22.2降次--解一元二次方程(第六课时)
22.2.2 降次--解一元二次方程(公式法)
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案
年级： 九年级 学科： 数学 命题人： 王金涛 审核人： 叶书生
东 辛 店 中 学 验 标 题
（满分： 50+20 时间： 10 分钟 成绩： ）
必做题：（共5题，每题10分）
1、方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式是 ，求根公式是 。
2、方程()()1422-=-+x x x 化为一般形式得 ，其中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，用求根公式求得方程的两根=1x ，=2x 。
3、方程 ()()
22312+-=+x x x x 化简整理后，写出 ()002≠=++a c bx ax 的形式，其中a = ，b = ，c = 。
4、用公式法解下列方程：
（1）1382-=x x
（2）()()43213-+=-x x x
选做题：（共2题，每题10分）
1、（2012·德州）若关于x 的方程()0222
=+++a a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是 。
2、用长为100cm 的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不能是（ ）
A 2325cm
B 2500cm
C 2625cm
D 2
800cm。
人教版九年级数学上册22.2.2降次—解一元二次方程课件PPT
这种解一元二次方程的方法，叫做直接开平 方法.
（2）拓展：如果方程能化成(mx n)2 p( p 0)的形式，
那么可得mx n p.
课堂小结，归纳提高
2、配方法 （1）定义： 通过配成完全平方式的形式解一元二次方 程的方法，叫做配方法；
用配配方:方方法程两解边一同元时二加上次一方次程项的系数步一骤半:的
平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程;
移、配、开、解
例题精讲，反思巩固
(1)x²-8x+1=0 (2)(x+3)²+2x=5 (3)x²+4x-9=2x-11
1、用直接开平方法
（1）定义课：堂一小般地结,对，于归形如纳x提2=p高(p≥0)的
（2）步骤：移、配、开、解
作业布置
课本P45页 §习题22.2 1、第1题，第2题； 2、第3题的(1)、(2).
Thank you!
请大家给予指导建议！
配方时, 等式两边同时加上的 是一次项系数一半的平方学科网 zxxk
x2+6x-16=0
移项
(mx+n)2=p(p≥0)
x2+6x=16
两边加上3²
x2+6x+9=16+9
左边写成完全平方形式
(x+3)2=25
开方
x+3=±5
x+3=5,x+3=-5 解得 : x程的左边， 把常数项移到方程的右边
怎样解这 个方程？
整理得：X2+6X－16 = 0
x2 6x 16 0
变形为
(mx n)2 p 的形式.（p为非负常数）
22.2解一元二次方程配方法教案
22.2 解一元二次方程(配方法) 教案第1课时教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（18x）2+12整理得：x2-64x+768=0问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500整理，得：x2-36x+70=0（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768两边加（642）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024左边写成平方形式→（x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．学生活动：例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=±，，x1≈34，x2≈2．可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．例2．解下列关于x的方程（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6x-1=6，x-1=-6x1=7，x2=-5可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．（2）x 2-2x-12=0 x 2-2x=12x 2-2x+12=12+1 （x-1）2=32 x-1=x 1x 2可以验证：x 1=1+2x 2=1-2 三、巩固练习教材P 38 讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P 39 练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材P45复习巩固2．2．选用作业设计．一、选择题1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-113．如果m x2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9二、填空题1．方程x2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x xx---的值为0，则x的值为________．3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．三、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x2-4x+y2，求（xy）z的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？答案:一、1．B 2．B 3．C二、1．x1=1，x2=-5 2．2 3．z2+2z-8=0，2，-4三、1．（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，∴三角形周长为9（∵x2=1，∴不能构成三角形）2．（x-2）2+（y+3）2，∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=1 363．设每台定价为x，则：（x-2500）（8+290050x-×4）=5000，x2-5500x+7506250=0，解得x=275022.2.2 配方法第2课时教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9x-4=±3即x1=7，x2=1（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22（x+2）2=3即x+2=x1，x2二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．解下列方程（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：（1）移项，得：x2+6x=-5配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5（2）移项，得：2x2+6x=-2二次项系数化为1，得：x2+3x=-1配方x2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54由此可得x+32=x132，x232（3）去括号，整理得：x2+4x-1=0移项，得x2+4x=1配方，得（x+2）2=5x+2=x1，x2三、巩固练习教材P39练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53五、归纳小结本节课应掌握：配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．六、布置作业1.教材P45复习巩固3．2.作业设计一、选择题1．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1092．下列方程中，一定有实数解的是（）． A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0 D．（12x-a）2=a3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1 B．2 C．-1 D．-2二、填空题1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数． 3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y2-18y-4=0 （2）x22．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值．3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．答案:一、1．D 2．B 3．B二、1．1，-5 2．正 3．x-y=54三、1．（1）y 2-2y-49=0，y 2-2y=49，（y-1）2=139，y-1=，y 1，y 2（2）x2（2=•0，x1=x2 2．（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，∴原式=268 1313 --=-3．（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，x2-30x+200=0，x1=10，x2=20（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250 ∵-2（x-15）2≤0，∴x=15时，赢利最多，y=1250元．答：略。
人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》公开课课件_20
22.2.3 因式分解法
解方程： X(4-x)=0 (x-5)(4-x)=0
知识回顾
1、式子a●b=0说明了什么？
2、把下列各式因式分解. （1）x2－4x （2）x＋3－x（x＋3） （3）（2x－1）2－x2
（4） x2－6x+9
尝试：
1、若在上面的多项式后面添上=0，你怎样 来解这些方程？
(2)(2x 3)2 4(2x 3);
(3)2(x 3)2 x2 9; (4)x2 4x 12 0
(5)(x 2)x 3 12;
解下列方程
参考答案：
1.x1
2 3
;
x2
1.
2.x1
3 2
;
x2
1 2
.
3x1 3; x2 9.
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
下面的解法正确吗？如果不正确，
错误在哪？ x2 x
解：方程的两边同时除以x，得 x 1.
原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
x2 x
解：移项，得
x2 x 0,
x(x 1) 0
x 0,或x 1 0
原方程的解为 : x1 0, x2 1.
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
数学：22.2《降次—一元二次方程的解法》教案(人教版八年级上)
数学：22.2《降次—一元二次方程的解法》教案（人教版八年级上）一. 教学内容：用因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．体会解决问题方法的多样性．二. 知识要点：1. 因式分解法解方程x2－x＝0．方程左边x2－x可以分解因式：x2－x＝x（x－1），于是：x＝0或x－1＝0．所以x1＝0，x2＝1．上述解法过程中，不是不用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法．2. 因式分解法解一元二次方程的主要步骤：（1）将方程化成右边等于0的形式；（2）将方程左边分解因式（两个一次因式的积），方程化成（ax＋m）（bx＋n）＝0的形式；（3）由ax＋m＝0或bx＋n＝0得出方程的根．3. 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的对比形如x2＝a（a≥0）或（ax＋b）2＝c（c≥0）的用直接开方法解．因为一元二次方程的求根公式是由配方法推导出来的，对一般形式的一元二次方程一般不用配方法求根，可考虑因式分解法或公式法．三. 重点难点：因式分解法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了“降次”的思想，这种思想不但是本节的重点，而且在以后处理其他方程时也是非常重要的．【典型例题】例1. 用因式分解法解下列方程：（1）5x2＋3x＝0；（2）7x（3－x）＝4（x－3）；（3）9（x－2）2＝4（x＋1）2．分析：（1）左边＝x（5x＋3），右边＝0；（2）先把右边化为0，7x（3－x）－4（x－3）＝0，找出（3－x）与（x－3）的关系；（3）应用平方差公式．解：（1）因式分解，得x（5x＋3）＝0，于是得x＝0或5x＋3＝0，x1＝0，x2＝－3/5；（2）原方程化为7x（3－x）－4（x－3）＝0，因式分解，得（x－3）（－7x－4）＝0，于是得x－3＝0或－7x－4＝0，x1＝3，x2＝－4/7；（3）原方程化为9（x－2）2－4（x＋1）2＝0，因式分解，得＝0，即（5x－4）（x－8）＝0，于是得5x－4＝0或x－8＝0，x1＝4/5，x2＝8．评析：（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．例2. 选择合适的方法解下列方程．（1）2x2－5x＋2＝0；（2）（1－x）（x＋4）＝（x－1）（1－2x）；（3）3（x－2）2＝x2－2x．分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1－x）与（x－1）的关系用因式分解法；（3）题中x2－2x＝x·（x －2）用因式分解法．解：（1）a＝2，b＝－5，c＝2，b2－4ac＝（－5）2－4×2×2＝9＞0，x＝x1＝2，x2＝0.5；（2）原方程化为（1－x）（x＋4）＋（1－x）（1－2x）＝0，因式分解，得（1－x）（5－x）＝0，即（x－1）（x－5）＝0，x－1＝0或x－5＝0，x1＝1，x2＝5；（3）原方程变形为3（x－2）2－x（x－2）＝0，因式分解，得（x－2）（2x－6）＝0，x－2＝0或2x－6＝0，x1＝2，x2＝3．评析：（1）解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑公式法，而配方法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．例3. 已知（a2＋b2）2－（a2＋b2）－6＝0，求a2＋b2的值．分析：若把（a2＋b2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a2＋b2）为未知数的一元二次方程．解：设a2＋b2＝x，则原方程化为x2－x－6＝0．a＝1，b＝－1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×（－6）×1＝25＞0，，∴x1＝3，x2＝－2．即a2＋b2＝3或a2＋b2＝－2，∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝－2不合题意应舍去，取a2＋b2＝3．评析：（1）本题求的是a2＋b2，而题中条件是关于a2＋b2的，把a2＋b2看成一个整体是一个朴素的数学思想，能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．（2）根据非负数的性质有a2＋b2≥0，在做题时要注意隐含条件．例4. （1）当代数式x2＋7x＋6的值与x＋1的值相同时，x的值为多少？（2）方程x2＋2x－8＝0的正整数解为几？分析：（1）两个代数式值相等，即x2＋7x＋6＝x＋1，解这个方程可得x的值；（2）先解出方程的两个根再看其中的正整数根．解：（1）x2＋7x＋6＝x＋1，x2＋6x＋5＝0，a＝1，b＝6，c＝5，b2－4ac＝16＞0．x1＝－1，x2＝－5，所以x的值为－1或－5．（2）解方程x2＋2x－8＝0，a＝1，b＝2，c＝－8，b2－4ac＝22－4×1×（－8）＝36＞0，x1＝2，x2＝－4．所以方程x2＋2x－8＝0的正整数解为2．评析：（1）题中涉及代数式的值的问题，实质上方程就是表示含有未知数的两个代数式的值相等的式子；（2）题中方程用了公式法，用因式分解法也很方便．－【方法总结】1. 对某些方程而言因式分解法比较快捷，一般选择方法时应先考虑因式分解法，不适合因式分解法的再考虑其它方法．2. 注意体验类比、转化、降次的数学思想方法．解一元一次方程的基本思路是整理后把未知数的系数化成1；解一元二次方程的基本思路是通过开平方或因式分解把一元二次方程降次、转化成一元一次方程．【预习导学案】（实际问题与一元二次方程）一. 预习前知1. 两个数的差等于3，积等于18，则这两个数是__________．2. 三个连奇数的平方和等于155，则这三个数是__________．3. 矩形的长比宽大4厘米，面积等于60厘米2，则它的周长为__________．4. 经实验，某物体运动规律满足等式s＝40t－5t2，问t＝__________时，s＝60．二. 预习导学1. 两个数的和为2，且积为－15，那么求其中一个数x，列方程为（）A．x2－2x－15＝0 B．x2＋2x＋15＝0C．x2－2x＋15＝0 D．x2＋2x－15＝02. 某厂2008年总产值达1493万元，比2007年增长11.8%，下列说法：①2007年总产值为1493（1－11.8%）万元；②2007年总产值为1493÷（1－11.8%）万元；③2007年总产值为1493÷（1＋11.8%）万元；④若按11.8%的年增长率计算，2010年总产值预计为1493（1＋11.8%）万元．其中正确的是（）A．③④ B．②④ C．①④ D．①②③3. 在一块长12m，宽10m的长方形平地中央划出一块地，砌成面积为48m2的长方形花台，使花台四周的空地的宽度一样，①则花台面积占长方形平地面积的__________；②空地面积与花台面积的比是__________；③如果求花台四周空地的宽度x，则所列方程为__________．反思：（1）列一元二次方程解实际问题的一般步骤是怎样的？（2）用一元二次方程解实际问题应该注意什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 方程x（x－1）＝0的根是（）A.0B. 1C. 0，－1D. 0，12. 方程9（x＋1）2－4（x－1）2＝0的正确解法是（）A. 直接开方得3（x＋1）＝2（x－1）B. 化为一般形式13x2＋5＝0C. 分解因式得＝0D. 直接得x＋1＝0或x－1＝03. 解方程（5x－1）2＝3（5x－1）的适当方法是（）A. 直接开方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法4. 若实数x、y满足（x＋y＋2）（x＋y－1）＝0，则x＋y的值为（）A. 1B. －2C. 2或－1D. －2或15. 方程3x（x－2）＝0的解是（）A. x1＝3，x2＝2B. x1＝0，x2＝2C. x1＝，x2＝2D. x1＝0，x2＝－2*6. 若a使得x2＋4x＋a＝（x＋2）2－1成立，则a的值为（）A5 B. 4 C. 3 D. 2*7. 如果x2＋x－1＝0，那么代数式x3＋2x2－7的值是（）A.6B. 8C. －6D. －8**8. 已知（x＋y）（1－x－y）＋6＝0，则x＋y的值为（）A. 2B. －3C. －2或3D. 2或－3二. 填空题1. 一元二次方程x2－2x＝0的根是__________．2. 方程（x－1）（x＋2）＝2（x＋2）的根是__________．*3. 方程（x－1）（x＋2）（x－3）＝0的根是__________．4. 方程x（2x－1）＝3（2x－1）的根是__________．*5. 使代数式x2＋x－2的值为0的x的值是__________．6. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是__________．**7. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2－12x＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是__________．*8. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若b＝a＋c，则这个方程必有一根为__________．2. 用适当的方法解下列方程：（1）（5－8x）2＝2；（2）x2＋8x＝20；（3）3x2＋2x－3＝0；（4）（x－1）（x＋2）＝70．3. 试求使代数式（x－7）（x＋3）的值比（x＋5）大10的x的值．4. 审查下面解方程（x－1）2＝2（x－1）的过程回答问题．方程两边都除以（x－1）得x－1＝2，∴x＝3．上述过程对不对，为什么？*5. 直角三角形的三边长是三个连续整数，求这个直角三角形的斜边的长．。
22.2 降次——解一元二次方程(习题课)教学案-
22.2.降次——解一元二次方程（习题课）【学习目标】1、 会灵活选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。
并能说出各种解法的要点及注意的问题。
2、 能利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况；同时能根据根的情况来判断某些字母系数的取值范围。
3、 会列一元二次方程解简单实际问题，并对结果作合理的解释。
【学习过程】一、自主学习：自学课本Ｐ35---P 44内容，思考下列问题：1、 一元二次方程的解法有哪几种？其基本思想是什么？它们之间有什么区别和联系？2、 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？3、 用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？求根公式是怎样推导出来的？4、 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？5、 如何利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？都是有哪几种情况？6、 求取的方程的解都符合题意吗？有什么判断依据？交流与点拨：师生共同思考以上几个问题，在解一元二次方程时，往往首先把方程转化成一般形式，然后再去观察到底使用那种方法。
注意配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方（二次项系数为1时）。
求根公式不要死记，要掌握推导过程。
b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况是考点，要灵活掌握。
二、例题学习：例1 选择适当的方法解下列方程：（1）5)12(2=-x （2）09102=++x x 解： 解：（3）02432=+-x x （4）05822=+-x x解： 解：（5）3632-=-x x（教师可以选择其中一题示范三种方法，最终选择最好的方法，当然，学生可以自主选择方法，学生板演，教师点评。
）例2：关于x 的一元二次方程032)1(2=+++x x m（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根。
（2）当m 取何值时，此方程有两个相等的实数根。
（3）当m 取何值时，此方程没有实数根。
解：（解题时，注意01≠+m ， 1-≠m ；再结合b 2-4ac 来判断。
教案：22.2降次——解一元二次方程
教案：22.2降次——解一元二次方程第一篇：教案：22.2降次——解一元二次方程12999数学网 22.2降次——解一元二次方程（5）教学内容本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。
教学目标知识技能1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．数学思考体会“降次”化归的思想。
解决问题能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．情感态度使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．重难点、关键重点：应用分解因式法解一元二次方程．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为应加上（111，的一半应为，因此，224121），同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 44【设计意图】复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。
二、探索新知【问题】仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x （2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0 12999数学网 12999数学网 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-1．2（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．【设计意图】引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．【探究】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）x(x-2)+x-2=0；2（2）5x-2x-13=x2-2x+；44（3）3x(2x+1)=4x+2；（4）(x-4)2=(5-2x)2．【活动方略】学生活动：四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．对于方程（1），若把（x－2）看作一个整体，方程可变形为（x －2）（x＋1）＝0；方程（2）经过整理得到4x-1=0，然后利用平方差公式分解因式；方程（3）的右边分解因式后变为3x(2x+1)=2(2x+1)，然后整体移项得到23x(2x+1-)2x(+2=1)，把（2x－1）看作一个整体提公因式分解即可；22方程（4）把方程右边移到左边(x-4)-(5-2x)=0，利用平方差公式分解即可．教师活动：在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．【设计意图】12999数学网 12999数学网 主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．【应用】例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2．你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？【活动方略】学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．【设计意图】应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．三、反馈练习教材P45 练习2212999数学网 ∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．aba2+b2例2．已知9a-4b=0，求代数式--的值．baab22aba2+b2分析：要求--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的baab关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．a2-b2-a2-b22b=-解：原式=aba∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=03a+2b=0或3a-2b=0，22b或a=b 3322b当a=-b时，原式=-=3 23-b32当a=b时，原式=-3．3a=-例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a3 a∴所求不等式的解集为x<-【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
九年级数学上册 第二十二章 一元二次方程 22.2 降次──解一元二次方程名师教案1 人教新课标版教案
过分析（1）中经过移项可以化为 x2 8x 1，为了使方程的左
2．利用配方法解下 边 变 为 完 全 平 方 式 ， 可 以 在 方 程 两 边 同 时 加 上 42 ， 得 到
列方程，你能从中得到在
x2 8x 42 1 42 ，得到（x－4）2=15；
配方时具有的规律吗？
活动4 小结，布置作业
归纳总结、巩固新知．
教学过程设计
问题与情境
师生行为
「活动1」 做一做
1．一桶某种油漆可刷
学生独立分析题意，发现若设正方体的棱长为 x dm，则一个
的面积为1 500 dm2，李林 正方体的表面积为 6x2 dm2，根据一桶油漆可以刷的面积，列出方
用 这 桶 油 漆 恰 好 刷 完 10 程．在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的
解得: x1 5 5 37, x2 55 37 ． 由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是 5 5 37
米，于是绿地的长是 5 5 37 米．
「活动4」 归纳总结、布置作业
学生回顾思考，并作答．
1． 本 节 你 遇 到 了 什么问题？
2． 在 解 决 问 题 的
过程中你采取了什么方 法？
（3） 3x2 6x 4 0 ．
（3）按照（2ห้องสมุดไป่ตู้的方式进行处理．
教师活动设计：在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论
解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是 1 的情况该如何处
理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
（1）把方程化为一般形式 ax2 bx c 0 ；
准备在每两幢楼房之间， 引导，遇到问题时可以让学生讨论解决．
22.2降次——解一元二次方程(共8课时)
22.2降次——解一元二次方程（共8课时）第一课时：配方法（1）一、教学目的1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．二、教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．三、教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．回答解题过程中的依据．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课教学过程设计做一做1．一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？（课件：盒子的棱长）2．对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）2x-=；（2）2692(21)5x x++=．学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到21x-=对于（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1）的方法解决．鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成2xp=或2()(0)m x n p p +=≥的形式，那么可得x =m x n+=课堂练习解下列方程．学生独立思考、独立板书解题1．x 2-3=0 2．4x 2-9=0 3. 4x 2+4x+1=1 4. x 2-6x+9=03、应用拓展市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ， 则：10（1+x ）2=14.4 （1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=〒1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．课堂小结问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=的．作业31页练习1、2第二课时：配方法（2）教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧．教学过程一、复习回顾、引入新课用开平方法解下列方程：(1)x2=441； (2)196x2-49=0；我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．二、探究新知、归纳配方法一般过程．学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程探究二：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（课件：配方）学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律． （1）x 2－8x + 1 = 0； （2）2213x x+=；（3）23640x x -+=．（1）中经过移项可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，得到（x －4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122x x -=-，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416x -=；（3）按照（2）的方式进行处理．在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式2a xb xc ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．三、应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？师生活动设计：学生在独立思考的基础上解决问题，在必要时教师进行适当引导，遇到问题时可以让学生讨论解决．…解答‟设绿地的宽是x 米，则长是（x ＋10）米，根据题意得x （x +10）＝900．整理得210900x x +=，配方得2(5)925x +=．解得1255x x =-+=--由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是5-+的长是5+四、课堂练习解方程x 2-4x-3=0． 解方程2x 2+3=7x ．五、归纳总结、布臵作业1、 在解决问题的过程中你采取了什么方法？2、应用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的要点是： (1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数； (3)方程两边各加上一次项系数一半的平方； 作业：习题22．2第1～3题．第三课时：用公式法解一元二次方程。
降次——解一元二次方程的教案.
22.2降次——解一元二次方程（教师用）一、教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．二、教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．三、重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．四、教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？CQA老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2则PB=x，BQ=2x依题意，得：x2=8根据平方根的意义，得x=±即x1x2=可以验证，p2p）． 221x²2x=8 21x²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 2所以PBQ的面积等于8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±即方程的两根为t1例题示范一：变式1：解方程x-25=0变式2：解方程4x-100=0变式3：解方程4x-7=0变式4：解方程(2x-1)2-25=0总结：如果方程能转化成形如x2=p或(mx+n)2=p（p≥0），那么可得x=±p或mx+n=±p 注：（1）直接降次实际上就是直接开平方，方程的左边是一个完全平方式，右边是一个非负数时，可以运用此方法。
22.2.2降次解一元二次方程公式法课件人教版九年级上 (共13张PPT)
•
当△>0时，方程 ax2bxc0 (a≠0)
的实根可写为
一元二次方程的
b b2 4ac x
求根公式
2a
用求根公式解一元二次方程的方法 叫做公式法。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b24ac0时无解
3、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
4、写出方程的解：
x
、
1
x
2
x b b2 4ac 2a
例 2 解方程： x232 3x
解： 化简为一般式：x22 3x30 这里 a1、 b=-23、 c=3
b24ac（2 3） 24130
c 0
即 x b b2 4ac ＝0
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(3)b24a c0,这b 时 24 a42a
c 0
而x取任何实数都不可能使 (x
b
2
) 0
，
2a
因此方程无实数根
x b b2 4ac 2a
例 1 解方程： x27x180
解：
a 1b 7c 1 8
b24ac（7） 241（ 18） 121>0
方程有两个不等的实数根
xb b2 4ac(7) 121711
22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法
2 3 2 3 y1 1 , y2 1 . 3 3
(1)3 x 2 x 5 0；
2
(2)2 y y 6 0；
2
(3)3 x 6 x 1.
2
1.熟悉配方法解方程的步骤 2.体会转化的数学思想.
解下列方程：
(1)t 2t 48；
2
(2)2 x 4 x 5 0.
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
解： x 2 5 x 6,
(2)
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
x 5x 6 0.
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , 2 2 2 2 x1 1, x2 6.
课时总结
(1)、可直接开方解形如 x p ( p 0) 的方程，那么 x p 达到降次的目的；
2
(2)、可直接开方解形如 ( mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目 的；
2
一元二次方程配方的一般步骤： 化简：把方程化简为一般形式， 把二次项系数化为1 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方 开方：根据平方根意义,方程两边开平方 求解：解一元二次方程 定解：写出原方程的解
2
(2) 可直接开方解形如 (mx n) p ( p 0) 的方程， 那么 mx n p 达到降次的目的；
2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m , 并且 面积为16 m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解：设场地的宽为 x m ，长为( x 6) m .根据 2 矩形面积为16 m ，列方程
22.2 降次——解一元二次方程 辅导资料(含答案)
22.2 降次——解一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，解一元二次方程的算法是《一元二次方程》一章的重点内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节的主要内容是一元二次方程的解法。
这部分知识是对一次方程（组）知识学习的延续和深化，是后续内容学习的基础和工具。
主要学习下列三个内容：1.配方法配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.根据教材的特点主要设置了直接开平方法解一元二次方程和二次项系数是1的一元二次方程的解法.直接开平方法解一元二次方程比较简单，主要设置了【典例引路】中的例1、例2.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.配方及二次项系数是1的一元二次方程的解法为本节的难点，为此设置了【拓展应用】中的例2，【当堂检测】中的第3，5题，【课时作业】中的第4，5，6，7，8，9，10，12题，【选做题】中的第1，2题，【备选题目】中的第1，2题。
2.公式法此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计【典例引路】的例3、[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。
3.因式分解法利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计【典例引路】的例4，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。
4.整体思想和数感整体思想是数与代数中常用的数学思想，为此设计[拓展应用]的例1，课标虽不要求解含字母系数的方程,为提高数感, 为此设计[备选题目]的问题。
点击一：利用直接开平方法解一元二次方程用此法可解形如c x =2、)0()(2≥=+c c b ax 或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。
人教版九年级数学上册答案
人教版九年级数学上册答案【篇一：人教版九年级数学配套练习册答案】t>（1）当k = 1时，原方程为一元一次方程，2x – 2 = 0 x = 1（2）当k≠1且k≠-1时，原方程为一元二次方程，此时这个方程的二次项系数为k2 -1，一次项系数为k+1，常数项为-2。
14、题目略（1）a（x –1）2 + b（x –1）+ c= 0可化为：ax2-（2a – b）x +（a – b + c）= 0和x2-3x –1=0对照，要为一元二次方程，a2必须等于1，a可以等于1或-1，所以不能肯定a = 1（2）当a = 1，2 – b = 3，b = -1，2 + c = -1，c = -3，所以a ：b ：c = 1 ：（-1）：（-3） 15、原方程化为4x2 + 7x - 1 = 0，则二次项系数：4，一次项系数：7，常数项：-1探索研究人教版九年级上册数学配套练习册21.2.1配方法第2课时答案能力提升4、设较短的直角边长是x cm，较长的就是（x+7）cm，1/2x?（x + 7）= 30，整理得：x2+7x–60=0，解得x=5或x=-12（舍去），5+7=12 cm，探索探究 5、（1）1人教版九年级上册数学配套练习册21.2.3因式分解法答案9、b的长度为：bq = 3x，13、设每个月减少x由题意可得：（1 - x）2 = （1 - 36%），解得x = 20%探索研究14、（1）换元法转化（2）（x2 + x）2- 2（x2+ x） + 1=0，人教版九年级上册数学配套练习册21.3实际问题和一元二次方程第1课时答案基础知识1-6：b；c；c；b；b；d 7、2 8、-20139、72（1-x）2= 56 10、12 cm和4 cm 能力提升12、设每年的增长率为x，根据题意，得，30%（1 + x）2 = 60%，即（1 + x）2 = 2，解得x? ≈ 0.41 = 41%，x?≈ -2.41（舍去，不合题意）答：每年的增长率约为41%。
九年级数学上册降次解一元二次方程(第六课时)
九年级数学上册降次解一元二次方程〖第六课时〗〖习题课〗◆随堂检测1﹨关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则〖 〗A ﹨0>aB ﹨0≠aC ﹨1=aD ﹨0≥a2﹨用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是〖 〗A ﹨522=-x xB ﹨5422=-x xC ﹨542=+x xD ﹨522=+x x 3﹨方程x x x =-)1(的根是〖 〗A ﹨2=xB ﹨2-=xC ﹨0,221=-=x xD ﹨0,221==x x4﹨已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是______________．5﹨用适当的方法解下列方程：〖1〗0672=+-x x ；〖2〗)15(3)15(2-=-x x ； 〖3〗0362=+-x x ；〖4〗22510x x --=.◆典例分析 解方程022=--x x .分析:本题是含有绝对值的方程,可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同,请同学们注意转化的技巧.解法一:分类讨论〖1〗当0≥x 时，原方程化为022=--x x ，解得：,21=x 12-=x 〖不合题意，舍去〗〖2〗当0<x 时，原方程化为022=-+x x解得：21-=x ,12=x 〖不合题意，舍去〗∴原方程的解为2,221-==x x .解法二:化归换元 原方程022=--x x 可化为220x x --=,令y x =，则220y y --=〖0y ≥〗，解得12,y =21y =-〖舍去〗，当12y =时,2x =,∴2x =±,∴原方程的解为2,221-==x x . ◆课下作业●拓展提高1﹨方程062=--x x 的解是__________________．2﹨已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．3﹨12﹨写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________．4﹨当代数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为〖 〗A ﹨4B ﹨2C ﹨-2D ﹨-45﹨已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，求代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值．6﹨阅读材料，解答问题： 材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=,我们可以视2(1)x -为一个整体. 然后设21x y -=,原方程可化为2540y y -+=①.解得121,4y y ==.当11y =时，211x -=,即22x =，∴x =当24y =时，214x -=,即25x =，∴x =∴原方程的解为1234x x x x ==解答问题：〖1〗填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现了_______的数学思想.〖2〗解方程4260x x --=. ●体验中考1﹨〖2009年山西〗请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 2﹨〖2009年湖北襄樊〗如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为〖 〗A ．4+B ．12+．2+ D ．212++3﹨〖2008年，凉山〗已知反比例函数ab y x=，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则关于x 的方程220ax x b -+=的根的情况是〖 〗A ．有两个正根B ．有两个负根C ．有一个正根一个负根D ．没有实数根(提示：本题综合了反比例函数和一元二次方程根与系数的关系两个重要的知识点，请认真思考，细心解答.)4﹨〖2008年，齐齐哈尔〗三角形的每条边的长都是方程2680x x --=的根,则三角形的周长是_________________．(点拨：本题综合考查了一元二次方程的解法和三角形的有关知识，特别要注意应用三角形任意两边之和大于第三边这个定理.)参考答案：◆随堂检测1﹨B. 依据一元二次方程的定义可得.2﹨C.3﹨D. 注意不能在等式两边同除以含有未知数的式子.本题用因式分解法好. 4﹨2+依据一元二次方程根与系数的关系可得224x =∴方程的另一个根是22x =.5﹨解：〖1〗用因式分解法解0672=+-x x 得:121,6x x ==；A DC EB〖2〗用因式分解法解)15(3)15(2-=-x x 得:1214,55x x ==；〖3〗用配方法解0362=+-x x 得:1233x x ==〖4〗用公式法解22510x x --=得:12x x ==◆课下作业●拓展提高1﹨123,2x x ==-. 选用因式分解法较好.2﹨2-或1 将1x =-代入方程2220x ax a +-=得:220a a +-=,解得122,1a a =-=.3﹨答案不唯一：如2230x x +-=.4﹨A. 当2357x x ++=时，即232x x +=，∴代数式223923(3)23224x x x x +-=+-=⨯-=.故选A.5﹨解：∵2310x x +-=，∴231x x +=. 化简:223539(2)3623(2)2x x x x x x x x x x ---÷+-=÷---- 3213(2)(3)(3)3(3)x x x x x x x x --=⨯=-+-+∵∵∴ 21113(3)313x x ===+⨯， ∴代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值是13． 6﹨解:〖1〗换元法,转化.〖2〗设2x y =,原方程可化为260y y --=①.解得123,2y y ==-.当13y =时，即23x =,∴x =当22y =-时，22x =-无解.∴原方程的解为12x x ==.●体验中考1﹨答案不唯一，如21x =2﹨A.解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵a 是一元二次方程2230x x +-=的根，∴1a =，∴AE=EB=EC=1，∴AB=，BC=2，∴ABCD 的周长为4+，故选A 。
降次解一元二次方程教材详解及典例分析
22.2降次----解一元二次方程【重点难点点拨】重点：（1）能够根据方程的特点及要求灵活运用开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程；（2）领会降次──转化的数学思想．（3）求根公式的推导和公式法的应用．难点与关键：（1）通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．（2）不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．（3）一元二次方程求根公式法的推导．（4）让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．【规律方法指津】1、一元二次方程解法的选择顺序先特殊，后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法解，不能用这两种特殊方法时，再用公式法，没有特殊要求时，一般不用配方法，因为用配方法解方程比较麻烦。
（1）对于形如()2mx h h +=的关于x 的方程，应选用直接开平方法；（2）对于右边是0，且左边易于分解因式的方程，应选用因式分解法；（3）用公式法解一元二次方程时，要先求出24b ac -的值，当240b ac -≥时，方程有实数根，可以继续把根求出；当240b ac -<时，方程没有实数根。
2、运用整体思想解方程整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时有着广泛的应用。
例、用配方法解方程()()211210.2x x ---+= 分析：本题可以把方程先整理成一般形式，然后用配方法求解；但观察方程的特点，也可以把()1x -视为一个整体，直接用配方法求解。
解：()()21121.2x x ---=- ()()()()222112111,2111,212,22x x x x x ---+=-+--=⎡⎤⎣⎦-=-=∴122,222x x =+=- 金钥匙：x 既表示一个字母，也表示代数式。
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22．2降次--解一元二次方程（第六课时）
（习题课）
◆随堂检测
1、关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（ ）
A 、0>a
B 、0≠a
C 、1=a
D 、0≥a
2、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）
A 、522=-x x
B 、5422=-x x
C 、542=+x x
D 、522=+x x
3、方程x x x =-)1(的根是（ ）
{
A 、2=x
B 、2-=x
C 、0,221=-=x x
D 、0,221==x x
4、已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是______________．
5、用适当的方法解下列方程：
（1）0672=+-x x ；（2）)15(3)15(2
-=-x x ； （3）0362=+-x x ；（4）2
2510x x --=.
◆典例分析 解方程022
=--x x .
￥
分析:本题是含有绝对值的方程,可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同,请同学们注意转化的技巧.
解法一:分类讨论
（1）当0≥x 时，原方程化为022=--x x ，
解得：,21=x 12-=x （不合题意，舍去）
（2）当0<x 时，原方程化为022=-+x x
解得：21-=x ,12=x （不合题意，舍去）
∴原方程的解为2,221-==x x .
解法二:化归换元
;
原方程022=--x x 可化为2
20x x --=, 令y x =，则220y y --=（0y ≥），解得12,y =21y =-（舍去），
当12y =时,2x =,∴2x =±,
∴原方程的解为2,221-==x x .
◆课下作业
●拓展提高
1、方程062=--x x 的解是__________________．
·
2、已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．
3、12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________．
4、当代数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为（ ）
A 、4
B 、2
C 、-2
D 、-4
5、已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，求代数式
235(2)362
x x x x x -÷+---的值． 6、阅读材料，解答问题： 材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=,我们可以视2(1)x -为一个整体.
然后设21x y -=,原方程可化为2540y y -+=①.解得121,4y y ==.
!
当11y =时，211x -=,即22x =，∴x =
当24y =时，214x -=,即25x =，∴x =
∴原方程的解为1234x x x x ==
解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现了_______的数学思想.（2）解方程42
60x x --=. ●体验中考
1、（2009年山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．
2、（2009年湖北襄樊）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，
且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ）
A
．4+ B
．12+ C
．2+ D
．212+
$
3、（2008年，凉山）已知反比例函数ab y x
=，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则关于x 的方程220ax x b -+=的根的情况是（ ）
>
A ．有两个正根
B ．有两个负根
C ．有一个正根一个负根
D ．没有实数根
(提示：本题综合了反比例函数和一元二次方程根与系数的关系两个重要的知识点，请认真思考，细心解答.)
4、（2008年，齐齐哈尔）三角形的每条边的长都是方程2680x x --=的根,则三角形的周长是_________________．
(点拨：本题综合考查了一元二次方程的解法和三角形的有关知识，特别要注意应用三角形任意两边之和大于第三边这个定理.)
；
参考答案：
◆随堂检测
1、B. 依据一元二次方程的定义可得.
-
2、C.
3、D. 注意不能在等式两边同除以含有未知数的式子.本题用因式分解法好.
A D
C E
B
4、2 依据一元二次方程根与系数的关系可得224x =∴方程的另一个根是22x =.
5、解：（1）用因式分解法解0672=+-x x 得:121,6x x ==；
（2）用因式分解法解)15(3)15(2-=-x x 得:1214,55x x =
=；
（3）用配方法解0362=+-x x 得:1233x x ==
（4）用公式法解22510x x --=得:12x x ==. ◆课下作业
，
●拓展提高
1、123,2x x ==-. 选用因式分解法较好.
2、2-或1 将1x =-代入方程2220x ax a +-=得:220a a +-=,
解得122,1a a =-=.
3、答案不唯一：如2230x x +-=.
4、A. 当2357x x ++=时，即2
32x x +=，
∴代数式223923(3)23224x x x x +-=+-=⨯-=.故选A.
5、解：∵2310x x +-=，∴231x x +=.
~ 化简:223539(2)3623(2)2
x x x x x x x x x x ---÷+-=÷---- 3213(2)(3)(3)3(3)x x x x x x x x --=
⨯=-+-+∵∵∴ 21113(3)313
x x ===+⨯， ∴代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值是13
． 6、解:（1）换元法,转化.
（2）设2x y =,原方程可化为260y y --=①.解得123,2y y ==-.
当13y =时，即23x =,∴x =
当22y =-时，22x =-无解.
∴原方程的解为12x x ==.
●体验中考
1、答案不唯一，如21x =
2、A.解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵a 是一元二次方程2230x x +-=的根，
∴1a =，∴AE=EB=EC=1，∴BC=2，∴ABCD 的周长为4+，故选A 。
3、C ∵ab y x
=，当0x >时，y 随x 的增大而增大， ∴0ab <，∴方程220ax x b -+=中△＝440ab ->，方程有两个不相等的实数根.又依据一元二次方程根与系数的关系可得120b x x a
=
<，∴方程有一个正根一个负根.故选C. 4、6或10或12. 解方程2680x x -+=，得14x =,22x =.∴三角形的每条边的长可以为2、2、2或2、4、4或4、4、4（2、2、4不能构成三角形，故舍去），∴三角形的周长是6或10或12.。