层次分析法及模糊综合评价建模方法

标度
1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒数
含义
Ci 与Cj 的影响相同 Ci 比Cj 的影响稍强 Ci 比Cj 的影响强 Ci 比Cj 的影响明显强 Ci 比Cj 的影响绝对强 Ci 与Cj 的影响之比在上述两个相邻等级之间 若因素i与j比较得判断,则因素j与i 比较的判断为Cji=1/Cij
18
mi~A第i 行 中的个数
6. 更复杂的层次结构 • 递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和 支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。
• 更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响 或支配；层间存在反馈或循环。
例
汽车行驶性能
刹车
转向
运行
加速性能
制动 方向盘 底盘 发动机 车轮 减震装置
汽车1
国家综合实力
军事 力量
科技 水平
社会 稳定
例2 工作选择
美、俄、中、日、德等大国 工作选择
贡
收
发
声
关
献
入
展
誉
系
对外 贸易
位 置
供选择的岗位
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
经济效益 B1
过河的效益 A
社会效益 B2
环境效益 B3
节 收岸 当 建安 交 自
省 入间 地 筑全 往 豪
时 C2 商 商 就 可 沟 感
2. 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法
• 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量， 一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取 其某种意义下的平均。
和法——和法的步骤如下：
n
1）将 A的每一列向量归一化到 得 wij aij / aij ( j 1, 2,..., n); i 1
5
目 标（O） 层
准 则（C） 层
调动职 工劳动 积极性B1
合理使用企业利润 促进企业发展
提高企 业技术 水平B2
改善职工 物质文化 生活B3
措
施
层 发奖
(P)
金S1
6
扩大集 体福利 事业S2
办职工 业余技 校S3
建图书馆 俱乐部文 体工队S4
引进新 技术设 备S5
例1 国家 实力分析
国民 收入
否则，k:=k+1, 转2
5) 计算 max
1 n
n i 1
w(k 1) i w(k ) i
关于如何确定成对比较矩阵 A (aij )nn 中元素 aij 的值,
Saaty等建议试用1~9尺度，即 aij 的取值范围是1,2，…,9 以及倒数是1,1\2,…,1\9, 判断矩阵的元素一般采用1~9及 其倒数的标度方法。
定理1 lim Ake w k eT Ak e
特征向量体现多步累积效应
4.不完全层次结构中组合权向量的计算 完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联
不完全层次结构
例: 评价教师贡献的层次结构
设第2层对第1层权向量 w(2)=(w1(2),w2(2))T已定
第3层对第2层权向量
贡献O
教学C1
( Aw) i wi
1 2 6 列向量归一化 0.6 0.615 0.545
例 A 1/ 2 1
4

0.3 0.308 0.364
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
按行求和
1.760 0.972
0.268
归一化
3
二. 层次分析法的广泛应用
• 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
• 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 • 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。
• 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。
aij(2) ~ 2步强度 更能反映Ci对Cj 的强度
Ak (a(k) ), a(k) ~ k步强度
ij
ij
体现多步累积效应
i,
j, k
,k
k
, a(k)

a 或a (k )
(k
)
a(（ k ) s
1,n)
0
0 is
js
is
js
当k足够大, Ak第i行元素反映Ci的权重 求Ak的行和
汽车2
……
汽车n
层次分析法的优点
并且rank(A)=1
(3) A的最大特征值 max n ，其余的特征值均为0. (4) 若 max n 对应的特征向量为 w (w1, w2 ,..., wn )T ，则
aij wi / wj , (i, j 1, 2,..., n)
定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应
资 维 渡生 拥 搬 排 的 态
金 护 船活 挤 迁 放 污 的
C1 C2 业 方 C5 C6 物 染 破
C3 式
C7 C8 坏
C4
C9
Fra Baidu bibliotek
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D2
（2）过河代价层次结构
例4 科技成果 的综合评价
效益C1
科技成果评价 水平C2
规模C3
直接 经济 效益 C11
间接 经济 效益 C12
对每一相互比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
层次分析法（AHP）求解流程图
建立 层次 结构 分析 模型
构造 判断 矩阵
层次单 排序及 其一致 性检验
层次 总排 序
层次总 排序的 一致性 检验
考察一个特例： 若C1,C2重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1~P4能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T 公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1
• 不考虑支配元素数目不等的影响
仍用 w(3) W (3) w(2)计算 w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T
间
业 业 业 靠 通 C8
C1
C3 C4 C5 C6 C7
舒进 美
适出 化
C9
方 便
C11
C1
0
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
经济代价 B1
过河的代价 A
社会代价 B2
环境代价 B3
投 操 冲冲 交 居 汽 对 对
入 作 击击 通 民 车 水 生
科研C2
w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T P1
P2
P3
P4
w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得 讨论由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)) 计算第3层对第1层权向量
P1,P2只作教学, P4只作科研, P3兼作教学、科研。
w(3）的方法
C1,C2支配元素的数目不等
一致性指标
CI max n
n 1
随机一致性指标
判断 矩阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 阶数n
RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49
一致性比率
CR
CI RI

max CnI CRIR (n R1I)

max n
为残缺元素
Cw w
3, w (0.5714,0.2857,0.1429)T
Aw w
2 2 0 A 1/ 2 1 2
0 1/ 2 2
aij , i j, aij
aij 0,
i j, aij
mi 1, i j
A不一致, 应选权向量w使wi/wj与 aij相差 尽量小（对所有i,j)。
用拟合方法确定w
n
min
wi ( i1,,n ) i1
n j1 aij
2

wi wj

非线性 最小二乘
线性化—— 对数最小二乘
2
n
min
wi ( i1,,n ) i1
n
j
1

正特征向量w，且 lim Ake w, e (1,1,,1)T k eT Ak e
正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 max n , max n 是 A为一致阵的充要条件.
一致性指标 CI max n 定义合理 n 1
社会 效益 C13
学识 水平 C21
学术 创新 C22
技术 水平 C23
技术 创新 C24
待评价的科技成果
三. 层次分析法的若干问题
• 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量 是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接 近一致阵的程度？
• 怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？
• 为什么用特征向量作为权向量？
1 层次分析方法建模
一、层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2）构造判断矩阵
用相互比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
0.587 0.324 w 0.089
Aw

1.769 0.974
Aw

w


1 (1.769

0.974
0.268)

3.009
0.286
3 0.587 0.324 0.089
精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010
ln
a ij
ln wi wj

结果与根法相同
多步累积效应 • 按不同准则确定的权向量不 同，特征向量有什么优点。
成对比较 Ci:Cj (直接比较） aij ~ 1步强度
n
a a a A (a ) 2
(2)
(2)
ij
ij
is sj
s 1
aisasj~ Ci通过Cs 与Cj的比较
• 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法？
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质
正互矩阵：设 A (aij )nn ，若元素 aij 满足
aij

0, aij

1 a ji
, (i,
j
1, 2,..., n)
一致矩阵：设 A (aij )nn 为一个正互矩阵，并且满足
整个层次结构分析模型可以分成三层： 最高层 (目的层)——合理使用利润，促进企
业发展。 中间层 (各种使用企业留成利润方案所应当
考虑的准则)——进一步调动广大职工劳动积 极性，大力提高企业技术水平和尽力改善职工 物质文化生活。 最低层（所考虑的五种措施）—选择最优方 案。这种层次结构分析模型可用下图所示。
RI (n 1)
当CR<0.1时，层次单排序的结果才认为是满意的，此时我们用A的最大特征值对 应的归一化的特征向量作为比较矩阵的权重向量。
当CR>=0.1时，必须重新调整成对比较矩阵A，直至具有满意的一致性。
19
3. 特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应
问题 一致阵A, 权向量w=(w1,…wn)T, aij=wi/wj
aija jk aik , (i, j, k 1, 2,..., n)
一致矩阵性质：
设 A (aij )nn ，则有
(1)
aij
0, aij

1 a ji
, aij a jk

aik , (i,
j
1, 2,..., n)
(2) A的每一行(列)元素均是第一行(列)相应元素的正倍数，
w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T
• 支配元素越多权重越小 教学、科研靠个人积极性
5. 残缺成对比较阵的处理
1 2
例 A 1/ 2 1
2

1
C


1/ 2
2 w1 / w3
1
2

1/ 2 1 辅助矩阵
w3 / w1 1/ 2 1
w 2）对
按行求和得
ij
n
wi
wij , ( j 1, 2, ..., n);
j 1
w 3）将
归一化得
ij
wi

wi
n
/ wij , ( j j 1
1, 2,..., n) ，则
w

(w1, w2 ,..., wn )T
为近似特征向量；
4）计算最大特征值
max

1 n
n i 1
简化 根法——取列向量的几何平均 计算 幂法——迭代算法
1）任取初始向量w(0), k:=0，设置精度
2) 计算 w~ (k1) Aw(k )
w w~ / w~ 3）归一化
( k 1)
n ( k 1)
( k 1) i
i 1
4）若
max w w (k1)
(k)
i
i
i
，停止；
• 支配元素越多权重越大 教学、科研任务由上级安排
用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正
w~(2)

(n1w1(
2)
,
n2
w(2) 2
)T
/(n1w1(2)

n2
w(2) 2
)
n1 3, n2 2, w~(2) (3/ 5,2 / 5)T
再用 w(3) W (3) w~ (2) 计算