高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形

第七章 解三角形

一、基础知识

在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2

c

b a p ++=

为半周长。 1．正弦定理：C

c

B b A a sin sin sin =

==2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2

1

sin 21sin 21B ca A bc C ab ==

推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足

)

sin(sin a b

a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =

C ab sin 2

1

；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理

B

b

A a sin sin =

，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2

1

-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，

得证。

2．余弦定理：a 2

=b 2

+c 2

-2bccosA bc

a c

b A 2cos 2

22-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常

用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则

AD 2

=

.22pq q

p q

c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2

-2AD ·BDcos ADB ∠，

所以c 2=AD 2+p 2

-2AD ·pcos .ADB ∠ ①

同理b 2=AD 2+q 2

-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，

所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得

qc 2

+pb 2

=(p+q)AD 2

+pq(p+q)，即AD 2

=

.22pq q

p q

c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2

222

22a c b AD -+=

（2）海伦公式：因为412

=

∆ ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2 (1-cos 2

A)= 4

1b 2c 2 16

14)(12

22222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2

-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里.2

c

b a p ++=

所以S △ABC =

).)()((c p b p a p p ---

二、方法与例题

1．面积法。

例 1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O 点发出的三条射线满足

βα=∠=∠QOR POQ ,，另外OP ，OQ ，OR 的长分别为u, w, v ，这里α，β，α+β∈(0,

π)，则P ，Q ，R 的共线的充要条件是

.)

sin(sin sin w

v u βααβ+=+

2．正弦定理的应用。

例2 △ABC 内有一点P ，使得∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACB 。 求证：AP ·BC=BP ·CA=CP ·AB 。

例3 △ABC 的各边分别与两圆⊙O 1，⊙O 2相切，直线GF 与DE 交于P ，求证：PA ⊥BC 。

3．一个常用的代换：在△ABC 中，记点A ，B ，C 到内切圆的切线长分别为x, y, z ，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.

例4 在△ABC 中，求证：a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2

(a+b-c) ≤3abc.

4．三角换元。

例5 设a, b, c ∈R +

，且abc+a+c=b ，试求1

3

12122

22+++-+=

c b a P 的最大值。

例6 在△ABC 中，若a+b+c=1，求证: a 2

+b 2

+c 2

+4abc<.2

1

三、基础训练题

1．在△ABC 中，边AB 为最长边，且sinAsinB=

4

3

2-，则cosAcosB 的最大值为__________. 2．在△ABC 中，若AB=1，BC=2，则C ∠的取值范围是__________. 3．在△ABC 中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+

33=tanCtanB ，则△ABC 的面积为

__________.

4．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则C ∠=__________. 5．在△ABC 中，“a>b ”是“sinA>sinB ”的__________条件.

6．在△ABC 中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A 的取值范围是__________.

7．在△ABC 中，sinA=

53，cosB=13

5

，则cosC=__________. 8．在△ABC 中，“三边a, b, c 成等差数列”是“tan 3

1

2tan 2=⋅C A ”的__________条件.

9．在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则三角形形状是__________.

10．在△ABC 中，tanA ·tanB>1，则△ABC 为__________角三角形.

11．三角形有一个角是600

，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12π，求这个三角形的面积。

12．已知锐角△ABC 的外心为D ，过A ，B ，D 三点作圆，分别与AC ，BC 相交于M ，N 两点。求证：△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径。

13．已知△ABC 中，sinC=B

A B

A cos cos sin sin ++，试判断其形状。

四、高考水平训练题 1．在△ABC 中，若tanA=

21, tanB=3

1

，且最长边长为1，则最短边长为__________. 2．已知n ∈N +，则以3，5，n 为三边长的钝角三角形有________个.

3．已知p, q ∈R +, p+q=1，比较大小：psin 2A+qsin 2B__________pqsin 2

C.

4．在△ABC 中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ，则△ABC 为__________角三角形.

5．若A 为△ABC 的内角，比较大小：A A

cot 8

cot

-__________3.