图2所示，在光滑的水平面上有质量相等且均为m的A、B两物体，B上装有一轻弹簧（质量忽略不计），B原来静止，A以速度V正对着B滑行并压缩弹簧，求弹簧的最大弹性势能？

图2

分析：把A、B物快和弹簧看做一个系统，在该系统内有A、B物快的动能，弹簧的弹性势能发生了变化。经过分析可知，当A、B物快速度相等时弹簧被压缩到最短，此时弹簧的弹性势能最大。在这一过程中A、B物快的动能减少量转化成了弹簧的弹性势能。

设A、B物快速度相等时都是V1，此时弹簧的弹性势能为E P ，由系统动量守恒可得： mV+0=2mV1，再由能量守恒知：mV2/2-2mV12/2= E P，根据上面两式便可求得E P。3．系统内有重力和弹力做功的情况

高中阶段我们学习和接触到的弹力做功通常多见于弹簧做功，在只有重力和弹簧弹力做功的情况下，系统内物体的重力势能，动能和弹簧的弹性势能三者能量之间相互转化。其中，弹簧做了多少正功弹性势能就减少多少，弹簧做了多少负功弹性势能就增加多少。

例3．如图3所示，有一轻质弹簧竖直放置在水平面上，今将一质量为m的物块轻放在弹簧上，当物体下落X时速度为0，试求此时弹簧的弹性势能E P 。

图3

分析：在物块，弹簧和地球组成的系统内只有弹簧弹力和物块的重力做功，所以有物快的动能，重力势能和弹簧的弹性势能三者之间发生了转化。在物快下落X的过程中，物快的动能变化量为0，重力势能减少了等于弹簧弹性势能的增加量，即mgX=E P-0，所以E P = mgX。4．系统内只有摩擦力做功的情况

这里我们指的摩擦力做功是指系统内摩擦力做的总功。如果系统内是静摩擦力做功，则总功为0，无内能产生；如果系统内是滑动摩擦力做功，则总功为负，有内能产生，而且总功的值等于系统产生的内能。在这种情况下，系统内一般有动能和内能参与了转化。

例4．如图4所示，质量为m的小物块以速度V滑上静止在光滑水平面上的质量也为m 的长木板，已知物块与长木板间的动摩擦因数为u。求系统内能的最大值。

图4

分析：在物块与长木板组成的系统中只有滑动摩擦做功，所以系统动能的减少转化成了内能，设两者速度相等时都为V1，此时系统内能最大，设为Q，由系统动量守恒可得：

图7mV+0=2mV 1 ，再由能量守恒知：mV 2/2-2mV 12/2= Q ，根据上面两式便可求得Q 。

5．系统内有重力和摩擦力做功的情况

系统内有重力和摩擦力做功的情况下，是动能，重力势能和系统的内能之间相互转化。其中物体所受合外力做的功等于物体动能的变化量，重力做功是物体重力势能的量度，系统内滑动摩擦力做功的代数和等于系统内能的增量。

例5.如图5

所示，质量为m 的小物块从高为H ，倾角为θ的，动摩擦因数为u 的固定斜面顶端无初速滑下，求物块滑到斜面底端时的动能E K ？

图5

分析：把物块和斜面看作一个系统，在该系统内有物块的重力和滑动摩擦力做功，所以是动能，重力势能和内能之间相互转化。其中物块重力势能减少量等于物块动能增加量与系统产生的内能之和，即mgH-0=（E K -0）+Q ，因为Q=umgcos θ×Hsin θ ，由上面两式联立可求的E K 。

6．系统内有重力，弹力和摩擦力做功的情况

这种情况应该是力学中比较复杂多力做功的问题，但不管多么复杂，我们处理问题的方法和基本思路是一致的。系统内有重力，弹力和摩擦力做功时，是物体的动能，重力势能，弹簧的弹性势能和系统内能之间发生相互转化，确定哪些能量增加，哪些能量减少，根据增加的总能量等于减少的总能量，便可求解出相应的未知量。

例6．如图6所示，轨道ABC 由动摩擦因数为u 的长为L 的水平轨道AB 和半径为R 的光滑半圆轨道BC 平滑相接。A 端固定一强度系数为K 的原长为a 的轻弹簧（a<

（1）将m 左移压缩弹簧，然后放手，使m 弹出后刚好在E 点处脱离轨道，求弹簧被压缩时具有的弹性势能E P ？

图6

分析：设物体刚好在E 点脱离时的速度为V 0，则此时物体只受重力作用，由mgR/（h- R ）=m V 02/R ①，在该系统中，弹簧弹性势能的减少转化成了物体的动能，重力势能和系统的内能。由能量守恒可知：E P -0=mgh+ m V 02/2+umgL ②， ① ②联立可解得E P 。

当然力学中出现的有关能量守恒的问题不局限于上面本人介绍的几种，不关是哪种问题，它的解题思路大体有相似之处，这需要我们去不断发现和总结。但我们有理由相信，通过大家的积极探索，有关能量守恒这类问题必将不是个问题。