第二章 单自由度系统

第二章 单自由度系统
主讲：王林鸿教授、博士 机械与汽车工程学院
第二章主要内容
自由振动； 简谐强迫振动； 周期振动；
非周期振动。
§2.1引言
单自由度系统： 只有一个自由度； 可以用一个线性常微分方程描述； 可以把握振动系统的许多基本性质； 是多自由度和连续体系统振动理论的基础。
由能量守恒得运动方程
瑞利商
能量守恒是普遍规律，能量方法是普遍方法
例2.3 如图2-5所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过 一转动惯量为I的滑轮与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设 绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自 由度系统，求系统的固有频率。
坐标有两种取法： 1、滑轮转角θ 2、质量位移x
冰火两重天！
图 2—17
说明：无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固 有频率，由于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成 系统的机械能即振动的能量。外力持续给系统输入能量，使 系统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大。由此可知，即使 是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积累振动能量。 这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法避免 通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅 速通过共振区的办法来解决。
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结
构的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造 成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激 励下系统响应的基础。 利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分 析其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测 试系统振动特性最常用的方法之一。
O
x0
F mg k ( x0 x )
mg kx0 kx kx
因此 , 此振动为简谐振动。 伸 长 某时刻m位置
x x
f m
动载荷与静载荷
动载荷与静载荷（是否与时间有关）。 动力响应与静力响应（振动学与静力学）。 总响应为动力响应与静力响应两者之和。
振动学只对动力响应感兴趣。
静力学关注的是总量，振动学关注的是增量；静力
学研究的是稳定状态，振动学研究的是变化。
2.2.2求固有频率的方法
1. 2. 3.
由系统运动微分方程求得； 静态位移法； 能量法。
1．静态位移法
用静力学的方法确定动 力学系统的固有频率
妙！

横梁与弹簧串联： 总变形量为分变形量之和
2.能量法
系统振动时动能、势能要相互转换。根据能量关系也 能求系统的固有频率。对于单自由度系统，用能量法求固有 频率有两种方法：
2
注意：上述结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐 标系有助于简化问题的求解。以下例说明。 例2.1 考虑汽车的垂直振动，并只考虑悬架质量，弹性元 件为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图2—3(a)所示， 忽略阻尼。 弹簧原长位置
静平衡位置
图 2—3
原点选取不恰当的弊端
在振动分析中，通常只对系统的动力响应感兴趣，希望方 程的解中只包括动力响应。 将描述系统振动的坐标系的原点取在系统的静平衡位置可以做
k r2 2 n I mr 2
( I / r 2 m) x" kx 0
与书上的结果比较：注意势能的 计算，可以不计重力势能 ，只 相差一个常数，不影响计算结果
讨论：
两种坐标取法计算的该系统的固有频率的结果是 一样的。 可见：系统的固有频率与所选取的坐标系无关。 上题如果用静态位移法求解，将涉及未知的绳与 滑轮的靡擦力，因而无法计算静态位移。因此能量法 对有约束力但约束力不做功的情况更为适用。
把两个弹簧刚度集总成一 个弹簧 方法：势能等效
§2.3 阻尼自由振动
振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。
阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。产
生阻尼的原因是多种多样的，有些阻尼的机理至今尚不清楚。 由于线性系统本身就是对实际问题的近似，因而对阻尼往往 也作线性化处理。 在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼。 在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大 小与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数c为 常数。用产生粘性阻尼力的阻尼器作为离散系统的主要元件 之一。
图2—16
0
弹性控制区
H ( )
图2—16
1 [1 ( / n ) 2 ]2 (2 / n ) 2
惯性控制区
H ( )
1 [1 ( / n ) 2 ]2 (2 / n ) 2
图2—16
阻尼控制区
共振现象
共振演示实验
共振频率
A
3 6 5 4
2.2.3有效质量
离散系统建模约定：质量集中在惯性元件上，弹性元件无质
量； 实际上，没有无质量的弹性元件，当弹性元件质量所占比例 较大时，不能忽略。 能量等效方法求有效质量：把动能集总到惯性元件上。 弹性元件的质量是分布的，需要适当地假定速度分布规律： 速度分布与位移分布有相同的形式。 动能意义上的质量为等效质量；势能意义上的刚度为等效刚 度。
到这一点。
由运动方程求能量方程
原点选取恰当的好处
标准自由振动方程
动态响应
坐标原点==静平衡位置 （必须的）
结论: 对于线性振动系统，可将其受到的激励分为与时间无 关的静载荷和与时间有关的动载荷，分别计算系统的静力响 应和动力响应，系统的总响应为静力响应和动力响应之和。
坐标原点选取
Fs s x k
1 1 2 1 2 2 U k ( x ) mgx kx k 2 2 2
系统的动能包括滑轮的转动动能和质量的平动动能
o x
1 x 2 1 '2 1 I '2 Et I ( ) mx ( 2 m) x 2 r 2 2 r
由
'
坐标取法： 2、质量位移x
d ( Et U ) 0
1 E kA2 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
B
Ek
Ep
O
x
A
x
能量守恒
推导
简谐运动微分方程
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
d 1 2 1 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
d x k x0 2 dt m
典型的单自由度系统: 弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方 向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质 量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹 簧-质量系统
单自由度系统示例
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动： 在初始激励或外加激励消失后的振动形态； 振动时无外界激励； 振动规律完全取决于系统本身的性质（固有特性）。
频率为：
简谐振动
由运动方程推导能量方程
得到运动微分方程的又一种方法
机械能守恒
x, v
简谐运动能量图
o
能量
x t
T
0 t x A cost v t v A sint
1 E kA2 2 1 2 Ep k A cos2 t 2
o
T
T
3T
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2—13。
简谐强迫激励项
图 2—13
静力转化为静位移
简谐强迫振动运动微分方程
通解——瞬态响应 特解——稳态响应
图 2—14
全解——两者叠加： 前段：瞬态占优； 后段：稳态占优； 最后：瞬态消失，稳态主导。
求特解的过程
求振幅、相角和表达式
1
小阻尼 阻尼 0
2
单摆1作垂直于纸面 的简谐运动时，单摆5将 作相同周期的简谐运动， 其它单摆基本不动.
o
大阻尼
0
P
共振现象的危害
1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌
•应用
•钢琴、小提琴等乐器——提高音响效果 •收音机——选台 •核磁共振——物质结构的研究和医疗诊断等
固有频率
固有频率
固有：生来就有； 内因：与外界无关，只与自身的质量和刚度有关。 至关重要——敬而远之。
运动微分方程的解
运动微分方程为二阶常系数线性常微分方程，它的通解为：
A1 , A2, A, 取决于初始条件
x0 , x0 :
a,
可见：单自由度无阻尼自由振动是简谐振动。 周期为：
•防止 •改变系统的固有频率或外力的频率 •破坏外力的周期性 •增大系统的阻尼 •对精密仪器使用减振台
无量纲量
品质因子、阻尼比两者之间的关系
半功率点定义
带宽、阻尼比、品质因子三者之间的关系
半功率点与带宽
例2.6
注意：品质因子是无量纲量
2.4.3 能量关系与等效阻尼
道不同，不相为谋； 士为知己者死；
分析和实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响 应的影响。 简谐运动可用复数表示，因而稳态振动也可用复数表示， 设有下面两个方程：
用复数表示的目的是为了求解方便，所求的响应解职 是取其对应的其中一部，本教材通常取实部。
复数
实数
稳态响应——复数 响应振幅——实数
响应：激励（对应物 理量之比）
要命的是频率（比）！
图 2—15
图 2—15
熟记三个特殊点 就等于掌握三个 区域的规律
系统稳态振动时，惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频 率的简谐量，分别为：
频率比所处区域不同，与激励构成动平衡的力的种类不同