第二章 单自由度系统

图 2—14
从波形图可以看出：
求通解的过程
全解 通解 特解
衰减因子 通解
全解=瞬态响应+稳态响应 瞬态响应昙花一现，不劳多谈； 稳态响应主导江山，集中研判！
今后，只研究稳态响应项。
稳态响应项的规律
要命的是频率（比）！
2.4.2 复频率响应 幅频特性与相频特性
稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数，在理论
特点 二阶常系数齐次方程
初始条件
u (0) u0 , u (0) u0
(定解条件)
振动工程研究所
解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入 （2）用初始条件定系数
实际经验
振动工程研究所
根据牛顿第二定律：
运动微分方程
初始条件： 弹簧力： 质Baidu Nhomakorabea只受弹簧力，故： 左边内力、右边外力 整理成振动微分方程的常见形式：
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2—13。
简谐强迫激励项
图 2—13
静力转化为静位移
简谐强迫振动运动微分方程
通解——瞬态响应 特解——稳态响应
图 2—14
全解——两者叠加： 前段：瞬态占优； 后段：稳态占优； 最后：瞬态消失，稳态主导。
求特解的过程
求振幅、相角和表达式
冰火两重天！
图 2—17
说明：无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固 有频率，由于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成 系统的机械能即振动的能量。外力持续给系统输入能量，使 系统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大。由此可知，即使 是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积累振动能量。 这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法避免 通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅 速通过共振区的办法来解决。
2.2.1运动微分方程
列出图2-2所示系统的运动微分方程
建模步骤

建立坐标系
原点为静平衡点 坐标正向为标示外力方向

分离体法
设质量在坐标正方向有一位移
对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力

力平衡
牛顿第二定律
振动工程研究所
方程分类
单自由度系统振动方程
mu(t ) cu(t ) ku(t ) f (t )
1
小阻尼 阻尼 0
2
单摆1作垂直于纸面 的简谐运动时，单摆5将 作相同周期的简谐运动， 其它单摆基本不动.
o
大阻尼
0
P
共振现象的危害
1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌
•应用
•钢琴、小提琴等乐器——提高音响效果 •收音机——选台 •核磁共振——物质结构的研究和医疗诊断等
图 2-5
坐标取法： 1、滑轮转角θ
利用能量守恒原理是求解微分方程的重要手段
例题： 如图所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过一转动惯量为I的滑轮 与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此 时系统可视为单自由度系统，求系统的固有频率。
解： 原点取在静平衡位置，弹簧的相对伸长为x ，滑 轮 沿顺时针方向转过一个角度 x/r 系统的势能为
2.2.3有效质量
离散系统建模约定：质量集中在惯性元件上，弹性元件无质
量； 实际上，没有无质量的弹性元件，当弹性元件质量所占比例 较大时，不能忽略。 能量等效方法求有效质量：把动能集总到惯性元件上。 弹性元件的质量是分布的，需要适当地假定速度分布规律： 速度分布与位移分布有相同的形式。 动能意义上的质量为等效质量；势能意义上的刚度为等效刚 度。
2
注意：上述结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐 标系有助于简化问题的求解。以下例说明。 例2.1 考虑汽车的垂直振动，并只考虑悬架质量，弹性元 件为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图2—3(a)所示， 忽略阻尼。 弹簧原长位置
静平衡位置
图 2—3
原点选取不恰当的弊端
在振动分析中，通常只对系统的动力响应感兴趣，希望方 程的解中只包括动力响应。 将描述系统振动的坐标系的原点取在系统的静平衡位置可以做
自由振动方程——无外激励 偏离静平衡 初始条件
由 繁 入 无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特点 简
mu(t ) cu(t ) ku(t ) 0
mu (t ) ku (t ) 0
振动工程研究所
无阻尼单自由度系统的自由振动
方程 注意
mu(t ) ku(t ) 0
由能量守恒得运动方程
瑞利商
能量守恒是普遍规律，能量方法是普遍方法
例2.3 如图2-5所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过 一转动惯量为I的滑轮与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设 绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自 由度系统，求系统的固有频率。
坐标有两种取法： 1、滑轮转角θ 2、质量位移x
把两个弹簧刚度集总成一 个弹簧 方法：势能等效
§2.3 阻尼自由振动
振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。
阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。产
生阻尼的原因是多种多样的，有些阻尼的机理至今尚不清楚。 由于线性系统本身就是对实际问题的近似，因而对阻尼往往 也作线性化处理。 在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼。 在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大 小与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数c为 常数。用产生粘性阻尼力的阻尼器作为离散系统的主要元件 之一。
频率为：
简谐振动
由运动方程推导能量方程
得到运动微分方程的又一种方法
机械能守恒
x, v
简谐运动能量图
o
能量
x t
T
0 t x A cost v t v A sint
1 E kA2 2 1 2 Ep k A cos2 t 2
o
T
T
3T
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
要命的是频率（比）！
图 2—15
图 2—15
熟记三个特殊点 就等于掌握三个 区域的规律
系统稳态振动时，惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频 率的简谐量，分别为：
频率比所处区域不同，与激励构成动平衡的力的种类不同
H ( )
1 [1 ( / n ) 2 ]2 (2 / n ) 2
静力学关注的是总量，振动学关注的是增量；静力
学研究的是稳定状态，振动学研究的是变化。
2.2.2求固有频率的方法
1. 2. 3.
由系统运动微分方程求得； 静态位移法； 能量法。
1．静态位移法
用静力学的方法确定动 力学系统的固有频率
妙！
横梁与弹簧串联： 总变形量为分变形量之和
2.能量法
系统振动时动能、势能要相互转换。根据能量关系也 能求系统的固有频率。对于单自由度系统，用能量法求固有 频率有两种方法：
第二章 单自由度系统
主讲：王林鸿教授、博士 机械与汽车工程学院
第二章主要内容
自由振动； 简谐强迫振动； 周期振动；
非周期振动。
§2.1引言
单自由度系统： 只有一个自由度； 可以用一个线性常微分方程描述； 可以把握振动系统的许多基本性质； 是多自由度和连续体系统振动理论的基础。
图2—16
0
弹性控制区
H ( )
图2—16
1 [1 ( / n ) 2 ]2 (2 / n ) 2
惯性控制区
H ( )
1 [1 ( / n ) 2 ]2 (2 / n ) 2
图2—16
阻尼控制区
共振现象
共振演示实验
共振频率
A
3 6 5 4
分析和实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响 应的影响。 简谐运动可用复数表示，因而稳态振动也可用复数表示， 设有下面两个方程：
用复数表示的目的是为了求解方便，所求的响应解职 是取其对应的其中一部，本教材通常取实部。
复数
实数
稳态响应——复数 响应振幅——实数
响应：激励（对应物 理量之比）
例2.4 如图2—6所示系统，在考虑弹簧质量的条件下求系统 的固有频率。
把弹簧分布质量集总到惯 性元件上 方法：动能等效
附加质量
等效质量
通常称系统在动能意义下的质量为系统的等效质量。注意它并不一 定等于系统惯性元件的质量加上其他元件的质量。同样可以定义等效刚
度，它是指在势能意义下的刚度。
图 2—7
k r2 2 n I mr 2
( I / r 2 m) x" kx 0
与书上的结果比较：注意势能的 计算，可以不计重力势能 ，只 相差一个常数，不影响计算结果
讨论：
两种坐标取法计算的该系统的固有频率的结果是 一样的。 可见：系统的固有频率与所选取的坐标系无关。 上题如果用静态位移法求解，将涉及未知的绳与 滑轮的靡擦力，因而无法计算静态位移。因此能量法 对有约束力但约束力不做功的情况更为适用。
固有频率
固有频率
固有：生来就有； 内因：与外界无关，只与自身的质量和刚度有关。 至关重要——敬而远之。
运动微分方程的解
运动微分方程为二阶常系数线性常微分方程，它的通解为：
A1 , A2, A, 取决于初始条件
x0 , x0 :
a,
可见：单自由度无阻尼自由振动是简谐振动。 周期为：
O
x0
F mg k ( x0 x )
mg kx0 kx kx
因此 , 此振动为简谐振动。 伸 长 某时刻m位置
x x
f m
动载荷与静载荷
动载荷与静载荷（是否与时间有关）。 动力响应与静力响应（振动学与静力学）。 总响应为动力响应与静力响应两者之和。
振动学只对动力响应感兴趣。
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结
构的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造 成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激 励下系统响应的基础。 利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分 析其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测 试系统振动特性最常用的方法之一。
典型的单自由度系统: 弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方 向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质 量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹 簧-质量系统
单自由度系统示例
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动： 在初始激励或外加激励消失后的振动形态； 振动时无外界激励； 振动规律完全取决于系统本身的性质（固有特性）。
1 E kA2 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
B
Ek
Ep
O
x
A
x
能量守恒
推导
简谐运动微分方程
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
d 1 2 1 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
d x k x0 2 dt m
•防止 •改变系统的固有频率或外力的频率 •破坏外力的周期性 •增大系统的阻尼 •对精密仪器使用减振台
无量纲量
品质因子、阻尼比两者之间的关系
半功率点定义
带宽、阻尼比、品质因子三者之间的关系
半功率点与带宽
例2.6
注意：品质因子是无量纲量
2.4.3 能量关系与等效阻尼
道不同，不相为谋； 士为知己者死；
到这一点。
由运动方程求能量方程
原点选取恰当的好处
标准自由振动方程
动态响应
坐标原点==静平衡位置 （必须的）
结论: 对于线性振动系统，可将其受到的激励分为与时间无 关的静载荷和与时间有关的动载荷，分别计算系统的静力响 应和动力响应，系统的总响应为静力响应和动力响应之和。
坐标原点选取
Fs s x k
单自由度系统阻尼自由振动的模型如图2—8所示。
图 2—8
图 2—10
图 2—10
图 2—10
阻尼对频率影响很小 对振幅影响很大
阻尼减振方法
大阻尼系统衰减快； 高频成分衰减快。
一种求阻尼比的方法：
图 2—11
2 ,
2
图 2—12
实际系统的阻尼比范围
§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动
l0
k
m
O
s
m g sk
x
x
坐标原点==静平衡位置 （必须的）
例、 一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将
物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。 解： 求平衡位置
kx0 mg mg x0 k 坐标原点
以平衡位置O为原点
弹簧原长 k
l0
挂m后伸长 受弹力
平衡位置
1 1 2 1 2 2 U k ( x ) mgx kx k 2 2 2
系统的动能包括滑轮的转动动能和质量的平动动能
o x
1 x 2 1 '2 1 I '2 Et I ( ) mx ( 2 m) x 2 r 2 2 r
由
'
坐标取法： 2、质量位移x
d ( Et U ) 0