线性代数第五章(答案)

第五章 相似矩阵及二次型

一、 是非题（正确打√，错误打×）

1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ )

2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ )

3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ )

4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ )

5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ )

6．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. ( × )

7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × )

8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × )

9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ )

10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ )

11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ )

13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ )

15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ )

16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ )

17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ )

18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ )

19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × )

20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T

不是二次型. ( √ )

21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ )

22．二次型

Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × )

23.任给二次型

Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )

二、 填空题

1．向量⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1111α,求两向量2α=____,3α=____,使321,,ααα两两正交. Ans: ()T 1,0,12-=α,T

⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,1,213α 2.若A 是正交阵,即E A A T =,则=A _____. Ans: 1或 -1

3.设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=121001065A ,则A 的特征值为________. (-1 ,2, 3) 4.n 阶方阵A =)(ij a 的特征值为n λλλ,,,21 ,则=A _____11n

n i i λλλλ==∏______,

=+++nn a a a 2211_____121n

n i i λλλλ=+++=∑________.

5.设二阶行列式A 的特征值为2,3, λ,若行列式482-=A ,则____=λ.(-1)

6.设三阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,则=--E A 14_____,

=-+*E A A 23______. Ans:-15,9

7. 已知⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=x A 00110002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-，则=x . 8. 若二阶矩阵A 的特征值为1-和1，则2008A = .

9.当x =___时,矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=01010110x A 能对角化.(-1,见教材)

10.设A 为2阶矩阵, 1α,2α是线性无关的二维列向量, 01=αA , 2122ααα+=A ,则A 的非零特征值为_______.

提示:由 ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=1200)()(2,12,1ααααA 知A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200相似, ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1200非零特征值为1. 11、设A 为正交矩阵，λ 为A 阵的特征值，则 λA E -=__________.

12、设3阶方阵A 的特征值为互不相同,若0=A 行列式则A 的秩为___2__

13. 二次型3231212

3222144)(x x x x x x x x x a f +++++=经过正交变换Py x =可化为 标准型216y f =, 则 a =__2___

14.二次型()222123123121323,,222f x x x x x x x x x x x x =+++++的秩是______； 二次型432143212),,,(x ax x x x x x x f -=的秩为2，则=a .

15.已知二次型yz xz xy z y x a f 222)(222-++++=,a 的取值为__2a ___时f 为正定, a 的取值为___1a -__时f 为负定.

16. 二次型322322214332x x x x x f +++=经过正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ______⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形=f _______,从而1),,(321=x x x f 表示的曲面类型是_________. Ans: ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3212121212132100

001y y y x x x ,23222152y y y f ++=,椭球面 三、 选择题