绵阳市高中2018级第二次诊断性考试数学理科答案
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绵阳市高中2018级第二次诊断性考试
理科数学参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1—5 DADCB 6—10 CCCAB 11—12 DA
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.-i 14.0.8 15.3 16.②④
三、解答题:本大题共6小题,共70分.
17.解:(1)证明:∵211(2)n n n n a a a a ++=+,
∴2211112(2)()0n n n n n n n n a a a a a a a a ++++−−=−+=.
又数列{a n }各项均为正数,∴10n n a a ++>,
∴120n n a a +−=,即12n n
a a +=. …………………………………………………4分 数列{a n }是首项a 1=1,公比为2的等比数列.
∴数列{a n }的通项公式为12n n a −=. …………………………………………6分
(2)∵1(1)1221112
n n
n n a q S q −−===−−−, ∴S 2n =22n -1, ………………………………………………………………… 8分 ∵S 2n >1609
n a , ∴29(21)802n n −>⨯,即(921)(29)0n n ⨯+−>,
∴290n −>,又*n N ∈ ,
∴正整数n 的最小值为4. …………………………………………………12分
18.解:(1)由题意得,1=(23456)45
x ⨯++++=, 1=(35 6.5810.5) 6.65
y ⨯++++=,……………………2分1()()18n i i i x
x y y =−−=∑,21()10n i i x x =−=∑,……………………………………4分
1.8b =, 6.6 1.840.6a y bx =−=−⨯=−, ………………………………………5分
∴y 关于x 的线性回归方程 1.8.6ˆ0y
x =−. ……………………………………6分
(2)由(1)所得回归方程计算2月至7月份预测生产量依次为
3,4.8,6.6,8.4,10.2,12.
可得,其中“甲级月”有3个,“乙级月”有3个.……………………… 9分 记6个月中随机抽取2个月均为“乙级月”为事件A ,
∴P(A )=23
2631155
C C ==.…………………………………………………………12分 19.解:(1)在△APC 中, 30PAC ∠=
,AC =,
由余弦定理得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ×AC ×cos ∠PAC ,
即CP 2=AP 2+3
-AP ×cos30°, ……………………………………………2分 又AP +CP =2,
联立解得AP =1,CP =1. ………………………………………………………4分 ∴∠APC =120°. ……………………………………………………………………6分 (2)∵∠APC =120°,∴∠APB =60°.
∵cos B =
∴sin B = ……………………………………………………………………8分 在△APB 中,由正弦定理sin sin AB AP APB B
=∠,
∴AB = …………………………………………………………………………10分 在△APB 中,由余弦定理2222cos AB AP PB AP PB APB =+−⋅⋅∠,
得7=1+PB 2-2PBcos60°,即PB 2-PB -6=0,
解得BP =3.
∴△APB
的面积为11sin 1322AP BP APB ⨯⨯∠=⨯⨯=12分 20.解:(1)由21()()2
g x f x mx =+=(22)4ln m x x +−,x >0, 得4(22)4(1)2()(22)=2m x m x g x m x x x
+−+−'=+−=⋅. ……………………………2分 ①当1≤m −时,(1)2()20=≤m x g x x
+−'⨯, 此时g (x )在(0),
+∞上单调递减, g (x )在(0),
+∞上不可能有两个零点,故1≤m −不合题意. ……………………4分
②当m>-1时,f(x)在区间
2
(0)
1
,
m+
上单调递减,
在区间
2
()
1
,+
m
∞
+
上单调递增.……………………………5分
要使得函数g(x)在(0)
,+∞上有两个零点,
则
22
()44ln0
11
g
m m
=−<
++
,解得
2e
1
e
m
−
−<<.
综上,实数m的范围是
2e
1
e
m
−
−<<.………………………………………6分
(2)
4(2)(2)
()(22)
mx x
f x m mx
x x
−−
'=+−−=−,x>0.
①当0 2 (2) , m 上单调递增, 在(0,2), 2 () ,+ m ∞上单调递减, 当 4 4 x m >+时,函数f(x)在 2 () ,+ m ∞上单调递减. ∴ 14 ()(22)4ln(4)0 2 f x x m mx x f m =+−−<+<, ∴f(x)≥0,在x>0恒成立不成立,即0 ②当m≥1时,函数f(x)在 2 (2) , m 上单调递增, 函数f(x)在 2 (0) , m ,(2) ,+∞上单调递减, 当 4 42 x m >+>时,f(x)在(2) ,+∞上单调递减, ∴ 14 ()(22)4ln(4)0 2 f x x m mx x f m =+−−<+<, ∴f(x)≥0在x>0恒成立不成立, 即m≥1不合题意.………………………………………………………………10分③当m≤0时,函数f(x)在(0,2)上单调递减,在(2) ,+∞上单调递增, ∴要使得f(x)≥0的充要条件是f(2)≥0, 解得m≥2ln2-2, ∴2ln2-2≤m≤0. 综上所述,实数m的范围是[2ln2-2,0].……………………………………12分