圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)

圆锥曲线专题 求离心率的值

师生互动环节

讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值

在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到c

a 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221a

b a

c e -==；双曲线中22

1a b a c e +==.所以只

要求出

a

b

值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22

22100x y a b a b

-=＞，＞相交于

D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率.

解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则

12

2

1221=-b y a x ① 1222

222=-b

y a x ② ①-②整理得

0)

)(())((2

212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③

又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得

13222121==--=a b x x y y k BD

，解得322

=a

b ，所以231122=+=+=a b e .

方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22

a

b 的值，从而整体代入求出离

心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ϕ=+，

2),(=b a ϕ或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22

a b 的值，最后求得离心率.

【同类题型强化训练】

1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313.

A 213.

B 315.

C 2

10.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于

B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率2

1

-=k ，求椭圆的离心率.

3.（母题）已知双曲线)0(1:22

>=-m y m

x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21，

求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】

1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为

032=±y x ，比较可得32=a b ，则3

13

941122=+=+=a b e .

2.答案：设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则

1221221=+b y a x ① 122

2

222=+b

y a x ② ①-②整理得

0)

)(())((2

212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③

因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠

则2,42121=+=+y y x x ，代入③式整理得22

21212a

b x x y y k -=--=

直线AB 的斜率21-=k ，所以21222-=-=a b k ，解得4

1

22=a b

所以离心率2

3

411122=-=-==a b a c e .

3.答案：曲线C 的渐近线方程分别为0:1=+y m x l 和0:2=-y m x l ，设),(00y x P ，则 点),(00y x P 到直线1l 的距离m y m x d ++=

10

01，

点),(00y x P 到直线2l 的距离m

y m x d +-=

10

02，

m

my x m

y m x y m x d d +-=

+-⋅+=

⋅112

200

00021

因为),(00y x P 在曲线C 上，所以m my x =-2

020，故2

1

121=+=

⋅m m d d ，解得1=m 所以2=e .

策略二：构造c a ,的关系式求离心率

根据题设条件，借助c b a ,,之间的关系，沟通c a 、的关系（特别是齐次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解方程得出离心率e .

例 2.已知21,F F 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形

21F MF ，若边1MF 的中点P 在双曲线上，求双曲线的离心率.

解析：如图1，1MF 的中点为P ，则点P 的横坐标为2

c

-.

由c F F PF ==

2112

1

， 焦半径公式a ex PF p --=1

有a c

a c c --⨯-=)2

(，

即02222=--ac a c 有0222=--e e

解得31+=e ，或31-=e （舍去）.

方法点拨：此题根据条件构造关于c a ,的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义a

c

e =

整理成关于e 的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：),1(),1,0(+∞∈∈双曲线椭圆e e . 【同类题型强化训练】

1.（2011新课标）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、

B 两点，||AB 为

C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）

.A 2.B 3.C 2 .D 3

2.（2008浙江）若双曲线122

22=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的

离心率是（ ）

.A 3 .B 5 .C 3 .D 5 【同类题型强化训练答案】

1.答案：依据题意a a

a c AB 2222

2=-=，解得2=e .