向量及其向量加减法
向量的加减法运算法则
向量的加减法运算法则
在向量的加减法运算中，可以用向量的模量和方向来进行计算，并且有四种基本计算规则，分别是：
1、向量的加法：将两个向量在平面上以具有相同方向性的标准坐标系下把向量放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累加在一起即可得到两个向量之和。
2、向量的减法：将两个向量以相反方向放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累减在一起即可得到两个向量之差。
3、向量的乘法：将两个向量的模量乘在一起，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量之积。
4、向量的除法：将一个向量的模量除以另一个向量的模量，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量的商。
向量的加减法是数学中一个基本的操作，但是要掌握它就必须正确理解向量的含义，以及向量的模量和方向性。
如果运算错误，得到的结果可能是不正确的，因此一定要仔细检查计算的准确性，以保证求得的结果是正确的。
第1讲 平面向量的概念及加减运算(教师版)
第1讲 平面向量的概念及加减运算一、考点梳理考点1 基本概念既有大小，又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.|AB →|叫AB →的模或AB →的绝对值，表示向量AB →的长度.(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于向量b ，记作a∥b . ①规定：零向量与任一向量平行． 例1．（1）下列物理量中不是向量的有( )①质量；①速度；①力；①加速度；①路程；①密度；①功；①电流强度． A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，①①①既有大小也有方向，是向量，①①①①①只有大小没有方向，不是向量．（2）一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB →|＝|CD →|，①在四边形ABCD 中，AB ∥CD .①四边形ABCD 为平行四边形． ①AD →＝BC →，①|AD →|＝|BC →|＝200 km.（3）判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行； (4)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反； (5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．解析：(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系． (3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(4)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定． (5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．【变式训练1】．在下列命题中，真命题为( )A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B ．向量AB →与向量BA →的长度相等 C ．向量就是有向线段 D ．零向量是没有方向的解析：由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A 错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D 错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C 错误，故选B.【变式训练2】．在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2) 在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(图略)． 【变式训练3】．如图所示，①ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．解析：(1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF =12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.考点2 向量的加法 三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a .平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．例2．（1）如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .解析：在平面内任取一点O (如下图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边做①OACB ，连接OC ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b .2（2）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________. 解析： (1)AC → (2)AO → (3)AD →(4)0（1）BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解析：(1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0. 【变式训练1】．(1)如图①所示，求作向量和a ＋b .(2)如图①所示，求作向量和a ＋b ＋c .解析：(1)首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图①所示．(2)方法一(三角形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．方法二(平行四边形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▭OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，再以OD ，OC 为邻边作①ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．【变式训练2】．(1)化简：①BC →＋AB →；①AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.(2)如图，已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量： ①OA →＋OE →； ①AO →＋AB →； ①AE →＋AB →.解析：根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．(1)①BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →；①AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.(2)①由题图知，OAFE 为平行四边形，①OA →＋OE →＝OF →； ①由题图知，OABC 为平行四边形，①AO →＋AB →＝AC →； ①由题图知，AEDB 为平行四边形，①AE →＋AB →＝AD →.【变式训练3】．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →. (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)． (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →. 解析：(1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →)＝MC →＋CN →＝MN →.(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.考点3 向量的减法 相反向量(1)我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a . (2)－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. (3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0. 向量减法的定义求两个向量差的运算叫做向量的减法．我们定义，a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量减法的几何意义 (1)三角形法则如图，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．(2)平行四边形法则如图①，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义， 知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .如图①，理解向量加、减法的平行四边形法则：在①ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .例3．（1）在①ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A ．FD →B ．FC → C ．FE →D ．BE →解析：由题意可知AF →－DB →＝DE →－DB →＝BE →．答案：D（2）化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( )A ．AB →B ．AD →C ．BC →D ．0解析：答案：D解法一：AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →－BD →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(BA →－BD →)＝AD →＋DA →＝0． 解法二：AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋DB →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(DB →＋BA →)＝AD →＋DA →＝0．【变式训练1】．如图，设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，OD →＝c ，则OB →＝解析：由于OB ＝DB －DO →，而DB →＝AB →－AD →＝a －b ，DO →＝－OD →＝－c ， 所以OB →＝a －b ＋c .【变式训练2】．化简：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →. 解析：解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．(1)解法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.解法二：原式＝AB →＋MB →－OB →－MO →＝AB →＋(MB →－MO →)－OB →＝AB →＋(OB →－OB →)＝AB →＋0＝AB →. (2)解法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.解法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.二、课堂检测1．下列物理量：①质量；①速度；①位移；①力；①加速度；①路程．其中是向量的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 答案 C 解析 ①①①①是向量． 2．下列说法中正确的个数是( )①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D3. 下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小答案 D 解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A 不正确；由A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B 不正确；C 中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C 不正确；D 中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D 正确． 4. 设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量 5. 下列等式不成立的是( )A ．0＋a ＝aB ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA → D.AB →＋BC →＝AC →答案C 解析：对于C ，①AB →与BA →方向相反，①AB →＋BA →＝0.6. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → 答案 C7. a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → 答案 C 解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →. 9. 在①ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( )A ．a ＋bB ．－a ＋(－b )C ．a －bD ．b －a 答案B ①BA →＝BC →＋CA →＝a ＋b ，①AB →＝－BA →＝－a －b . 10. (多选)若a ，b 为非零向量，则下列命题正确的是( )A ．若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同B ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反C ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则|a |＝|b |D ．若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同答案ABD 当a ，b 方向相同时，有|a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |；当a ，b 方向相反时，有|a |＋|b |＝|a －b |，||a |－|b ||＝|a ＋b |，故A ，B ，D 均正确．10. 在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________. 答案 0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0.12. 如图，在①ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE →－DC →＋ED →＝________.11 答案0 因为D 是边BC 的中点，所以BE →－DC →＋ED →＝BE →＋ED →－DC →＝BD →－DC →＝0.13. 设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．答案 20,4 解析 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 14. 已知向量|a |＝2，|b |＝4，且a ，b 不是方向相反的向量，则|a －b |的取值范围是________． 答案 [2,6) 根据题意得||a |－|b ||≤|a －b |＜|a |＋|b |，即2≤|a －b |＜6.15. 如图所示，P ，Q 是①ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC . 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ①AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →，①AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →.又①BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反，①BP →＋CQ →＝0，①AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.。
空间向量及其运算
空间向量及其运算引言空间向量是三维空间中的一种重要的数学概念，用于描述具有大小和方向的物理量。
本文将介绍空间向量的基本概念、表示方法和运算规则。
基本概念空间向量是由三个实数组成的有序三元组，分别表示向量在三个坐标轴上的分量。
通常用箭头在字母上方表示向量，如向量A表示为$\vec{A}$。
表示方法空间向量可以用坐标表示或者用一个点表示。
坐标表示法将向量的三个分量写成一个有序三元组$(x。
y。
z)$，表示向量在$x$轴上的分量为$x$，在$y$轴上的分量为$y$，在$z$轴上的分量为$z$。
点表示法将向量的起点放在坐标原点，然后将向量的终点绘制在空间中，用一条箭头连接起来。
运算规则空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
加法：两个向量相加，就是将它们的对应分量相加得到一个新的向量。
例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2.y_1 + y_2.z_1 + z_2)$。
减法：两个向量相减，就是将它们的对应分量相减得到一个新的向量。
例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2.y_1 - y_2.z_1 - z_2)$。
数量乘法：一个向量与一个实数相乘，就是将向量的每个分量都乘以这个实数。
例如，$\vec{A} = (x。
y。
z)$，$k$为实数，则$k\vec{A} = (kx。
ky。
kz)$。
总结空间向量是三维空间中描述大小和方向的数学概念。
它可以用坐标表示法或者点表示法来表示。
空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
以上是关于空间向量及其运算的简要介绍，希望能对您有所帮助。
高考向量题型和解题方法
高考向量题型和解题方法高考向量题型主要涉及向量的基本运算、向量的数量积和向量的叉乘。
以下是几种经典的向量题型及其解题方法：1. 向量加减法题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $\vec{a}-\vec{b}$。
解题思路：直接将向量的对应元素相加或相减即可，即：$$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$$$$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$$2. 向量数量积题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求它们的数量积 $\vec{a}\cdot\vec{b}$。
解题思路：数量积的公式为$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，将向量的对应元素相乘后相加即可。
3. 向量叉乘题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求它们的叉乘 $\vec{a}\times\vec{b}$。
解题思路：叉乘的公式为：$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}$$其中 $\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$ 分别为 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴的单位向量。
求解时将行列式按第一行展开即可。
4. 空间向量共面题型给定空间向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$，若它们共面，求 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面上的投影向量。
向量的计算方法
向量的计算方法向量是数学中一个非常重要的概念，它不仅在数学上有着广泛的应用，同时也在物理、工程等领域中起着重要的作用。
本文将介绍向量的计算方法，包括向量的加法、减法、数量积和向量积等内容。
首先，我们来看向量的加法。
对于两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为a+b。
具体而言，如果a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，那么a+b=(a1+b1, a2+b2)。
这意味着，向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
接下来，我们来讨论向量的减法。
对于两个向量a和b，它们的减法运算可以表示为a-b。
具体而言，如果a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，那么a-b=(a1-b1, a2-b2)。
同样地，向量的减法就是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
除了加法和减法，我们还需要了解向量的数量积。
向量的数量积也称为点积，它的计算方法是将两个向量的对应分量相乘并相加。
具体而言，对于两个向量a和b，它们的数量积可以表示为a·b=a1b1+a2b2。
数量积的结果是一个标量，它表示了两个向量之间的夹角和长度关系。
最后，我们来讨论向量的向量积。
向量的向量积也称为叉积，它的计算方法是利用行列式来计算。
具体而言，对于两个向量a和b，它们的向量积可以表示为a×b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。
向量积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量，并且长度由两个向量的夹角和长度决定。
综上所述，本文介绍了向量的计算方法，包括向量的加法、减法、数量积和向量积。
通过学习这些内容，我们可以更好地理解和运用向量，为解决实际问题提供更多的数学工具和方法。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
向量的概念及其加减法运算
当a与b反向时， 若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|； 若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|．
向量的运算律
⑴交换律 : a b b a
a
Ｄ
a a a a a a a a a a a+b
a
bb
b
A
b
b
B
首首相连
作法: (1)在平面内取一点A
⑵以点A为起点以向量a、b为邻边作平行四 边形 ABCD.
（3）则以点A为起点的对角线 AC＝a+b
3、向量求和的多边形法则
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，异 第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为 终点的向量叫做这n个向量的和向量。
向量减法的定义：
向量a加上b相反向量，叫做a与b的差. 即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法
已知a,b,根据减法的定义，如何作出a b呢？
a
b
B
b
ab
b O a
A
C
D
方法：平移向量a, b, 使它们起点相同，那么
b的终点指向a的终点的向量就是a b. 即：OAOB=BA
Ｃ
证明：作AB=a，AD = b
b
b
以AB,AD为邻边做 平行四边形ABCD
Ａ
aＢ
则，BC=b，DC=a
因为 AC=AB+BC=a + b, AC=AD+DC=b + a
向量及其加减法,向量与数的乘法
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
向量加法、减法运算及其几何意义
(2)作 OA = a , AB = b
(3)作OB = a + b
B
位移的合成可以看 这种作法叫做向量 作向量加法三角形 加法的三角形法则 法则的物理模型
还有没有其他的做法？
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
若a ， b不共线，则 | a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
平行四边形法则
起点相同连对角
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
高一7-1向量概念、加减运算知识梳理、经典例题、课后练习带答案
环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义讲义编号： ______________ 副校长/组长签字： 签字日期：【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示.2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算.3、本部分在高考中占5分.【趣味链接】1、向量最初被应用于物理学，被称之为矢量。
很多物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁场强度等都是向量.2、大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示为向量，向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.3、大陆与台湾在2008年12月25日开通了直航，在此之前乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这里发生了两次位移.【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算 1、向量的概念（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB ；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行.（3）单位向量：模为1个单位长度的向量，常用e 表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b，平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=，大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x .（6）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量.记作a-,零向量的相反向量仍是零向量.若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 .2、向量的线性运算（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”.（2）向量的减法 ：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三角形法则，b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）.（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a ⋅=λλ；②当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反； 当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的.③数乘向量满足交换律、结合律与分配律. 二、平面向量的基本定理与坐标表示 1、平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2、平面向量的坐标表示（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底. 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标.显然0 =（0,0），(1,0)i = ，(0,1)j =．（2）设OA xi y j =+.则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成立ECBA（O 是坐标原点）． 3、平面向量的坐标运算（1）若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±±．（2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- ，AB =（3）若a =(x,y)，则λa=(λx, λy)．（4）若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ⇔-=． （5）若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅．【经典例题】【例1】（2010全国）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则CD =（ ） A.1233a b +B.2133a b +C.3455a b +D.4355a b + 【例2】（2009湖南）如图，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=【例3】（2009全国）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , （ ）A ．150° B.120° C.60° D.30°【例4】（2012辽宁）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ） A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．{0,1,3} D ．a +b =a -b【例5】(2009广东)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A. 平行于x 轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y 轴D. 平行于第二、四象限的角平分线【例6】（2012浙江）设a ,b 是两个非零向量，以下说法正确的是（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |【例7】若向量,2,()a b a b a b a ==-⊥满足，则向量b a 与的夹角等于 .【例8】已知平面上的向量PA 、PB满足224PA PB += ,2AB = ，设向量2PC PA PB =+ ，则PC 的最小值是 .【例9】（2009湖南）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||,0,a b θπ=<< 求θ的值。
(完整版)向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
§7.1向量及其运算1
设有两非零向量
a
与
b
O
，任取空间一点
b
O
，
B
作 OA a ， OB b ，规定不超过 的角 AOB
（设 q
AOB,
0
q
）称为向量
a
与
b
的
夹角。记为
(a,
b)
或
(a
b)
，即
(a,
b)
q
。
如果向量a
与b
中有一个是零向量，规定
它们的夹角可在0 与 之间任意取值。
类似地可以规定向量与一轴 的夹角或空间两轴的夹角。
§7.1向量及其运算
7.1.1 向量的概念
B
向量： 既有方向又有大小的量。
常用有向线段来表示向量。
AB A
以 A为 起点，B为 终点的有向线段所表示的向量
记作 AB ，或a 。
向量的模：向量的大小，记作
a
。
单位向量：模等于 1 的向量。与非零向量a同 向的单
位向量称为向量a
的单位向量，记作a
。
零向量：模等于零的向量，记为0 ，其方向不定。
∵
a (a b )
0
，
a
(c
a
)
0
，
∴
a (b c )
0
，故a ,
b, c
共面。
作业
习 题 一 （P67）
3（做在书上）； 4 ；5 ；6 。
设物体在常力F 作用下沿某直线移动，其位移为S ，
则作用在物体上的常力F 所作的功为
F
W F S cos q 。 W F ·S 。
其中q 定义 3
为两力向F 量与a位、移bS的的模夹及角其。夹角的A 余弦q的乘S 积，
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全（实用版）目录1.向量的加法和减法2.向量的数乘3.向量的点积4.向量的叉积5.向量的模和夹角6.齐次坐标和变换正文一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基本的运算，其定义和规则与我们熟悉的数值加减法类似。
给定两个向量 A 和 B，其加法和减法定义如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)A -B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)二、向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘积，其结果是一个向量，其模长是原向量模长的 k 倍，方向与原向量相同或相反，k 为标量。
给定一个向量 A 和一个标量 k，其数乘定义如下：kA = (ka1, ka2, ka3)三、向量的点积向量的点积，又称内积，是一种计算两个向量之间相似度的方法。
其结果是一个标量，其值等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
给定两个向量 A 和 B，其点积定义如下：A·B = |A|*|B|*cosθ四、向量的叉积向量的叉积，又称外积，是一种计算两个向量之间垂直度的方法。
其结果是一个向量，其模长等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的正弦值的乘积，方向垂直于两个向量构成的平面。
给定两个向量 A 和 B，其叉积定义如下：A ×B = (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1)五、向量的模和夹角向量的模，又称向量的长度，是向量的一种度量，等于向量对应端点之间的距离。
给定一个向量 A，其模定义如下：|A| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)向量的夹角，是向量 A 与向量 B 之间的角度，其范围在 0 到π之间。
给定两个向量 A 和 B，它们的夹角定义如下：θ = arccos(A·B / (|A|*|B|))六、齐次坐标和变换齐次坐标是一种用于表示向量的简化方法，它可以将向量的三个分量表示为一个三个元素的序列。
向量加减运算及几何意义
向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。
向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。
二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。
向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。
2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。
向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。
2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。
设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。
则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。
3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。
设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。
则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。
4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。
将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。
总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。
它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。
向量加减法的原理
向量加减法的原理
向量加减法是在向量空间中对向量进行操作的一种方法。
向量是有方向和大小的量，可以表示为一组有序数。
在加减法中，我们对向量的对应分量进行相加或相减。
假设有两个向量A和B，可以表示为：
A = (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ)
B = (b₁, b₂, b₃, ..., bₙ)
其中a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ是向量的对应分量。
向量加法的原理是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量C：
C = A + B = (a₁+ b₁, a₂+ b₂, a₃+ b₃, ..., aₙ+ bₙ)
向量减法的原理是将第二个向量的对应分量取相反数，然后与第一个向量相加，得到一个新的向量C：
C = A - B = (a₁- b₁, a₂- b₂, a₃- b₃, ..., aₙ- bₙ)
向量加减法遵循向量的代数运算性质，例如，满足交换律和结合律。
这些性质使
得向量加减法在物理学、几何学、计算机图形学等领域中得到广泛应用。
需要注意的是，两个向量进行加减法的前提是它们的维度相同，即两个向量拥有相同的分量个数。
否则，加减法操作是没有定义的。
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
第课 向量及向量的加法和减法
第37课 向量及向量的加法和减法●考试目标 主词填空1.向量的有关概念①既有大小又有方向的量叫做向量.②向量的长度(模)是指向量的大小.③平行向量(共线向量)的概念是方向相同或相反的非零向量.④两向量相等的充要条件是同向等长.2.向量的加、减法运算①几何法:有三角形法则，平行四边形法则.②坐标法，设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b = (21x x +,21y y +),a -b =(2121,y y x x --).●题型示例 点津归纳【例1】 下列情形中向量的终点各构成什么图形?(1)把平面中一切单位向量归结到共同的始点；(2)把空间中一切单位向量归结到共同的始点；(3)把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；(4)把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点(在同一平面内).【解前点津】 在(1),(2)中,始点到终点的距离是常量1,(3)是平面图形.【规范解答】 (1)以始点为圆心的单位圆；(2)以始点为球心，半径为1的球面；(3)以始点为圆心且与已知平面平行的单位圆.(4)是以始点为间断点的一条直线.【解后归纳】 向量经平移后，不改变方向与大小，仅仅是“变更位置”而已.【例2】 (1)设ABCD -EFGH 是一个平行六面体(如图(1))，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为反向量的向量.①,;②,;③,;④,;⑤,.(2)设△ABC 和△A ′B ′C ′分别是三棱台ABC —A ′B ′C ′的上、下底面(如图（２）)，试在向量AB 、、、B A ',C B '',A C '',A A ,B B ,C C '中找出共线向量和共面向量.【解前点津】 对两个向量而言，不论处于何种位置，等长同向则相等；等长反向则互反. 【规范解答】 (1)相等向量有(2),(3),(5),互为反向量的有(1),(4).(2)共线向量有: 与B A '',与C B '',与A C '';下面一组向量是共面向量:例2题图,,,B A '',C B '',A C ''【解后归纳】 正确理解有关概念是关键，如共面向量，就是在空间中，对向量施行平移动作，使它们最后都落在同一平面内，那么这些向量就是共面向量.【例3】 平面内给定三个向量:a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1),解答下列问题. (1)求3a +b -2c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (3)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k ;(4)设d =(x ,y )满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d . 【解前点津】 直接运用坐标运算.【规范解答】 (1)3a +b -2c =3(3,2)+(-1,2)-2·(4,1)=(9,6)+(-1,2)+(-8,-2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)由条件得:(3,2)=m ·(-1,2)+n (4,1)=(-m +4n ,2m +n ),∴⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m 解之 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9895n m . (3)∵(a +k c )∥(2b -a )又a +k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), ∴2×(3+4k )-(5)×(2+k )=0解之:k =-1316. (4)∵d -c =(x -4,y -1),a +b =(2,4),又(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1, 故得方程组⎩⎨⎧=-+-=---1)1()4(0)1(2)4(422y x y x 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=5521554y x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5521554y x ∴d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++5525,5520或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5525,5520 【解后归纳】 本题使用了两向量平行的充要条件:在向量式中:a ∥b ⇔a =λb .在坐标式中:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.【例4】 已知四边形ABCD 中, AB =a -2c , =5a +6b -8c , 对角线、的中点分别为E ,F ,求.【解前点津】 ∵E 、F 是中点, ∴+=0,+=0.利用向量加法的多边形法则可列出若干个等式，综合利用这些例4题图“讯息”,就能用a ,b ,c 表示.【规范解答】 由条件可得:EF +FD +DC +CE =0 ① +++=0 ②①+②得:2+(+)+++(+)=0. ∵F ,E 是中点,∴+=+=0, ∴2=-(+)=+, ∴=21(+)=21［(a -2c )+(5a +6b -8c )］=3a +3b -5c . 【解后归纳】 对任何图形而言，都有:B B B B B B B AB n n n =+++++-132211 .●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.△ABC 中,已知BC =3BD ,则AD 等于 ( ) A.31(AC +2AB ) B. 31(AB +2AC ) C.41(+3) D. 41(+2) 2.如果点M 是△ABC 的重心,D 、E 、F 分别为、BC 、CA 中点，那么++等于 ( ) A.6 B.-6 C.0 D.63.λ、μ、γ∈R ,则λAB +μBC +γCA =0成立的充要条件是 ( ) A.|λ|=|μ|=|γ| B.λ=μ=γ C.λ+μ+γ=0 D.λ=μ=γ=04.如果=a ,=b ,那么a =b 是四点A 、B 、C 、D 构成平行四边形的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 5.使等式|a +b |=|a |+|b |成立的充要条件是 ( )A.a ∥b 且同向B.a =bC.a ⊥bD.a 、b 中有06.已知a =(1,2),b =(x ,1),且a +2b 与2a -b 平行，则x 等于 ( ) A.1 B.2 C.31D.217.若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,2),则c 等于 ( ) A.21-a +23b B.21a -23b C.23a-21b D.23-a+21b 8.若a ,b 是不共线的两个向量，且AB =λ1a +b ,AC =a +λ2b ,(λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件是 ( )A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=09.已知平行四边形ABCD 的两角对角线交于点E ,设=e 1, =e 2,用e 1,e 2表示的表达式 为 ( )A.-21e 1-21e 2B.-21e 1+21e 2C.21e 1-21e 2D.21e 1+21e 2 10.设P (1,2),Q (0,3),R (7,-2),a =PQ ,b =PR ,则与2a -b 同向的单位向量是 ( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54C.(2,1)D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55,552 二、思维激活11.两个非零向量的模相等是两个向量相等的 条件.12.已知=4i +3j ,=-i +j ,与反向且||=32||,则点C 的坐标是 .13.已知a =(6,2),b =(-4,-21),直线l 过点A (3,-1)且与向量a +2b 垂直，则直线l . 14.若向量p =(2,-3),q =(1,2),a =(9,4),且a =m p +n q ,则m = ,n = . 三、能力提高15.已知a =(10,-4),b =(3,1),c =(-2,3),试用b ,c 表示a .16.设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明:OA +OB +OC +OM OD 4=.17.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半.第1课 向量及向量的加法和减法习题解答1.A 由AD =AB +BD 及AD =AC +CB 得:2AD =AC +AB +BD +CD =AC +AB +31CB=++31(+)=32+34，故=31(+2) 2.C MA +MB +MC =(MB +BA )+MB +(MB +BC ) =3MB +BA +BC =3·32FB +BA +BC=2(21+)+BA +=++BA =0.3.D 由条件:λ(+)+μ·+γ=(λ-γ) +(μ-λ)·=0⇔λ-γ=μ-λ=0.4.B a ,b 共线时充分性不成立.5.A6.D ∵a +2b =(1+2x ,4),2a -b =(2-x ,3)⇒3·(1+2x )=4(2-x )解之:x =21. 7.B 令c =x ·a +y ·b ⇒c =(x +y ,x -y )=(-1,2)⇒⎩⎨⎧=--=+21y x y x 解之⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2321y x B.8.D 令=x ·则λ1a +b =x ·a +x λ2b ⇒x =λ1且x λ2=1⇒λ1λ2=1. 9.B 如图所示=+=21(CB +)+ =21(-e 2-e 1)+e 2=-21e 1+21e 2. 10.A ∵PQ =(-1,1),PR =(6,-4),∴2a -b =(-8,6)=10·(-54,53).11.必要不充分.第2题图解第9题图解12.由已知OC =-32AC ,∴OC =-32(AB +BC )=-32［4i +3j +(-i )+j ］=-2i -38j故C 坐标为(-2,38).13.由条件得:a +2b =(-2,1),故k =2,l 的方程为y +1=2(x -3)即:2x -y -7=0. 14.由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=+5242392n m n m n m .15.令a =λb +μc ⇒(10,-4)=(3λ-2μ,λ+3μ)⇒⎩⎨⎧-=μ+λ=μ-λ431023解之,⎩⎨⎧-=μ=λ22故:a =2b -2c .16.证:∵M 是平行四边形ABCD 的中心, ∴MA +MC =0,MB +MD =0. ∵OA =OM +MA ,OB =OM +MB , =+,=+将以上四个等式相加得:OA +OB +OC +OD =4OM +(MA +MC )+(MB +MD )=4OM .17.证:如图所示,设E ,F 是梯形ABCD 两腰的中点，则⎪⎩⎪⎨⎧++=++=BFAB EA EF CF DC ED EF 两式相加得:2EF =(DC +AB )+(ED +EA )+(CF +BF )=DC +AB ∴EF =21(DC +AB ) ① ∵DC ∥AB ,∴惟一存在非零实数t ,使得:=t · 代入①得:=21(+t ·)=21(1+t )· 故∥∥.而||=||21)1(21DC t t ⋅+=+,|DC |+|AB |=|DC |+|t|·|DC |=|1+t|·|DC |, ,∴|EF |=21(|DC |+|AB |)所以原命题成立.第16题图解第17题图解。
2.向量及其运算
设 a 为一向量, 与 a 的模相同而方向相反 的向量叫做 a 的负向量 , 记作 a.
两个向量 b 与 a 的差
a ba b a
b a b (a ).
B
O
b a
ba
A
三角不等式 a b a b, a b a b.
10
其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立.
如图知a M 1 M 2 M 1 P M 1Q M 1 R ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k a x i a y j az k 其中向量a x i，a y j，a z k 分别称为向量a在x轴, y轴, z轴上的分向量，
z
R
P
M1
M2
Q
o
x
y
27
z
R
M1
由图分析可知
o
x
P
M2
Q
y
a y | M 1 M 2 | cos | a | cos
a x | M1 M 2 | cos | a | cos
az | M1 M 2 | cos | a | cos
2
向量也可用粗体字母表示, 如 a , i , v , F 等等, 向量还可用在上面 加箭头的书写体字母 表示, 如a , i , v , F 等等.
向量的大小叫做向 量的模.向量 M1 M 2、a、a 的模依次记作 M1 M 2 、 a、 a.
向量的模
单位向量
模等于1 的向量叫做单位向量 , 用ea 表示与 非零向量a同方向的单位向量.
§2 向量及其运算
向量及其线性运算
向量的定义与加减运算
向量的定义与加减运算向量是线性代数中的重要概念，它可以用于描述物理力、方向和位移等概念。
本文将详细介绍向量的定义以及向量的加减运算。
一、向量的定义向量是由大小和方向组成的量，通常用箭头表示。
在数学上，向量可以表示为一个有序数列，在二维平面中通常以两个数表示，即(x, y)，在三维空间中则以三个数表示，即(x, y, z)。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有向量A和向量B，它们的加法运算可以表示为A + B。
具体计算方法如下：1. 如果A和B在同一方向上，则将它们的大小相加，并保持相同的方向。
例子：A = (3, 4)B = (2, 1)A +B = (3 + 2, 4 + 1) = (5, 5)2. 如果A和B在相反的方向上，则将它们的大小相减，并保持第一个向量的方向。
例子：A = (3, 4)B = (-2, -1)A +B = (3 - 2, 4 - 1) = (1, 3)3. 如果A和B不在同一方向上，则不能简单地将它们的大小相加，而是需要使用平行四边形法则来计算。
例子：A = (1, 2)B = (3, 4)A +B = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有向量A和向量B，它们的减法运算可以表示为A - B。
具体计算方法如下：1. 将B取负值，即将B中的每个分量变为相反数，然后进行向量的加法运算。
例子：A = (3, 4)B = (2, 1)A -B = A + (-B) = (3, 4) + (-2, -1) = (3 - 2, 4 - 1) = (1, 3)四、向量的运算性质向量的加减运算满足以下性质：1. 交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B - C)3. 零向量：对于任何向量A，有A + 0 = A，A - 0 = A，其中0是大小为0的向量。
电路中向量的加减运算
电路中向量的加减运算电路中的向量加减运算是电路分析中的重要内容之一。
向量加减运算指的是将电路中的电流和电压视为向量，通过进行向量的加法和减法运算，来求解电路中的各种参数。
本文将从向量的定义、向量的加法和减法运算以及在电路中的应用等方面进行介绍。
我们来了解一下向量的定义。
在电路中，电流和电压被视为带有方向的量，可以用向量表示。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在电路中，我们通常用大写字母加箭头来表示向量，例如电流向量可表示为I，电压向量可表示为V。
接下来，我们来看一下向量的加法运算。
向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量。
在电路中，电流和电压的加法运算是指将两个电流或电压向量按照一定的规则相加。
具体来说，当两个电流或电压向量的方向相同时，它们的大小相加，方向不变；当两个电流或电压向量的方向相反时，它们的大小相减，方向取较大的向量的方向。
通过向量的加法运算，可以计算出电路中的总电流和总电压等参数。
然后，我们来看一下向量的减法运算。
向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
在电路中，电流和电压的减法运算是指将一个电流或电压向量减去另一个电流或电压向量得到一个新的电流或电压向量。
具体来说，当减去的电流或电压向量的方向与被减去的电流或电压向量的方向相同时，它们的大小相减，方向不变；当减去的电流或电压向量的方向与被减去的电流或电压向量的方向相反时，它们的大小相加，方向取被减去的向量的方向。
通过向量的减法运算，可以计算出电路中的电流和电压的差值等参数。
我们来看一下向量加减运算在电路中的应用。
在电路分析中，向量加减运算是非常常见的操作。
通过进行向量的加法和减法运算，可以计算出电路中的电流和电压等参数。
例如，在串联电路中，可以将各个元件的电流向量按照串联的顺序相加得到总电流向量；在并联电路中，可以将各个元件的电流向量按照并联的顺序相加得到总电流向量。
（完整版）向量及向量的基本运算
（完整版）向量及向量的基本运算向量及向量的基本运算一、教学目标：1 ?理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件2 ?会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题. 不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则.三、教学过程：（一）主要知识：1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行。
＜注意与0的区别＞③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量。
记作-a。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b。
2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a, BC b，则a + b = AB BC = AC。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
说明：（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法满足交换律与结合律；3）向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。
记作a,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）（ a）= a ; （ii）a+（a ）=（a）+ a =0 ;（iii）若a、b是互为相反向量，则a = b ,b = a ,a + b =0。
②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a （ b）。
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
a b的作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
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学习目的：1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力.5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．学习内容:向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.学习难点:向量的加法运算一、向量的概念向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小.注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关.二、向量的加法1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中，向量的和为.记作: .2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有: ，既在ΔADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量的和等于.三、向量的减法向量与向量叫做相反向量.记作: .则，既用加法法则来解决减法问题.例题选讲第一阶梯[例1]判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量；②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量与是共线向量，则、、、必在同一直线上；④向量与向量平行，则与的方向相同或相反；⑤四边形是平行四边形的充要条件是．分析：判断上述五个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目．解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；③不正确．∵与共线，可以有与平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．[例2]下列各量中是向量的有_______________.A、动能B、重量C、质量D、长度E、作用力与反作用力F、温度分析：用向量的两个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际意义的认识.解:A，C，D，F只有大小，没有方向，而B和F既有大小又有方向，故为向量.[例3]命题“若，，则．”（）A．总成立B．当时成立C．当时成立D．当时成立分析：这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件．∵零向量与其他任何非零向量都平行，∴当两非零向量、不平行而时，有，，但这时命题不成立，故不能选择A，也不能选择B与D，故只能选择C．答案：C第二阶梯[例1]如图1所示，已知向量，试求作和向量．分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和．即先作，再作．解：如图2所示，首先在平面内任取一点，作向量，再作向量，则得向量，然后作向量，则向量即为所求．[例2]化简下列各式(1)； (2)．分析：化简含有向量的关系式一般有两种方法①是利用几何方法通过作图实现化简；②是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．解：(1)原式=(2)原式=．[例3]用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．(需首先将命题改造为数学符号语言)已知：如图3，ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：由已知得，，且A，D，B，C不在同一直线上，故四边形ABCD是平行四边形．第三阶梯例1．下列命题:（1）单位向量都相等；（2）若，则；（3）若ABCD为平行四边形，则；（4）若，则.其中真命题的个数是（）A、0B、1C、2D、3解:（1）不正确.单位向量的长度相等，但方向不一定相同；（2）不正确. 可能在同一条直线上；（3）不正确.平行四边形ABCD中，；（4）正确.满足等量的传递性.选B.例2．若O为正三角形ABC的中心，则向量是（）.A、有相同起点的向量B、平行向量C、模相等的向量D、相等的向量解:的起点不同，不平行也不相等.由正三角形的性质: .选C.例3．某人向东走3km，又向北走3km，求此人所走路程和位移.解:此人所走路程:|AB|+|BC|=6km.此人的位移:例4．求证对角线互相平分的平面四边形是平行四边形.已知: ，求证:ABCD为平行四边形.证明:由加法法则: ，∵，∴，即线段AB与DC平行且相等，∴ ABCD为平行四边形.例5．非零向量中，试比较的大小.解:（1）共线时，①时，②时，.（2）不共线时，，，∵即，综上：∴课外练习:1．若两个向量不相等，则这两个向量（）.A、不共线B、长度不相等C、不可能均为单位向量D、不可能均为零向量2．四边形RSPQ为菱形，则下列可用一条有向线段表示的两个向量是（）.A、B、C、D、3．“两个向量共线”是“这两个向量相等”的（）.A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4．O是四边形ABCD对角线的交点，若，则四边形ABCD是（）.A、等腰梯形B、平行四边形C、菱形D、矩形5．若O是ΔABC内一点，，则O是ΔABC的（）.A、内心B、外心C、垂心D、重心6．ΔABC中，=（）.A、B、C、D、7．平行四边形ABCD中，E、F为AB，CD中点，图中7个向量中，与相等的向量是________；与相等的向量是______；与平行的向量是_______；与平行的向量是_____.8．已知:首尾相接的四个向量.求证: .S参考答案:1.D2.B3.B4.B5.D6.B7.8. 证明:∵，，∴.测试选择题1．已知向量 a=(3,m)的长度是5，则m的值为（）.A、4B、-4C、±4D、162．下面有四个命题：（1）向量的长度与向量的长度相等.（2）任何一个非零向量都可以平行移动.（3）所有的单位向量都相等.（4）两个有共同起点的相等向量，其终点必相同.其中真命题的个数是（）.A、4B、3C、2D、13．在下列命题中，正确的是（）.A、若| |>| |，则>B、| |=| |，则=C、若= ，则与共线D、若≠，则一定不与共线4．下列说法中错误的是（）.A、零向量是没有方向的B、零向量的长度为0C、零向量与任一向量平行D、零向量的方向是任意的5．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则和相等的向量的个数是（）.A、1个B、2个C、3个D、4个答案与解析答案：1、C 2、B 3、C 4、A 5、B解析：1．答案：C. 因为|a| 所以2．答案：B. (1)对.因为与是指同一条线段，因此长度相等．(2)对．这是由相等向量推导出的结论．(3)错.因为单位向量只要求模长等于1，方向不作要求，因此不一定相等．(4)对．因为相等向量可以经过平移至完全重合．解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识.3．答案：C. A错．因为向量有大小和方向两个要素．无法比较大小．B错．相等向量不仅要模长相等，方向也要相同．C对．相等向量方向一定相同，因此共线．D错．因为向量不相等，可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以与有共线的可能．4．答案：A. 零向量是规定了模长为0的向量．零向量的方向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量共线．零向量绝不是没有方向．5．答案：B. 根据向量相等的条件.向量重点难点了解向量可以根据需要自由平移的特点是今后运用向量方法解决问题的前提条件之一，也因此，平行向量也叫共线向量．要根据向量的有关概念从图形中找出相等的向量和共线的向量．因此，要加强训练观察一些常见图形．以下三个问题上常出现错误：一是用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定注意搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如与是大小相同，方向相反的两个向量，二是零向量的方向是任意的，而不是没有方向，因此有关零向量的方向问题一般要注意规定，例如命题：与共线，与共线，与共线，是错误的，因为零向量的方向是任意的，故与的方向没有任何关系，因此也无法判断是否共线，三是注意区别平行向量与平面几何中直线平行的概念，前者相当于两直线位置关系中的平行和重合两种情况，例如错误地认为平行向量不可能是共线向量，其实这两个概念是同一个概念.典型题目例1下列说法中正确的是（）.A．向量与向量共线，向量与向量共线，则向量与向量共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C、向量与不共线，则与所在直线的夹角为锐角D、始点相同的两个非零向量不平行答案：A点评：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的．共线向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直线上.而相等向量是共线的，故B中四点可能在同一直线上，向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，而选项D中向量是否共线与始点位置无关．例2 “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的( )条件A.充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：B点评：向量共线即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立．例3下面有四个命题：(1)向量的模是一个正实数．(2)两个向量平行是两个向量相等的必要条件．(3)若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等．(4)温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量，其中真命题的个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．3答案：B点评：只有(2)是正确的，因为两个向量平行只是指这两个向量在方向上是相同或相反的．方向相反则不可能是相等向量．即使方向相同，对于大小也没有要求，依然无法判定两个向量是否相等．而两个相等向量的方向一定相同，必是平行向量．(1)错在向量的模是表示向量的有向线段的长度，零向量的模为零．因此向量的模是一个非负实数．(3)错在两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等．(4)错在温度的零上零下也只是表示数量．向量既要有大小又要有方向．常见的向量有力、速度、位移、加速度等．正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素人手区分其它有关概念．例4 一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点．(1)作出向量、(2) 求| |.答案：(1)见图.(2)由题意，易知方向相反，故与共线，又，∴在四边形ABCD中，AB CD，四边形ABCD为平行四边形，∴，∴=200公里.点评：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.例5 一个人从A点出发沿东北方向走了100米到达B点．后改变方向沿南偏东15°又走了100米到达C点，求此人从C点走回A点的位移．解：如图，根据题意知ΔABC为等边三角形，故∠a=15°，| |=100，∴此人从C点走回A点的位移，大小为100米，方向为西偏北15°．检测题1.在下列各命题中，为真命题的有（）（1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（2）温度有零上温度和零下温度．因此温度也是向量（3）方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量（4）坐标平面上的x轴和y轴都是向量A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.已知a、b、c是三个非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要条件是（）A．a、b同方向 B．b、c同方向 C．a、c同方向 D．a、b、c同方向3.下列命题中，正确的是（）A． B．C． D．4．下列各命题中假命题的个数为（）①向量的长度与向量的长度相等．②向量与向量平行，则与的方向相同或相反．③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．④两个有共同终点的向量，一定是共线向量．⑤向量与向量是共线向量，则点、、、必在同一条直线上．⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段A．2 B．3 C．4D．55．在下列各结论中，正确的结论为（）①两向量共线且模相等是这两个向量相等的必要不充分条件；②两向量平行且模相等是这两个向量相等的既不充分也不必要条件；③两向量方向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件；④两向量方向相反且模不相等是这两个向量不相等的充分不必要条件．A．①、③ B．②、④ C．③、④ D．①、③、④6．判断下列命题真假（1）平行向量一定方向相同．（2）共线向量一定相等．（3）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量．（4）不相等的向量，则一定不平行．（5）非零向量的单位向量是．7.若三个向量a、b、c恰能首尾相接构成一个三角形，则＝。