高中数学常见最值问题及解题策略毕业论文
高中函数最值问题解题策略
高中函数最值问题解题策略高中函数最值问题，蕴含了许多数学思想方法，因而最能考察学生的逻辑思维能力。
函数最值问题，一直是教学的重点，也是高考重要考点。
然而，从近几年高考得分率来看，学生对这一考点的只是依旧不能熟练掌握。
本文从理论基础、解题策略。
典型例题三个方面对高中阶段的函数最值问题的解题方法做了归纳。
1、导数法，适用于一元多项式函数理论：函数的导数的几何意义，函数在某点出的导数就是该函数图象的过该点的切线的斜率。
显然，过函数图象最高点或最低点作该函数的切线，切线应该水平，水平位置的直线斜率当然为零，该点对应的函数值就是函数的最值。
函数的最值具有区间性，它与函数的极值和区端点出的函数值有关。
解题策略：欲求函数的最值，必先求出函数的极值。
求函数极值方法是：求)(x f y =得导函数')(x f ，求方程')(x f =0的根；根据')(x f 判断原函数的单调性，确定极值。
求函数最值得方法是：设函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上为连续的一元函数，先按照上面的步骤求出极值，再求出端点处的函数值，最后比较这些值得大小，最大者为最大值，最小者为最小值。
2、均值不等式法，适用于满足于满足均值不等式条件的分式不等式求最值理论：若+∈R b a ,,则ab b a ≥+2，当且仅当b a =时，等号成立。
均值不等式还有其它的表示方法，并且可以推广到左边为任意多个正数相加的情况。
解题策略：利用均值不等式求和的最小值或积的最大值时，一定要同时满足三个条件，一正、二定、三相等，它们分别指，不等式各项都为正实数，和或积为一固定实数，并且这些实数可以彼此相等，这三个条件缺一不可。
3、图象法利用函数图象来解题的思维在数学上属于形象思维。
它是零相关的数学概念，结合图象，直接得到结果的数学思维过程。
从中可以看出，图象法解题的关键在于准确画出图形。
4、利用函数的有界性在高中阶段，有界函数有：x e y =，x y x y xy x y cos ,sin ,1,,2====等，用分离参数的方法即可求出变量的取值范围，即最值。
高中数学应用题的最值问题研究优秀获奖科研论文
高中数学应用题的最值问题研究优秀获奖科研论文新课标对学生的学习能力和应用意识有更高要求，高中数学教学需要从单纯的知识传授向培养学生的学习能力和应用意识方面转变.高中数学应用题的最值问题与学生的日常生活比较贴近，应用题的最值问题逐渐成为高中数学教学的重点内容之一.下面就高中数学应用题的最值问题教学进行分析.一、应用题的最值问题教学分析1.应用题的最值问题解题思路.（1）审题.应用题文字背景多，信息量大，且包含许多隐藏信息.学生首先要阅读文字，理解题目的含义和所涉及的条件、结论，掌握各个信息和数字之间的内在联系.在教学实践中，教师可以通过以下两个方面培养学生的审题意识和能力.一是扩展学生的阅读量，阅读内容不仅局限于教材，还应向学生的内涵扩展，提高学生对实际问题的理解能力，增强学生将文字转化为数学信息的能力；二是夯实基础.应用题重点考查学生的基础能力，如一次函数模型、指数函数模型等数学模型.学生只有具备扎实的数学基础，才能熟练运用数学基础知识解决实际问题.（2）数学建模.从本质上分析，应用题的最值问题考查学生利用文字信息构建数学模型的能力，学生能否利用问题信息构建数学模型也是成功解题的关键.数学模型是概念、符号、公式的结合，解决最值问题时要求学生明确各个数值的内在关系，再结合已知的数学模型，选择与问题、数值关系相吻合的数学模型.新课改后，数学知识主要以实际问题方式呈现，教师应重视提高学生的数学建模能力.（3）求解.构建数学模型后，求解是解决问题的重要环节.在解题过程中，教师应引导学生从数字的实际意义出发，通过数的变形和转化简化解题过程.（4）还原.求解获得应用题的最值后，应将结论还原到实际问题中，达到解决实际问题的目的.2.应用题的最值问题的常见模型及建模.高中数学应用题的最值问题的常见模型比较多样，如函数、不等式、几何、数列等模块知识可以用于创设应用题的最值问题.在教学中，教师应根据问题考查的侧重点，构建恰当的数学模型.如中奖率、命中率、工程随机生产等应用题的最值问题，可以构建概率模型，资源分配、优选等应用题的最值问题，可以构建不等式模型或线性规划模型求解.对于最优化等问题，可以构建几何模型求解.二、案例分析高中数学应用题的最值问题主要考查函数知识，所涉及函数应用题的题型丰富，解法灵活多变.在教学中，教师应引导学生深入分析应用题的文字信息，将文字信息“翻译”为数学条件或数学信息，再根据数学信息建立函数模型.其中“方案最优化”为常见考查题型，“方案最优化”问题的解题关键在于建立目标函数，再根据函数的单调性、不等式、三角函数的界性和求导的特性求解.1.应用题的最值问题.某公司花费2160万元购买了一块地皮，该公司预期在该地皮上建造一栋建筑物，建筑物的楼层不低于10层，每层建筑的面积为2000m2.根据专家计算，如果建筑物共建造x层，则每平方米的楼层的平均综合建造费用为（560+48x）元，为最大限度降低建造费用，该建筑共建造多少层最合适（平均综合建造费用=平均建筑费用+平均购地费用；平均购地费用=购地总费用÷建筑总面积）？总之，高中数学应用题的最值问题是对学生的文字信息转化能力、建模能力的考查，教师应重点提高学生的审题能力，夯实学生的数学基础知识，提高学生将文字转化为数学条件的能力.同时，最值问题对学生的思维能力也有更高的要求，教师应重视培养学生的数学思维，提高学生的推演能力水平，建立应用题文字信息与数学函数之间的内在联系，提高解决应用题的最值问题的水平，培养学生解决实际问题的能力.。
高考数学最值问题及解题思路分享
高考数学最值问题及解题思路分享在高考数学中，最值问题是一道经典的题型，出现频率较高。
关于最值问题，我们可以从以下三个方面来进行探讨：最大值、最小值和最优解。
接下来，我们将从这三个方面入手，来一起学习解题思路。
一、最大值最大值问题通常可以通过以下步骤来解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最大值点。
2. 计算：将最大值点代入原函数，可得函数的最大值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求其在区间$[-2,2]$上的最大值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3x^2-3$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\pm1$。
由此得出，当$x=\pm1$时，函数$f(x)$取得最大值。
将$x=\pm1$代入原函数，可得最大值为$f(1)=f(-1)=3$。
二、最小值与最大值问题类似，最小值问题也可以通过以下步骤解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最小值点。
2. 计算：将最小值点代入原函数，可得函数的最小值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=(x-1)^3-x^2$，求其在区间$[0,2]$上的最小值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3(x-1)^2-2x$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\frac{3}{4}$和$x=2$。
由此得出，当$x=\frac{3}{4}$和$x=2$时，函数$f(x)$取得最小值。
将$x=\frac{3}{4}$和$x=2$代入原函数，可得最小值为$f(\frac{3}{4})=\frac{-49}{64}$和$f(2)=-4$。
三、最优解在实际问题中，我们通常要找到一个最优解，这个解可能既不是最大值也不是最小值，而是在某种条件下最合适的解。
高中数学教学论文-例谈三角函数中的最值问题
例谈三角函数中的最值问题三角函数的最值问题，其实质上是对含有三角函数的复合函数的求值，是三角函数基础知识的综合应用。
近几年高考题中，此类问题及经常出现，其解法主要是通过三角函数恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种函数形式，然后借助于三角函数性质来解决。
下面就其类型与解法举例说明。
1 y=asinx + bcosx+c 型例1 已知函数f(x)=2asin 2 x-2asinx·cosx+a+b(a 0)的定义域为 [0， ] ，值域为[-5，1]，求常数a 、b 的值。
解：f(x)=a(1-cos2x)-asin2x)+2a+b =-a(cos2x+sin2x)+2a+b=-2asin(2x+ )+2a+b. x [0,],2x+[,]. -sin(2x+) 1. 因此，由f(x)的值域为[-5，1]可得, 或或 点评：本题将函数化为一个角的一种函数的形式。
本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y=asinx+bcosx+c 型的函数，再应用函数的有界性求解。
3≠2π336π∈2π∴6π∈6π67π∴21≤6π≤.-5.=b +2a +12a -1=b +2a +)21(-2a -0,a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-⨯-=++⨯-<.5221(2,1212,0b a a b a a a ∴⎩⎨⎧-==.5,2b a ⎩⎨⎧=-=.1,2b a2 .y=asinx 2+bsinx+c 型例3求函数f(x)= 2-4asinx-cos2x 的最大值和最小值。
解：y=f(x)=2-4asinx-(1-2sin 2x)=2sin 2x-4asinx+1=2(sinx-a)2+1-2a 2.设sinx=t,则-1t 1,并且y=g(t)=2(t-a)2+1-2a 2.(1)当a<-1时，有y max =g(1)=3-4a,y min =g(-1)=3+4a.(2)当-1a 1时,有y min =g(a)=1-2a 2,y max 为g(-1)和g(1)中的较大者,即y max =3-4a(-1a 0),(3)当a>1时,有y max =g(-1)=3+4a,y min =g(1)=3-4a.本题可以化为以sinx 为自变量的二次函数，定义域为[-1,1],利用二次函数在闭曲间上的最值求法。
高中数学二元函数最值问题求解方法论文
高中数学二元函数最值问题求解方法浅析我们把形如z=f（x，y）的函数称为二元函数。
其最值问题是高中数学的一大难点，近年来高考试题中屡有考察。
求解二元函数的最值，涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用。
学好二元函数问题最值的求解，是函数部分的一大重点。
求解二元函数最值，核心思想是化二元为一元——将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键，也是本质。
通过消元或换元，将一个二元问题简化为一元函数问题，依托于研究学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。
下文所叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体运用。
同时，求解二元函数最值问题时，联系题目中条件与最值问题所对应的几何意义——利用数形结合的思想，将二元函数问题化归为二维平面内的图形变换关系，通过观察图形的几何意义来解决问题，是此类问题其求解的又一法宝。
此外，结合已知条件，利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一重要工具。
均值不等式法就体现了这一思想。
下面通过几个具体的例子，着重通过一题多解的模式来分析二元最值求解的基本方法。
1. 配方法利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分析新式子的结构，进而研究确定二元函数的最大值或最小值，这也是求极值的一种很简便的方法。
例1：求二元函数z=x4+y4+2 x2y2-4x2-3y2+2y+15的最小值。
分析：原式配方得：z=（x2+y2-2） 2+（y+1）2+10，当且仅当x2+y2-2=0且y+1=0 ，即x= ±1，y=-1 时，z的最小值是10例2：已知x∈r ，y ∈r，求 u=x2+xy+y2-x-2y+5的最值。
分析：原式配方可得 u=（x+y-12）2+34（y-1）2+4，当且仅当x+y-12=0及y-1=0时即x=0，y=1时取最小值42. 消元法消元法是求解二元函数最值问题的最基本方法。
毕业论文——高中数学常见最值问题及解题策略
目录1引言 02文献综述 (1)2.1 国内研究现状 (1)2.2 国内研究现状评价 (1)2.3 提出问题 (2)3高中数学常见最值问题及解题策略. (2)3.1 无理函数的最值问题 (2)3.2 三角函数的最值问题 (4)3.3 数列的最值问题 . (6)3.4 平面向量的最值问题 (10)3.5 圆锥曲线的最值问题 (11)3.6 具有几何意义的最值问题 (13)3.7 几个特殊类型函数的最值问题 (16)3.8 用特殊方法求一类函数的最值问题 (23)4.结论. (23)4.1 主要发现 (24)4.2 启示 (24)4.3 局限性 (24)4.4 努力的方向 (24)参考文献 . (25)1引言最值问题是人们在生产和日常生活中最为普遍的一种数学问题，它的应用性和实用性非常广泛，无论是在生产实践中还是在科学研究领域我们都会遇到一些关于“最好”、“最省”、“最低”、“最优”、“最大”、“最小”等问题，这些问题一般都是转化为最值问题进行求解．此类问题的求解，不仅充分训练了学生把实际问题抽象成数学问题的思维方式，还培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也使学生逐步形成了应用数学的意识．在近几年的高考题中，最值问题是考试命题的一个重点，它占了高考分数的5%~23%．从题型上讲，主要以选择题、填空题和解答题三种形式出现．从难易程度上讲，主要有基础题、中档题和高档题三种题型．它在考查基础知识的同时，也逐步加强了对能力的考查，高考将注重检查学生对所学课程内容达到融会贯通的程度．因此，求解最值问题将会是高考的一个难点，学生不但要较好地掌握各个分支的知识，还要善于捕捉题目信息，有较强的思维能力，能够运用各种数学技能，灵活选择适当的解题方法，方能达到事半功倍之效．文章从高中数学试题中经常出现的无理函数、三角函数、数列、向量、圆锥曲线和解析式具有几何意义的最值问题以及三类特殊最值问题几个方面对高中数学最值问题进行相关探讨，给出求高考数学最值问题的解题策略，为学生的备考和教师的教学提供相应的指导．2文献综述2.1 国内研究现状对于中学数学中最值问题的求解，国内已经有了一定的探讨，文[1] － [5] 中总结归纳了最值问题的常用求解方法；文[6] 通过举例讨论了一类无理函数最值的求解策略；文[7] 讨论了如何巧求一类二元函数的最值；文献 [8] 针对解析式具有几何意义的函数的最值巧妙求法方法进行了归纳总结；文 [9] 给出了三类最小值问题的统一解法及一般结果；文[10] 对一类函数最小值问题的处理方法进行了探讨；文 [11] 对一类函数最小值问题的处理方法进行了相关的补充；文 [12] 介绍了几种关于应用均值定理求最值的方法；文 [13 ] 给出了 2005～ 2009 年中最新五年高考真题及其详解；文[14] ～ [15 ] 介绍了函数最值的概念及其求解方法；文[16] 给出了用松弛变量法巧妙地求解一类二元函数的最值问题的方法．2.2 国内研究现状评价国内虽然对最值问题的求解方法已有了一定的研究，尤其是最值问题的常用求解方法归纳比较全面系统．但是在近几年的高考题中，主要考查学生学以致用的能力，只利用常用求解方法一般很难解决高考题中的最值问题．高考很多最值问题都是要综合应用相关知识的概念、性质、定理才可解决．现查阅到的参考文献中大多只讨论了最值问题的常用求解方法及归纳了几个特殊最值问题的统一解法，并没有具体探讨高考数学中基本最值问题的求解策略．2.3 提出问题由于高考过程中，试题数量多、时间少、难度大，要在高考中获胜，必须要讲解题方法“精”、“巧”、“练”．而大多资料并没有从高考的角度研究高考数学中最值问题的求解，最值问题的求解方法还不够完善，高考中学生对最值问题的求解还存在一定的困难．因此，本文将通过查阅相关资料，站在高考的角度，对高中数学常见最值问题及解题策略进行总结、归纳、整理，进一步完善最值问题的求解策略，为学生的备考和教师的教学提供相应的指导．3高中数学常见最值问题及解题策略最值问题是中学数学的一个重要内容，也是各种考试命题的一个热点．尤其在高考命题中，它是必不可缺少的热门考点，在近几年的高考试卷中，函数的最值问题占了相当大的比例．其主要以选择题、填空题和解答题的类型出现，其目的在于考查学生对基础知识的把握和灵活运用相关知识的能力．解决这类问题涉及的知识面较宽，要求学生不仅要能利用常用方法求解简单函数的最值问题，还要学生能根据知识的内在联系以及函数本身的特征适当选择最优解题方案，达到事半功倍之效．3.1 无理函数的最值问题求形如 y a1x2b1x c1a2 x2b2 x c2的最值此类题型求解最值的方法很多，一般有平面几何法、分析法、解析几何法、复数法和求导法．但在求解过程中这些方法的使用非常灵活，存在一定难度，要求对常用最值求解工具较为熟悉，能根据解析式的特征联系相关知识，恰当、准确地选用最优解题方案进行求解．而如何实现使用最优解题方案进行求解，关键是要认真捕捉题目信息，仔细观察解析式，从而根据知识的内在联系，利用转化思想便可解决问题．例 1求 f(x)25x2x27x 2 的最小值.解令 y25x2x27 x ,显然 x[ 5,0] 有意义,有y(25x2x27x)225 7 x 2 (25 x2 )( x 2 7 x) ,则7x 0,2 (25 x 2 )( x 27x) 0 ,（当 x0 时等号成立）当 x0 时y min 5，所以f ( x) min7 ．评析该题根据解析式的特征合理变形后，采用分析法．利用不等式的性质进行解答．本题主要考查学生的应变能力、分析能力和观察能力（各个时候取等号的条件的一致性，否则没有最值）．例 2求f ( x)x 24x13x210x263( x R) 的最小值．解令 y( x2)232(5x) 212，设 z1(x2)3i, z2 (5 x) i ，则y z1z2，且 z1z2 3 4i 5 ，有z1 z2 z1 z2 5．当且仅当314时函数取得最小值．当x17时 y min 5 ，x2 5 x34所以f ( x) min8 ．评析采用复数法，利用复数模的性质z1z2z1z2z1z2，把代数式转化为复数模的关系进行求解．求二元无理式的最值二元无理式的最值问题也是最值求解的一个难点，虽然它的解题方法不少，但是解答过程非常复杂繁琐，计算容易出错．而这种题可以运用一个定理便可轻松简捷地求解．定理 1设 x 1, x 2 R ， y, y 2R ，则x 12x 2 2 ( x 1 x 2 )2 （当且仅当 x 1 : y 1x 2 : y 2 时y 1y 2y 1 y 2等号成立）．例 3 若 x1y 2 5 ，求 f (x) x y + 5的最小值 .x 1y 22解 令 zxy, 根据定理得111x1 y2 zxy 1 ,1 1(x 1 y 2 )211 1522127 ,2当且仅当x 1 y 2 ， x 1y2 5 时取得最小值 .11当 x21, y 33 时4427 ,zmin2所以f ( x) min 16 ．评析该无理函数求解最值的方法很多，但是相比之下，利用此定理使用松弛变量法 [16]更为巧妙，但需注意的是题目中的已知条件必须全部满足定理的要求， 否则求解将会有误，在使用这种方法时，必须认真捕捉题目信息．3.2 三角函数的最值问题在高考试卷中，求解三角函数的最值问题的题目出现的非常频繁，几乎每年都会出现，占高考分数的 3% ~ 8% ．它主要考查学生对三角函数基础知识的综合运用．其难度大，很多学生对此类问题“一筹莫展” ．其实，三角函数的最值问题看似非常复杂，一般使用常用最值求解方法很难求解，但是要解决它并不困难，只要充分理解其概念、性质，牢记公式，能灵活运用正弦定理、 余弦定理及相关的三角公式进行适当的变形化简，然后根据它的性质、 定理逐步击破， 便可解决问题． 因此，在解决三角函数最值问题时，关键在于学生对其性质、定理的深刻理解和各个三角公式的灵活运用．例 4（2008 年全国卷Ⅱ） 若动直线 xa 与函数 f ( x) sin x 和 g (x)cos x 的图像分别交于 M 、 N 两点，则 MN的最大值为（ B ）．解f ( x)g (x) sin xcos x2 sin( x4 ) , 根据三角函数的性质可知，当x k3 ,k z 时， MN maxf ( x)g (x) max2．故 选B ．4评析 本题主要考查学生对三角函数的性质的理解和应用．例 5（2008 年全国卷Ⅰ） 设 ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边长为 a 、 b 、 c ，且a cos Bb cos A3c ．（Ⅰ）求 tan A cot B 的值．（Ⅱ）求 tan( A B) 的最小值．5解 （Ⅰ）由正弦定理知ac sin A ， b csin B ,sin C sin Ca cos Bb cos A( sin Acos Bsin Bcos A) csin Csin Csin Acos B cos B sin A csin( A B) sin Acos B cos Asin B csin Acos B cos Asin B (tan A cot B 1) c ,tan A cos B 1由题意得(tan Acot B 1) c 3c ,tan A cot B 15解得tan Acot B 4 ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得tan A4 tan B ，则 A 、 B 都是锐角，于是tanB 0 ．所以tan( A B) tan A tan B3 tan B 3，1 tan A tan B1 4 tan2 B4且当 tan B时，上式取等号，所以tan( A B) 的最大值为3．24评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例 6（2008年四川卷）求函数y7 4sin x cos x4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值．解由 y7 4sin x cos x 4cos 2 x4cos 4 x 得 y(1 sin 2x)2 6 ．由于函数 z(u1)2 6 在 [ 1,1]中的最值为zmax10 ， z min 6 ．故当 sin 2 x1时ymax10 ，当 sin2x 1 时ymin 6 ．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3 数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009 年四川卷、安徽卷和2008 年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例 7（2009年安徽卷）已知a n为等差数列， a1 a3a5 105 ，a2 a4 a699 ．以s n表示 a n的前n项和，则使得 s n达到最大值的n是（ B）．且当 tan B时，上式取等号，所以tan( A B) 的最大值为3．24评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例 6（2008年四川卷）求函数y7 4sin x cos x4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值．解由 y7 4sin x cos x 4cos 2 x4cos 4 x 得 y(1 sin 2x)2 6 ．由于函数 z(u1)2 6 在 [ 1,1]中的最值为zmax10 ， z min 6 ．故当 sin 2 x1时ymax10 ，当 sin2x 1 时ymin 6 ．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3 数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009 年四川卷、安徽卷和2008 年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例 7（2009年安徽卷）已知a n为等差数列， a1 a3a5 105 ，a2 a4 a699 ．以s n表示 a n的前n项和，则使得 s n达到最大值的n是（ B）．A ．（21）B ．（ 20）C ．（19）D ．（18）且当 tan B时，上式取等号，所以tan( A B) 的最大值为3．24评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例 6（2008年四川卷）求函数y7 4sin x cos x4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值．解由 y7 4sin x cos x 4cos 2 x4cos 4 x 得 y(1 sin 2x)2 6 ．由于函数 z(u1)2 6 在 [ 1,1]中的最值为zmax10 ， z min 6 ．故当 sin 2 x1时ymax10 ，当 sin2x 1 时ymin 6 ．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3 数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009 年四川卷、安徽卷和2008 年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例 7（2009年安徽卷）已知a n为等差数列， a1 a3a5 105 ，a2 a4 a699 ．以s n表示 a n的前n项和，则使得 s n达到最大值的n是（ B）．A ．（21）B ．（ 20）C ．（19）D ．（18）且当 tan B时，上式取等号，所以tan( A B) 的最大值为3．24评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例 6（2008年四川卷）求函数y7 4sin x cos x4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值．解由 y7 4sin x cos x 4cos 2 x4cos 4 x 得 y(1 sin 2x)2 6 ．由于函数 z(u1)2 6 在 [ 1,1]中的最值为zmax10 ， z min 6 ．故当 sin 2 x1时ymax10 ，当 sin2x 1 时ymin 6 ．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3 数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009 年四川卷、安徽卷和2008 年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例 7（2009年安徽卷）已知a n为等差数列， a1 a3a5 105 ，a2 a4 a699 ．以s n表示 a n的前n项和，则使得 s n达到最大值的n是（ B）．A ．（21）B ．（ 20）C ．（19）D ．（18）且当 tan B时，上式取等号，所以tan( A B) 的最大值为．24评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例 6（2008年四川卷）求函数y7 4sin x cos x4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值．解由 y7 4sin x cos x 4cos 2 x4cos 4 x 得 y(1 sin 2x)2 6 ．由于函数 z(u1)2 6 在 [ 1,1]中的最值为zmax10 ， z min 6 ．故当 sin 2 x1时ymax10 ，当 sin2x 1 时ymin 6 ．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3 数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009 年四川卷、安徽卷和2008 年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例 7（2009年安徽卷）已知a n为等差数列， a1 a3a5 105 ，a2 a4 a699 ．以s n表示 a n的前n项和，则使得 s n达到最大值的n是（ B）．A ．（21）B ．（ 20）C ．（19）D ．（18）且当 tan B时，上式取等号，所以tan( A B) 的最大值为．24评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例 6（2008年四川卷）求函数y7 4sin x cos x4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值．解由 y7 4sin x cos x 4cos 2 x4cos 4 x 得 y(1 sin 2x)2 6 ．由于函数 z(u1)2 6 在 [ 1,1]中的最值为zmax10 ， z min 6 ．故当 sin 2 x1时ymax10 ，当 sin2x 1 时ymin 6 ．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3 数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009 年四川卷、安徽卷和2008 年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例 7（2009年安徽卷）已知a n为等差数列， a1 a3a5 105 ，a2 a4 a699 ．以s n表示 a n的前n项和，则使得 s n达到最大值的n是（ B）．A ．（21）B ．（ 20）C ．（19）D ．（18）且当 tan B时，上式取等号，所以tan( A B) 的最大值为．24评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例 6（2008年四川卷）求函数y7 4sin x cos x4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值．解由 y7 4sin x cos x 4cos 2 x4cos 4 x 得 y(1 sin 2x)2 6 ．由于函数 z(u1)2 6 在 [ 1,1]中的最值为zmax10 ， z min 6 ．故当 sin 2 x1时ymax10 ，当 sin2x 1 时ymin 6 ．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3 数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009 年四川卷、安徽卷和2008 年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例 7（2009年安徽卷）已知a n为等差数列， a1 a3a5 105 ，a2 a4 a699 ．以s n表示 a n的前n项和，则使得 s n达到最大值的n是（ B）．A ．（21）B ．（ 20）C ．（19）D ．（18）且当 tan B时，上式取等号，所以tan( A B) 的最大值为．24评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例 6（2008年四川卷）求函数y7 4sin x cos x4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值．解由 y7 4sin x cos x 4cos 2 x4cos 4 x 得 y(1 sin 2x)2 6 ．由于函数 z(u1)2 6 在 [ 1,1]中的最值为zmax10 ， z min 6 ．故当 sin 2 x1时ymax10 ，当 sin2x 1 时ymin 6 ．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3 数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009 年四川卷、安徽卷和2008 年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例 7（2009年安徽卷）已知a n为等差数列， a1 a3a5 105 ，a2 a4 a699 ．以s n表示 a n的前n项和，则使得 s n达到最大值的n是（ B）．A ．（21）B ．（ 20）C ．（19）D ．（18）且当 tan B时，上式取等号，所以tan( A B) 的最大值为．24评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例 6（2008年四川卷）求函数y7 4sin x cos x4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值．解由 y7 4sin x cos x 4cos 2 x4cos 4 x 得 y(1 sin 2x)2 6 ．由于函数 z(u1)2 6 在 [ 1,1]中的最值为zmax10 ， z min 6 ．故当 sin 2 x1时ymax10 ，当 sin2x 1 时ymin 6 ．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3 数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009 年四川卷、安徽卷和2008 年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例 7（2009年安徽卷）已知a n为等差数列， a1 a3a5 105 ，a2 a4 a699 ．以s n表示 a n的前n项和，则使得 s n达到最大值的n是（ B）．A ．（21）B ．（ 20）C ．（19）D ．（18）且当 tan B时，上式取等号，所以tan( A B) 的最大值为．24评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例 6（2008年四川卷）求函数y7 4sin x cos x4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值．解由 y7 4sin x cos x 4cos 2 x4cos 4 x 得 y(1 sin 2x)2 6 ．由于函数 z(u1)2 6 在 [ 1,1]中的最值为zmax10 ， z min 6 ．故当 sin 2 x1时ymax10 ，当 sin2x 1 时ymin 6 ．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3 数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009 年四川卷、安徽卷和2008 年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例 7（2009年安徽卷）已知a n为等差数列， a1 a3a5 105 ，a2 a4 a699 ．以s n表示 a n的前n项和，则使得 s n达到最大值的n是（ B）．A ．（21）B ．（ 20）C ．（19）D ．（18）且当 tan B时，上式取等号，所以tan( A B) 的最大值为．24评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例 6（2008年四川卷）求函数y7 4sin x cos x4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值．解由 y7 4sin x cos x 4cos 2 x4cos 4 x 得 y(1 sin 2x)2 6 ．由于函数 z(u1)2 6 在 [ 1,1]中的最值为zmax10 ， z min 6 ．故当 sin 2 x1时ymax10 ，当 sin2x 1 时ymin 6 ．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3 数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009 年四川卷、安徽卷和2008 年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例 7（2009年安徽卷）已知a n为等差数列， a1 a3a5 105 ，a2 a4 a699 ．以s n表示 a n的前n项和，则使得 s n达到最大值的n是（ B）．A ．（21）B ．（ 20）C ．（19）D ．（18）。
高考中的最值问题的解题策略
高考中的最值问题的解题策略一、复习策略1、函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题．求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等．2、求几类重要函数的最值方法；(1)二次函数：配方法和函数图像相结合；(2)：均值不等式法和单调性加以选择；(3)多元函数：数形结合或转化为一元函数．3、三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法或基本不等式法求解．4、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，二次函数的最值)．5、不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m恒成立，即＞m；f(x)＜m恒成立，即＜m．6、参数范围问题内容涉及代数和几何的多个方面，解题的关键是不等关系的建立，其途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等．解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等．二、典例剖析问题1：函数的最值问题例1、(07江苏卷)已知二次函数的导数为，，对于任意实数，都有，则的最小值为（）A．3B．C．2D．解：＝，依题意，有：，可得，＝＝＋1≥2＋1≥2＋1＝2，故选(C)．例2、如下图(1)所示，定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数A，都有≥A成立，则称函数在D上有下界，其中A称为函数的下界. (提示：图(1)、(2)中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零)（1）（2）(Ⅰ)试判断函数在(0，＋)上是否有下界？并说明理由；(Ⅱ)又如具有上右图(2)特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数在D 上有上界的定义，并判断(Ⅰ)中的函数在(－，0)上是否有上界？并说明理由；(Ⅲ)已知某质点的运动方程为，要使在上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=为下界的函数，求实数a的取值范围．分析：利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，从而可以确定函数的下界或上界；或用重要不等式求最值．解：(Ⅰ)解法1：∵，由得，∵，∴x＝2，∵当时，，∴函数在(0，2)上是减函数；当时，，∴函数在(2，＋)上是增函数；∴是函数在区间(0，＋)上的最小值点，．∴对任意，都有，即在区间(0，＋)上存在常数A=32，使得对任意都有成立，∴函数在(0，＋)上有下界.解法2：．当且仅当即x＝2时“=”成立．∴对任意，都有，即在区间(0，＋)上存在常数A=32，使得对任意都有成立，∴函数在(0，＋)上有下界．(Ⅱ)类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数B，都有≤B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界.设则，由(Ⅰ)知，对任意，都有，∴，∵函数为奇函数，∴．∴，∴．即存在常数B=－32，对任意，都有，∴函数在(－，0)上有上界．(Ⅲ)质点在上的每一时刻的瞬时速度．依题意得对任意有．对任意恒成立．令，∵函数在[0，＋∞）上为减函数．∴．∴.问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．例3、(05年上海)点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，PA⊥PF．(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．分析：将d用点M的坐标表示出来，，然后求其最小值．解：(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)．设点P(x，y)，则={x＋6，y}，={x－4，y}，由已知可得，则2x2＋9x－18=0，解得x=或x=－6．由于＞0，只能=，于是=．∴点P的坐标是(，)．(2) 直线AP的方程是x－y＋6=0．设点M(m，0)，则M到直线AP的距离是．于是=，又－6≤m≤6，解得m=2．椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有，由于－6≤x≤6，∴当=时，d取得最小值．例4、(05年辽宁)如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．(Ⅰ)将十字形的面积表示为的函数；(Ⅱ)为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？分析：将十字型面积S用变量表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S的最大值．(Ⅰ)解：设S为十字形的面积，则(Ⅱ)解法一：其中当最大．所以，当最大. S的最大值为解法二：因为所以令S′=0，即可解得，所以，当时，S最大，S的最大值为例5、已知点A(－1，0)，B(1，－1)和抛物线，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图．(I)若△POM的面积为，求向量与的夹角；(II)试探求点O到直线PQ的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.分析：可先设出M与P点的坐标，再利用斜率相等求出的值，利用向量的数量积求出夹角．第二问中可用重要不等式求出最值．解：(I)设点、M、A三点共线，设∠POM=α，则由此可得tanα=1.又令，则.∴O到PQ的距离：，即当且仅当t=16时取最大值，且最大值为．故存在最大值，且最大值为．问题3：最值的实际应用在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．例6、(06年江苏卷)请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O的距离为多少时，帐篷的体积最大？1分析：将帐蓬的体积用x表示(即建立目标函数)，然后求其最大值．解：设OO为，则．1由题设可得正六棱锥底面边长为：，(单位：)故底面正六边形的面积为：=，(单位：)帐篷的体积为：(单位：)求导得．令，解得(不合题意，舍去)，，当时，，为增函数；当时，，为减函数．∴当时，最大．为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为．答：当OO1点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．例7、(05年湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：)为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99，有两种方案可供选择．方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是．用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．(1)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小．(2)若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响．点拨与提示：（1）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，，．于是＋，利用均值不等式求最值．方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有，解得x＝19，由c＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：，解得y=4a，故z=4a＋3，即两种方案的用水量分别为19与4a＋3，因为当1≤a≤ 3时，x－z＝4(4－a)＞0，即x＞z．故方案乙的用水量较少．(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似(I)得，(*)于是＋．当a为定值时，．当且仅当时等号成立，此时(不合题意，舍去)或．将代入(*)得，．故时用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量为．当1≤a≤3时，，故T(a)是增函数(也可用二次函数的单调性来判断)，这说明随着a的值的增加，最少总用水量增加．问题4：恒成立问题不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m恒成立，即＞m；f(x)＜m恒成立，即＜m．例8、已知函数f(x)=．(Ⅰ)当时，求的最大值;(Ⅱ) 设，是图象上不同两点的连线的斜率，是否存在实数，使得恒成立?若存在，求的取值范围;若不存在，请说明理由．分析：利用导数求出函数的单调性，再比较其极大值与端点值的大小求出的最大值．解：(Ⅰ)当－2≤＜时，由=0得x1=显然－1≤x1＜，＜x2≤2，又=－．当≤x≤x2时，≥0，单调递增；当x2＜x≤2时，＜0，单调递减，∴max=(x2)==－(Ⅱ)答：存在符合条件．解：因为=．不妨设任意不同两点，其中．则．由知：1＋＜1．又，故．故存在符合条件．解法二：据题意在图象上总可以找一点，使以P为切点的切线平行于图象上任意两点的连线，即存在．故存在符合条件．问题五：参数的取值范围问题参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力．在历年高考中占有较稳定的比重．解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等．例9、设直线过点P(0，3)且和椭圆顺次交于A、B两点，求的取值范围．分析：=．要求的取值范围，一是构造所求变量关于某个参数(自然的想到“直线AB的斜率k”)的函数关系式(或方程)，通过求函数的值域来达到目的．二是构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来．韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称式．问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称式：．由此出发，可得到下面的两种解法．解法1：当直线垂直于x轴时，可求得；当l与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得．解之得由椭圆关于y轴对称，且点P在y轴上，所以只需考虑的情形．当时，，，所以===．由，解得，所以，即．解法2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得(*) 则，令，则，在(*)中，由判别式可得，从而有，所以，解得．结合得．综上，．点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等．本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法．例10、在直角坐标平面中，过点作函数的切线，其切点为；过点作函数的切线，其切点为；过点作函数的切线，其切点为；如此下去，即过点作函数的切线，其切点为；过点作函数的切线，其切点为…．(1)探索与，与的关系，说明你的理由，并求，的值；(2)求数列通项公式；(3)是否存在正实数，使得对于任意的自然数，不等式恒成立？若存在，求出这样的实数的取值范围；若不存在，则说明理由．分析：利用导数先找出切线方程，从而可以确定数列与，与的关系，再分奇数项与偶数项来求出数列的通项，在第三问中可用错位相消法求出不等式左端的和，再证明其单调性来求解．解：(1)∵，∴切线的方程为，又切线过点，∴，且，∴∴．又，∴切线的方程为，而切线过点，∴，且，∴∴．(2)由(1) 可知，即，∴数列为等比数列，且首项为4，∴，即．而，故数列通项公式为(3)令∴，两式相减得∴．∴，∴数列递增．又当时，．∴，而，∴．∴对于任意的正整数和任意的实数不等式恒成立等价于，而，所以有，解得或(舍)．故存在这样的正实数，其取值范围为．。
高中数学函数最值问题的解题思路与举例
高中数学函数最值问题的解题思路与举例在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。
解决这类问题需要运用一定的解题思路和技巧。
本文将介绍一些常见的函数最值问题及其解题思路，并通过具体的例子来说明。
一、函数最值问题的基本概念和解题思路函数最值问题是指在一定的条件下，求函数的最大值或最小值。
解决这类问题的基本思路是找到函数的极值点，然后比较这些极值点的函数值，得出最值。
对于一元函数，我们可以通过求导数的方法来求解极值点。
具体步骤如下：1. 求函数的导数；2. 令导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。
对于二元函数，我们可以通过偏导数的方法来求解极值点。
具体步骤如下：1. 求函数的偏导数；2. 令偏导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。
二、函数最值问题的举例及解析1. 求函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值。
解析：首先，我们求函数的导数：y' = 2x。
令导数等于零，得到 x = 0。
将 x = 0 代入函数，得到 y = 0。
所以函数在 x = 0 处取得最小值 0。
然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。
将 x = 0、x = 2 代入函数，得到 y(0) = 0，y(2) = 4。
所以函数在区间 [0, 2] 上的最大值为 4。
综上所述，函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值为 4，最小值为 0。
2. 求函数 y = x^3 - 3x 在区间 [-2, 2] 上的最大值和最小值。
解析：首先，我们求函数的导数：y' = 3x^2 - 3。
令导数等于零，解方程得到 x = ±1。
将 x = ±1 代入函数，得到 y(1) = -2，y(-1) = 2。
所以函数在 x = ±1 处取得极值。
然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。
将 x = -2、x = 2 代入函数，得到 y(-2) = -14，y(2) = 10。
求函数最值常见方法论文
求函数最值的常见方法【中图分类号】g63 【文献标识码】b 【文章编号】2095-3089（2013）17-0-02求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。
遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。
原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。
本文谈一些求函数值域的常见方法，希望对广大读者有所帮助。
一、直接法适用类型：从自变量的范围出发，推出的取值范围。
例1：求函数的值域。
解：因为，所以，所以函数的值域为。
二、配方法适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
例2：求函数的值域。
解：本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。
说明：在求解值域（最值）时，遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。
三、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。
例3：求函数的值域。
解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即△，△细心的读者不难发现，在前面限定而结果却出现：我们是该舍还是留呢？注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。
将分别代入检验得不符合方程，所以。
四、分离常数法适用类型：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例4：求函数的值域。
解：因为，所以，所以，所以函数的值域为。
五、换元法适用类型：即运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。
形如y=ax+b±（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。
高中数学常见最值问题及解题策略
龙源期刊网
高中数学常见最值问题及解题策略
作者：张勇
来源：《中学生数理化·教与学》2016年第02期
最值问题是高中数学教学的重点内容之一。
在各种高中数学考试中，经常看到有关最值问题的试题，试题的形式也是多种多样，主要以选择、填空和解答三种形式出现。
它不但考查了学生掌握知识的情况，还考查学生的思维能力以及是否能够灵活选择解题方法等。
高中数学教师要探索和总结常见的最值问题以及解题策略，帮助学生突破这一难点问题。
下面就对高中数学常见最值问题以及解题策略进行探究。
一、三角函数的最值问题及解题策略
分析历年的高考数学试题发现，出现最频繁的最值问题就是有关三角函数的求解。
求解三角函数的最值问题，主要是考查学生综合运用三角函数的基础知识，很多学生一遇到这类问题就感觉无从下手。
看起来复杂的三角函数的最值问题，只要对概念和性质充分理解，牢记公式，将正弦定理和余弦定理以及有关的三角公式灵活地进行适当的变形和化简，然后运用它的性质和相关定理，一步一步击破，就可以将问题解决。
论文_高考中求最值问题方法探究
存档编号———赣南师范学院科技学院学士学位论文高考中求最值问题方法探究系别数学与信息科学系届别 2015届专业数学与应用数学学号 **********姓名邵鸿飞指导老师刘育星完成日期 2014.12.25目录内容摘要 (3)关键词 (3)英文摘要 (3)1.引言 (4)2.国内研究现状及评价 (4)3.提出问题 (4)4.高中数学常见的最值问题及解题策略 (4)4.1三角函数的最值问题 (4)4.2函数的最值问题 (6)4.3数列的最值问题 (7)4.4平面向量的最值问题 (8)4.5圆锥曲线的最值问题 (10)5.结论 (11)5.1结论本文 (11)5.2启示 (11)5.3局限性 (12)5.4今后努力方向 (12)参考文献 (13)致谢 (13)内容摘要最值问题是高中数学中的重点问题，它贯穿了高中数学各个知识点，最值问题在高考中的地位较为突出。
在高考中各个知识可以通过最值问题为背景来进行考查，它涉及了高中数学的主要知识和解题方法，它要求了学生要有浑厚的数学基本功和比较好的思维能力。
本文主要是针对在高考中常出现的求最值问题和与其相关的题目进行分析，探讨，取得一些最值问题的解题策略，如数列中的最值问题，圆锥曲线的最值问题，平面向量的最值问题，三角函数的最值问题，函数的最值问题。
并且在论文中选取了一些高考中的题目进行求解和分析，给研究者最直观的理解。
并希望能够给予参加高考的考生备考和教学工作的老师提供指导。
关键词；最值问题解题策略理解英文摘要Most of the problem is the focus of high school mathematics problems, which runs through the high school mathematics each knowledge point, most of the problem in the college entrance examination in a more prominent position. In the college entrance examination in all knowledge can be obtained through the most value problem as the background to examine, it involves the main knowledge and methods of solving problems in senior high school mathematics, it requires the students to have the basic skills of mathematics simple and honest and good thinking ability. This paperis mainly aimed at often appear in the college entrance examination in the most value problem and related topics for analysis, discussion,made some of the most value problem solving strategies, such as the most value problem in the sequence, the most value problem of conic curve, the most value problem of plane vector, the most value problem of trigonometric function, the value of the problem offunction. And in the paper a selection of some of the college entrance examination in the title of the solution and analysis, the most intuitiveresearchers understand. And I hope can give students participate in college entrance examination preparation and teaching teachers to provide guidance1.引言最值问题是学生们在考试和练习中最为常见的一种数学问题，也是历年各省市高考重点考察的对象之一，在高考中的地位也比较突出。
浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法(数学本科毕业论文)
福建师范大学现代远程教育毕业论文题 目： 浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法学习中心： 灌 云 奥 鹏 专 业： 数学及应用数学 年 级（入学批次）： 201103 学 号： ************ 学生姓名： * * 导师姓名： 严 晓 明2013 年 3月 15 日装 订 线浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法201103896627 刘明 指导老师：严晓明摘要： 最值问题是中学数学的重要题型之一。
以最值问题为载体，可以考查中学数学的几乎所有知识点，可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。
解决最值问题，从方法上来说，它常用到函数的单调性、二次函数的性质、数形结合法、均值不等式法、导数法、换元法等等。
本文就高中数学的要求，结合一些典型试题进行分析和探讨，说明其解题的思考方法和一般的技能与技巧。
关键词：高中数学 最值 解题方法1、引言在日常生活及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。
例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，也就是最值问题.最值问题是一类综合性较强的问题，其题型多样，解法灵活，在高中数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指对函数，幂函数），不等式，向量，解析几何，立体几何，圆锥曲线中都能找到最值问题，在高考中，常以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现，是历年高考重点考查的知识点之一，几乎每年的高考试题中都有出现。
2、最大（小）值及其几何意义一般地，设)(x f y =的定义域为A ，如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≤，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值，记为)(0max x f y =；如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≥，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值，记为)(0min x f y =.其几何意义是：函数图象上最高（低）点的纵坐标。
分类例析高中数学中最值问题的求解策略
分类例析高中数学中最值问题的求解策略曹俊峰【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2012(000)024【总页数】1页(P21)【作者】曹俊峰【作者单位】甘肃省西和县第三中学【正文语种】中文最值问题是高中数学中的常见和重要的问题，它内容丰富，涉及面广，解法灵活多变，解决最值问题的思想方法有许多，这要根据具体的问题来作出具体的分析和判断，从而选择具体的方法去解决它.1 利用三角函数有界性例1 A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上四边形OAQP的面积为S 求的最大值.由已知A（1，0），P（cosθ，sinθ），因为又的最大值是2 利用线性规划例2 设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.进行知识迁移，将数列问题转化成线性规划.约束条件为目标函数为a4＝a1＋3d.建立平面直角坐标系a1Od，画出可行域易知，当直线a4＝a1＋3d过可行域内（1，1）点时截距最大，此时目标函数取最大值a4＝4.3 利用数形结合例3 若对一切x＞0恒成立，求a的最大值.如图所示，分别考虑函数y1＝｜x－a｜和的图象，由图知，当a≤2 时，｜x－a｜≥对一切x＞0恒成立，所以a的最大值为2.4 利用基本不等式例4 已知三次函数d（a＜b）在R上单调递增，求的最小值.由题意f′（x）＝ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立，则a＞0，＝b2－4ac≤0.5 向量法例5 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求｜的最小值.以相互垂直的向量为基底表示最值问题也可以表述成值域问题，取值范围等问题.它与许多知识的联系是十分紧密的，综合性很强，是考查观察、分析、综合、探索以及运用数学思想方法等能力的极好素材.最近几年最值问题向着多形式的题型发展，并有拓宽和加深的趋势.因此我们有必要把运用数学思想求最值的知识方法认真总结和归纳，从而更好的理解和掌握它，培养我们良好的思维品质，提高分析问题和解决问题的能力.。
“最值”问题的认识与解决策略
“最值”问题的认识与解决策略摘要：本文对代数中最值的求法与几何中最值的求法进入深入探究。
充分展 示最值的丰富内涵。
通过探究一般规律，给出解决问题的基本方法。
提高对最值 问题有深入的理解，同时在学生及同行中营造良好的探究氛围。
关键词：最值，二次函数，基本不等式，判别式，构造图形。
数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值。
在生产实践 中，我们经常带有“最”字冋题，如投入多少、利益最咼、时间最短、效益最大、 耗材最少等。
我们把这类问题称为“最值”问题。
最值问题也是数学竞赛中的热 点问题，它内容丰富，涉及面广，解决灵活。
下面对最值问题进行一些探索，并 提出具体的解决方法，供大家学习参考。
(一)代数中的最值问题1 .利用一次函数 y=kx+b(m < x < n)的图像是一条 线段，根据函数的性质求最大(小)值 例1已知一次函数y=3x+1(1 <x <2),求最大值 与最小 值。
解：如图，当 x=1 时,y min =4,当 x=2 时,y max =7。
•••一次函数的最大值是7,最小值是4。
2.利用配方法求最值 2对于二次函数y=ax+bx+c(a ^ 0)=a （x 卫）2+^^2a4a(3)若x 有范围限制且不能取- b时，则最值应结合图像分析求得。
2a例2实数x 、y 满足2x 2-6x+y 2=0，则x 2+y 2+2x 的最大值为 、. 2 2解：由题意得 y =6x-2x > 0 ••• 0< x< 3 原式=x 2+(-2x 2+6x)+2x2 =-(x-4) +16•/ 0< x < 3•原式 最大值 =153.运用不等式或不等分析求最值••• (、. a - .. b)2> 0 (a >0,b >0)K⑴若a >0当x =2时 4ac — b 2 y min =K⑵若a <0当x 」2a 时 _ 4ac -b 2y max = ---------- 4a• a2、ab +b>0a+b > 2 ab上述不等式的等号当且仅当a=b 时成立。
浅析高考数学中“最值问题”的思考方向与求解策略
决传统教学模式内所具有的这种问题,图象在修改上面更加随意,满足教师与学生对于高中函数知识点变化的实际要求.根据教学有关理论知识,能够将函数数学教学设计为两种教学类别,分别是教师演示教学与学生自主学习课程.1.教师演示教学教师演示教学主要表示教师在课程讲解之前,学生已经对于有关知识点进行了提前学习,在自主学习过程中发现了有关问题,教师在实际教学过程中就可以根据学生所提出的问题,进行针对性的讲解,学生之间也可以组建学习小组,一同对于有关数学问题进行分析研究.对于函数图形绘制上面教师可以前行进行讲解,学生在对于Matlab进行初步了解之后,在自愿的情况下可以向同学进行展示与讲解.2.学生自主学习课程学生自主学习课程主要是在教师的引导之下,学生对于有关函数知识点进行分析研究,同时在自主学习过程中发现问题,对于有关问题进行解决,通过小组合作的形式,对于数学问题进行分析研究.教师可以根据学生实际学习情况,进行针对性的指导,但是学生整个学习过程中大部分时间还是在自身的掌控之中.学生在对于有关理论概念了解之后,能够进行实际操作,将理论知识与实践相结合,对于学生自主学习能力的培养具有促进性作用,充分体现出学生在学习过程中所具有的主导性作用. Matlab在高中函数教学内应用,能够有效填补传统教学模式所存在的漏洞,将抽象知识更加直观性地展现在学生面前,对于学生逻辑思维的培养具有重要意义.参考文献[1]陈杰.MATLAB宝典[M].北京:电子工业出版社,2007.[2]王欢.基于建构主义的新型教学模式和教学改革的结合[J].鞍山师范学院学报,2015,19(11):82-85.[3]罗天琦.数学软件在解析几何教学中的应用研究[D].重庆:西南大学,2009,16(14):164-165.[4]聂影.MATLAB软件应用研究[J].软件导刊,2014,13 (27):102-104.浅析高考数学中“最值问题”的思考方向与求解策略江苏省如皋第一中等专业学校(226500) 卢坤宏●摘 要:数学最值问题的求解已成为新课改形势下高考数学中的必考点与高中数学课堂重点研究对象.本文借助于两道最值例题,从高中数学中最常见的最值问题的四个思考方向(函数、三角函数、均值定理、线性规划)着手分析出各个方向所必备的条件与解决问题的策略.关键词:最值问题;思考方向;解决策略;函数;三角函数;均值定理;线性规划中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1008-0333(2017)06-0031-02 例题1 已知正数x,y满足x+y=4,求xy的最大值.例题2 若函数f(x)=x+1-x(x∈(0,1)),求函数f(x)的最大值.一、利用函数的单调性求最值函数是数学研究的重要对象,函数思想一直贯穿高中的数学教学中,因此函数也就必然成为高考的重要内容.函数随着单调性的改变,图象此起彼伏,图象上就出现了高点与低点,对应的函数值出就出现了大值与小值.因此函数的单调性必然成为求解最值问题的重要工具. 1.利用二次函数的性质求最值二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是学生在高中阶段学习的一个重要函数.根据二次函数的单调性和它的图象特点不难知道它有最大值(最高点)或最小值(最低点),因此二次函数在求解最值中必然会有重要作用.我们通过例题1来品味二次函数在求解最值中的作用.分析 若我们运用函数的性质求解本题,首先我们应该看到例题1中含有两个变量x,y,而我们高中阶段所学习的函数均为一个自变量,所以我们应首先选择消去一个变量,降二元为一元.但在消元过程中学生容易顾此失彼,忽视变量的取值范围.通过分析我们不难得到如下解题过程:因为正数x,y满足x+y=4,所以y=4-x(x∈(0, 4)),因此xy可化为xy=x(4-x)=-x2+4x x∈(0,4).根据二次函数的性质不难得出当x=2时,xy有最大值为4.通过分析求解我们可以总结出运用二次函数性质求解问题的策略:(1)消元(化多元为一元,转化为二次函数形式);(2)定范围(确定函数定义域);(3)求最值(根据二次函数性质确定最值)2.高次多项式函数及超越函数运用导数求解导数作为研究函数的一个重要工具,它以独特的方式来阐述了函数单调性的变化规律,从而确立了它在研究函数(尤其是高次多项式函数及超越函数)中的重要地位.我们通过例题2来体会导数在最值求解中的作用.利用导数可得函数f(x)=x+1-x在(0,12)上单调递增,在(12,1)单调递减,由此可得当x=12时f(x) =x+1-x有最大值为2.通过分析求解我们可以总结出运用导数求解问题的策略:(1)求导(确定函数的单调性);(2)判断最值点.二、利用三角函数的性质求最值正弦函数f(x)=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)是学生高中阶段学习的另一个重要函数,它在自然科学中有着重要的作用.正弦函数具有独特的单调性与有界性,确立了它在最值求解中的重要地位.—13—All Rights Reserved.我们分别通过例题1、例题2来体会正弦函数的作用.分析 若我们运用正弦函数的性质求解,首先我们应该考虑到正弦函数的有界性,变量必须限制在特定的范围内,而且必须能构造出sin 2α+cos 2α=1的形式.对于例题1有正数x ,y 满足x +y =4,满足了变量有界的特征.我们可以作如下考虑:设x =4cos 2α,y =4sin 2α,则xy =4cos 2α×4sin 2α=4(sin2α)2,根据正弦函数的有界性可以得到-1≤sin2α≤1,从而有0≤4(sin2α)2≤4,故0≤xy ≤4,因此xy 的最大值为4.而对于例题2,不难看出(x )2+(1-x )2=1,只要通过换元,令x =sin α,1-x =cos α,则可得y =sin α+cos α=2sin(α+π4).当α=π4时函数y =2sin(α+π4)有最大值2通过分析求解我们可以总结出能运用正弦函数性质求解问题必须具备这样的条件:变量有界,可构造出sin 2α+cos 2α=1,从而实现向三角函数的转化.具备这一条件的问题,我们的求解策略如下:(1)换元转化(将原变量分别用sin α,cos α替换,转化为三角函数的形式);(2)整理变形(化归为f (x )=A sin(ωx +φ)+B );(3)运用正弦函数的性质求解.在求过程中要注意新元的范围.三、利用均值定理求最值均值定理:若实数a >0,b >0,则a +b2≥ab ,当且仅当a =b 时等号成立.但运用均值定理解决问题要注意“一正、二定、三相等”这一个规则.均值定理建立了和与积之间的不等关系,它独特的表述形式决定了它能够解决“和定求积”或“积定求和”的相关问题.从而确立了它在求解最值问题中的重要地位,也就自然成为了高中阶段学生解决最值问题的重要工具.我们通过上述两个例题分别来体会均值定理在求解最值问题中的作用.例题1是一个比较典型“和定求积”的利用均值定理求解的最值题,只需根据x +y ≥2xy ,可迅速得到xy 的最大值为4.关于例题2我们一眼并不能看出它存在着和与积之间的直接关系,但我们可以通过均值定理的一个变形“若实数a>0,b >0,则a +b 当且仅当a =b 时等号成立”来解决.我们只要令x =a ,1-x =b ,则有a >0,2+b 2=1,因此有f (x x +1-x =a +b =2,当且仅当a =b 即x =12时f (x )取得最大值为2.通过两个例题的分析,如果我们利用均值定理解决最值问题必须满足:(1)条件中各变量均为正数;(2)条件中各变量之间必须满足一个“定量”关系.具备以上两个条件我们才可以思考利用均值定理来解决问题,但也要注意均值定理必须满足变量间的相等关系.若把例2中的条件x ∈(0,1)改为x ∈(0,14],显然x =12不在条件中,故不可以用均值定理来解决这一问题.运用均值定理时“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.四、利用线性规化求最值(数形结合求最值)线性规划是高中数学的重要内容之一,它是“以形助数”即主要利用图形的直观性来解决问题.通过研究目标函数的几何意义,使目标函数具体化和明朗化,从而找到最优解(最值).作为高中数学中运用“数形结合”思想解决问题的一个重要代表,当然线性规划也必然成为研究最值问题的一个重要工具.我们通过例题2,来体会一下如何借助线性规划的思想来解决.本题看似跟线性规划没有关系,通过前面的分析,我们知道本例题隐含着(x )2+(1-x )2=1这一定量,故我们可令x =a ,1-x =b ,则本题可转化为已知a 2+b 2=1(a >0,b >0),求目标函数z =a +b 的最大值.作出可行域四分之一个圆(如图),将直线a +b -z =0在可行域上移动,不难发现在直线与圆相切的位置z 取得最大值2.通过对例题2的分析,我们可发现利用线性规划的思想解决的问题必须具备这样两个条件:(1)具有约束条件(“定量”),可作出可行域(几何图形如:圆、椭圆、三角形等);(2)目标函数(最值),具有一定的几何意义(如:可平移的直线z =ax +by 、两点间的距离z =(x -a )2+(y -b )2、斜率z =y -bx -a等).在所遇到的数学最值问题具备上述两个条件,我们可以思考利用线性规划思想来求解.通过对两例题的分析,我们可以看到最值问题的求解的思考方向大致有函数、三角函数、均值定理、线性规划这四个方向.而各个方向所必备的条件与解决问题的策略又有不同的特点.(1)函数方向必须具备这一特征:能通过消元,化归为一元函数.化归的函数为二次函数,我们可以通过二次函数的性质与图象特点求解;若不是二次函数可以借助导数来求解.(2)三角函数方向必须具备这一特征:条件有界,能构造出sin 2α+cos 2α=1的形式.具备这一特征的最值问题我们可以通过换元,将变量用sin α,cos α替换,转化为三角函数的形式.从而实现运用三角函数的有界性求解最值.(3)均值定理方向必须具备这两特征:(1)条件中各变量均为正数;(2)条件中各变量之间必须满足一个“定量”关系.具备这两个特征可以思考运用均值定理来求解.(4)线性规划方向必须具备这一特征:(1)约束条件确定(“定量”),可作出可行域(几何图形);(2)目标函数(最值),具有一定的几何意义.具备这两个特征可以思考运用线性规划思想来求解.当然这只是笔者平时教学过程中解决最值问题的粗浅的思考方向与解决的策略,我们遇到具体问题时,还需要具体分析.只有真领悟数学的方法与思想,才能融会贯通,遇题不惊,应变有道.参考文献[1]陈克胜.求函数最值的方法举例[J ].高等函授学报(自然科学版).2006(2).[2]吴锷.透视函数最值解法解决常见最值问题[J ].中学课程辅导,2014(8).[3]张明明.论高中数学常见最值问题及解题策略[J ].课程教育研究(新教师教学),2014(9).—23—All Rights Reserved.。
高中数学最值问题的解题意义步骤和求解策略
高中数学最值问题的解题意义步骤和求解策略摘要：《数学新课程标准》提出高中数学应该侧重于培养学生的知识运用能力，最值问题是高中数学教学的重要内容，它贴近生活，题型新颖，是培养学生应用意识的关键。
关键词：高中数学最值问题投入最小、成本最低、路程最短、效益最高等，都属于数学最值问题，也是高中数学应用题的主要组成内容。
笔者以常见的最值问题为例，探析了高中数学最值问题的解题意义、步骤和策略，旨在强化学生的数学运用意识，增强学生高中数学最值问题的解题能力。
一、高中数学最值问题的解题意义二、高中数学最值问题的一般解题步骤高中数学最值解题方法，学生应遵循一定的步骤，笔者把它们归纳为八个字，即：读题、建模、求解、还原。
第一是读题，要求学生从应用题的背景中来理解题意。
对于某一领域的新问题，学生更要从文字表达来弄清条件和结论，梳理好各变量之间的数量关系；第二是建模，要求学生把实际问题的文字表述转化为数学符号语言，然后利用数学模型构建相应的解题方法；第三是求解，建立模型后，学生需要推导出结论，而这个过程就是求解的过程；第四是还原，学生要从数学结论还原到实际问题，才能更好地与现实问题对接，解决实际问题。
三、高中数学最值问题的求解策略通过分析高中数学应用题最值问题的解题步骤，笔者认为，在实际问题的求解过程中，教师需要从三个方面制订教学策略。
1.强化数学素养培养，转变教学观念作为新课程改革工作的实施者，教师在重新定位角色的过程中，还需要充分研究学生的特点、层次、兴趣差异，坚持从师生情感方面创造和谐的课堂氛围，完善学生的人格。
由于高中数学最值问题与社会实践息息相关，所以教师必须转变，注重数学知识的实用性，从数学知识背景、数学文化、数学思想、数学方法等方面延伸数学理论，凸显数学知识的运用价值。
2.注重教学资源的挖掘，以趣味来导入课堂3.注重数学教学活动中数学应用意识的培养4.注重数学思想方法的渗透与社会实践的导向作用高中数学最值问题涉及领域较广，解题方法也较灵活。
论高中数学常见最值问题及解题策略
论高中数学常见最值问题及解题策略作者：张明明来源：《课程教育研究·新教师教学》2014年第28期摘要：高中数学的应用性和实用性都比较强，在数学的学习过程中总会遇见一些“最大”、“最小”、“最优”“最好”等问题，这些问题都可以转化为最值问题来求解。
高中数学中最值问题的求解是最为常见的，最值问题的求解既锻炼了学生的数学思维能力，还培养了学生的综合分析能力和解决问题的能力。
最值问题同时也是高中数学的一个难点之一，本文主要论述高中数学中几种常见的数学最值问题：函数（如三角函数、指函数、对函数二次函数）、圆锥曲线、数列、立体几何、解析几何、不等式和向量，并提出相应的最值问题的解题策略。
关键词高中数学；常见最值问题；解题策略中国分类号：G633.6一、高中数学常见最值问题高中数学的一个重要内容就是最值问题，最值问题是考试命题的热点之一。
考试中最值问题的考查目的是為了考察学生对基础知识的把握程度及其灵活运用知识解题的能力。
高中数学常见的最值问题在数学知识点中分布的比较广泛，最常见的最值问题主要存在于函数（如三角函数、指函数、对函数二次函数）、圆锥曲线、数列、立体几何、解析几何、不等式和向量这些数学知识点中。
二、高中数学常见最值问题及解题策略求解最值问题可以用很多方法，关键在于灵活运用各种解题方法，常用的求解最值问题的方法有二次函数的性质法、函数的单调性法、三角函数的有界性法、导数法、均值不等式法、换元法和几何法。
函数最值的求解过程离不开数与形的结合。
1、利用二次函数的图像和性质求最值利用这种方法求解最值首先就要知道二次函数的性质：若a>0，则说明二次函数的图像是开口向上的，顶点为图像的最低点，表达式为利用三角函数的有界性求最值是解决三角函数最值问题的最基本的方法，也是最重要的方法之一。
主要有两种求解方法，一是直接将三角函数的有界性应用到最值问题的求解中去；二是将一个角的函数均化为正弦函数或者余弦函数来求解。
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目录1 引言 02 文献综述 (1)2.1国内研究现状 (1)2.2国内研究现状评价 (2)2.3提出问题 (2)3 高中数学常见最值问题及解题策略 (2)3.1无理函数的最值问题 (2)3.2三角函数的最值问题 (4)3.3 数列的最值问题 (6)3.4 平面向量的最值问题 (10)3.5 圆锥曲线的最值问题 (11)3.6具有几何意义的最值问题 (14)3.7几个特殊类型函数的最值问题 (17)3.8用特殊方法求一类函数的最值问题 (23)4. 结论 (24)4.1主要发现 (24)4.2启示 (24)4.3局限性 (24)4.4努力的方向 (25)参考文献 (25)1 引言最值问题是人们在生产和日常生活中最为普遍的一种数学问题，它的应用性和实用性非常广泛，无论是在生产实践中还是在科学研究领域我们都会遇到一些关于“最好”、“最省”、“最低”、“最优”、“最大”、“最小”等问题，这些问题一般都是转化为最值问题进行求解．此类问题的求解，不仅充分训练了学生把实际问题抽象成数学问题的思维方式，还培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也使学生逐步形成了应用数学的意识．在近几年的高考题中，最值问题是考试命题的一个重点，它占了高考分数的5%~23%．从题型上讲，主要以选择题、填空题和解答题三种形式出现．从难易程度上讲，主要有基础题、中档题和高档题三种题型．它在考查基础知识的同时，也逐步加强了对能力的考查，高考将注重检查学生对所学课程内容达到融会贯通的程度．因此，求解最值问题将会是高考的一个难点，学生不但要较好地掌握各个分支的知识，还要善于捕捉题目信息，有较强的思维能力，能够运用各种数学技能，灵活选择适当的解题方法，方能达到事半功倍之效．文章从高中数学试题中经常出现的无理函数、三角函数、数列、向量、圆锥曲线和解析式具有几何意义的最值问题以及三类特殊最值问题几个方面对高中数学最值问题进行相关探讨，给出求高考数学最值问题的解题策略，为学生的备考和教师的教学提供相应的指导．2 文献综述2.1国内研究现状对于中学数学中最值问题的求解，国内已经有了一定的探讨，文[1]－[5]中总结归纳了最值问题的常用求解方法；文[6]通过举例讨论了一类无理函数最值的求解策略；文[7]讨论了如何巧求一类二元函数的最值；文献[8]针对解析式具有几何意义的函数的最值巧妙求法方法进行了归纳总结；文[9]给出了三类最小值问题的统一解法及一般结果；文[10]对一类函数最小值问题的处理方法进行了探讨；文[11]对一类函数最小值问题的处理方法进行了相关的补充；文[12]介绍了几种关于应用均值定理求最值的方法；文[13]给出了2005～2009年中最新五年高考真题及其详解；文[14]～[15]介绍了函数最值的概念及其求解方法；文[16]给出了用松弛变量法巧妙地求解一类二元函数的最值问题的方法．2.2国内研究现状评价国内虽然对最值问题的求解方法已有了一定的研究，尤其是最值问题的常用求解方法归纳比较全面系统．但是在近几年的高考题中，主要考查学生学以致用的能力，只利用常用求解方法一般很难解决高考题中的最值问题．高考很多最值问题都是要综合应用相关知识的概念、性质、定理才可解决．现查阅到的参考文献中大多只讨论了最值问题的常用求解方法及归纳了几个特殊最值问题的统一解法，并没有具体探讨高考数学中基本最值问题的求解策略．2.3提出问题由于高考过程中，试题数量多、时间少、难度大，要在高考中获胜，必须要讲解题方法“精”、“巧”、“练”．而大多资料并没有从高考的角度研究高考数学中最值问题的求解，最值问题的求解方法还不够完善，高考中学生对最值问题的求解还存在一定的困难．因此，本文将通过查阅相关资料，站在高考的角度，对高中数学常见最值问题及解题策略进行总结、归纳、整理，进一步完善最值问题的求解策略，为学生的备考和教师的教学提供相应的指导．3 高中数学常见最值问题及解题策略最值问题是中学数学的一个重要内容，也是各种考试命题的一个热点．尤其在高考命题中，它是必不可缺少的热门考点，在近几年的高考试卷中，函数的最值问题占了相当大的比例．其主要以选择题、填空题和解答题的类型出现，其目的在于考查学生对基础知识的把握和灵活运用相关知识的能力．解决这类问题涉及的知识面较宽，要求学生不仅要能利用常用方法求解简单函数的最值问题，还要学生能根据知识的内在联系以及函数本身的特征适当选择最优解题方案，达到事半功倍之效．3.1无理函数的最值问题 求形如22221121c x b x a c x b x a y ++±++=的最值此类题型求解最值的方法很多，一般有平面几何法、分析法、解析几何法、复数法和求导法．但在求解过程中这些方法的使用非常灵活，存在一定难度，要求对常用最值求解工具较为熟悉，能根据解析式的特征联系相关知识，恰当、准确地选用最优解题方案进行求解．而如何实现使用最优解题方案进行求解，关键是要认真捕捉题目信息，仔细观察解析式，从而根据知识的内在联系，利用转化思想便可解决问题．例1 求()2f x =的最小值.解 令y =显然]0,5[-∈x 有意义,有222)725(x x x y -+-=)7)(25(272522x x x x --+-=,则0)7)(25(2,0722≥--≥-x x x x ,（当0=x 时等号成立）当0=x 时5min =y ，所以min ()7f x =．评析 该题根据解析式的特征合理变形后，采用分析法．利用不等式的性质进行解答．本题主要考查学生的应变能力、分析能力和观察能力（各个时候取等号的条件的一致性，否则没有最值）．例2 求32610134)(22++-++-=x x x x x f )(R x ∈的最小值．解 令22221)5(3)2(+-++-=x x y ，设,3)2(1i x z +-=i x z +-=)5(2，则21z z y +=，且54321=+=+i z z ，有52121=+≥+z z z z ． 当且仅当345123=-=-x x 时函数取得最小值．当417=x 时5min =y ， 所以min ()8f x =．评析 采用复数法，利用复数模的性质121212z z z z z z -≤+≤+，把代数式转化为复数模的关系进行求解．求二元无理式的最值二元无理式的最值问题也是最值求解的一个难点，虽然它的解题方法不少，但是解答过程非常复杂繁琐，计算容易出错．而这种题可以运用一个定理便可轻松简捷地求解．定理1 设R x x ∈2,1，+∈R y y 2,，则21221222121)(y y x x y x y x ++≥+（当且仅当2211::y x y x =时等号成立）．例3 若521≥-++y x ，求y x x f +=)(+52的最小值. 解 令11211+-++=+=y x y x z ,根据定理得 11211+-++=+=y x y x z , 当且仅当1211-=+y x ，521=-++y x 时取得最小值. 当433,421==y x 时 227min =z , 所以min ()16f x =．评析 该无理函数求解最值的方法很多，但是相比之下，利用此定理使用松弛变量法[16]更为巧妙，但需注意的是题目中的已知条件必须全部满足定理的要求，否则求解将会有误，在使用这种方法时，必须认真捕捉题目信息．3.2三角函数的最值问题在高考试卷中，求解三角函数的最值问题的题目出现的非常频繁，几乎每年都会出现，占高考分数的%8~%3．它主要考查学生对三角函数基础知识的综合运用．其难度大，很多学生对此类问题“一筹莫展”．其实，三角函数的最值问题看似非常复杂，一, 2 27 1 25 1 11 )2 1 ( 2 2 = + ≥ + + - + + ≥ y x般使用常用最值求解方法很难求解，但是要解决它并不困难，只要充分理解其概念、性质，牢记公式，能灵活运用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式进行适当的变形化简，然后根据它的性质、定理逐步击破，便可解决问题．因此，在解决三角函数最值问题时，关键在于学生对其性质、定理的深刻理解和各个三角公式的灵活运用．例4（2008年全国卷Ⅱ） 若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为（B ）．解 )4sin(2cos sin )()(π-=-=-x x x x g x f ,根据三角函数的性质可知，当z k k x ∈+=,43ππ时， 2)()(max max =-=x g x f MN ．故 选B ． 评析 本题主要考查学生对三角函数的性质的理解和应用．例5（2008年全国卷Ⅰ） 设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长为a 、b 、c ，且c A b B a 53cos cos =-．（Ⅰ）求B A cot tan 的值．（Ⅱ）求)tan(B A -的最小值． 解 （Ⅰ）由正弦定理知C A c a sin sin =，CB c b sin sin =, c AC B B C A A b B a ⋅⋅-⋅=-)cos sin sin cos sin sin (cos cos ,1cos tan )1cot (tan sin cos cos sin sin cos cos sin )sin(sin cos cos sin +⋅-⋅+-=⋅+-=B A c B A c BA B A B A B A c B A A B B A 由题意得c B A c B A 531cot tan )1cot (tan =+⋅-, 解得4cot tan =B A ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得B A tan 4tan =，则A 、B 都是锐角，于是0tan >B ．所以43tan 41tan 3tan tan 1tan tan )tan(2≤+=+-=-B B B A B A B A ， 且当21tan =B 时，上式取等号，所以 )tan(B A -的最大值为43． 评析 本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例6（2008年四川卷） 求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值．解 由2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-得2(1sin 2)6y x =-+．由于函数2(1)6z u =-+在[1,1]-中的最值为max 10z =，min 6z =．故当sin 21x =-时max 10y =，当sin 21x =时min 6y =．评析 三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009年四川卷、安徽卷和2008年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例7（2009年安徽卷） 已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=．以n s 表示{}n a 的前n 项和，则使得n s 达到最大值的n 是（B ）．A ．（21）B ．（20）C ．（19）D ．（18） 解 由于数列{}n a 为等差数列，则1(1)n a a n d =+-，有1235a d +=，1333a d +=．则139a =， 2d =-．根据数列的前n 项和公式2(1)39(2)402n n n s n n n -=+⨯-=-+, 显然当20n =时n s 取得最大值．评析 本题主要考查学生对公式的应用，学生只要有较强的观察能力、思维能力，结合使用等差数列的通项公式和前n 项和公式就可以求解．例8(2009年四川卷) 设数列{}n a 的前n 项和为n s ，对任意的正整数n 都有51n n a s =+成立，记4()1n n na b n N a ++=∈-．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式．（Ⅱ）记221()n n n c b b n N *-=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的正整数n 都有32n T <． （Ⅲ）设数列 {}n b 的前n 项和为n R ，已知正实数λ满足：对任意的正整数n ，n R n λ≤恒成立，求λ的最小值．解 （Ⅰ）当1n =时，151n a a =+，则114a =-． 又51n n a s =+，1151n n a s ++=+，有115n n n a a a ++-=，即114n n a a +=-． 所以，数列{}n a 成等比数列，其首相114a =-，14q =-． 则14()n n a =-，所以14()5441(4)11()4n n n n b +-==+----． （Ⅱ）由（Ⅰ）知54(4)1n n b =+--， 则221221554141n n n n n c b b --=-=+++ 222516(161)(164)2516(16)31642516(16)25,16nn n nn n nn n ⨯=-+⨯=+⨯-⨯<=又13b =，2133b =． 有143c =． 当1n =时 132T <， 当2n ≥时23411125()3161616n n T <+⨯+++L 12211[1()]41616251311614162513116693,482n --=+⨯-<+⨯-=<（Ⅲ）由（Ⅰ）知 54(4)1n n b ==+--． 一方面 ，已知n R n λ≤恒成立，取n 为大于1的奇数时，设21()n k k N *=+∈，则1221n k R b b b +=+++L12321123221111145()414141411111145[()()]414141414141,k k k n n n ++=+-+-+++-++=+-+-++-+-+++>-L L 有41n n R n λ≥>-即(4)1n λ->-对一切大于1的奇数 n 恒成立．所以4λ≥．否则(4)1n λ->-只对满足14n λ<-的正奇数n 成立，矛盾． 另一方面，当4λ=时对一切的正整数n 都有4n R n ≤恒成立，事实上，对任意的正整数k 都有212212558(4)1(4)1k k k k b b --+=++---- 52081611641516408(161)(164)8,k k k k k =+--+⨯-=--+< 当n 为偶数时，设2()n m m N =∈*，则1234232221()()()n m m m R b b b b b b b ---=+++++++L 8m <4n =，当n 为奇数时，设21()n m n N =-∈*，则1234232221()()()n m m m R b b b b b b b ---=+++++++L 8(1)m <-4n =，所以，对一切正整数n 都有4n R n ≤．综上所述，正实数λ的最小值为4．评析 本题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想、分类整合思想等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力，要求学生有较强的综合解题能力．3.4平面向量的最值问题在考查平面向量的最值问题中，一般结合三角函数进行考查，题型多以选择题、填空题和解答题的形式出现，考生需要深刻理解平面向量的概念、性质和数量积与向量积的几何意义，灵活运用向量的各种性质，有较强的运算和论证能力便可解决问题．对于这类题型，学生首先要根据题目的已知条件，利用向量的性质灵活变形，进而利用数量积或向量积便可求解．例9（2009年安徽卷） 给定两个长度为1的平面向量OA uu u r 和OB uuu r ，它们的夹角为120o ，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB )上变动。