流体力学(第四章)

力在轴方向的分量为 fxρdxdydz
又流体微团的加速度在x轴上的投影为 ，则根据牛 顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
f x dxdydz

p

p x
dx 2
dydz

p

p x
dx 2
dydz

dxdydz
Du Dt
将上式各项除以流体微团的流体质量ρdxdydz，化简
称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水
头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度， 所以可用几何图形表示它们之间的关系，如图42所示。
图 4-2 总水头线和静水头线
因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压 缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流 线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的 位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变， 即总水头是一常数。
现来叙述该方程的物理意义和几何意义。
1、物理意义 理想流体微元流束的伯努利方程式（4-8）中，左端
前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即第一项z表 示单位重量流体所具有的位势能；第二项p/(ρg)表示单位 重量流体的压强势能；第三项V2/(2g)理解如下：由物理学 可知，质量为m的物体以速度V运动时，所具有的动能为 mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为v2/(2g), 即 (mv2/2)/(mg)= v2/(2g) 。所以该项的物理意义为单位重量流 体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。
因此，伯努利方程可叙述为：理想不 可压缩流体在重力作用下作定常流动时， 沿同一流线（或微元流束）上各点的单位 重量流体所具有的位势能、压强势能和动 能之和保持不变，即机械能是一常数，但 位势能、压强势能和动能三种能量之间可 以相互转换。
所以伯努利方程是能量守恒定律在流 体力学中的一种特殊表现形式。
先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中
心点上的压强各等于 p p dx
x 2
p p dx x 2
图 4-1 推导欧拉运动微分方程用图
由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的
平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为
fx、fy和fz ，则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量
第四节 伯努利（Bernoulli）方程的应用
理想流体微元流束的伯努利方程，在工程中广泛应 用于管道中流体的流速、流量的测量和计算，下面以应 用最广泛的皮托管和文特里流量计为例，介绍它们的测 量原理和伯努利方程的应用。
一、皮托管 在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流
速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中 的流量，要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进 行，其测量原理如图4-3所示。
式（3-40)中的 p dx p dy p dz dp
x y z
udu vdv wdw 1 d(u 2 v 2 w2 ) 1 dV 2
2
2
假设质量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z轴垂直
向上，oxy为水平面。则式(4-7)可写成
gdz 1 dp 1 dV 2 0

2
又假设为不可压缩均质流体，即ρ=常数，积分后得
gz p V 2 常数
2
或
z p V 2 常数
(4-8)
g 2g
式（4-8）称为理想流体微元流束的伯努利方程。 方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适 用范围是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常 流动，并沿同一流线（或微元流束）。
BA Z
V Z
图 4-3 皮托管测速原理
在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端
开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将测速管（又称 皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时 测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于当 液流流到测速管入口前的A点处，液流受到阻挡，流速变
为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压强PA
假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上 的投影为dx、dy和dz。
现用dx、dy和dz分别乘以式（4-3）的第一式、第二 式和第三式，则可得到
f x dx
1

p dx u x
u dx v u dx w u dx
x
y
z
f y dy
1

p dy u y
若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点， 则式（4-8）也可写成
z1
p1
g
V12 2g
z2

p2
g
V22 2g
(4-9)
在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(4-8)可以得 到静力学基本方程
z p 常数
g
二、方程的物理意义和几何意义 为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，
称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如B点） 的液体压强为 PB，速度为v。应用伯努利方程于同一流线 上的Ｂ、Ａ两点，则有
z
pB
V2
z
pA
0
h pA pB V 2
g 2g
g
g g 2g
则
v 2 pA pB 2gh

(4-10)
式（4-10）表明，只要测量出流体的运动全压和静压 水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的 特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用式(410)计算出的要小，因此，实际流速为
第四章
流体动力学基本定理及其应用
第二节 理想流体的（欧拉）运动
微分方程
在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微
团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图4-1所示。由 于是理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以
作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静
压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六 面体形心的坐标为x、y、z，压强为p。
由此得出的结论：
1，在同温度下，物体的辐射力越大， 吸收率也越大；
2，所有实际物体的吸收率均小于1， 所以，在同温度下，黑体的辐射力最 大。
小结
The End
实际物体的黑度（发射率）－实 际物体的辐射力与同温度下黑体 辐射力的比值。
实际物体的吸收率 α 取决于吸收物体 的种类、表面温度和表面状况和投射辐 射的特性。
物体对某一波长的辐射能所吸收的百分 数被定义为
单色吸收率.
灰体也是一种假定的理想物 体。在红外线范围内，可把实 际物体近似看作灰体，给工程 计算带来方便。
2、几何意义 理想流体微元流束的伯努利方程式（4-8）
中，左端前两项的几何意义，同样在静力学中已 有阐述，即第一项z表示单位重量流体的位置水 头，第二项p/(ρg)表示单位重量流体的压强水头， 第三项v2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。 它表示所研究流体由于具有速度v，在无阻力的 情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，
0
t
u v w 0 x y z
因此式(4-2)可写成
fx

1

p x
u u x
v u w u
y
z
fy

1

p y
u v v v w v
x
y
z
1 p
w w
w
fz


z
u
x
v
y
w z
(4-3)
1 p u u u u
fx


x

t
u
x
v
y
w z
fy

1

p y

v t
u
v x
v v y
w v z
1 p w w w w
fz


z

t
u
x
v
y
w
z
(4-2)
在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和fz 是
已知的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种 情况下，式（3-35）中有四个未知数u、v、w和p，而式 （4-2）中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方 程，就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。
v dy v v dy w v dy
x
y
z
(4-4)
1 p
w
w
w
f z dz
dz u z
dz v
x
y
dz w z
dz
由流线微分方程, 有
udy=vdx ydz=wdy wdx=udz
(4-5)
将式（4-5）代入式（4-4）中的对应项，则得
f x dx
V 2 gh (4-11)
式中 ψ—流速修正系数，一般由实验确定， ψ=0.97。
黑体的半球全发射力为
该式称为 Stefan-Boltzmann定律，是 热辐射四次方定律的表达式
二，基尔霍夫定律(实际物体的 辐射特性和吸收特性的关系)
第三节 理想流体微元流束的伯努利方程
一、理想流体微元流束的伯努利方程
理想流体的运动微分方程（4-2）只有在少数特殊情 况下才能求解。在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。
假定流体是定常流动，则有
基尔霍夫定律的证明： 图1-10 推导基尔霍夫定律的简图
由(1-21)式和(1-22)式相除，可得 这就是基尔霍夫定律。
一个物体的辐射能与同温度下黑体的 辐射能之比等于它的吸收率。 (这一比值正是该物体发射率的定义)， 即
(1-23)式称为基尔霍夫恒等式。
基尔霍夫定律的表述：
在热平衡的条件下，任何物体的辐射 力和它对来自黑体辐射的吸收率的比 值，恒等于同温度下黑体的辐射力。
1

p x
dx
u
u x
dx u
u y
dy u
u z
dz
udu
f y dy
1

p y
dy

v
v x
dx v
v y
dy v
v z
dz

vdv
1 p
w
w
w
f z dz z dz w x dx w y dy w z dz wdw
后得：
1 p Du
f x x Dt
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fx

1

p x

Du Dt
同理
fy

1

p y

Dv Dt
(4-1)
fz

1

p z

Dw Dt
这就是理想流体的运动微分方程，早在1755年就为。 对于静止的流体u=v=w=0，则由式（4-1）可以直接得出 流体平衡微分方程，即欧拉平衡微分方程式。因此欧拉 平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。如果 把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分方程写成如下 形式
(4-6)
将式（3-39）的三个方程相加，得到
(
f x dx
f y dy
f z dz)
1


p x
dx
p y
dy
p z
dz
(4-7)
udu vdv wdw
由于式（4-7）中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微 小位移ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行 积分。