数学与二战军事密码

数学与二战军事密码

一.密码的定义

最尖端军事技术其实是密码，你永远不可能理解其中的巨大代价与深奥。

——萨苏从字面上看，“密码”应该是指密文中所用的符号。但这些符号若不代表着某些明文，那它们也仅仅是符号而已。因此“密码”应该是隐藏着明文信息的密文符号。

一般来说，我们有了以下定义：

所谓一个密码体制，是由如下五个部分组成的一个系统：

（1）明文系统μ

（2）密文系统π

（3）密钥集合K

（4）加密变换集合E及加密算法e

（5）解密变换集合D及解密算法d

K中的任一密钥k，既作为加密算法e的参数决定了E中的一个加密变换e

k

：μ→π，同时又作为解密算法d的参数决定了D中的一个解密变换d k：π→μ，

并且e

k 与d

k

互为逆变换，即对明文集合中的任一明文语句M，恒有d

k

（e

k

（M））

=M。

因此可以明确地说，“密码”一般就是指“密码体制”。在不引起混淆的情况下，有时也指一个密钥已具体给定的密码体制。

二. 二战军事密码的数学原理

到了二战，数学原理已经被广泛应用到军事密码的编制中，早已不再是早期密码的那种字母调换等简单的编制方式。这里简单列举几种典型的军事密码及其大致原理。

在太平洋战争爆发之前，日本军方就发明了一种被称为“紫密”的机编密码，

编制这种密码的机电式密码机，被日本人称为“九七式欧文印字机”。紫密机由两部分组成，一是按键印字部分，其中按键部分用于将明文打字输入，印字部分用于密文的打印输出。而位于右半部的第二部分是加密部分，当你将26个字母中的一个数字输入机器以后，密钥轮就会转动，按照事先设定好的程序进行转换，而输出的将是另一个让所有的数学家都束手无策的字母。因为这种紫密密码机一共有4个密钥轮，所以就会产生（264*26！）个可能的密钥，这是一个令人难以想象的天文数字。

而在大洋另一边的德国，德国发明家亚瑟·谢尔比乌斯（Arthur Scherbius）和理查德·里特（Richard Ritter）也发明了一种被称为“恩尼格玛”（ENIGMA，意为哑谜）的电气编码机械。该密码机核心部分是三个直径6厘米的转子，它们的主要部分隐藏在面板下。之所以叫“转子”，因为它会转，这就是关键。当按下键盘上的一个字母键，相应加密后的字母在显示器上通过灯泡闪亮来显示，而转子就自动地转动一个字母的位置。同一个字母在明文的不同位置时，可以被不同的字母替换，而密文中不同位置的同一个字母，又可以代表明文中的不同字母，字母频率分析法在这里丝毫无用武之地了。这种加密方式在密码学上被称为“复式替换密码”。

但是如果连续键入26个字母，转子就会整整转一圈，回到原始的方向上，这时编码就和最初重复了。而在加密过程中，重复的现象就很是最大的破绽，因为这可以使破译密码的人从中发现规律。于是“恩尼格玛”又增加了一个转子，当第一个转子转动整整一圈以后，它上面有一个齿轮拨动第二个转子，使得它的方向转动一个字母的位置。因此只有在26ｘ26＝676个字母后才会重复原来的编码。而事实上“恩尼格玛”有三个转子（二战后期德国海军使用的“恩尼格玛”甚至有四个转子！）。因此我们可以很简单地计算出，要想通过“暴力破译法”还原明文，需要试验多少种可能性：三个转子不同的方向组成了26ｘ26ｘ26＝17576种可能性；三个转子间不同的相对位置为6种可能性；连接板上两两交换6对字母的可能性则是异常庞大，有100391791500种；于是一共有17576ｘ6ｘ100391791500，其结果大约为10000000000000000！即一亿亿种可能性！这样庞大的可能性，换言之，即便能动员大量的人力物力，要想靠“暴力破译法”来逐一试验可能性，那几乎是不可能的。而收发双方，则只要按照约定的转子方向、

位置和连接板连线状况，就可以非常轻松简单地进行通讯了。这就是“恩尼格玛”密码机的保密原理。

三.破解“AF”

成功偷袭珍珠港之后，日本军方升级了上文提到的“紫密”体系，称为“舰队密码体制”。这套密码是高级司令部才能使用的战略级密码，被美国情报人员命名为“JN-25b”。由于在珍珠港蒙受了巨大损失，美国海军痛感情报的重要，开始大力加强情报收集分析和密码破译工作，几乎将全部情报部门的力量都投入到破译“JN-25b”情报中来。此外，美国还向盟国请求支援，包括英国设在中国香港，后转移到新加坡、锡兰的远东情报站，以及荷兰的荷属东印度群岛情报站等，都同时截取大量的“JN-25b”通讯，破译后转给美国海军情报部门汇总分析，以便做出准确判断。

早在5月中旬，美国太平洋舰队总部作战情报处，在截获日本的电报中，发现了“AF”一词，引起了情报人员的注意。到了5月20日，他们又截收到一份电报，内容是日本联合舰队给各部队下达的作战计划。里面多次提到“AF”，看来“AF”好像指的是一个地方。经过分析，作战情报处认为可能是指中途岛。但这个情报到底准确不准确呢?

作战情报处的罗彻福特海军中校苦思苦想，最后想出了一个能证明“AF”指的就是中途岛的计策。他通过潜艇电报系统向中途岛发出指示，要守岛的指挥官用普通英文发出紧急无线电报，说中途岛上的供水蒸馏塔坏了。又由第十四海区司令官布洛克海军少将立即回电说，有一艘供水船正前往该岛紧急供水。这个计策果然很灵，不出24小时，作战情报处就截获日本从威台岛的电台发出的密电，上面说“AF”缺少淡水。接着日方又在密电中发出命令，要部队多带水。

美国太平洋舰队总司令尼米兹海军上将确认，“AF”就是中途岛，了解到日军的作战意图后，立即制订了对付山本五十六的作战计划。要求避免同优势之敌进行正面对抗，必须以消耗战来削弱敌人的兵力，用潜艇和轰炸机袭击各个孤立之敌。为了保证美国的航空母舰在合适的时间到达合适的地点，尼米兹命令作战情报处必须提供“AF”行动的准确时间。