2013年高考理科数学新课标1卷解析版

2013 年高考理科数学新课标1 卷解析版
一、选择题（题型注释）
1．已知集合 A=｛x|x
2－2x ＞0｝，B=｛x| － 5 ＜x ＜ 5｝，则 (
) A 、A ∩B= B 、 A B=R C
、B A
D 、A B
【答案】 B ； 【解析】依题意A
x x 0或x 2 ，由数轴可知，选 B.
【考点定位】 本题考查集合的基本运算，考查学生数形结合的能力 . 2．若复数 z 满足(3 －4i)z ＝|4 ＋ 3i | ，则 z 的虚部为 ( )
A 、－ 4 （
B ）－
【答案】 D ；
4
5
（ C ）4 （D ）
4
5
【 解 析 】设z a bi ， 故 ( 3 i 4 )a( b i ) 3a 3b i 4a i 4b 4， 所3i 以
3b 4a 0 3a 4b 5
，解得
4 b
.
5
【考点定位】 本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力
.
3．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调 查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男 女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样
C 、按学段分层抽样
D 、系统抽样
【答案】 C ；
【解析】不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照年段分层抽样 .
【考点定位】 本题考查随机抽样，考查学生对概念的理解 .
4．已知双曲线
C:
2 x 2
a
－ 2 y
2
b
＝1(a ＞0， b ＞0) 的离心率为
5 2
，则 C 的渐近线方程为 (
)
A 、y=± 1 4
x
（B ）y=± 1 3
x
（C ）y=± 1 2
x
（ D ）y=±x
【答案】 C ； 【 解 析 】
e
2 2
c b 1
a
a
5 2
， 故
2
b
2
a
1 4
， 即
b a
1 2
， 故 渐 近 线 方 程 为
b 1 y
x
x
.
a 2
【考点定位】 本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力 .
5．执行右面的程序框图，如果输入的
t ∈[ －1，3] ，则输出的 s 属于 (
)
12 页
1页，总
试卷第
A、[ －3,4] B 、[ －5,2] C、[ －4,3] D 、[ －2,5] 【答案】A；
【解析】若t 1,1 ，则S 3t 3,3 ；若t1,3 ，
2
S 4t t 3,4 ；综上所
述S3,4 .
【考点定位】本题考查算法框图，考查学生的逻辑推理能力.
6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A、500
3
3 B、866
cm
3
3 C、1372
cm
3
3 D、2048
cm
3
3
cm
【答案】A；
【解析】作出该球轴截面的图像如下图所示，依题意BE 2，AE CE 4 ，设D E x ，故AD 2 x ，因为AD2 AE2 DE 2 ，解得x 3，故该球的半径AD 5 ，所以
4 500
3
V R .
3 3
试卷第 2 页，总12 页
【考点定位】本题考查球体的体积公式，考查学生的空间想象能力.
7．设等差数列{a n} 的前n 项和为S n，S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝( ) A、3 B 、4 C 、5 D 、6
【答案】C；
【解析】
m(m 1)
a 2,a 3 ，故d 1；因为S m 0 ，故ma1 d 0 ，故m m 1
2
m 1
a ，因为1
2 a a 1 5 ，故m m
a a 1 2a1 (2m 1)d (m 1) 2m 1 5，即m 5 .
m m
【考点定位】本题考查等差数列的基本公式，考查学生的化归与转化能力. 8．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )
A、16+8 B 、8+8
C、16+16 D 、8+16
【答案】A；
【解析】上半部分体积为V1 2 2 4 16 ，下半部分体积
1
2
V 2 4 8 ，2
2
故总体积V2 16 8 .
【考点定位】本题考查三视图以及简单组合体的体积计算，考查学生的空间想象能力. 9．设m 为正整数，(x ＋y) 2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x ＋y) 2m＋1 展开式的二
项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝( )
A、5 B 、6 C 、7 D、8
【答案】B；
【解析】m
a C ，
2m
m
b C ，因为
2m 1
m m
13C 7C ，解得m=6.
2m 2m 1
【考点定位】本题考查二项式定理的应用以及组合数的计算，考查学生的基本运算能力.
试卷第 3 页，总12 页
10．已知椭圆
2
x 2
a ＋
2
y 2
b
＝1(a>b>0) 的右焦点为 F(3,0) ，过点 F 的直线交椭圆于
A 、B
两点。

若 AB 的中点坐标为 (1 ，－ 1) ，则E 的方程为
(
)
A 、
2
x 45
＋
2
y 36
＝1 B 、
2
x 36
＋
2
y 27
＝1
C 、
2
x 27 ＋
2
y 18 ＝1 D 、
2
x 18 ＋
2
y 9
＝1
【答案】 D ；
【解析】设
A( x , y ) 、 B( x 2 ,y 2 )，所以
1
1
2
2
x y 1
1 2
2 a b 2 2
x
y
2 2
2
2 a
b
1 1
，运用点差法，所以直线
AB 的
斜 率 为
k
2 2
b a
， 设 直 线 方 程 为
2
b
y 2 (x 3) a
，联立 直 线 与椭圆 的 方 程
2
2
2
2
2
4
(a
b )x
6b x 9b a
0 ，所以
2
6b x
x
1
2
2
2
a b
2 ；又因为 2 2 9
a b
，
解得
2
9, 2 18 b
a .
【考点定位】 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力
.
11．已知函数 f(x) ＝
2
2 0 x
x
x
ln(x 1)
x 0
，若| f(x)| ≥ ax ，则a 的取值范围是( )
A 、（－∞， 0]
B 、（－∞， 1]
C
、[ －2，1]
D
、[ － 2，0]
【答案】 D ；
【解析】作出函数图像， f (x) 在点（ 0,0 ）处的切线为制定参数的标准；当 x 0 时，
2
g( x) f (x) x
2x ， g x x ， ' ( ) 2 2 ' ( ) 2 2 g ， 故 a 2 ； 当 x 0 时 ，
'(0) 2
'(0) 2
'
1 g( x) f ( x) ln( x 1，)g (x) x
1
，由于 g( x) 上任意一点的切线斜率都要大于
a ，
故 a 0 ，综上所述， 2 a 0
【考点定位】 本题考查导数的几何意义，考查学生数形结合的能力
.
12．设△ A n B n C n 的三边长分别为 a n ,b n ,c n ，△ A n B n C n 的面积为 S n ，n=1,2,3, , 若 b 1＞c 1，b 1 ＋c 1＝2a 1， a n ＋
1＝a n ，b n
A 、{S n } 为递减数列
＋1
＝
c
a n
n 2
， c n ＋1＝ b a n
n 2
，则( )
B 、{S n } 为递增数列
C 、{S 2n －
1} 为递增数列， {S 2n } 为递减数列
D、{S2n－1} 为递减数列，{S2n} 为递增数列【答案】B；
【解析】因为 b c ，不妨设
1 1
4a 2a
1 1
b ,c，
1 1
3 3
1 3
p (a b c) a ；
2 2
试卷第
4页，总
12 页
故
3a a a5a15
11112
S a；
11
226612
24
a a a a
11511
7
33
a a，
b a，
c a，212121
2626
3a a2a a6
11112
S a；
21
22336
显然S2S1；
同理，a a，
31
5
4
a a
11
9
b a，
21
28
3
4
a a
11
7
c a，
31
28
3a a3a5a35
2 1111
S a，显然S3S2.
31
228816
【考点定位】本题考查创新型数列，在解题的过程中构使用海伦秦九韶公式进行计算，
考查学生特殊到一般的数学思想.
二、双选题（题型注释）
三、判断题（题型注释）
四、连线题（题型注释）
五、填空题（题型注释）
13．已知两个单位向量a，b的夹角为60，c ta(1t)b，若b c0，则t_____。

【答案】2；
t
【解析】ta b(1t)b b0，故(1t)0，故t2.
2
【考点定位】本题考查向量的数量积运算，考查学生的基本运算能力.
14．若数列{a n}的前n项和为S n＝2
3
a n＋
1
3
，则数列{a n}的通项公式是a n=______.
【答案】n1
a(2)；
n
22
【解析】当n1时，
a11；当n2时，11
a S S a a，故
n n n n n
33
a
n
a
n
1
2；
所以n1
a(2).
n
【考点定位】本题考查数列的前n项和与通项公式之间的关系，考查学生的化归与转化能力.
15．设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______
25
【答案】
；
5
试卷第5页，总12页
【解析】cos 225 55
.
【考点定位】本题考查三角恒等变换，考查学生对概念的理解
16．若函数f(x)=(1－x
2)(x
2)(x
2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是
______.
【答案】16；
【解析】依题意，f(x2)为偶函数，
22
f(x2)(x4x3)x(a4)x42a b
展开式中3
x的系数为8a，故a8，x的系数为284b11a，故b15，令
f x，得'()0
'()0
362720
x x x，由对称轴为-2可知，将该式分解为
2
(x2)(x4x1)0，可知其在52和52处取到最大值，带入f(x)，可
知最大值为16.
【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.
六、综合题（题型注释）
七、探究题（题型注释）
八、解答题
17．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=1，P为△ABC 内一点，∠BPC＝90°
1
2
(1)若PB=
，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
【答案】（1）因为
1
PB，所以
2
CBP60，所以
PBA30，由余弦定理得：
227 PA PB BA2PB BA cos PBA；
2
（2）设PBA，由已知得PB sin，由正弦定理得
3sin
00
sin150sin(30)
，
试卷第6页，总12页
化简得 3 cos 4sin ，故tan 3
4 .
【解析】（1）利用余弦定理可以求出PA；（2）在PBA 中使用正弦定理可以得到
3 sin
0 0
sin150 sin(30 )
，进而化简，得到结论.
【考点定位】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合的
能力以及转化与化归能力.
18．（本小题满分12 分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60° .
（Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1 C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。

【答案】（1）取AB的中点O，连接O C O、OA1O、A1B ，因为CA=CB，所以OC AB ，
1
由于AB=A A1，∠BA A1=60
，所以O A AB，所以AB 平面
1
OAC ，因为
1
AC 平
1
面O AC ，所以AB⊥A
1C；
1C；
1
（2）以O 为原点，OA所在直线为x 轴，OA1 所在直线为y 轴建立如图直角坐标系，A(1,0,0) ，A1(0, 3,0) ，B( 1,0,0) ，则BC (1, 0 , 3，) BB1 ( 1,3,0) ，
A1C (0, 3, 3) ，设n ( x, y, z) 为平面BB1C1C 的法向量，则n BC
n BB
1
，所以
n ( 3,1, 1)为平面BB1C1C 的一个法向量，所以直线A 1C 与平面BB1C1C 所成角的正
弦值sin 10 5
.
【解析】（1）构造辅助线证明线面垂直，进而得到线线垂直；（2）利用向量法进行求解. 【考点定位】本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质以及向量法求空间角，考查学
生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力.
19．（本小题满分12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任
试卷第7 页，总12 页
取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为n。

如果n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否
为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作
质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

【答案】（1）记该批产品通过检验为事件A；则
4 4
1 1 1 1 3
3 4
P(A) C ( ) ；
4
2 2 2 2 64
（2）X 的可能取值为400、500、800；
4 1 11 P( X 400) 1 ，
16 16 16
1
P(X 500) ，
16
1
P( X800) ，则X 的分布
4
列为
X 400 500 800
P 11 1 1
16 16 4
E(x) 506.25
【解析】（1）利用相互独立事件模型计算概率；（2）在（1）的基础上，利用对立事件算出X 为400、500、800 时的概率，进而列出分布列，求出期望.
【考点定位】本题考查相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考
查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力.
20．(本小题满分12 分)已知圆M：(x ＋1) 2 2=1，圆N：(x －1)
＋y 2
2=9，动圆P与圆
M
＋y
外切并与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线 C
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P，圆M都相切的一条直线，l 与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
【答案】依题意，圆M的圆心，圆N的圆心N (1,0) ，故PM PN 4 2，由椭圆
定理可知，曲线 C 是以M、N 为左右焦点的椭圆（左顶点除外），其方程为
2 2
x y
4 3
1(x 2) ；
（2）对于曲线C上任意一点P(x, y) ，由于PM PN 2R 2（R为圆P的半径），
所以R=2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为 2 2
(x 2) y 4；
若直线l 垂直于x 轴，易得AB 2 3 ；
若直线l 不垂直于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q，则QP R
QM r
1
，解得Q( 4,0) ，故直
线l ：y k(x 4) ；有l 与圆M相切得
3k
1 k 2
，解得 2
1 k ；当
4
2
k 时，
4
试卷第8 页，总12 页
直线22
y x，联立直线与椭圆的方程解得4
18
AB；同理，当
7
2
k时，
4
18
AB.
7
【解析】（1）根据椭圆的定义求出方程；（2）先确定当圆P的半径最长时，其方程为22
(x2)y4，再对直线l进行分类讨论求弦长.
【考点定位】本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程，考查学生的运算能力、化
简能力以及数形结合的能力.
21．（本小题满分共12分）已知函数f(x)＝x
2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值
（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。

【答案】（1）因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，所以b=d=2；因为
f x x a，故'()2
'()2f a；
'(0)4
'(0)4
g x e cx d c，故
'()x()
'()x()
g c，故
'(0)24
'(0)24
c2；所以2x
f(x)x4x2，g(x)e(2x2)；
'()(1)(24)
x
（2）令F(x)kg(x)f(x)，则F x ke x，由题设可得F(0)0，故k1，令F'(x)0得x1ln k,x22，
（1）若2
1k e，则2k0，从而当x(2,x1)时，F x，当x(x1,) '()0
'()0
时F x，即F(x)在(2,)上最小值为'()0
'()0
2
F(x)2x2x4x2x(x2)0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；
111111
（2）若2
k e，'()(21)(24)0
x
F x e x，故F(x)在(2,)上单调递增，因为F(2)0所以f(x)≤kg(x)恒成立
（3）若22
k e，则F(2)2ke20，故f(x)≤kg(x)不恒成立；
综上所述
k的取值范围为2
1,e.
【解析】（1）利用导数的几何意义进行求解；（2）构造函数“F(x)kg(x)f(x)”，对k的取值范围进行分类讨论，进而得到答案.
【考点定位】本题考查导数的几何意义、导数与函数的最值、导数与函数的单调性，考
想.
化思
查学生的分类讨论能力以及化归与转
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切
点为B，点C在圆上，∠A BC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。

12页
试卷第
9页，总
（Ⅰ）证明： DB=DC ； （Ⅱ）设圆的半径为
1，BC=
3 ，延长C E 交 AB 于点 F ，求△ BCF 外接圆的半径。

【答案】（1）连接 DE ，交 BC 为 G ，由弦切角定理得， ABE
BCE ， BE
CE ，
又因为 DB
BE ，所以 DE 为直径，由勾股顶底得
DB=DC.
（ 2）由（1），
C D E B D E ， DB DC ，故 DG 是 BC 的中垂线， 故 3
BG
，
2
圆心为 O ，连接 BO ，则B OG
60 ，
ABE BCE CBE 30 ，所以 CF BF ，
故外接圆半径为
3 2
.
【解析】（ 1）利用弦切角定理进行求解； （2）利用（ 1）中的结论配合角度的计算可以 得到答案 .
【考点定位】 本题考查几何证明中的定理运用，考查学生的数形结合的能力 .
23．（本小题 10 分）选修4— 4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为x45cost
y55sin t
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
【答案】（1）因为x45cost
y55sin t
，消去参数，得22
(x4)(y5)25，即
22810160
x y x y，
试卷第
10页，总12页
故C极坐标方程为
1
28cos10sin160；
2220
（2）C2的普通方程为x y y，联立C1、C2的方程，解得x
y
1
1
或
x
y
2
，
所以交点的极坐标为
(2,),(2,)
42
.
【解析】（1）先得到C1的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标.
【考点定位】本题考查极坐标方程的应用以及转化，考查学生的转化与
化归
能力
.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.
（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
（Ⅱ）设
a＞－1，且当x∈[－【答案】a
2
，
1
2
)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.
5x,x
1
2
当a2时，令
1
y2x12x2x3x2,x1
，，做出函数图像可知，
2
3x6,x1
当x(0,2)时，y0，故原不等式的解集为x0x2；
（2）依题意，原不等式化为
1a x3，故x a2对a,1
22都成立，故
a 2a2，故
4
a，故a的取值范围是
3
4
3
1,
.
【解析】（1）构造函数y2x12x2x3，作出函数图像，观察可知结论；（2）
11页，总12页试卷第
利用分离参数法进行求解.
【考点定位】本题考不等式的解法，考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想.
试卷第12页，总12页。