新三第20讲 盈亏问题

盈亏问题生活中，你是否有过这样的经历?一筐苹果不知有多少个，一群小朋友也不知有多少人。

不允许数小朋友，也不允许数整筐的苹果。

你是否能确切地知道苹果有多少个? 小朋友有多少人?刚开始你可能会感觉茫然，没有头绪，但如果你照下面这样试一试，或许就会有拨开云雾见青天的感觉。

下面是一个同学的尝试：1．如果每人分4个苹果，就剩余39个苹果（盈）；2．如果每人分6个苹果，就剩余15个苹果（盈）；3．如果每人分8个苹果，就不足9个苹果（亏）；4．如果每人分10个苹果，就不足33个苹果（亏）；……看到这里，你或许理解了什么叫盈（多），什么叫亏（少）。

令人称奇的是，只要你从以上不同的分法中任意选取两次分法的结果，比如选取1和2，或2和3，或3和4，……通过比较两次盈（或亏）苹果的相差数量与两次每人分得苹果的相差数量，就可以求出这群小朋友的人数和这筐苹果的个数。

在数学中，把这种因为分配方案的不同，致使分配同一批物体出现有时多（盈）、有时少（亏）的这一类现象称作盈亏问题。

解盈亏问题，关键是求出份数。

求份数分三种情况：1．两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏）；基本公式：（剩余数 + 不足数）÷两次分配之差 = 份数2．两次分配都有余（盈）；基本公式：（剩余数–剩余数）÷两次分配之差 = 份数3．两次分配都不足。

基本公式：（不足数–不足数）÷两次分配之差 = 份数【例1】小羊们割了很多捆青草，它们准备分工将青草运回羊村。

如果每只小羊运3捆，则多出5捆不能运回；如果每只小羊运4捆，则刚好运完。

那么一共有多少捆青草?分析因为小羊只数和青草总捆数都不变，而第二次之所以比第一次多运了5捆，是因为第二次每只小羊比第一次多运了1捆，因此一共有5 ÷（4–3）= 5只小羊。

〖即学即练1〗（1）一根绳子绕树三圈余3尺，如果绕树4圈则正好。

树粗几尺? 绳长几尺?（2）动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。

如果每只猴子分10个桃子，则差16个桃子；如果每只猴子分8个桃子，正好分完。

一共有多少只猴子? 有多少个桃子?【例2】奥林匹克学校招收一批一年级新生。

若编成每班44人的班级，还要招生30人；若编成每班40人的班级，则只需再招生10人。

这次共招收了多少名新生?分析每个班减少44–40 = 4（人），学生总数相应减少30–10 = 20（人），说明该年级一共有20÷4 = 5（个）班。

〖即学即练2〗“希望杯”竞赛成绩出来之后，刘老师到文具店给获得优胜的学生购买奖品。

如果每份奖品15元，则刘老师差18元；如果每份奖品12元，刘老师仍差3元。

刘老师带了多少元钱去买奖品? 刘老师带的学生有几人获得了优胜奖?【例3】同学们分纸，如果每人分6张，则余9张；如果每人分8张，就只余1张。

问有多少个同学? 多少张纸?分析剩下的纸减少了9–1 = 8（张），减少8张的原因是因为又给每个同学补发了8–6 = 2（张），8张纸每个同学补发2张，可以发给8÷2 = 4（个）同学。

〖即学即练3〗几位小伙伴到一家小店去吃饭。

结账时，发现如果每人拿出20元，则还可多32元进行其他活动；如果每人拿出15元，则只多2元。

问：共进晚餐的是几个小伙伴? 这顿晚餐共花了他们多少元钱?【例4】胡老师用一批巧克力豆奖励班上的优秀学员，如果每人得18颗，还剩9颗；如果每人得21颗，就有一位同学拿不到巧克力豆。

那么一共有几颗巧克力豆?分析有一位同学拿不到巧克力豆，也就是少了21颗巧克力。

假设把每人21颗差的21颗补上，那么现在每人得18颗，就应该剩下9 + 21 = 30（颗）。

之所以多了30颗，是因为每人从21颗减为18颗。

〖即学即练4〗（1）几个同学合买一套丛书，如果每人拿出9元，就多5元；如果每人拿出7元，则还差9元。

那么，有几位同学合买这套丛书? 这套丛书的价格是多少元?（2）今有客不知其数。

两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘。

问客及盘各几何?【例5】全班同学参加野外露营活动，领到帐篷若干顶。

如果少领一顶，每顶帐篷9个人用；如果多领一顶，每顶帐篷6个人用。

该班有多少人参加活动?分析“如果少领一顶，每顶帐篷9个人用；如果多领一顶，每顶帐篷6个人用”的意思是说“如果每顶帐篷9个人，还差9个学生；如果每顶帐篷6个人，就多出6个学生”。

这样就假设将“如果每顶帐篷9个人，还差9个学生”的9名学生补齐，然后再按照每顶帐篷6人分配，就会发现多出来的学生人数变成6 + 9 = 15（人）。

这15人是从每顶帐篷9人中抽出3个人出来组成的，从而求出帐篷数。

〖即学即练5〗（1）过年了，小刚想将自己的光盘整理一下。

若每盒5片，则有一盒少了1片；若每盒6片，则恰好少用一个盒子。

小刚的光盘一共有多少片?（2）小强每天早晨7点30分从家出发去上学。

如果每分钟走60米，就会迟到5分钟；如果每分钟走75米，就可以提前2分钟到校。

小强家距离学校有多少米?【例6】植树节到了，育红小学环保队的同学准备去植树。

如果每人挖5个坑，就有3个坑没有人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人都挖6个坑，则刚好挖完。

育红小学环保队有多少个同学? 他们要挖多少个坑?分析这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵。

其余的人各种6棵，就恰好种完。

这组条件中包含着两种情况—— 2人种4棵，其余的人种6棵。

因此，必须首先把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么就缺树苗（6–4）×2 = 4（棵）。

这样，原题就转化成：如果每人种5棵树苗，还有3棵没人种：如果每人种6棵树，还缺树苗4棵。

〖即学即练6〗（1）课外活动跳绳比赛，其中2组各借绳4根，其余的组借5根，这样分配后最后余下12根；如果每组借6根，这样恰好借完。

有绳多少根?（2）学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦5块，其余各擦6块，则余11块；若每人擦7块，则还可多擦1块。

求擦玻璃的人数及玻璃的块数。

【例7】甲、乙两人都买了一套相同的信笺盒。

甲把每个信封里装一张信纸，结果用完了所有的信封，但剩下50张信纸；乙把每个信封里装3张信纸，结果用完了所有的信纸，剩下50个信封。

每套信笺盒中有多少张信纸? 有多少个信封?分析盈亏问题主要是“份数”和“物品总数”的比较，在这里，不妨把“份数”理解为信封，“物品总数”理解为信纸。

这样，原题就转化为：1个信封里装1张信纸，就多50个信纸；1个信封装3张信纸，就少（50 × 3） = 150（张）信纸。

〖即学即练7〗（1）有红、白球若干个。

若每次拿出1个红球和1个白球，拿到没有红球时，还剩下50个白球；若每次拿出1个红球和3个白球，拿到没有白球时，红球还剩下50个。

那么这堆球中红球、白球各有多少个?（2）不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。

最多有多少名同学?能力检测1．学校园林科有一批树苗，交给若干名学生去栽。

一次一次地往下分，每次分1棵，最后剩下12棵，不够分了；如果再拿来8棵，那么每个学生正好栽10棵。

参加栽树的学生有多少人? 最开始有树苗多少棵?2．现在有小树苗若干棵，准备围绕着圆形水池栽种。

若每棵树苗相距2米，还少5棵树苗；若每棵树苗相距3米，还剩余4棵树苗。

小树苗有多少棵? 圆形水池的周长是多少米?3．工程队修一条路，如果每天修150米，则可提前2天完成任务；如果每天修180米，则可提前5天完成任务。

这条路全长多少米?4．羊爷爷买了一些鲜草馒头发给小羊们。

如果给每只小羊发4个鲜草馒头，还多17个；如果给每只小羊发6个鲜草馒头，并且给羊爷爷自己也发3个，还多4个。

那么共有多少只小羊?5．同学们在校园植树，如果每人种4棵树苗，则剩下11棵无人种；如果每人种5棵树苗，则有一位同学无树苗种。

参加植树的同学有多少人? 树苗共有多少棵?6．幼儿园将一筐苹果分给小朋友。

如果分给大班的小朋友每人5个，则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个，则缺2个。

已知大班比小班多3个小朋友，这筐苹果共有多少个?大班、小班共有小朋友多少人?7．毕业前夕，袁老师想用节余的班费给学生们每人买一件礼物。

如果给每人买一件2元4角的礼物，则差6元钱；如果给每人买2元1角的礼物，则还剩余3元钱。

袁老师班上共有个多少学生? 节余的班费有多少元?8．一列火车装运一批货物，原来每节车皮平均装46吨，结果有100吨货物未能装进去；后来改进装车方法，使每节车皮多装4吨，结果把这些货物装究后，还剩下2节车皮。

这列火车有多少节车皮? 这批货物有多少吨?9．山上，几个牧童在放羊。

如果每人放5只羊，则有3只羊没有人管；如果一半的人放4只羊，其余的牧童每人放7只羊，则每只羊都有人管。

在山上放羊的牧童有多少人? 这群羊有多少只?10．春节前夕，一富翁向丐帮弟子们施舍一笔钱财。

一开始他准备每人100元，结果剩下350元。

他决定每人多给20元。

这时从其他地方又闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱也和其他乞丐一样多，富翁还需要再增加550元。

原来有多少名乞丐?11．学校规定上午8时到校。

小明去上学，如果每分钟走60米．可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校。

小明几时几分离家刚好8时到校? 小明家到学校的路程是多少米?12．小明与小红各买了一本同样的数学竞赛习题集，约定在相同的时间内做完。

小明计划头两周每周做30道习题，以后每周做25道；小红计划头两周每周做35道，以后每周做30道，剩下两周留下复习。

试问这本习题集有多少道习题? 他们准备用几周做完?13．幼儿园的阿姨给小朋友们分糖．如果每人分8块糖，则多出4块糖；如果每人分10块糖，则少16块糖。

一共有多少个小朋友? 一共有多少块糖?14．学校组织学生春游，老师租了几条船让学生们划。

如果每条船坐5人，则多出4人；如果每条船坐6人，刚好空出一条船。

一共租了多少条船? 一共有学生多少人?15．幼儿园的阿姨给小朋友们分橘子，如果每人5个，还多出30个；如果每人7个，则恰好分完。

有多少个小朋友? 多少个橘子?16．学校派一些学生去搬一批树苗。

如果每人搬6棵，则差4棵；如果每人搬8棵，则差18棵。

问：学生有几人? 这批树苗有多少棵?17．老师买来一些练习本分给优秀少先队员。

如果每人分5本，则多出14本；如果每人分7本，则多了2本。

问：优秀少先队员有几人? 买来多少本练习本?18．幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则少12个玩具。

幼儿园有几个班? 这批玩具有多少个?。