第9讲群的同构与同态

2-9群同态,群同构

11:56
例：A包含a, b, c三个元，A的乘法由下表规定，证明：A是一个群
证明： : G A, G {全体整数} 普通加法, A {a,b,c}
(x) a，若 x 0 (3), (x) b，若 x 1 (3)
abc aa b c
(x) c，若 x 2 (3), 显然是满射
三、同态核
思考题1：G ~ G ， (e) e ，那么 1(e ) e ?
例1 G (Z, ) 与 G {0,1, 2, 3}, a b (a b) mod 4 同态
: x x mod 4, (x Z )
e (0) 0 mod 4 0
1(e ) { , 8, 4, 0, 4, 8, }
s 在之下的象；
s A ，称 s 1(s ) {a | (a) a, a s }
为 s 在之下的逆象.
2019/9/30
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定理2
两个代数系统 G 与 G 同态，若 G 是群，
则 G 也是群.
证明：
G

~
G
，G
是群，有结合律，则
G
也有结合律；是同态满射，有
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推论1：设
G
与G
是有限群，且

G~G
，则 | G | 整除 | G | .
| G || G / Ker | | G |
推论2：循环群的商群也是循环群.
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五、群的同构定理
定理5 设是群 G 到群G 的同态满射，又 Ker N G, N (N ) ，则
Ker {全体偶数}2019/9/3011:56引理1

同态基本定理与同构定理

第九节同态基本定理与同构定理重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系.一同态基本定理前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础.定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态.证令G a aN a N G G ∈∀→,;/: π显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈∀,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态.注1 定理2.9.1中的π称为自然同态；注2 自然同态π一定是满同态.利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质.自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念.定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合})(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核.注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态；注2 一个同态是单同态⇔G e Ker ⊆=}{φ.推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π.证由于N G /的单位元是N ，则N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ.定理2.9.3 （同态基本定理）设ϕ是群G 到群G '的一个同态满射，则(1)G Ker ϕ；(2)G Ker G '≅ϕ/.证 (1)由于φϕϕ≠⇒∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈∀∈∀ϕ则e b a '==)()(ϕϕ为G '的单位元.则e e e e e b a b a ab e e bb b b '='⋅'='⋅'===--'===----11)()()()(11)()()()()()(11ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ即G Ker Ker ab ≤⇒∈-ϕϕ1.又由于e x x x e x x a x xax '=='==----1111)()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕ，即G Ker Ker xax ϕϕ⇒∈-1.(2)令G a a aKer G Ker G ∈∀'→),(;/:ϕϕϕψ .下证ψ为一个同构映射：(ⅰ)ψ为映射：).()()()()(111b a e a b e a b Ker a b bKer aKer ϕϕϕϕϕϕϕϕ=⇒'=⇒'=⇒∈⇒=--- (ⅱ) ψ为满射：,,G a G a ∈∃'∈'∀使得a a aKer a a '==⇒'=)()()(ϕϕψϕ(ⅲ) ψ为单射：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则ϕϕϕϕϕϕϕψϕψbKer aKer Ker a b e a b b a bKer aKer =⇒∈⇒'=⇒⇒=--11)()()()()((ⅳ) ψ为一个同态：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则)()()()()()()(ϕψϕψϕϕϕϕψϕϕψbKer aKer b a ab abKer bKer aKer ====⋅.综上所述，G Ker G '≅ψϕ/. 注一般地，设G G '→:ϕ为一个群同态，则⎩⎨⎧≅'≤ϕϕϕIm /Im Ker G G我们知道，群在一个群的满同态映射之下，一个群的若干性质会发生改变的，下面讨论哪些性质不发生变化.定义2.9.2 设A A →Φ:为集合之间的一个满射.(1) 设A S ⊆，记A S a a S ⊆∈Φ=Φ}|)({)(称为子集S 在Φ之下的像；(2)设A S '⊆'，记})(|{)(1S a A a S '∈Φ∈='Φ-称为子集S '在Φ之下的逆像（或后像）.注一个不能多且一个不能少！定理2.9.4 设G G '→:ϕ是一个群之间的同态满射，(ⅰ),G H ≤∀ 则G H ≤)(ϕ；(ⅱ),G N ∀ 则G N )(ϕ；(ⅲ),G H ≤∀ 则G H ≤-)(1ϕ；(ⅳ),G N ∀ 则G N )(1-ϕ.证 (ⅰ)φϕφ≠⇒≠)(H H .b b a a t s H b a H b a ==∈∃⇒∈∀)(,)(..,,)(,ϕϕϕ， )()()()()()()(11111H b a b a b a b a Hb a ϕϕϕϕϕ∈⇒==-∈----，故G H ≤)(ϕ. (ⅱ).),(G x N a ∈∀∈∀ϕ 则⎩⎨⎧==∈∈∃a a x x t s G x N a )()(..,,ϕϕ .从而 )()()()()(111N xax x a x x a x ϕϕϕϕϕ∈==---，故G N )(ϕ.(ⅲ)由φϕ≠⇒≤-)(1H G H .（)(1H e H e -∈⇒∈ϕ）)()()()()(),()(,11111H b a H b a H b a H b a H b a -----∈⇒∈⇒∈⇒∈⇒∈∀ϕϕϕϕϕϕϕ即G H ≤-)(1ϕ.(ⅳ),),(1G x N a ∈∀∈∀-ϕ则 )()()()()()(,)(1111N xax N xax N x a x G x N a N ----∈⇒∈⇒∈⇒∈∈ϕϕϕϕϕϕϕ 故G N )(1-ϕ.注第(ⅰ)条不需要用道ϕ为满射.由(ⅳ)可知G e Ker )(1'=-ϕϕ.二同构定理第一同构定理设G G f '→:为群同态，则f G f Kerf G fIm )(/=≅ 第二同构定理（方块定理）H K H G HK G K G H ⋂≤⇒≤,,且有K H K H HK ⋂≅//.第三同构定理（分式定理）设G K G H K ,≤≤，则①GH G H ⇔（K G G K H H /,/==） ② H G K H K G ≅.第四同构定理（对应定理）设G G f '→:为群的满同态，则}{}|{11的子群G H Kerf G H −→←⊆≤- ；Kerf K K f K ≅)(且正规子群对应与正规子群.有兴趣的读者可以参考相关文献书籍.作业：Page 79 第2题，第3题。

群的同构定理

群的同构定理在抽象代数中，群是一种具有代数结构的数学对象，它在数学领域中有着广泛的应用和重要地位。

对于群的研究，同构是一个重要的概念。

同构是指两个群之间存在一个一一对应的双射，其保持了两个群之间的运算结构。

在本文中，我们将探讨群的同构定理及其相关性质。

一、同构的定义和性质设G和H是两个群，若存在一个从G到H的双射f，且对于任意的元素a、b∈G，有f(ab)=f(a)f(b)，则称这个双射f为从G到H的同构映射，记作G≅H。

若存在一个同构映射从G到H，则称G和H是同构的。

同构的基本性质如下：1. 同构是等价关系。

即同一个群与自身同构，若G≅H，则一定有H≅G；若G≅H，H≅K，则一定有G≅K。

2. 同构保持群的运算结构。

若G≅H，且a、b∈G，则f(a·b)=f(a)·f(b)。

3. 同构保持单位元。

若G≅H，且eG和eH分别为G和H的单位元，则f(eG)=eH。

4. 同构保持逆元。

若G≅H，且a∈G，则f(a⁻¹)=f(a)⁻¹。

二、下面我们介绍两个经典的群的同构定理。

1. 序号群同构定理设G是一个群，H是G的一个子群。

对于G中的任意元素a∈G，定义一个同态映射f：G→H，使得f(a)=aH。

则f是从G到H的一个同态映射，并且Ker(f)={a∈G | a∈H}是G的一个同态核。

根据同态核定理，G/Ker(f)≅H。

2. 基本同构定理设f：G→H是一个群之间的同态映射，其同态核为Ker(f)。

根据同态核定理，G/Ker(f)≅Im(f)，即G除以同态核的商群与f(G)同构。

三、同构的应用群的同构是抽象代数中一个重要的研究对象，它在很多数学领域中有广泛的应用。

以下是一些同构的常见应用：1. 规范形式：通过寻找两个同构的群，可以将一个复杂的群转化为一个更简单的形式，从而更容易研究和理解。

2. 基于同构的证明：在证明中，可以通过寻找两个同构的群，将一个问题转化为另一个已知结论的证明，从而简化证明的难度。

离散数学-同态和同构

离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法，如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式，从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
在二次方程中，同态和同构的概念主要应用于方程的变形和等价分类。
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的拓扑性质，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$U subseteq X$，有$f(U)$是 $Y$中的开集当且仅当$U$是$X$中的开集。
保持连通性
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的连通性，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$A subseteq X, B subseteq Y$，有$(A subseteq B) Leftrightarrow (f(A) subseteq f(B))$。
逻辑同构的性质
保持逻辑关系
逻辑同构映射保持了原逻辑系统中的逻辑关系，即如果映射$f: L_1 rightarrow L_2$是逻辑系统$L_1, L_2$之间的同构映射，那么对于任意命题$varphi in L_1, psi in L_2$，有$(L_1 models varphi) Leftrightarrow (L_2 models psi)$。
的。
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系，它不仅保持了群的基本运算性质，还要求存在一个双射的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。

群环域论中的同态与同构

群环域论中的同态与同构群环域论是数学中的一个重要分支，研究群与环域之间的关系及其性质。

在群环域论中，同态与同构是两个重要的概念。

本文将从同态和同构的定义、性质以及应用等方面进行探讨。

一、同态的定义与性质同态是指保持代数结构之间运算相容性的映射。

对于群与环域，同态具体的定义如下：（一）群同态：设G和H是两个群，如果存在一个映射f：G→H，满足对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从G到H的一个群同态。

（二）环域同态：设R和S是两个环域，如果存在一个映射f：R→S，满足对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从R到S的一个环域同态。

同态具有以下性质：（一）同态保持单位元：对于群同态，有f(eG)=eH，其中eG和eH分别是群G和H的单位元。

（二）同态保持逆元：对于群同态，有f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中a^(-1)是a的逆元。

（三）同态保持加法和乘法运算：对于环域同态，有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)。

二、同构的定义与性质同构是指两个代数结构之间存在一个双射，使得这个映射保持运算性质。

对于群与环域，同构具体的定义如下：（一）群同构：设G和H是两个群，如果存在一个双射f：G→H，且对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称G和H是同构的，f为从G到H的一个群同构映射。

（二）环域同构：设R和S是两个环域，如果存在一个双射f：R→S，且对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称R和S是同构的，f为从R到S的一个环域同构映射。

同构具有以下性质：（一）同构保持单位元和逆元：对于群同构，有f(eG)=eH和f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中eG和eH分别是群G和H的单位元，a^(-1)是a的逆元。

群同态基本定理与同构定理

证明过程细节
思路拓展
采用归纳法，将问题划分为小规模子问题，通过递归调用，逐步缩小问题规模，最终得出证明结果。
证明过程细节
在归纳过程中，需要建立递归终止条件和归纳转移条件，并利用群的定义和性质，逐步缩小问题规模，最终得出 $f(a)=f(b)$ 的矛盾结果。
群同态基本定理的证明方法二
应用场景一
应用场景二
群的同构定理的表述与证明
应用一
在有限群表示论中，群的同构定理可以用来判断两个群是否具有相同的表示。
应用二
在代数拓扑中，群的同构定理可以用来判断两个拓扑空间是否同胚。
群的同构定理的应用举例
密码学中的许多算法都涉及到了群结构，如对称加密算法中的有限域等。
同构定理可以用来判断两个有限群是否同构。如果两个有限群同构，则它们具有相同的性质和结构，因此可以用来构造相同的密码学算法。但是，如果两个有限群不同构，则它们具有不同的性质和结构，因此不能用来构造相同的密码学算法。因此，同构定理在密码学中具有重要的作用。
2023
群同态基本定理与同构定理
CATALOGUE
目录
群与群同态基本概念群同态基本定理的证明群的同构定理群同态基本定理与同构定理的应用群同态基本定理与同构定理的推广
01
群与群同态基本概念
群是一个非空集合，其中存在一个二元运算符，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
封闭性：对于任意$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$。
操作系统的权限管理
群同态基本定理可以用于将一些数据结构的设计问题转化为群同构问题，从而设计出更有效的算法。
数据结构与算法设计
在计算机科学中的应用
量子计算
在量子计算中，同构定理可以用于量子态的变换和量子测量等问题。

群论中的群同态与同构

群论是数学的一门重要分支，研究的是群这一抽象代数结构的性质和性质间的关系。

在群论中，群同态和群同构是两个基本概念。

首先，我们来讨论群同态。

群同态是指一种映射，它保持群的结构。

具体来说，设有两个群G和H，群同态是一个映射f: G -> H，它满足以下两个性质：1.f(x * y) = f(x) * f(y)，对于所有的x, y ∈ G；2.f(e) = e’，其中e是G的单位元，e’是H的单位元。

第一个性质保证了同态映射将群的乘法运算保持不变，第二个性质确保了同态映射将单位元映射到单位元。

群同态的一个重要应用是在简化问题的复杂性方面。

通过将一个较大的群映射到一个较小的群，我们可以研究原问题的较小版本，并利用较小群的性质来推导有关于原问题的结论。

接下来，我们谈论群同构。

群同构是指两个群之间存在双射的同态映射。

具体来说，如果存在一个双射f: G -> H，并且f满足同态的两个性质，那么我们称G和H是同构的，记作G ≅ H。

同构意味着两个群具有相同的抽象结构，虽然它们的元素和操作可能看起来不同。

例如，考虑整数加法群（Z，+）和整数乘法群（Z，*）。

尽管整数加法群和整数乘法群的运算看起来不同，但它们具有相同的结构，因此我们可以说这两个群是同构的。

同构的两个群之间有一些重要的性质如下：1.同构是一种等价关系。

即对于任意的群G，它与自身同构，即G ≅ G。

2.若G ≅ H，那么H ≅ G。

同构满足交换性。

3.若G ≅ H且H ≅ K，那么G ≅ K。

同构满足传递性。

群同构在研究群的性质和计算中发挥着重要的作用。

通过将一个群与一个已知的同构群进行比较，我们可以轻松地推导出这个群的一些性质。

同时，群同构也为群的计算提供了便利。

如果两个群是同构的，我们可以在计算一个群的过程中，使用另一个同构群的性质来简化计算。

总结来说，群同态和群同构是群论中非常重要的概念。

群同态是保持群结构的映射，而群同构则是保持群结构并具有一一对应关系的映射。

群论中的同态与同构理论

群论中的同态与同构理论群论是数学中的一个重要分支，研究群的性质和结构。

在群论中，同态和同构是两个基本概念，它们对于理解群的性质和群之间的关系非常重要。

一、同态的定义和性质在群论中，同态是指两个群之间的映射，它保持了群运算的结构。

具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)，那么φ就是一个从G到H的同态。

同态具有以下性质：1. 同态保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。

2. 同态保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。

3. 同态保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。

二、同构的定义和性质同构是指两个群之间的一种特殊的同态映射，它是一种双射，并且保持了群运算和群结构。

具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，满足以下条件：1. φ是一个双射，即φ是一个一一对应的映射。

2. φ保持群运算，即对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。

那么φ就是一个从G到H的同构。

同构具有以下性质：1. 同构保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。

2. 同构保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。

3. 同构保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。

三、同态和同构的应用同态和同构在群论中有着广泛的应用。

它们可以帮助我们研究群的性质和结构，以及群之间的关系。

1. 同态的应用：同态可以用来研究群之间的映射关系。

通过同态，我们可以将一个复杂的群映射到一个简单的群，从而简化问题的研究。

同态还可以用来刻画群的性质，例如同态核和同态像等。

2. 同构的应用：同构可以将一个群与另一个群进行一一对应，从而帮助我们找到两个群之间的相似之处。

同构还可以用来研究群的结构，例如分类群的同构分类问题。

四、同态与同构的例子为了更好地理解同态和同构的概念，我们来看几个具体的例子。

群论中的群的同构和同构定理

群论是数学中的一个分支，研究的是群的性质、结构和变换。

群的同构在群论中扮演着重要的角色，可以帮助我们发现不同群之间的相似性，并且提供了一种分类不同群的方法。

同构定理则是群论中的一项重要成果，它不仅提供了一种判断群是否同构的方法，还为我们分析群之间的关系提供了便利。

首先，我们来了解一下群的同构。

群的同构是指两个群之间存在一个双射映射，该映射既保持群运算的性质，也保持了群元素间的关系。

具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射f：G→H，满足以下条件：（1）f(x * y) = f(x) * f(y)，对任意x，y∈G成立；（2）f是双射（即一一映射和满射）；那么我们可以说G和H是同构的，记作G≅H。

同构的映射f在保持群运算的性质的同时，也保持了群元素之间的关系。

换句话说，两个同构群中的元素在运算上是相同的，在群的性质和结构上也是相似的。

例如，我们可以通过一个同构映射将整数加法群（Z，+）与自然数乘法群（N，*）建立起一一对应的关系，从而发现它们之间的相似性和对应关系。

而同构定理则进一步帮助我们判断群是否同构，以及刻画群之间的关系。

同构定理包括两个重要的定理，即第一同构定理和第二同构定理。

第一同构定理（同构基本定理）指出了任何一个群G和它的一个正规子群N的商群G/N之间存在一个同构关系。

具体来说，如果N是G的一个正规子群，那么存在一个同构映射f：G/N→im(f)，其中im(f)是映射f的像，满足f(gN) = f(g)，对任意g∈G成立。

第一同构定理不仅帮助我们理解了群的结构中正规子群的作用，也为判断群是否同构提供了一个重要的工具。

第二同构定理（同构定理）则是对第一同构定理的进一步应用和拓展。

它描述了两个群的商群之间的关系。

具体来说，设有两个群G和H，N1和N2分别是G和H的正规子群，并且存在一个同构映射f：G→H，那么G/N1和H/N2之间也存在一个同构的关系。

第二同构定理进一步说明了群的正规子群的作用，以及同构映射对群之间的关系的保持性。

群同态基本定理与同构定理

群论的基础
群论是数学中的一个重要分支，它研究的是具有某种性质的元素的集合。群同态基本定理和同构定理是群论中的两个基础概念，它们为研究群的结构和性质提供了有力的工具。
应用广泛
除了在代数结构中的应用外，群同态基本定理和同构定理在拓扑学、物理学等各个领域也有广泛的应用。例如，在量子力学中，它们被用来描述量子态的演化。
THANKS
谢谢您的观看
群同态基本定理的证明方法
证明方法通常采用构造法，即通过构造一个具体的映射函数来实现同态映射，并证明这个映射函数保持了群的运算律。
在证明过程中，通常需要使用到群的定义和性质，以及一些重要的引理和定理。
02
同构定理
同构定理的内容
定义
如果存在一个从集合A到集合B的映射，该映射保持集合A中的元素之间的加法运算，则称A与B同构。
对群同态基本定理与同构定理的展望
进一步研究与应用
群同态基本定理和同构定理是群论中的经典理论，对于它们的进一步研究可以促进我们对群论的理解。同时，这两个定理在许多其他数学领域中也有着广泛的应用，例如代数学、拓扑学等。
推广与扩展
目前，群论中的许多概念和定理已经推广到了更广泛的范围，例如量子群、李群等。未来，我们可以进一步探索群同态基本定理和同构定理在这些新领域中的表现和作用。
04
举例说明群同态基本定理与同构定理的应用Biblioteka 举例说明群同态基本定理的应用
01
群同态基本定理是群论中一个重要的定理，它表明任何两个群之间的同态映射都可以扩展到从这两个群的陪集的并集上的全映射。这个定理在许多数学领域中都有应用，例如代数学、拓扑学等。
02
1. 在代数学中的应用：群同态基本定理在代数学中被广泛应用。例如，在模论中，该定理可以用来证明一些重要的结论，如“任何两个模之间的同态映射都可以扩展到从它们的张量积上的全映射”。

群论中的同态映射与同构定理解析

群论中的同态映射与同构定理解析群论是数学中的一个重要分支，研究的是代数结构中的群以及群之间的映射和关系。

在群论中，同态映射与同构定理是两个基本概念，它们在研究群的结构和性质时起到了关键作用。

本文将对群论中的同态映射与同构定理进行解析。

一、同态映射同态映射是指保持群运算结构的映射。

设有两个群G和H，若映射φ：G→H满足对于任意的g1,g2∈G，有φ(g1⋅g2)=φ(g1)⋅φ(g2)，则称φ为从G到H的同态映射。

其中，⋅表示群G中的运算，⋅表示群H中的运算。

同态映射的定义表明，同态映射保持了群运算的结构。

通过同态映射，我们可以将一个群映射成另一个群，同时保持原有群的运算性质。

同态映射的性质如下：1. 同态映射将群的单位元映射为群的单位元，即φ(eG)=eH，其中eG和eH分别表示群G和H的单位元。

2. 同态映射将群的逆元映射为群的逆元，即φ(g^-1)=φ(g)^-1，其中g表示群G中的元素。

3. 同态映射保持群的运算，即对于任意的g1,g2∈G，有φ(g1⋅g2)=φ(g1)⋅φ(g2)。

二、同构定理同构是指两个群之间存在一个双射的同态映射。

设有两个群G和H，若存在一个双射的同态映射φ：G→H，则称G与H同构，记作G≅H。

同构的概念描述了两个群之间的一种特殊关系，即它们具有相同的结构和性质。

同构的性质如下：1. 同构是等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。

对于任意的群G，有G≅G；若G≅H，则H≅G；若G≅H且H≅K，则G≅K。

2. 同构保持群的运算和结构，即对于任意的g1,g2∈G，有φ(g1⋅g2)=φ(g1)⋅φ(g2)。

3. 同构保持群的性质，如群的阶、子群、循环性等。

同构定理是群论中的重要定理，它揭示了群之间的结构和性质的关联。

常见的同构定理包括拉格朗日定理、卡莱定理和第一同构定理等。

三、应用与举例同态映射和同构定理在群论中有广泛的应用。

它们可以用来研究群的结构、性质和分类。

以整数加法群(Z,+)和模n整数加法群(Z/nZ,+)为例，可以构造一个自然同态映射φ：Z→Z/nZ，即将整数映射到模n的等价类。

群同态基本定理与同构定理

应用2
在代数学中，同构定理是研究群论的重要工具。例如，可以利用同构定理来研究群的性质、结构以及群之间的关系。
03
群同态基本定理与同构定理的关系
两者之间的联系
01
群同态基本定理是同构定理的基础，它为同构定理提供了基本的理论支持。
02
同构定理是群同态基本定理的推广，它把群同态基本定理中的
群推广到更一般的代数结构。
深入，人们发现非交换群在许多领域中也有着广泛的应用。因此，对非
交换群的同态基本定理的研究也变得十分重要。
定理的深化
精细的同态基本定理
在群同态基本定理的证明过程中，有一些关键的步骤需要用到一些特殊的技巧和方法。这些技巧和方法可以被称为精细的同态基本定理。它们对于理解群的结构和性质具有重要的意义。
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限群。无限群是指包含无限个元素的群，其运算并不一定满足封闭性，
因此需要更精细的处理方法。
02

从群到环和域
群同态基本定理的推广并不仅限于群，还可以将其推广到环和域等数学
对象。这些对象在代数学中被广泛研究，因此，对它们的同态基本定理
的研究也具有重要意义。
03
从交换群到非交换群
在最初的研究中，群同态基本定理主要关注的是交换群，但随着研究的
两者都是研究群的结构和性质的重要工具。
03
两者之间的区别
群同态基本定理主要关注的是有限群与其子群之间的映射关系，而同构定理则更注重不同代数结构之间的映射关系。
群同态基本定理的证明方法相对简单，主要基于群的定义和性质，而同构定理的证明则更加复杂，需要引入更多的代数工具。
在应用上，群同态基本定理主要用于解决有限群的问题，而同构定理则可以应用于更广泛的代数结构，包括环、域、模等。

代数拓扑中的群同态和群同构

代数拓扑中的群同态和群同构群是代数学中最为基本的概念之一，它在各个数学领域中都有着重要的应用。

而代数拓扑则是将拓扑学与代数学相结合的分支，它以群和同调等代数工具为基础，研究了很多有趣的拓扑性质。

在代数拓扑中，群同态和群同构是两个非常重要的概念，它们是群之间关系的基础，也是研究拓扑空间以及它们的不变量的重要工具。

一、群同态群同态是指保持群运算的结构的映射。

设G和H是两个群，f : G → H是一个映射，如果满足：1. f(e_G) = e_H，其中e_G和e_H分别是G和H的恒等元。

2. 对于任意的a,b∈G，均有f(a·b) = f(a)·f(b)。

则称f是一个群同态。

直观上来看，群同态是将群G中的元素映射到群H中，同时保持群运算不变的一种映射。

举个例子，我们可以定义一个从整数环Z到模2运算下的加法群F_2上的群同态f : Z → F_2，将整数n映射为它对2取模后的余数f(n) = n mod 2。

很容易验证，这个映射保持加法运算不变，即f(n+m) = f(n) + f(m) mod 2，同时满足f(0) = 0，因此它是一个群同态。

群同态的性质有很多，其中最为重要的是核和像。

设f : G → H 是一个群同态，它的核定义为ker(f) = {g∈G | f(g) = e_H}，即所有使得f(g)等于H的恒等元的元素所组成的集合。

而它的像则定义为im(f) = {h∈H | h = f(g) for some g∈G}，即所有能够在H中找到原像的元素所组成的集合。

一个显然的事实是，群同态的核和像都是其所在群的子群。

反过来，对于任意一个子群K⊆G和子群L⊆H，我们都可以定义一个群同态f : G → H，将K中的元素映射到L中的元素，同时将G 中除K外的其它元素都映射为H中的恒等元。

这个映射的核就是K，像就是L。

因此，我们可以说每个子群都可以看做某个群的群同态的核或像。

二、群同构群同构是指既保持群元素之间的运算关系，也保持群元素之间的数量关系的映射。

同构及同态离散数学ppt课件

引理1
设N是群G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。证明：因为N是正规子群，故 Nb=bN，今设A=aN，B=bN，则 AB=aNbN=abNN=abN，所以AB也是N的陪集。
群的第二同态定理
定理6.5.3 设N是群G的正规子群，于是按照陪集的乘法，N的所有陪集作成一个群。命 σ：a→aN，a ∈G, 则σ是G到上的一个同态映射，且σ的核就是N。称为G对于N的商群，记为G∕N。若G是有限群，则商群中元素个数等于N在G中的指数，即等于陪集的个数。
例. （R*，·）与（R，+）不可能同构。证明：用反证法。假设（R*，·）与（R，+）同构，可设映射σ为R*到R上的一个同构映射，于是必有 σ：1 0， -1 a， a ≠ 0。从而， σ(1)=σ((-1)·(-1)) =σ(-1)+σ(-1)=a+a=2a。则有2a=0，a=0，与a ≠ 0矛盾。故，原假设不对，（R*，·）与（R，+）不可能同构。
6.5.2 同构映射
定义. 设G是一个群，K是一个乘法系统， σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G到σ(G)上的1-1映射，则称σ是同构映射。称G与σ(G)同构，记成G σ(G)。
例. 群（R+，·）和（R，+）是同构的。因为若令 σ：xlogx，x∈R+，则σ是R+到R上的1-1映射，且对任意a,b∈R+， σ(a·b)=log(a·b)=log a + log b=σ(a)+σ(b)。故σ是（R+，·）到（R，+）上的同构映射。 Log x是以e为底的x的对数，若取σ(x)=log2 x，或若取σ(x)=log10 x，则得到R+到R上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。

群同态基本定理与同构定理

同构定理的推广
群同态基本定理和同构定理在密码学中有着广泛的应用，如公钥密码体制的设计和安全性证明。
密码学中的应用
群同态基本定理和同构定理在算法设计中有一定的应用，如在图算法中判断图的性质和结构。
算法设计中的应用
群同态基本定理与同构定理在理论计算机科学中的应用
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xx年xx月xx日
群同态基本定理与同构定理
群同态基本定理同构定理群同态基本定理与同构定理的关系群同态基本定理与同构定理的扩展形式
contents
目录
01
群同态基本定理
群的定义
定义映射f
第一步，证明f是单射
第二步，证明f是满射
第三步，证明f是同态
群同态基本定理的证明方法
01
02
03
04
通过研究群的同态，可以确定群的结构。
例子
整数环、多项式环、矩阵环等。
环的定义
方法一
利用定义证明。证明两个环的加法和乘法运算相同，即可证明两个环同构。
方法二
利用同态基本定理证明。证明存在一个满同态映射，即可证明两个环同构。
同构定理的证明方法
在代数几何中，同构定理可以用来将一个代数簇的方程转化为另一个代数簇的方程，从而研究原代数簇的性质。
在更一般的条件下，群同态基本定理的结论仍然成立。例如，当群的阶数不固定时，定理仍然适用。
非阿贝尔群的情况
对于非阿贝尔群，群同态基本定理同样适用，但证明方法需要更为复杂的代数技巧。
群同态基本定理的推广
同构定理的推广形式
同构定理可以推广到更一般的群结构，如群的扩张、群的直和等。
无限群的情况
对于无限群，同构定理同样适用，但证明方法需要引入新的分析工具和技术。

群同态定义,单、满同态,同构

群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。

群同态定义,单、满同态,同构

群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。

同态基本定理与同构定理

第九节同态基本定理与同构定理重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系.一同态基本定理前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础.定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态.证令G a aN a N G G ∈∀→,;/: π显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈∀,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态.注1 定理2.9.1中的π称为自然同态；注2 自然同态π一定是满同态.利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质.自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念.定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合})(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核.注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态；注2 一个同态是单同态⇔G e Ker ⊆=}{φ.推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π.证由于N G /的单位元是N ，则N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ.定理2.9.3 （同态基本定理）设ϕ是群G 到群G '的一个同态满射，则(1)G Ker ϕ；(2)G Ker G '≅ϕ/.证 (1)由于φϕϕ≠⇒∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈∀∈∀ϕ则e b a '==)()(ϕϕ为G '的单位元.则e e e e e b a b a ab e e bb b b '='⋅'='⋅'===--'===----11)()()()(11)()()()()()(11ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ即G Ker Ker ab ≤⇒∈-ϕϕ1.又由于e x x x e x x a x xax '=='==----1111)()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕ，即G Ker Ker xax ϕϕ⇒∈-1.(2)令G a a aKer G Ker G ∈∀'→),(;/:ϕϕϕψ .下证ψ为一个同构映射：(ⅰ)ψ为映射：).()()()()(111b a e a b e a b Ker a b bKer aKer ϕϕϕϕϕϕϕϕ=⇒'=⇒'=⇒∈⇒=--- (ⅱ) ψ为满射：,,G a G a ∈∃'∈'∀使得a a aKer a a '==⇒'=)()()(ϕϕψϕ(ⅲ) ψ为单射：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则ϕϕϕϕϕϕϕψϕψbKer aKer Ker a b e a b b a bKer aKer =⇒∈⇒'=⇒⇒=--11)()()()()((ⅳ) ψ为一个同态：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则)()()()()()()(ϕψϕψϕϕϕϕψϕϕψbKer aKer b a ab abKer bKer aKer ====⋅.综上所述，G Ker G '≅ψϕ/. 注一般地，设G G '→:ϕ为一个群同态，则⎩⎨⎧≅'≤ϕϕϕIm /Im Ker G G我们知道，群在一个群的满同态映射之下，一个群的若干性质会发生改变的，下面讨论哪些性质不发生变化.定义2.9.2 设A A →Φ:为集合之间的一个满射.(1) 设A S ⊆，记A S a a S ⊆∈Φ=Φ}|)({)(称为子集S 在Φ之下的像；(2)设A S '⊆'，记})(|{)(1S a A a S '∈Φ∈='Φ-称为子集S '在Φ之下的逆像（或后像）.注一个不能多且一个不能少！定理2.9.4 设G G '→:ϕ是一个群之间的同态满射，(ⅰ),G H ≤∀ 则G H ≤)(ϕ；(ⅱ),G N ∀ 则G N )(ϕ；(ⅲ),G H ≤∀ 则G H ≤-)(1ϕ；(ⅳ),G N ∀ 则G N )(1-ϕ.证 (ⅰ)φϕφ≠⇒≠)(H H .b b a a t s H b a H b a ==∈∃⇒∈∀)(,)(..,,)(,ϕϕϕ， )()()()()()()(11111H b a b a b a b a Hb a ϕϕϕϕϕ∈⇒==-∈----，故G H ≤)(ϕ. (ⅱ).),(G x N a ∈∀∈∀ϕ 则⎩⎨⎧==∈∈∃a a x x t s G x N a )()(..,,ϕϕ .从而 )()()()()(111N xax x a x x a x ϕϕϕϕϕ∈==---，故G N )(ϕ.(ⅲ)由φϕ≠⇒≤-)(1H G H .（)(1H e H e -∈⇒∈ϕ）)()()()()(),()(,11111H b a H b a H b a H b a H b a -----∈⇒∈⇒∈⇒∈⇒∈∀ϕϕϕϕϕϕϕ即G H ≤-)(1ϕ.(ⅳ),),(1G x N a ∈∀∈∀-ϕ则 )()()()()()(,)(1111N xax N xax N x a x G x N a N ----∈⇒∈⇒∈⇒∈∈ϕϕϕϕϕϕϕ 故G N )(1-ϕ.注第(ⅰ)条不需要用道ϕ为满射.由(ⅳ)可知G e Ker )(1'=-ϕϕ.二同构定理第一同构定理设G G f '→:为群同态，则f G f Kerf G fIm )(/=≅ 第二同构定理（方块定理）H K H G HK G K G H ⋂≤⇒≤,,且有K H K H HK ⋂≅//.第三同构定理（分式定理）设G K G H K ,≤≤，则①GH G H ⇔（K G G K H H /,/==） ② H G K H K G ≅.第四同构定理（对应定理）设G G f '→:为群的满同态，则}{}|{11的子群G H Kerf G H −→←⊆≤- ；Kerf K K f K ≅)(且正规子群对应与正规子群.有兴趣的读者可以参考相关文献书籍.作业：Page 79 第2题，第3题。