a、白噪声通过理想低通线性系统

由此可知 L [ (t )] h(t ) h (t , ) ∴ 当一个线性系统成为一个时不变系统时， 就有 这就是大家所熟知的卷积公式。即
y(t )

x( )h(t ) d

y (t ) X (t ) * h(t )
E [Y (t ]

h( ) E [ X (t )] d h( ) M X d M X
Y (t )

h ( ) x(t ) d `
Y (t ) h(t )* x(t )
2. 系统输出的均值与自相关函数 在实际工程问题中，我们总是希望当知道输 入信号的某些统征时能够得到系统的输出统 计特征。 ①系统的输出均值确定。 Y (t ) h( ) x(t ) d 这里假设输入信号为有界平稳过程
1. 若输入是平稳信号，其输出信号是否平稳。
2. 若已知输入信号的统计数字特征，如何求出输 出信号的统计数字特征。 3. 输入信号与输出信号的数字特征之间的关系如 何？


为了回答上述三个问题，我们就特殊的线性 系统进行分析。 首先介绍一下线性系统的基本理论知识。
§10.1 线性系统的基本理论

k 1
n
k
yk
2. 线性时不变系统
①线性系统的 (t ) 函数（冲激函数）的冲击 响应 由函数的性质，有

∴

(t ) x( )d x(t )

Y (t ) L [ X (t )] L [


X ( ) (t )d ]
X ( ) L [( (t ))] d
而 L [ (t )] 表示有个 (t ) 的输入函 数通过线性系统，其输出可记为 显然，h (t , ) 可称为 (t ) 函数（冲激函数） 的冲激响应。
h (t , ) L [ (t )]
图10.1
定义线性系统：如果系统的输入之间和响应 等于各输入响应之和，则称这个系统是线性 系统。简言这，若系统满足叠加原理，则系 统是线性系统，而此时的L为线性算子。线性 系统的数学表达式为：
na n Y (t ) L k xk (t ) k L [ xk (t )] k 1 k 1
3. 线性时不变系统输出信号的付氏变换
对于一个线性不变系统， x(t ), h(t ), y(t ) 设其相应的 付氏变换为 X (), H ( ), Y ()，则
将
Y () y (t )e dt y (t ) x ( )h(t ) d e jt dt

x( ) H ( )e
j
d
H ( ) X ( )
∴ 当
Y ( ) X ( ) H ( )
y (t ) x(t ) * h(t )
F [ y(t )] F [ x(t ) Βιβλιοθήκη Baidu h(t )]
即 Y ( ) X ( ) H ( ) 变换示意图如图6.2所示。
1. 线性系统介绍 一般地，系统输出、输入之间的关系可表示为：
Y (t ) L [ X (t )]
式中，X(t)为输入信号（又称激励信号），X(t)为输
出信号（双称为X(t)的响应信号）；L表示是对输入
信号进行某种运算，称为算子，它可以代表各种数
字运算方法，如加法、乘法、微分、积分等，用图 表示为：
显然当过程的每一个样本函数通过时不变系 统时，可表示为
y1 (t ) h ( ) x1 (t ) d


yn (t )

h ( ) xn (t ) d
此时系统的输出可表示为 Y (t ) { y1 (t ),}, yn (t ), 即系统的输入与输出可表示为
jt



x( ) h(t ) e j ( t ) e jt dt d x( ) h(t ) e j ( t ) dt e j d
§10.2 随机信号随过线性系统
1. 讨论系统的输出
一般随机信号作为输入通过线性系统，要研究它 的输入与输出之间的数字特征及相互关系比较复杂，
为了方便说明问题起见，我们只就有界的随机信号
通过特殊的线性系统来讨论，即假设该系统为稳定
的时不变线性系统，设为一个有界随机过程，所谓
过程有界即它们每一个样本函数有界。
第十章 随机信号通过线性 系统
在大系统分析中，如在电子通信系统中，当我们 给定系统在一个输入信号（可以是确定性信号或 随机信号），该输入信号通过系统作用总会产生 一输出信号，我们经常需要分析研究输入与输出 信号之间的关系，特别当输入信号是一个随机平 稳信号输出是什么信号呢，于是我们自然会提出 下列问题：
8
y (t )
x( ) h(t , )d
②线性时不变系统 定义线性时不变系统：若对任意常数 ，有
y (t ) L [ X (t )]
则线性系统是一个时不变系统，简称线性不 变系统。通俗地讲就是输入信号X(t)发生一个 时移，使输出Y(t)也只引起一个相同的时移。
x(t ) h (t ) d
通过变量代换上式又可写为：
y(t ) h( ) x(t x) d


上式表明，线性时不变系统的输出完全由系统的输 入与系统的冲击响应卷积确定。这是在时间域给出 了系统输出表示形式。当输出信号比较复杂时，我 们同样考虑通过付氏变换将其变换到频率去研究， 进而使问题得以简化。