实变函数期末考试卷A及参考答卷
实变函数期末考试题
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实变函数期末考试题考试题目:本次实变函数期末考试题旨在考察学生对实变函数的理解、分析和应用能力。
考试时间为120分钟,共分为两部分,选择题和解答题。
请同学们仔细阅读每个问题,并在考试纸上作答。
祝各位同学好运!第一部分:选择题选择题共有10道题,每题4分,共40分。
请在A、B、C、D四个选项中选择正确答案,并填涂在答题纸上。
1. 设函数f(x) = x^2 + 2x - 1,那么f'(x)的导函数是:A. 2x + 2B. 2x + 1C. 2x - 1D. 2x + 22. 实变函数f(x) = e^x,则f''(x)的导函数是:A. e^xB. e^x - 1C. e^x + 1D. e^x + e^x3. 设函数f(x) = 3x^2 + 5,那么f(0)的值为:A. 5B. 3C. 0D. 84. 函数f(x) = |x - 2|的定义域为:A. (2, +∞)B. (-∞, 2)C. [2, +∞)D. (-∞, +∞)5. 函数f(x) = log(2x - 1)的定义域为:A. (1/2, +∞)B. (-∞, 1/2)C. [1/2, +∞)D. (-∞, +∞)6. 函数f(x) = sin(2x)的最小正周期为:A. πB. 2πC. π/2D. π/47. 函数f(x) = arctan(x)的值域为:A. (-∞, +∞)B. (-π/2, π/2)C. (-π/4, π/4)D. [0, π/2)8. 设函数f(x) = ln(x),则f'(x)的导数为:A. 1/xB. xC. x - 1D. 1/(x - 1)9. 函数f(x) = x^3在闭区间[0, 1]上的最大值为:A. 27B. 9C. 1D. 310. 函数f(x) = sqrt(x)在闭区间[0, 4]上的最小值为:A. 0B. 1C. 2D. 4第二部分:解答题解答题共有3道题,共60分。
实变函数测试题与答案
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实变函数测试题与答案实变函数测试题⼀,填空题1. 设1,2n A n ??=, 1,2n =, 则lim nn A →∞= .2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的⼀⼀映射为.3. 设E是2R 中函数1c o s ,00,0xy x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的集合,则E '= ,E ?= .4. 若集合nE R ?满⾜E E '?, 则E 为集.5. 若(),αβ是直线上开集G 的⼀个构成区间, 则(),αβ满⾜: , .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体⽆理数集, 则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ??=?, 则说{}()n f x 在E 上.8. 设nE R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上⼏乎处处有限的可测函数列,, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .10. 设()()n f x f x ?,x E∈, 则{}()n f x 的⼦列{}()jn fx , 使得.⼆, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <.2. 设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n=是闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若n ER ?,满⾜*m E =+∞, 则E 为⽆限集合.三, 计算证明题 1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中⼼, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集. 3. 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =.根据题意, 若有2ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈?=? ∈-??. 求1(L)()f x dx ?.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3 x , ⽽在0P 的余集中长为13n的构成区间上取值为16n , ()1,2n =, 求10()f x dx ?.6. 求极限: 13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+?.实变函数试题解答⼀填空题 1.[]0,2.2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b aππ=--∈??-??3.{}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ??=≠≤??; ?.4. 闭集.5. (),.,.G G G αβαβ? ? ?6.7. ⼏乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x .8. 对000,(,)U x δδ?> 有{}()0E x -=?.9.lim ()()0n n mE f x f x σ→∞-≥= 10.()()n f x f x → a.e.于E .⼆判断题 1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ?且A B ≠,但1mA mB ==. 2. F . 例如, 0(0,1)?, 但0不是(0,1)的外点.3. F . 由于{}0E E '=.4. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F nn ??=-, 3,4n =是⼀系列的闭集, 但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I ,I <+∞, 使得E I ?, 则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三, 计算证明题. 1. 证明如下:()()()()()()()()SSS S S A B C A B CAB C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-2. M 中任何⼀个元素可以由球⼼(,,)x y z , 半径为r 唯⼀确定, x ,y , z 跑遍所有的r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集. 3. 令1i i BB ∞==, 则i E B B ??且B 为可测集, 于是对于i ?, 都有i B E B E -?-, 故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从⽽()E B B E =--可测. 4. 已知0mP =, 令[]0,1G P = -, 则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G , 其中0P 为Cantor 集,n G 是0P 的余集中⼀切长为1n的构成区间(共有12n -个)之并. 由L 积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP =, 可得101111111()()()()()1()61126631112916nn P G P G n n P G n n n n n nn n n n f x dx f x dx f x dxf x dx f x dxf x dx dxmG ∞=∞=∞=-∞∞==∞==+ =+ =+ =0+=? =?=∑∑?∑∑∑6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续, 13 230(R)sin 1nx nxdx n x+?存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x+?的值相等. 易知 32232323211sin .11122nx nx nx nx n x n x n x x x≤≤?≤+++ 由于12x在()0,1上⾮负可测,且⼴义积分112dx x收敛,则12x在()0,1上(L)可积,由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+, ()0,1x ∈,于是根据勒贝格控制收敛定理,得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++?? = ?+?? ==.。
实变函数A卷(解答).docx
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华屮师范大学2002——2003学年第二学期期(中、末)考试试卷(A、R卷)课程名称实变函数课程编号42111300 任课教师_________题型判断题叙述题简答题解答题总分分值151********得分一、判断题(判断正确、错课,并改正。
共5题,共5X3=15分)1、可数个冇限集的并集是可数集。
.(X )改正:可数个有限集的并集不一定是可数集。
2、存在开集使具余集仍为开集。
(V )co3、若可测集列E“单调递减,则m A E n = limrnE, o( X )n=\ ns改正:若可测集列乞单调递减,且存在〃0,使加£心<008则m A E n = lim mE n <>n=\n—4、若E是可测集,/(兀)是£上的实函数,则/(x)在E上可测的充要条件是:0 实数a,b(a<b) , E[x\a<f<b]都是可测集。
(X )改正:若£是可测集,/(Q是E上的实函数,则/(x)在E上可测的充耍条件是: 0实数a, E[x\f>a]都是可测集。
5、若E是可测集, /(兀)是E上的非负可测函数,则于(兀)在E上一定可积。
改正:若E是可测集, /(X)是E上的非负可测函数,则/(x)在E上不一定可积。
二.叙述题(共5题,共5X3=15分)1、集合的对等。
答:设A、B是两个集合,若A、BZ间存在一一对应,则称A与B对等。
2、可测集。
答:设E u R”,如果对任意T uR”,总有mV=/77*(Tn£) + m*(Tn£c),则称E为可测集。
3、可测集与几型集的关系。
答:设E为可测集,则存在人型集F,使F uE且加E二加F、加(E — F) = O。
4、叶果洛夫定理。
答:设mE < +oo , { f n(x))为E上儿乎处处有限的可测函数列,/(兀)也为E上儿乎处处有限的可测函数,如果AU)^/(x) a.e.于E,则对任意£>0,存在可测了集E£^E 使在E&上,f n (兀)一致收敛于/*(兀),而m{E-E G)< 8 o5、九(兀)在可测集E上依测度收敛于/(兀)的定义。
实变函数期末考试题库
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《实变函数》期末考试试题汇编目录《实变函数》期末考试模拟试题(一) (2)《实变函数》期末考试模拟试题(二) (7)《实变函数》期末考试模拟试题(三) (13)《实变函数》期末考试模拟试题(四) (18)《实变函数》期末考试模拟试题(五) (27)《实变函数》期末考试模拟试题(六) (30)《实变函数》期末考试模拟试题(七) (32)《实变函数》期末考试模拟试题(八) (36)《实变函数》期末考试模拟试题(九) (41)《实变函数》期末考试模拟试题(十) (47)《实变函数》期末考试题(一) (57)《实变函数》期末考试题(二) (63)《实变函数》期末考试模拟试题(一)(含解答)一、选择题(单选题)1、下列集合关系成立的是( A )(A )(\)A B B A B ⋃=⋃ (B )(\)A B B A ⋃= (C )(\)B A A A ⋃⊆ (D )(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是开集,则( B )(A )E E '⊂ (B )E 的内部E = (C )E E = (D )E E '= 3、设P 是康托集,则( C )(A )P 是可数集 (B )P 是开集 (C )0mP = (D )1mP = 4、设E 是1R 中的可测集,()x ϕ是E 上的简单函数,则( D ) (A )()x ϕ是E 上的连续函数 (B )()x ϕ是E 上的单调函数 (C )()x ϕ在E 上一定不L 可积 (D )()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是n R 中的可测集,()f x 为E 上的可测函数,若()d 0Ef x x =⎰,则( A )(A )在E 上,()f z 不一定恒为零 (B )在E 上,()0f z ≥ (C )在E 上,()0f z ≡ (D )在E 上,()0f z ≠ 二、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案) 1、设E 是[0,1]中的无理点全体,则(C 、D )(A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )E 中的每一点都是聚点 (D )0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点,则( B 、D )(A )*m E 可以等于零 (B )*0m E > (C )E 可能是可数集 (D )E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集,则E 的特征函数()E X x 是 (A 、B 、C ) (A )[,]a b 上的简单函数 (B )[,]a b 上的可测函数 (C )E 上的连续函数 (D )[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积,则( B 、D )(A )()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 (B )()f z +和()f z -都在E 上L 可积 (C )()f z 在E 上不一定L 可积 (D )()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数,则( A 、C 、D )(A )()f z 是[,]a b 的有界变差函数 (B )()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 (C )()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 (D )()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题(将正确的答案填在横线上)1、设X 为全集,A ,B 为X 的两个子集,则\A B=C A B ⋂ 。
实变函数(复习资料,带答案)
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---《实变函数》试卷一一、单项选择题( 3 分×5=15 分)1、下列各式正确的是()( A) lim A n A k ;(B) lim A nn 1 k n A k ;n n 1 k n n( C) lim A n A k ;( D) lim A nn 1 k A k ;n n 1 k n n n2、设 P 为 Cantor 集,则下列各式不成立的是()(A)P c (B)mP 0(C)P'P(D)P P3、下列说法不正确的是()(A)凡外侧度为零的集合都可测( B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n ( x) 是 E 上的a.e.有限的可测函数列 , 则下面不成立的是()(A)若f n(x) f ( x) ,则f n( x) f ( x)(B)sup f n ( x) 是可测函数(C)inf f n (x) 是可测函数 ; ( D)若n nf n (x) f (x) ,则 f (x) 可测5、设 f(x) 是[ a,b]上有界变差函数,则下面不成立的是()(A) f (x) 在 [ a, b] 上有界(B)f ( x) 在 [ a,b] 上几乎处处存在导数(C)f'( x)在[ a, b]上 L 可积 (D)bf '(x)dx f (b) f (a)a二.填空题 (3 分× 5=15 分 )1、(C s A C s B) ( A ( A B))_________2、设 E 是 0,1 上有理点全体,则oE' =______, E =______, E =______.3、设 E 是 R n中点集,如果对任一点集T 都,则称 E是L可测的4、f ( x)可测的 ________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数 . (填“充分”,“必要”,“充要”)5、设f (x)为 a, b 上的有限函数,如果对于a, b 的一切分划,使_____________________________________则,称f ( x)为a, b 上的有界变差函数。
《实变函数》试卷及参考答案
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《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数,则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体,则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集,如果对任一点集都有R1 (第页,共47页)EL_________________________________,则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”,“必要”,“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数,如果对于的一切分划,使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。
实变函数期末考试卷A卷资料
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(3)因为 xnxnxxnnxnxxnnx2121sin121222132221)(xF 显然)(xF在]1,0[上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理,有 0sin1)(limsin1)(lim10322211032221dxnxxnnxLdxnxxnnxRnn 2. 设为有理数,的无理数;为小于的无理数为大于xxxxxxf,01,;1,)(2试计算]2,0[)(dxxf。 解:因为有理数集的测度为零,所以 2)(xxf ..ea 于]1,0[, xxf)( ..ea 于]2,1[。 于是 ]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dxxfdxxfdxxf dxxdxx211026112331 四、证明题(每题8分,共40分) 1. 证明:)()(11nnnnAAAA
Hale Waihona Puke 实变函数 一、 判断题(每题2分,共20分) 1.若A是B的真子集,则必有BA。 (×) 2.必有比a小的基数。 (√) 3.一个点不是E的聚点必不是E的内点。 (√) 4.无限个开集的交必是开集。 (×) 5.若E,则0*Em。 (×) 6.任何集nRE都有外测度。 (√) 7.两集合的基数相等,则它们的外测度相等。 (×) 8.可测集的所有子集都可测。 (×) 9.若)(xf在可测集E上可测,则)(xf在E的任意子集上也可测。(×) 10.)(xf在E上可积必积分存在。 (×) 1.设E为点集,EP,则P是E的外点.( × ) 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. ( × ) 3.设nE是一列可测集,且1,1,2,,nnEEn则1()lim().nnnnmEmE(× ) 4.单调集列一定收敛. (√ ) 5.若()fx在E上可测,则存在F型集,()0FEmEF,()fx在F上连续.( × )
证明:)(1nnAA(AnnA1c) )(1cnnAA =)(1cnnAA )(1nnAA 2. 设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合,证明M是至多可列集。 证明:由有理数集的稠密性可知,每一个开区间中至少有一个有理数,从每个开区间中取定一个有理数,组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的,所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的。则A是有理数集的子集,故至多可列,所以M也是至多可列集。 3. 证明:若0Em,则E为可测集。 证明:对任意点集T,显然成立着 )()(cETmETmTm。 另一方面,因为0Em,而EET,所以EmETm)(,于是)(ETm0。又因为cETT,所以)(cETmTm,从而 )()(cETmETmTm。 总之,)()(cETmETmTm。故E是可测集。 4. 可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数r,集合])([rxfE是可测集。
实变函数试题库参考答案 (2)
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《实变函数》试题题库参考答案一、选择题1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、n 2 ;2、c ;3、c ;4、c ;5、c ;6、c ;7、{x:对于任意的I ∈α,有αA x ∈};8、{x:存在I ∈α,使得αA x ∈};9、ααA C s I∈⋃;10、ααA C s I ∈⋂;11、n kn k A ∞=∞=⋃⋂1;12、n kn k A ∞=∞=⋂⋃1;13、211)(∑=nk k x ;14、|})()({|sup ],[t y t x b a x -∈;15、2112})({∑∞=-k k k y x ;16、21222211})(){(y x y x -+-;17、21233222211})()(){(y x y x y x -+-+-;18、21244233222211})()()(){(y x y x y x y x ++-+-+-;19、}1:),{(22≤+=y x y x E ;20、}1:),,{(222≤++z y x z y x ;21、}1:),{(22=+y x y x ; 22、}1:),{(22≤+y x y x ;23、}1:),,{(222=++z y x z y x ; 24、}1:),,{(222=++z y x z y x ; 25、2;26、0;27、1;28、)},({inf ,y x d By A x ∈∈;29、)},({sup ,y x d Ay A x ∈∈;30、1;31、∑∞=1||infi i I ;32、n n mS ∞→lim ;33、)(a f E >可测;34、0>∀σ有 ∞=<1i i I E ;35、C B D A ⊂⊂⊂;36、||x ;37、可测函数;38、点态收敛与一致收敛;39、)(*||E I m I --;40、次可数可加性;41、可测函数;42、可测函数;43、单调性;44、 ∞=1i i G (i G 开);45、推广;46、测度;47、)(*)(**CE T m E T m T m +=;48、 ∞=1n n F ,(n F 闭集);49、常数;50、可测函数,连续函数;51、n n mS ∞→lim ;52、零测集; 53、可测函数;54、依测度; 55、0; 56、0; 57、0; 58、0; 59、0;60、0三、判断题 1、( √ )理由: 集合具有无序性 2、( × )理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2} 3、( √ )理由: 空集Φ是任意集合的子集. 4、( × )理由:符号⊂表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( × )理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ6、( × )理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是07、( √ )理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点8、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( √ )理由: 有内点的定义可得.10、( √ )理由: 有内点的定义可得.11、( × )理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.12、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E13、(×)理由: 因有若]1,0[]1,0)([-可测⊂E,E不可测,而EE14、(√)理由: 因)eaggf=>=≠E>f()(E()()gg(agaff>E==≠E>((())()f))g)(g((a两可测集的并可测。
(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷
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2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷(A)考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后,表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定,承诺在考试中自觉遵规守纪,如有违反将接受处理;我保证在本科目考试中,本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名:实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题(每小题3分,满分24分) 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈,都可以确定两个非负可测函数:()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系:()f x =,()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数,指的是:12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集,在i E 上()i x c ϕ≡(非负常数)(1,2,,i k =).ϕ在E 上的L 积分定义为:()Ex dx ϕ=⎰,这个积分值可能落在区间中,但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数,则它的L 积分定义为:()Ef x dx =⎰,这个积分值可能落在区间中,但只有当时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的,如果f +和f -, 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值;但只有当时才能说f 是L 可积的,这时将它的积分定义为:()Ef x dx =⎰。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ,则法图引理的结论是不等式:;如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论:。
成人教育《实变函数 》期末考试复习题及参考答案
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一、单项选择题1.下列命题或表达式正确的是 DA .}{b b ⊂B .2}2{=C .对于任意集合B A ,,有B A ⊂或A B ⊂D .φφ⊂ 2.下列命题不正确的是 AA .若点集A 是无界集,则+∞=A m *B .若点集E 是有界集,则+∞<E m *C .可数点集的外测度为零D .康托集P 的测度为零 3.下列表达式正确的是 DA.}0),(m ax {)(x f x f -=+B .)()()(x f x f x f -++= C.)()(|)(|x f x f x f -+-=D .}),(min{)]([n x f x f n = 4.下列命题不正确的是 BA .开集、闭集都是可测集B .可测集都是Borel 集C .外测度为零的集是可测集D .σF 型集,δG 型集都是可测集 5.下列集合基数为a (可数集)的是 CA .康托集PB .)1,0(C .设i n nx x x x x A R A |),,,({,21 ==⊂是整数,},,2,1n i =D .区间)1,0(中的无理数全体二、计算题1. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩,E 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中有理数集,求()0,2f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰.解:因为0mE =,所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是()0,0,22cos f x dx xdx ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎰⎰而cos x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,所以黎曼可积,由牛顿莱布尼公式 []()22000,1cos cos sin |1xdx R xdx x ππ===⎰⎰因此()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎰2. 设()()[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+,求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.解:因为()n f x 在[]0,1上连续,所以可测()1,2,n =又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++而22lim01n nxn x →∞=+,所以()lim 0n n f x →∞=.因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nnn n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰三、判断题 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.(×)2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点. (×)3. 点集11,2,,E n⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集.(×) 4. 任意多个闭集的并集是闭集.(×) 5. 若n ER ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合.(√)6.非可数的无限集为c 势集。
实变函数测试题与答案
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实变函数测试题与答案实变函数测试题一、填空题1.设 $A_n=\begin{pmatrix} 1/n \\ 1/(n+1) \\ \cdots \\ 1/(2n) \end{pmatrix}$,则 $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$。
2.$(a,b)$ 与 $(-\infty,+\infty)$ 之间存在两个集合之间的一一映射,因此它们的基数相同。
3.设 $E$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形上的点所组成的集合,则$E=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$。
4.若集合 $E\subset\mathbb{R}$ 满足 $E'\subset E$,则$E$ 是闭集。
5.若 $(\alpha,\beta)$ 是直线上开集 $G$ 的一个构成区间,则 $(\alpha,\beta)$ 是连通集。
6.设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的全体无理数集,则$m(E)=b-a$。
7.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,并且$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$,则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$。
8.XXX{R}$,$x$ 是 $E$ 的聚点,$f(x)$ 是实变函数,则存在 $\{x_n\}\subset E$,使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ 存在。
9.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测,并且对于任意$\sigma>0$,都有 $\lim\limits_{n\to\infty} m\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=0$,则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于$f(x)$。
实变函数(复习资料,带答案)
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实变函数(复习资料,带答案)《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k;(B) lim 代A;n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k;( D) l imA n 人;n nikn n nikn2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae?有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数;(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) f(x)在[a,b]上有界(B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在[a, b]上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体,则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集,如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数,如果对于a, b的一切分划,使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。
实变函数试题库参考答案
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《实变函数》试题库及参考答案(完整版)选择题1,下列对象不能构成集合的是:( )A 、全体自然数 B、0,1 之间的实数全体 C 、[0, 1]上的实函数全体 D、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数} B、{全体整数} C 、{全体小个子} D 、{x :x>1}3、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体整数} C、{x:x >1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数} B、{全体整数} C 、{x :x>1} D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x:x 〉1} D、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:( )A、{全体实数} B 、{全体大人} C 、{x:x 〉1} D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C、(—∞, +∞)D、(1, +∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B、(-1, 0) C 、[0, 1] D、[—1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1]D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A、[1, 2] B 、(1, 2) C、 (0, 3)D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(—1, 1) B 、[0, 1] C 、ΦD 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD、(0, ∞)16、设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A、(0, 1) B 、(0, n 1) C 、{0}D 、Φ17、设)1,0(12n A n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n 1) C 、(0, n )D 、(0, ∞)18、设)1,0(12n A n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim () A 、Φ B 、(0, n 1) C 、(0, n)D 、(0, ∞)19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A -B)= ( )A、B B、A C 、A ⋂BD、A ⋃B 20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B⋃C )= ()A 、(A —B)⋂(A-C ) B、(A-B)⋃(A -C )C 、A⋂BD、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A—(B ⋂C)= ( )A 、(A -B)⋂(A-C )B 、(A —B )⋃(A-C ) C 、A ⋂BD 、A⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( ) A、B C A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃ D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B -C) = ( )A 、 A ⋃C -BB 、 A-B -C C、 (A —B)⋃(A ⋂C)D 、 C -(B -A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E的 ( )A 、开核 B、边界 C 、导集 D、闭包26、集合E的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核 B、边界 C、导集 D 、闭包27、集合E的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E —E ’所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点 D、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核 B、边界 C 、导集 D 、闭包30、设点P是集合E的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E的孤立点 C、P是E的内点 D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G的构成区间: ( )A 、(0, 1) B、(21, 1) C、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A、(0, 1) B 、(0, 2) C、(—1, 21) D 、(—1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G的构成区间: ( )A 、(0, 1) B、(3, 4) C 、(0, 4) D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A、(0, 1) B 、(0, 3) C 、(0, 4) D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(—1, 0) 37、若B A ⊂ ,则下列命题错误的是: ( )A 、B A ⊂ B、A'⊂B'C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是:( )A 、 CB A =⋃ B、 A'⋃B ’=C'C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是:( )A 、 CB A =⋂ B、C '⊂ A’⋂B ’ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C的孤立点}40、设CA 是A的余集,则下列命题正确的是:( )A 、 )()(CA A C = B、)(CA A ∂=∂ C 、C(A ’)=(C A)' D 、CA A C =)( 41、设A-B=C , 则下列命题正确的是:( )A 、CB A ∂=∂-∂ B、C B A =- C、A’-B '=C'D 、{A的孤立点}-{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4—1-2) 下列命题错误的是:( )A 、A 是闭集B 、A'是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集 43、若A 是闭集,B 是开集,则A -B 是:( )A 、开集 B、闭集 C 、既非开集又非闭集 D、无法判断44、若A 是开集,B是闭集,则A-B是:( )A 、开集B 、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断45、若}{n A 是一开集列,则n n A ∞=⋃1是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断46、若}{n A 是一开集列,则n n A ∞=⋂1是:( ) A 、开集 B、闭集 C 、既非开集又非闭集 D、无法判断47、若}{n A 是一闭集列,则n n A ∞=⋃1是:( ) A、开集 B 、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断48、若}{n A 是一闭集列,则n n A ∞=⋂1是:( ) A 、开集 B 、闭集 C、既非开集又非闭集 D 、无法判断49、若]1,0[ Q E =,则=mE ( )A、0 B 、1 C 、2 D 、350、下述结论( )正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥* C、E m E m **< D、E m E m **≤ 51、下列说法正确的是( ) A、xx f 1)(=在(0,1)有限 B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ,在[0,1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ,在[0,1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0,1]上( )于0.A 、a ,e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0,1]中的不可测集,⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0,1]上可测的是( ).A 、)(x fB 、)(x f + C、|)(|x f D 、)(x f -54、若)(x f 可测,则它必是( ).A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[,则=mE ( )A 、0 B、1 C 、2 D 、356、下列说法不正确的是( )A 、E的测度有限,则E 必有界B 、E的测度无限,则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、(4-4-2-1)下述论断正确的是( )A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上( )于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a 。
实变函数期末考试卷A
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实变函数期末考试卷A附件一东 南 大 学 考 试 卷(A 卷)课程名称 实变函数 考试学期 11-12-2 得分 适用专业 数学系 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 (开卷、半开卷请在此写明考试可带哪些资料) 卷无一. (10分)试叙述可数集的定义,并分别给出一个可数集合和一个不可数集的例子。
二. (10 分)叙述勒贝格外测度的定义,并证明可数集的外测度为零.三. (10分)设E 是可测集,证明存在E 的一列单调增加的闭子集列1E,n n F F +⊂⊂n 1,∀≥ 使得 n mE=lim nmF →∞.四. (10 分)(1)试给出有界闭区间上有界函数Riemann 可积的充分必要条件。
(2)给出一个Lebesgue 可积但Riemann 不可积的例子。
五. (10分)(1) 叙述依测度收敛的定义。
(2) 若在E 上,()()n f x f x ⇒, ()()n g x g x ⇒, 证明()f x 和()g x 在E 上几乎处处相等。
六.(10分)叙述有界变差函数和绝对连续函数的定义,并分别给出一个例子。
七.(10分)设n f (x)在 E 上Lebesgue 可积。
如果lim |()|0nE n f x dx →∞→⎰, 证明存在子列kn {f }在E 上几乎处处收敛于零。
八. (10分)(1)试叙述Fatou 引理;(2)求下列极限: 20arctan()lim 1n nx dxx +∞→∞+⎰九.设()f x 在[,]a b 上Lebesgue 可积。
(1) 若()x φ是[,]a b 上的有界可测函数,证明()()f x x φ在[,]a b 上是Lebesgue 可积的。
(2) 如果对[,]a b 上的任意有界可测函数()x φ,总有()()0baf x x dx φ=⎰成立. 证明()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。
(3) 如果对任意连续函数()x φ总有 ()()0b a f x x dx φ=⎰成立,证明上述(2)中结论仍然成立。
实变函数期末考试卷A及参考答卷
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实变函数期末考试卷A及参考答卷Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷(A)试卷共 8 页第 1 页考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后,表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定,承诺在考试中自觉遵规守纪,如有违反将接受处理;我保证在本科目考试中,本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名:实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题(每小题3分,满分24分) 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈,都可以确定两个非负可测函数:()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系:()f x =,()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数,指的是:12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集,在i E 上()i x c ϕ≡(非负常数)(1,2,,i k =).ϕ在E 上的L 积分定义为:()Ex dx ϕ=⎰,这个积分值可能落在区间中,但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数,则它的L 积分定义为:()Ef x dx =⎰,这个积分值可能落在区间中,但只有当时才能说f是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的,如果f +和f -,即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值;但只有当时才能说f 是L 可积的,这时将它的积分定义为:()Ef x dx =⎰。
实变函数测试题与参考答案
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实变函数试题一,填空题1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1,2n =,则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的集合,则E '= ,E ︒= .4. 若集合nE R ⊂满足E E '⊂,则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间,则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集,则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦,则说{}()n f x 在E 上 .8. 设nE R ⊂,0nx R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数,若0σ∀>,有 ,则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x . 10. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈,则∃{}()n f x 的子列{}()jn fx ,使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例. 1. 若,A B 可测,A B ⊂且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集,P E ∉,则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ⊂,满足*m E =+∞,则E 为无限集合. 三,计算证明题1.证明:()()()A B C A B A C --=-2.设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M 为可数集.3.设nE R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集,1,2i =.根据题意,若有()()*0,i m B E i -→ →∞,证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集,()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.求10(L)()f x dx ⎰.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x ,而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n ,()1,2n =,求1()f x dx ⎰.6. 求极限:13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰.实变函数试题解答一填空题 1.[]0,2.2.{}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫=≠≤⎨⎬⎩⎭;∅.3.闭集.4.b a -.5.几乎处处收敛于()f x 或a.e.收敛于()f x .6.对000,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.7.()()n f x f x → a.e.于E . 二判断题1. F .例如,(0,1)A =,[]0,1B =,则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==.2. F .例如,0(0,1)∉,但0不是(0,1)的外点.3. F .由于{}0E E '=⊄.4. F .例如,在1R 中,11,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,3,4n =是一系列的闭集,但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T .因为若E 为有界集合,则存在有限区间I ,I <+∞,使得E I ⊂,则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三,计算证明题. 1.证明如下:2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z ,半径为r 唯一确定,x ,y ,z 跑遍所有的正有理数,r 跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞==,则i E B B ⊂⊂且B 为可测集,于是对于i ∀,都有i B E B E -⊂-,故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞,得到()*0m B E -=,故B E -可测.从而()E B B E =--可测.4. 已知0mP =,令[]0,1G P =-,则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合:0P ,1G ,2G ,其中0P 为Cantor 集,n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并.由L 积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP =,可得6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续,13230(R)sin 1nx nxdx n x+⎰存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +⎰的值相等.易知由于12x 在()0,1上非负可测,且广义积分1012dx x ⎰收敛,则 12x在()0,1上(L)可积,由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+,()0,1x ∈,于是根据勒贝格控制收敛定理,得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++⎛⎫ = ⎪+⎝⎭ ==⎰⎰⎰⎰.一、判定下列命题正确与否,简明理由(对正确者予以证明,对错误者举处反例)(15分,每小题3分) 1. 非可数的无限集为c 势集 2. 开集的余集为闭集。
实变函数试题库参考答案
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实变函数试题库参考答案(共37页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《实变函数》试题库及参考答案(完整版)选择题1,下列对象不能构成集合的是:( )A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x :x>1}3、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x :x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x :x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x :x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x :x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E '所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ,则下列命题错误的是: ( )A 、B A ⊂ B 、A '⊂B 'C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是:( )A 、 CB A =⋃ B 、 A '⋃B '=C ' C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是:( )A 、 CB A =⋂ B 、C '⊂ A '⋂B ' C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集,则下列命题正确的是:( )A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ')=(CA )'D 、CA A C =)(41、设A -B=C, 则下列命题正确的是:( )A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A '-B '=C 'D 、{A 的孤立点}-{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是:( )A 、A 是闭集B 、A '是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集,B 是开集,则A -B 是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断44、若A 是开集,B 是闭集,则A -B 是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断45、若}{n A 是一开集列,则n n A ∞=⋃1是:( ) A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断46、若}{n A 是一开集列,则n n A ∞=⋂1是:( ) A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断47、若}{n A 是一闭集列,则n n A ∞=⋃1是:( ) A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断48、若}{n A 是一闭集列,则n n A ∞=⋂1是:( ) A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断49、若]1,0[ Q E =,则=mE ( )A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论( )正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是( )A 、xx f 1)(=在(0,1)有限 B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ,在[0,1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ,在[0,1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0,1]上( )于0.A 、a ,e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0,1]中的不可测集,⎩⎨⎧-∈-∈=E x E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0,1]上可测的是( ).A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测,则它必是( ).A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[,则=mE ( )A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是( )A 、E 的测度有限,则E 必有界B 、E 的测度无限,则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、(4-4-2-1)下述论断正确的是( )A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上( )于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集,则下列函数在[0, 1]可测的是( ).A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的( )点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔(cantor )集,则=0mP ( )A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集,则( )A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是( )A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上( )于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集,⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是( ). A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集,则下列结论中正确的是( )A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ,则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ,则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ,则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ,则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔(cantor )集在[0,1]中的余集,则mG=( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、368、设21,S S 都可测,则21S S ( )A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对 69、下列说法正确的是( ) A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x xx f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上( )于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(33,其中E 是[0, 1]上的不可测集,则( )在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f 72、关于连续函数与可测函数,下列论述中正确的是( )A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数 73、()=-)2,1()1,0( m ( ) A 、1、 B 、2 C 、3 D 、4 74、A 可测,B 是A 的真子集,则( )A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对 75、下列说法正确的是( ) A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、 B 、21)(xx f =在]1,21[无界C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上( )于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x Ex x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集,则( )在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f - 78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是( )A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m ( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 80、L 可测集类,对运算( )不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和. 81、下列说法正确的是( ) A 、31)(x x f =在)1,21(无界 B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上( )于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集,⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π则下列函数在]2,0[π上可测的是( ).A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f - 84、关于依测度收敛,下列说法中不正确的是( )A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上.收敛于.有限的可测函数)(x f ,则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒,则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数,则)(x f ( )A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定 86、设)(x f 在可测集E 上可积,则在E 上( )A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积 87、设0=mE (Φ≠E ),)(x f 是E 上的实函数,则下面叙述正确的是( )A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积 88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是,)(x f 为( )A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数,则⎰=10)()(dx x D L ( )A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数,则⎰=10)()(dx x f L ( )A 、 0B 、 1/3C 、2/3D 、 1 填空题1、设A 为一集合,B 是A 的所有子集构成的集合;若A =n, 则B =2、设A 为一集合,B 是A 的所有子集构成的集合;若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 17、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃=9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂=10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃=11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)= 17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂= 22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E '=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂= 24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E '= 25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) = 26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]-C , 则d (C, G) = 27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) = 29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ= 30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、nR E ⊂,对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ,定义=E m *________。
实变函数期末试题
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2006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题一、填空:(共10分)1.如果 则称E 是自密集,如果 则称E 是开集,如果E E ⊂'则称E 是 ,E E E '= 称为E 的 .2.设集合G 可表示为一列开集}{i G 之交集: ∞==1i iGG ,则G称为 .若集合F 可表示为一列闭集}{i F 之并集: ∞==1i iFF ,则F称为 .3.(Fatou 引理)设}{n f 是可测集qR E ⊂上一列非负可测函数,则 .4.设)(x f 为],[b a 上的有限函数,如果对于],[b a 的一切分划b x x x a T n =<<<= 10:,使⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑=-ni i i x f x f 11|)()(|成一有界数集,则称)(x f 为],[b a 上的 ,并称这个数集的上确界为)(x f 在],[b a 上的 ,记为 .二、选择填空:(每题4分,共20分) 1.下列命题或表达式正确的是A .}{b b ⊂B .2}2{=C .对于任意集合B A ,,有B A ⊂或A B ⊂D .φφ⊂2.下列命题不正确的是A .若点集A 是无界集,则+∞=A m *B .若点集E 是有界集,则+∞<E m *C .可数点集的外测度为零D .康托集P 的测度为零 3.下列表达式正确的是}0),(max{)(x f x f -=+B .)()()(x f x f x f -++=)()(|)(|x f x fx f -+-=D .}),(min{)]([n x f x f n =4.下列命题不正确的是A .开集、闭集都是可测集B .可测集都是Borel 集C .外测度为零的集是可测集D .σF 型集,δG 型集都是可测集5.下列集合基数为a (可数集)的是A .康托集PB .)1,0(C .设i n n x x x x x A R A |),,,({,21 ==⊂是整数,},,2,1n i = D .区间)1,0(中的无理数全体三、(20分)叙述并证明鲁津(Lusin )定理的逆定理四、(20分)设R E '⊂,)(x f 是E 上..e a 有限的可测函数, 证明:存在定义在R '上的一列连续函数}{n g ,使得..)()(lim e a x f x g n n =∞→于E五、(10分)证明01sin)(lim sin 2220071=+-∞→⎰dx exn nxnx R nxn六、(10分)设)(x f 是满足Lipschitz 条件的函数,且..0)(e a x f ≥'于],[b a ,则)(x f 为增函数七、(10分)设f 是],[b a 上的有界变差函数,证明2f 也是],[b a上的有界变差函数2006—2007学年第二学期04本实变函数期末试题A 类评分标准一、填空题:(共10分)1、E E '⊂,0E E ⊂(或0E E =) 闭集,闭包 2、δG 型集,σF 型集3、dx x f dx x f n En n n E )(lim)(lim ⎰⎰∞→∞→≤4、有界变差函数,全变差,)(f V ba二、选择填空:(每小题4分,共20分)1、D2、A3、D4、B5、C三、(20分)定理:设..)(e a x f 有限于E ,若对于任意的0>δ,总有闭集E F ⊂δ,使δδ<-)(F E m ,且)(x f 在δF 上连续,则f是E 上的可测函数. (5分)证 对任意的正整数n ,存在闭集E F n ⊂使nF E m n 1)(<-,且f 在n F 上连续,从而f 在n F 上可测(5分)设∞==1k kFF ,则F 是可测集,且,2,1,=-⊂-n F E F E n ,于是,2,1,1)()(=<-≤-n nF E m F E m nf F E m ⇒=-⇒0)(在FE -上可测(5分)由于F F E E )(-=,只须证f 在F 上可测,事实上,对任意的R a ∈,][][1a f F a f F n n >=>∞=][a f F >⇒是可测集f ⇒在F 上可测f ⇒在E 上可测 (5分)四、(20分)证明 f 在E 上可测,由Lusin 定理,对任何正整数n ,存在E 的可测子集n E ,使得nE E m n 1)(<-,同时存在定义在R '上的连续函数)(x n ϕ,使得当n E x ∈时有)()(x f x n =ϕ (7分)所以对任意的0>σ,成立nn E E f E -⊂≥-]|[|σϕ,,2,1=n(3分),2,1,1)(]|[|=<-≤≥-⇒n nE E m f mE n n σϕ]|[|lim =≥-⇒∞→σϕn n f mE 因此f n ⇒ϕ(5分)由 F.Riesz 定理,存在}{n ϕ的子列}{kn ϕ,使..)()(lim e a x f x k n k =∞→ϕ于E ,记)()(x g x k n k =ϕ,则..)()(lim )(lim e a x f x g x g k k n n ==∞→∞→于E(5分)五、(10分)证明 设nxn exn nxnx x f sin 2220071sin)(-+=则)(x f n 在]1,0[上连续,因而R 可积L ⇒可积,且01sinlim)(lim sin 222007=+=-∞→∞→nxn n n exn nxnx x f ]1,0[∈x(5分)取ex F 21)(=,则)(|)(|x F x f n ≤,而+∞<=1])1,0([m由Lebesgue 有界收敛定理⎰⎰⎰===⇒∞→∞→0)()()(lim )()(lim ]1,0[]1,0[1dx l dx x f L dx x f R n n n n ο (5分)六、(10分)证 因为f 满足Lipschitz 条件,所以f 是绝对连续函数,对任意的2121],,[,x x b a x x <∈,由牛顿—莱布尼兹公式dx f a f x f x a'+=⎰1)()(1(1)dx f a f x f x a'+=⎰2)()(2(2)(5分)(2)—(1)⎰≥'=-⇒0)()(2112dx f x f x f x x)()(12x f x f ≥⇒)(x f ⇒是],[b a 上的单调函数 (5分)七、(10分)证 f 是有界变差函数,因而是有界函数,于是m f ≤||,],[b a x ∈ (3分)对],[b a 的任意分划bx x x a T n =<<<= 10:有∑=--ni i i x f x f 1122|)()(||)()(||)()(|111-=--+=∑i i ni i i x f x f x f x f∑=--≤ni i i x f x f M11|)()(|2)(2f V M b a≤ (5分)因此2f也是],[b a 上的有界变差函数(2分)。
实变函数期末考试卷A卷之欧阳家百创编
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实变函数一、欧阳家百(2021.03.07)二、 判断题(每题2分,共20分)1.若A 是B 的真子集,则必有B A <。
(×)2.必有比a 小的基数。
(√)3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。
(√)4.无限个开集的交必是开集。
(×)5.若φ≠E ,则0*>E m 。
(×)6.任何集n R E ⊂都有外测度。
(√)7.两集合的基数相等,则它们的外测度相等。
(×)8.可测集的所有子集都可测。
(×)9.若)(x f 在可测集E 上可测,则)(x f 在E 的任意子集上也可测。
(×)10.)(x f 在E 上可积必积分存在。
(×)1.设E 为点集,E P ∉,则P 是E 的外点.( × )2.不可数个闭集的交集仍是闭集. ( × )3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=则1()lim ().n n n n m E m E ∞→∞==(× )4.单调集列一定收敛. (√ )5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.( × )二、填空题(每空2分,共20分)1.设B 是1R 中无理数集,则=B c 。
2.设1,1,,31,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ,则=0A φ,='A }0{。
3.设 ,2,1,0),11,11(=++-=n n n A n ,则=⋃∞=n n A 0)1,1(-,=⋂∞=n n A 1}0{。
4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
5.设E 是]1,0[上的Cantor 集,则=mE 0。
6.设A 是闭集,B 是开集,则B A \是闭 集。
7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是)(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。
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2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷(A)试卷共8 页第 1 页实变函数期末考试卷(A)2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题(每小题3分,满分24分)1 我们将定义在可测集q E ⊂¡上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈,都可以确定两个非负可测函数:试卷 共 8 页 第 2 页()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx fx x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系:()f x =,()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数,指的是:12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集,在i E 上()i x c ϕ≡(非负常数)(1,2,,i k =L ).ϕ在E 上的L 积分定义为:()Ex dx ϕ=⎰,这个积分值可能落在区间中,但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数,则它的L 积分定义为:()Ef x dx =⎰,这个积分值可能落在区间中,但只有当时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的,如果f +和f -, 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值;但只有当时才能说f 是L 可积的,这时将它的积分定义为:()Ef x dx =⎰。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ,则法图引理的结论是不等式:;如果再添上条件和就得到列维定理的结论:。
6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数,满足()()lim n n f x f x a e →∞=g g 于E 或n f f ⇒两个条件之一。
或 的结论:(1);(2)。
7 富比尼定理的表述过程比较长,但它给出了定义在两个可测子集,p qA B ⊂⊂ 上的笛卡尔积P qA B +⨯⊂¡上的可测函数()(),f P f x y =的积分可化为累次积分 ()()(),,A BABBAf P dP dx f x y dy dy f x y dx ⨯==⎰⎰⎰⎰⎰的条件却非常简单。
只要下列两个简单条件之一成立就行了:(1) ;(2)。
两个累次积分都存在且相等是()f P 在A B ⨯上可积的条件,但不是条件。
8 斯蒂尔切斯积分的定义是:。
二 多项选择题 下列各题中正确的结论有些可能不止一个,请把正确结论的编号填在左边的方括号内。
(每小题3分,满分15分) [ ] 1定义在pE ⊂¡上的实函数()f x 的正部()f x +和负部()f x -的取值情况有:(A )x E ∀∈,()f x +与()f x -不同时取正值,但可能同时为零;(B )x E ∀∈,()f x +与()f x -可能同时取正值,也可能同时为零;(C )E 上任意两个非负实函数都构成E 上第三个实函数的正部与负部; (D )E 上任意两个不同时取正值的非负函数都构成E 上第三个实函数的正部与负部。
[ ] 2 设12k E E E E =U UL U 是q ¡中有限个互不相交的可测集的并集,函数ϕ在i E 上的值恒等于常数i c (1,2,,i k =L ),则ϕ在E 上L 可积的充要条件有: (A )mE <+∞; (B )当i mE =+∞时0i c =; (C )12,,,k E E E L 均为测度有限集; (D )每个i i c mE 均为有限数。
[ ] 3 ()M E 中的非负函数f 都是积分确定的,这是因为:(A )()Ef x dx <+∞⎰;(B )()Ef x dx +⎰和()Ef x dx -⎰都是有限数; (C )()()00E fx f x dx --≡⇒=<+∞⎰;(D )()0.Ef x dx --∞≤<⎰ [ ] 4 [],a b 上的有界变差函数()f x 的任一个变差()()11ni i i f x f x -=-∑()01n a x x x b =<<<=L都不会超过全变差()baV f ,而且当[][]12,,a x a x ⊂时有()()12x x aaV f V f ≤.由这两条结论可以推知: (A )()f x 在[],a b 上的振幅()()[]{}()sup,,baf x f y x y a b V f -∈≤;(B )[],x a b ∀∈有()()()b af x f a V f ≤+;(C )有界变差函数一定可以表为两个增函数的差;(D )有界变差函数至多有可数个不连续点,不可导点构成零测度集。
[ ] 5 关于[],a b 上的绝对连续函数()F x 及其导数,下列结论正确的有:(A )用每个在[],a b 上L 可积的函数()f x 都可构造一个绝对连续函数 ()()x aF x f t dt =⎰,满足()()F x f x a e '=g g 于[],a b ;(B )每个绝对连续函数()F x 都在[],a b 上几乎处处有可积的导函数()F x ',而且满足牛氏公式()()()baF x dx F b F a '=-⎰;(C )每个在[],a b 上几乎处处有导数的函数()F x 都是绝对连续函数,同时满足牛氏公式()()()baF x dx F b F a '=-⎰;(D )在[],a b 上几乎处处有导数的有界函数()F x 不一定连续,但()F x 本身一定可积。
而它的导函数()F x '就不一定可积了。
即使可积也不一定满足牛氏公式。
三 设q E ⊂¡满足:0ε∀>,∃闭集F E ε⊂使()*m E F εε-<. 试证明E 是可测集。
(8分)试卷 共 8 页 第 4 页四 我们也可以这样来定义可测函数:定义在可测集q E ⊂¡上的实函数称为是可测的,如果它能表达成E 上一列简单函数的极限函数.现在请你用这个定义证明:E 上两个可测函数()(),f x g x 的乘积()()f x g x 还是E 上可测函数。
(7分)五 设(){}n f x 是q E ⊂¡上的L 可积函数列,并且正项级数()1n n Ef x dx∞=∑⎰收敛。
试证明函数项级数()1n n f x ∞=∑几乎处处收敛,它的和函数()()1n n S x f x ∞==∑在E 上L 可积,而且满足逐项积分公式:()()1n n EES x dx f x dx ∞==∑⎰⎰. (12分)试卷 共 8 页 第 5 页六 设f 是[],a b上的连续函数g 使 (12分)七 设(){}k f x 是pE ⊂¡上非负可测函数列, ()()lim k k f x f x →∞=,并且()()()12k f x f x f x ≥≥≥≥L L .若有某个()0k f x 在E 上L 上可积。
试证明()f x 也在E 上可积,并且()()lim k EEk f x dx f x dx →∞=⎰⎰. (10分)八 设()f x 在1E ⊂¡上L 可积,()0Ef x dx a =>⎰,试证明:()0,1μ∀∈,存在E的可测子集e 使()ef x dx μ=⎰ (12分)试卷 共 8 页 第 7 页实变函数期末考试卷(A)参考答卷2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题(每小题3分,满分24分)1 我们将定义在可测集q E ⊂¡上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈,都可以确定两个非负可测函数:()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系:()()()f x fx f x +-=-,()()()f x f x f x +-=+。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数,指的是:12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集,在i E 上()i x c ϕ≡(非负常数)(1,2,,i k =L ).ϕ在E 上的L 积分定义为:()1122k k Ex dx c mEc mE c mE ϕ=+++⎰L ,这个积分值可能落在区间[]0,+∞中,但只有当()Ex dx ϕ<+∞⎰时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数,则它的L 积分定义为:()()()(){}sup 0EEf x dx x dx E x f x ϕϕϕ=∀∈≤≤⎰⎰是简单函数,且有, 这个积分值可能落在区间[]0,+∞中,但只有当()Ex dx ϕ<+∞⎰时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的,如果f +和f -至少有一个可积, 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值+∞不全为;但只有当f f +-和都可积时才能说f是L 可积的,这时将它的积分定义为:()()()EEE f x dx fx dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ,则法图引理的结论是不等式:试卷 共 8 页 第 8 页()()lim lim nn E E n n fx dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰;如果再添上条件()()()12n f x f x f x ≤≤≤≤L L 和()()lim n n f x f x →∞=就得到列维定理的结论: ()()lim n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数,满足()()lim n n f x f x a e →∞=g g 于E 或n f f ⇒两个条件之一。
或 ()(),n mE M n f x F x a e E <+∞≤⋅⋅而且存在正数使对任何自然数有于,就可得到勒贝格控制收敛的结论: (1)()()lim 0n En f x f x dx →∞-=⎰;(2)()()lim n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.7 富比尼定理的表述过程比较长,但它给出了定义在两个可测子集,p qA B ⊂⊂ 上的笛卡尔积P qA B +⨯⊂¡上的可测函数()(),f P f x y =的积分可化为累次积分()()(),,A BABBAf P dP dx f x y dy dy f x y dx ⨯==⎰⎰⎰⎰⎰的条件却非常简单。