新三第20讲 盈亏问题

盈亏问题

生活中，你是否有过这样的经历?

一筐苹果不知有多少个，一群小朋友也不知有多少人。不允许数小朋友，也不允许数整筐的苹果。你是否能确切地知道苹果有多少个? 小朋友有多少人?

刚开始你可能会感觉茫然，没有头绪，但如果你照下面这样试一试，或许就会有拨开云雾见青天的感觉。下面是一个同学的尝试：

1．如果每人分4个苹果，就剩余39个苹果（盈）；

2．如果每人分6个苹果，就剩余15个苹果（盈）；

3．如果每人分8个苹果，就不足9个苹果（亏）；

4．如果每人分10个苹果，就不足33个苹果（亏）；

……

看到这里，你或许理解了什么叫盈（多），什么叫亏（少）。令人称奇的是，只要你从以上不同的分法中任意选取两次分法的结果，比如选取1和2，或2和3，或3和4，……通过比较两次盈（或亏）苹果的相差数量与两次每人分得苹果的相差数量，就可以求出这群小朋友的人数和这筐苹果的个数。

在数学中，把这种因为分配方案的不同，致使分配同一批物体出现有时多（盈）、有时少（亏）的这一类现象称作盈亏问题。解盈亏问题，关键是求出份数。求份数分三种情况：1．两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏）；

基本公式：（剩余数 + 不足数）÷两次分配之差 = 份数

2．两次分配都有余（盈）；

基本公式：（剩余数–剩余数）÷两次分配之差 = 份数

3．两次分配都不足。

基本公式：（不足数–不足数）÷两次分配之差 = 份数

【例1】小羊们割了很多捆青草，它们准备分工将青草运回羊村。如果每只小羊运3捆，则多出5捆不能运回；如果每只小羊运4捆，则刚好运完。那么一共有多少捆青草?

分析因为小羊只数和青草总捆数都不变，而第二次之所以比第一次多运了5捆，是因为第二次每只小羊比第一次多运了1捆，因此一共有5 ÷（4–3）= 5只小羊。

〖即学即练1〗（1）一根绳子绕树三圈余3尺，如果绕树4圈则正好。树粗几尺? 绳长几尺?

（2）动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分10个桃子，则差16个桃子；如果每只猴子分8个桃子，正好分完。一共有多少只猴子? 有多少个桃子?

【例2】奥林匹克学校招收一批一年级新生。若编成每班44人的班级，还要招生30人；若编成每班40人的班级，则只需再招生10人。这次共招收了多少名新生?

分析每个班减少44–40 = 4（人），学生总数相应减少30–10 = 20（人），说明该年级一共有20÷4 = 5（个）班。

〖即学即练2〗“希望杯”竞赛成绩出来之后，刘老师到文具店给获得优胜的学生购买奖品。如果每份奖品15元，则刘老师差18元；如果每份奖品12元，刘老师仍差3元。刘老师带了多少元钱去买奖品? 刘老师带的学生有几人获得了优胜奖?

【例3】同学们分纸，如果每人分6张，则余9张；如果每人分8张，就只余1张。问有多少个同学? 多少张纸?

分析剩下的纸减少了9–1 = 8（张），减少8张的原因是因为又给每个同学补发了8–6 = 2（张），8张纸每个同学补发2张，可以发给8÷2 = 4（个）同学。

〖即学即练3〗几位小伙伴到一家小店去吃饭。结账时，发现如果每人拿出20元，则还可多32元进行其他活动；如果每人拿出15元，则只多2元。问：共进晚餐的是几个小伙伴? 这顿晚餐共花了他们多少元钱?

【例4】胡老师用一批巧克力豆奖励班上的优秀学员，如果每人得18颗，还剩9颗；如果每人得21颗，就有一位同学拿不到巧克力豆。那么一共有几颗巧克力豆?

分析有一位同学拿不到巧克力豆，也就是少了21颗巧克力。假设把每人21颗差的21颗补上，那么现在每人得18颗，就应该剩下9 + 21 = 30（颗）。之所以多了30颗，是因为每人从21颗减为18颗。

〖即学即练4〗（1）几个同学合买一套丛书，如果每人拿出9元，就多5元；如果每人拿出7元，则还差9元。那么，有几位同学合买这套丛书? 这套丛书的价格是多少元?

（2）今有客不知其数。两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘。问客及盘各几何?

【例5】全班同学参加野外露营活动，领到帐篷若干顶。如果少领一顶，每顶帐篷9个人用；如果多领一顶，每顶帐篷6个人用。该班有多少人参加活动?

分析“如果少领一顶，每顶帐篷9个人用；如果多领一顶，每顶帐篷6个人用”的意思是说“如果每顶帐篷9个人，还差9个学生；如果每顶帐篷6个人，就多出6个学生”。这样就假设将“如果每顶帐篷9个人，还差9个学生”的9名学生补齐，然后再按照每顶帐篷6人分配，就会发现多出来的学生人数变成6 + 9 = 15（人）。这15人是从每顶帐篷9人中抽出3个人出来组成的，从而求出帐篷数。

〖即学即练5〗（1）过年了，小刚想将自己的光盘整理一下。若每盒5片，则有一盒少了1片；若每盒6片，则恰好少用一个盒子。小刚的光盘一共有多少片?

（2）小强每天早晨7点30分从家出发去上学。如果每分钟走60米，就会迟到5分钟；如果每分钟走75米，就可以提前2分钟到校。小强家距离学校有多少米?

【例6】植树节到了，育红小学环保队的同学准备去植树。如果每人挖5个坑，就有3个坑没有人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人都挖6个坑，则刚好挖完。育红小学环保队有多少个同学? 他们要挖多少个坑?

分析这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵。其余的人各种6棵，就恰好种完。这组条件中包含着两种情况—— 2人种4棵，其余的人种6棵。因此，必须首先把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么就缺树苗（6–4）×2 = 4（棵）。这样，原题就转化成：如果每人种5棵树苗，还有3棵没人种：如果每人种6棵树，还缺树苗4棵。

〖即学即练6〗（1）课外活动跳绳比赛，其中2组各借绳4根，其余的组借5根，这样分配后最后余下12根；如果每组借6根，这样恰好借完。有绳多少根?

（2）学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦5块，其余各擦6块，则余11块；若每人擦7块，则还可多擦1块。求擦玻璃的人数及玻璃的块数。

【例7】甲、乙两人都买了一套相同的信笺盒。甲把每个信封里装一张信纸，结果用完了所有的信封，但剩下50张信纸；乙把每个信封里装3张信纸，结果用完了所有的信纸，剩下50个信封。每套信笺盒中有多少张信纸? 有多少个信封?

分析盈亏问题主要是“份数”和“物品总数”的比较，在这里，不妨把“份数”理解为信封，“物品总数”理解为信纸。这样，原题就转化为：1个信封里装1张信纸，就多50个信纸；1个信封装3张信纸，就少（50 × 3） = 150（张）信纸。