第9讲群的同构与同态

S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} 正规子群

<(1)>, S3, A3=<(123)>

非正规子群

<(12)>, <(13)>,<(23)>,
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群的同态与同构

定义： 群G1 ，G2，映射f: G1→G2． 若∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ， 则称 f 为G1 到G2 的同态映射，简称同 态． 满同态，单同态，自同态，同构，自同 构
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同态核性质

同态核 kerf = { x | x∈G1, f(x)=e2 } (1)kerf={e1} ⇔ f 为单同态 (2)kerf⊴G1，∀a,b∈G1, f(a)=f(b) ⇔ akerf = bkerf
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同态核性质的证明
(2)证： (i)显然kerf 非空. ∀a,b∈kerf, f(ab−1) = f(a)f(b)−1 = e2e2−1=e2 ⇒ ab−1∈kerf kerf 为G1 的子群，下面证明正规性. (ii)∀g∈G1, ∀a∈kerf, f(gag−1) = f(g)f(a)f(g−1)= f(g)f(g−1) = f(e1)=e2 (iii)f(a)=f(b) ⇔ f(a)–1f(b)=e2 ⇔ f(a−1b)=e2 ⇔ a−1b∈kerf ⇔ akerf=bkerf
(2)证明: 由于V中只有a, b 两个元素， 故分a * b = a 和a * b = b 两种情况讨
(a * a = b) (结合律) (a * b = a) (a * a = b)
正规子群


正规子群：H≤G,，且∀a∈G，aH=Ha. 记 为H ⊴ G . （1）判定定理
(1) N 是G 的正规子群 (2) ∀g∈G, gNg−1 = N (3) ∀g∈G, ∀n∈N, gng−1∈N


（2）|N|=t, N是G的唯一t阶子群 （3）指数为2的子群
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置换群子群
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群的同态实例
(1) 整数加群<Z,+>的自同态： fc(x)=cx，c 为给定整数 (2) 模n 加群<Zn,⊕>的自同态： fp(x)=(px)mod n, p=0,1,…,n−1 (3) G1=<Z,+>,G2=<Zn,⊕>,G1 到G2 的满同 态 f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n

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同态核
同态核 kerf = { x | x∈G1, f(x)=e2 } (1) 整数加群<Z,+>的自同态： fc(x)=cx，c 为给定整数 (2) 模n 加群<Zn,⊕>的自同态： fk(x)=(kx)mod n, k=0,1,…,n−1 (3) G1=<Z,+>,G2=<Zn,⊕>,G1 到G2 的满同态 f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n


f(e1)=e2 f(x−1)=f(x)−1 f 将生成元映到生成元(满同态时) |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
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同态映射的性质2

同态保持子代数的性质

H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2
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保持群G 的性质：交换性，循环性等.

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同态基本定理
(1) H 为G 的正规子群，则G/H 是G 的同态 像 (2) 若G’为G 的同态像（f(G)=G’），则 G/keHale Waihona Puke Baiduf ≅G’.

例：G1=<Z,+>,G2=<Zn,⊕>,G1 到G2 的满 同态 f:Z→Zn, f(x)=(x)mod n
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同态核性质应用
例 设f 为G1 到G2 的同态, 则f −1(f(a)) = akerf , 证 a∈G1, x∈f −1(f(a)) ⇔ f(x) = f(a) ⇔ f (a)−1f(x) = e2 ⇔ f(a−1x) = e2 ⇔ a−1x∈kerf ⇔ x∈akerf
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题例分析
EX5 (1)a * b = a * (a * a)
= (a * a ) * a =b*a 论。 ° 1 若a * b = a，则： b * b = (a * a) * b = a * (a * b) =a*a =b
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(a * a = b) (结合律) (a * a = b )

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商群定义
商群 G/H = { Ha | a∈G },其中H ⊴ G 定义运算HaHb = Hab 说明：


良定义性质：

Ha=Hx, Hb=Hy ⇒ Hab=Hxy



可结合 He是单位元 Ha-1是Ha的逆元
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商群的性质

性质：|G/H|=[G:H]，商群的阶是|G|的因 子．|G|=|H| |G/H|=|H|[G:H]

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群的同态与同构

群同态只要求保持乘法运算,即若 ∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ，
若将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 是否满足： f(e1)=e2 ，f(x−1)=f(x)−1

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同态映射的性质1

同态保持元素的性质

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同态基本定理推论

(同态基本定理)若G’为G 的同态像 （f(G)=G’），则G/kerf ≅G’. |f(G)|整除于|G|
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小结:


集合和二元运算构成半群,独异点,群 群(集合及元素)的基本性质 群G 的给定子集H 构成子群 群G 的给定子群是正规的 f 是群G1 到G2 的同态映射 循环群，置换群
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同态保持元素性质的应用
证明不存在同构(反证法) 例1 证明不存在<Q*,⋅>到<Q,+>的同构. 证 假设存在同构f:Q*→Q, 则 f(1)=0, 0 = f(1) = f((−1)(−1)) = f(−1)+f(−1) = 2f(−1)， 从而f(−1) = 0 与f 的单射性矛盾.