第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数重点讲义资料

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

三角函数的概念

(1)了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化．

(2)会判断三角函数值的符号．

(3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

知识点一 角的有关概念

(1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．

(3)若α与β角的终边相同，则β用α表示为β＝α＋2k π(k ∈Z )．

易误提醒 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|2k π<α<2k π＋π

2

，k ∈Z }． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．

[自测练习]

1．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称

D ．关于y 轴对称

解析：角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称． 答案：C

知识点二 弧度的概念与公式 在半径为r 的圆中 分类 定义(公式)

1弧度的角

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad 表示．

角α的弧度数公式 |α|＝l

r (弧长用l 表示)

角度与弧度的换算

1°＝π

180

rad ；1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|·r 扇形的面积公式

S ＝12lr ＝1

2

|α|·r 2 易误提醒 角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

[自测练习]

2．弧长为3π，圆心角为3

4

π的扇形半径为________，面积为________．

解析：弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝|α|·r ，得r ＝l |α|＝3π34π＝4，面积S ＝1

2

lr

＝6π.

答案：4 6π

知识点三 任意角的三角函数

三角函数

正 弦

余 弦

正 切

定 义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么

y 叫作α的正弦，记作sin α

x 叫作α的余弦，记作cos α y

x 叫作α的正切，

记作tan α 各象限符号

Ⅰ

正

正

正

Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负

正

负

口诀

一全正，二正弦，三正切，四余弦

三角函数线

有向线段MP 为正弦线

有向线段OM 为

余弦线

有向线段AT 为正切线

易误提醒 三角函数的定义中，当P (u ，ν)是单位圆上的点时有sin α＝ν，cos α＝u ，tan α＝νu ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝νr ，cos α＝u r ，tan α＝νu

.

[自测练习]

3．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角

D ．第四象限角

解析：由sin α<0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α>0，∴α在第三象限．

答案：C

4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255

，则y ＝________.

解析：由三角函数的定义，sin θ＝y

16＋y 2

， 又sin θ＝－25

5<0，

∴y <0且

y 16＋y 2

＝－25

5，

解之得y ＝－8. 答案：－8

考点一角的集合表示及象限角的判断|

1．(2015·东城期末)若角α满足α＝2k π3＋π

6(k ∈Z )，则α的终边一定在( )

A ．第一象限或第二象限或第三象限

B ．第一象限或第二象限或第四象限

C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上

D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上 解析：由α＝2k π3＋π

6，k ∈Z ，

当k ＝0时，α＝π

6，终边在第一象限．

当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π

6

，终边在第二象限．

当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π

2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.

答案：D

2．已知sin α>0，cos α<0，则1

2α所在的象限是( )

A ．第一象限

B ．第三象限

C ．第一或第三象限

D ．第二或第四象限

解析：因为sin α>0，cos α<0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，则

π

4＋k π<12α<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，1

2α为第三象限角，

故选C.

答案：C

3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，

得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，

从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°