绵阳市高中2018级第二次诊断性考试数学理科答案

绵阳市高中2018级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1—5 DADCB 6—10 CCCAB 11—12 DA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-i 14．0.8 15．3 16．②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）证明：∵211(2)n n n n a a a a ++=+，∴2211112(2)()0n n n n n n n n a a a a a a a a ++++−−=−+=．又数列{a n }各项均为正数，∴10n n a a ++>，∴120n n a a +−=，即12n na a +=． …………………………………………………4分 数列{a n }是首项a 1=1，公比为2的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为12n n a −=． …………………………………………6分（2）∵1(1)1221112n nn n a q S q −−===−−−， ∴S 2n =22n -1， ………………………………………………………………… 8分 ∵S 2n >1609n a ， ∴29(21)802n n −>⨯，即(921)(29)0n n ⨯+−>，∴290n −>，又*n N ∈ ，∴正整数n 的最小值为4． …………………………………………………12分18．解：（1）由题意得，1=(23456)45x ⨯++++=， 1=(35 6.5810.5) 6.65y ⨯++++=，……………………2分1()()18n i i i xx y y =−−=∑，21()10n i i x x =−=∑，……………………………………4分1.8b =， 6.6 1.840.6a y bx =−=−⨯=−， ………………………………………5分∴y 关于x 的线性回归方程 1.8.6ˆ0yx =−． ……………………………………6分（2）由（1）所得回归方程计算2月至7月份预测生产量依次为3，4.8，6.6，8.4，10.2，12．可得，其中“甲级月”有3个，“乙级月”有3个．……………………… 9分 记6个月中随机抽取2个月均为“乙级月”为事件A ，∴P(A )=232631155C C ==．…………………………………………………………12分 19．解：（1）在△APC 中， 30PAC ∠=，AC =，由余弦定理得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ×AC ×cos ∠PAC ，即CP 2=AP 2+3-AP ×cos30°， ……………………………………………2分 又AP +CP =2，联立解得AP =1，CP =1． ………………………………………………………4分 ∴∠APC =120°． ……………………………………………………………………6分 （2）∵∠APC =120°，∴∠APB =60°．∵cos B =∴sin B = ……………………………………………………………………8分 在△APB 中，由正弦定理sin sin AB AP APB B=∠，∴AB = …………………………………………………………………………10分 在△APB 中，由余弦定理2222cos AB AP PB AP PB APB =+−⋅⋅∠，得7=1+PB 2-2PBcos60°，即PB 2-PB -6=0，解得BP =3．∴△APB的面积为11sin 1322AP BP APB ⨯⨯∠=⨯⨯=12分 20．解：（1）由21()()2g x f x mx =+=(22)4ln m x x +−，x >0， 得4(22)4(1)2()(22)=2m x m x g x m x x x+−+−'=+−=⋅． ……………………………2分 ①当1≤m −时，(1)2()20=≤m x g x x+−'⨯， 此时g (x )在(0)，+∞上单调递减， g (x )在(0)，+∞上不可能有两个零点，故1≤m −不合题意. ……………………4分②当m>-1时，f(x)在区间2(0)1，m+上单调递减，在区间2()1，+m∞+上单调递增．……………………………5分要使得函数g(x)在(0)，+∞上有两个零点，则22()44ln011gm m=−<++，解得2e1em−−<<．综上，实数m的范围是2e1em−−<<．………………………………………6分（2）4(2)(2)()(22)mx xf x m mxx x−−'=+−−=−，x>0．①当0<m<1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，在(0，2)，2()，+m∞上单调递减，当44xm>+时，函数f(x)在2()，+m∞上单调递减．∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0，在x>0恒成立不成立，即0<m<1不合题意.……………………8分②当m≥1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，函数f(x)在2(0)，m，(2)，+∞上单调递减，当442xm>+>时，f(x)在(2)，+∞上单调递减，∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0在x>0恒成立不成立，即m≥1不合题意.………………………………………………………………10分③当m≤0时，函数f(x)在(0，2)上单调递减,在(2)，+∞上单调递增，∴要使得f(x)≥0的充要条件是f(2)≥0，解得m≥2ln2-2，∴2ln2-2≤m≤0．综上所述，实数m的范围是[2ln2-2，0].……………………………………12分21．解：（1）由题意得425)25(21p p x A +=+=，25||p DF −=．……………………2分 由抛物线的定义可知2||p x AF A +=， 则由AF DF =，解得2=p ．∴抛物线C 的方程为x y 42=．…………………………………………………5分（2）设直线l 1的方程为m kx y +=， 则5(55)(5)(0)2k m G k m E P m ++，，，，，． ∴以DG 为直径的圆E ：2225(5)(5)()24k m k m x y ++−+−=， 即22(5)(5)0x y k m y −+−+=． …………………………………………………7分联立24y x y kx m ⎧=⎨=+⎩，，消去y 整理得0)42(222=+−+m x km x k ． ……………8分 ∵l 1与曲线C 相切，∴04)42(222=−−=∆m k km ，化简得1=km ． …………………………………………………………………9分 设直线l 2与的方程为y tx m =+，H (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．联立22(5)(5)0y tx m x y k m y =+⎧⎨−+−+=⎩，，消去y ，整理得22(1)(510)2550t x tm kt x km ++−−+−=， ∴12222015521km x x t t ⋅=−=++． …………………………………………………11分∵1PH =，2PQ =， ∴22122(1)(1)20120PH PQ t x x t t ⋅=+⋅=+⋅=+， 即|PH |•|PQ |为定值20．……………………………………………………………12分22．解：（1）∵曲线C 1的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=6，∴曲线C 1的极坐标方程为24cos 20ρρθ−−=． …………………………………4分 将曲线C 2的参数方程消参得x 2-y 2=4(x ≥2)，∴曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥． ……………………………5分（2）曲线C 1的极坐标方程为24cos 20-ρρθ−=，将直线l ：()22=ππθαα−<<，ρ∈R 代入上式，得24cos 20ρα−−=，∴124cos ρρα+=，1220ρρ=−<． ………………………………………………7分设1OA ρ=，2OB ρ=．∴12||||AB ρρ=−=∵曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥，设点()C ρα，，∴||OC =∵||||AB OC =， ……………………………………………………………………9分 ∴24cos 28cos250αα+−=， 解得1cos22α=． ∵22ππα−<<， ∴66或-ππαα==． …………………………………………………………………10分23．解：（1）当x ≥3时，f (x )=x -3+x -2=2x -5．由f (x )<3，得x <4，综合得3≤x <4．当2<x <3时，f (x )=3- x +x -2=1．由f (x )<3，得1<3恒成立，综合得2<x <3．当x ≤2时，f (x )=3- x +2-x =5-2x ．由f (x )<3，得x >1，综合得1<x ≤2．综上，不等式f (x )<3的解集为(1，4)． ……………………………………………5分 （2）证明：∵()32(3)(2)1f x x x x x −+−−−−==≥，(当且仅当2≤x ≤3时，取“=”)∴函数f (x )的最小值为1，即m =1．∴ab +bc +ac =abc ．∴ab +bc +ac =()ab bc ac a b c abc ++⨯++）（c b a cb a ++⋅++=()111 3()()()b ac b c a a b b c a c=++++++ ≥3+2+2+2=9．(当且仅当a =b =c 时取“=”)∴9ab bc ca ++≥． ………………………………………………………………10分。