4 第五章 静电场中的电介质
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大学物理-5第五讲静电场中的电介质,电位移、介质中的高斯定理
q '1 R 1 R3
R2
又因内球接地，电势为零
q
' 1
q
' 2
4 0 R 1 4 0 R 2
三式解得：
q3' 0
4 0R3
q1' R1R2RR12RR23qR1R3
q2'
R1R2q
R1R3R2R3R1R2
9
q '3
q '2
q '1 R 1 R3
R2
q2' q'3q
q3' qq2'
q(R2 R1)R3 R1R3R2R3 R1R2
球壳的电势：
U3
q1'
4 0r
q
' 2
4 0 r
q
' 3
4 0 R 3
另一种方法：先用高 斯定理求场强再积分
(R2R1)q
40(R1R3R2R3R1R2)
10
§18-2 静电场中的介质、介质中的高斯定理
电介质—绝缘体。
特点：分子中正负电荷束缚很紧，整个分子中电荷代 数和为零。介质内几乎没有自由电子，因而导电能力 很差。
二、极化现象的微观解释
1.分子中的正电荷与负电荷都有一个等效的电荷作 用中心。
无极分子—正、负电荷作用中心重合
的分子。 有极分子—正、负电荷作用中心不重
+-
合的分子。
12
有极分子对外影响等效于一个电偶极子，电矩 Pe ql
q为分子中所有正电荷的代数和； l 为从负电荷作用中心指向正电荷作用中心的有向
录像片：“大气电场下——雷电及其防护”
1
静电场中的导体例题续
第五章 静电场中的电介质
q′ = −∫ P ⋅ dS = −(P2 ⋅ ∆S2 + P ⋅ ∆S1 + P ⋅ ∆S侧面)= −P n∆S + P n∆S 1 2 1 s q′ = Pn ⋅ ∆S q′ = (Pn − Pn ) ⋅ ∆S = 0 q′ = (Pn − P2n ) ⋅ ∆S 1 1 1 1 σ′ = Pn − P2n σ′ = Pn = P cosθ σ′ = 0 1 1 1
∫ D⋅ dS = q
S
自由
= D 电位移矢量 D = ε0(1+ χe )E = ε0εr E = εE
S
D=ε0εr E P=D−ε0 σ ′= P ∫ D⋅dS=q→D →E E→P ⋅n→σ′ q
适用于电荷分布有一定有对称性的电场求解
第五章 静电场中的电介质(4学时) 静电场中的电介质(4学时 学时) (Dielectric in Electrostatic Field)
分子无电偶极矩
极性分子 (Polar molecule)
pi
–
+
H2O, NH3, 有机酸等
分子有电偶极矩
无外电场 非极性 分子
有外电场
pi ≠ 0 Σ pi ≠ 0
pi = 0 Σ pi = 0
正负中心发生位移，产生 电偶极矩，发生位移极化。
pi ≠ 0 Σ pi ≠ 0
极性 分子
pi 受力矩，向外电场方向 pi ≠ 0, Σ pi = 0 转动，发生取向极化。
s
高斯面内的净束缚电荷是如何出现的？ 高斯面内的净束缚电荷是如何出现的？ 高斯面内的净束缚电荷出现在什么地方？ 高斯面内的净束缚电荷出现在什么地方？ 因极化产生的面束缚电荷对电场的影响？ 因极化产生的面束缚电荷对电场的影响？
大学物理电磁学典型习题
部分习题解答第一章 静止电荷的电场1、10 解：（一定要有必要的文字说明）在圆环上与角度θ相应的点的附近取一长度dl ，其上电量 dq =λdl =0λsinθdl ，该电荷在O 点产生的场强的大小为==204RdqdE πε2004sin R dl πεθλθπελsin 400R =θd dE 的方向与θ有关，图中与电荷 dq 对O 点的径矢方向相反。
其沿两坐标轴方向的分量分别为 θθθπελθd RdE dE x cos sin 4cos 00-=-=θθπελθd RdE dE y 200sin 4sin -=-=整个圆环上电荷在圆心处产生的场强的两个分量分别为==⎰x x dE E R004πελ-⎰=πθθθ200cos sin d==⎰Y y dE E R004πελ-⎰-=πελθθ200024sin Rd 所以圆心处场强为 E = E y j = R004ελ-j 1、11 解：先将带电系统看成一个完整的均匀带电圆环计算场强，然后扣除空隙处电荷产生的场强；空隙的宽度与圆半径相比很小，可以把空隙处的电荷看成点电荷。
空隙宽度m d 2102-⨯=，圆半径m r 5.0=，塑料杆长m d r l 12.32=-=π 杆上线电荷密度m C lq/1019-⨯==λ 一个均匀带电圆环，由于电荷分布关于圆心对称，环上对称的二电荷元在圆心处产生的场强互相抵消，因而整个圆环在圆心处的场强E 1= 0 空隙处点电荷设为q /，则q / =d λ，他在圆心处产生的场强m V rdr q E /72.0442020/2===πελπε 方向由空隙指向圆心。
空隙处的电荷实际上不存在，因此圆心处场强等于均匀带电圆环在该点产生的场强与空隙处电荷在该点产生的场强之差，故m V E E E /72.021-=-= 负号表示场强方向从圆心指向空隙。
1、12 解：设想半圆形线CAD 与半圆形线ABC 构成一个圆形如图，且圆上线电荷密度均为λ。
静电场中 的电介质
静电场中的电介质 ， ，
1.2 电介质的极化
1．电介质极化的机理
对于无极分子，在外电场的作用下，正、负电荷的中心被电场力拉开，使得正、负电荷中心产 生相对位移（这种极化称为位移极化），形成电偶极子。
在此力偶矩的作用下，有极分子的电偶极矩方向将转向与外电场基本一致的方向，这种极化称 为转向极化，其结果是电介质的两端出现等量异号的电荷.
真空中 r 1，空气中 r 1.005 ，可认为近似等于 1，其他电介质的 r 都大于 1。电介质的相对电容
率 r 和真空中电容率 0 的乘积称为电介质的电容率 ，即 r0
静电场中的电介质 ， ，
1.2 电介质的极化
3．电介质的击穿
如果外电场足够大，电介质分子就会摆脱分子的束缚成为自由电子，电介质的绝缘性被破坏而 成为导体，这个过程称为电介质的击穿，这个外电场的场强称为击穿场强。
大学物理
静电场中的电介质 ， ，
1.1 电介质的分类
电介质又称绝缘体。我们通常把气体、油类、蜡脂、玻璃、云母、陶瓷、橡胶等这些基本不导 电的物质称为电介质。
对于各向同性的电介质可分为无极分子和有极分子两类。
静电场中的电介质 ， ，
1.2 电介质的极化
电介质的极化是指在外电场作用下电介质表面产生极化电荷的现象。 其中，极化电荷又称束缚电荷，是指在外电场中，均匀介质内部各处仍成电中性，但在介质表 面出现的不能离开电介质到其他带电体，也不能在电介质内部自由移动的电荷。
静电场中的电介质 ， ，
1.2 电介质的极化
2．电介质对电场的影响
如果不存在电介质（真空），自由电荷激发的场强大小为 E0 ，引入均匀电介质后，当均匀电介质充
满电场不为零的空间，或几种均匀电介质分区充满电场且分界面都是等势面时，电介质的场强大小 E 将
第五章--静电场中的电介质
第5章静电场中的电介质◆本章学习目标理解：电介质的概念和分类；电介质对电场的影响；电介质的极化和极化电荷；D的高斯定理；电容器和电容的概念，电容器的能量。
◆本章教学内容1．电介质对电场的影响2．电介质的极化3．D的高斯定律4．电容器和它的电容5．电容器的能量◆本章重点用D的高斯定理计算电介质中静电场的分布和电介质的极化电荷密度；电容和电容器能量的计算。
◆本章难点电介质的极化机制、电位移矢量。
5. 1 电介质对电场的影响如果介质是均匀的，极化的介质内部仍然没有净电荷，但介质的表面会出现面电荷，称为极化电荷。
极化电荷不是自由电荷，不能自由流动（有时也称为束缚电荷），但极化电荷仍能产生一个附加电场使介质中的电场减小。
介质中的电场是自由电荷电场与极化电荷的电场迭加的结果。
下面考虑一种比较简单而常见的情况，即各向同性介质均匀地充满电场的情况来定量地说明这种迭加的规律。
所谓介质均匀地充满电场，举例来说，对于平板电容器，只需要一种各向同性的均匀介质充满两板之间就够了；而对于点电荷，原则上要充满到无穷远的地方。
实验证明，若自由电荷的分布不变，当介质均匀地充满电场后，介质中任一点的和场的电场强度E为原来真空中的电场强度的分之一，即其中为介质的相对介电常量，取决于介质的电学性质。
对于“真空”，，对于空气，近似有，对其它介质，。
加入介质以后场强的变化是由于介质中产生的极化电荷激发的附加电场参与迭加而形成的。
在介质均匀地充满电场这种简单条件下，我们可以通过真空中的电场和介质中的电场的比较，由自由电荷分布推算出极化电荷的分布。
以点电荷为例，真空中的点电荷在其周围空间任一点p激发的电场为充满介质以后，点电荷本身激发的场强并不会因极化电荷的出现而改变，即仍为上式。
极化电荷是分布在介质表面上，即介质与点电荷交界面上。
这是一个很小的范围，从观察p看去，极化电荷也是一个点电荷，设其电量为，它在p 点激发的电场应为介质中的场强应是与迭加的结果又由前式可知，介质中点电荷电场中的合场强为真空中场强的，故有比较这两式即可得到上式表示自由电荷和束缚电荷的总和等于自由电荷的。
《电学》课件-第5章静电场中的电介质
ε πQ
=4 0
RB dr
r RA
2
Q
B
ε ++Q +
R+ 1+A
+
0 + ++
R2
=
Q
4π ε0
(
1 RA
1) RB
ε Q
C = UA U B
=
4π
R AR B
R 0 B
RA
讨论: 1. 电容计算之步骤：
E
UA UB
C
2. 电容器之电容和电容器之结构，几何
形状、尺寸有关。
3. 电容器是构成各种电子电路的重要器 件,也是电力工业中的一个重要设备。它的作 用有整流、隔直、延时、滤波、分频及提高
q
U外
=
q1 q
4pe0 r2
外球的电势改变为：
ΔU = U外
U2
=
r1q
4pe0
r2 2
=
(r1 2r2 ) q
4pe0
r2 2
2r2q
4pe0
r2 2
2. 点电荷q =4.0×10-10C，处在导体球 壳的中心，壳的内外半径分别为R1=2.0cm 和R2=3.0cm ，求：
（1）导体球壳的电势； （2）离球心r =1.0cm处的电势；
d
ε = ε0 εr
称ε为介电常数，或电容率。
有介质时电容器的电容不仅和电容器的 结构，几何形状、尺寸有关，还和极板间介 质的介电常数有关。
电介质的相对电容率和击穿场强
电介质
相对电容率 击穿场强
真空 空气 纯水 云母
1 1.00059
80 3.7~7.5
静电场中的电介质
S
εr
ε0
σ + + + + + + −σ 0 - - - - - - - - - - '
闭合曲面内 自由电荷总数
闭合曲面内束 缚电荷总数
εr − 1 Q′ = Q0 εr
v v 1 ∫ E ⋅ dS = (Q0 − Q′)
S
ε0
εr − 1 Q′ = Q0 εr
v v Q0 ∫ E ⋅ dS =
v + E0 + + v＇ + E + v + E =0 + +
感应电荷 （自由电荷） 自由电荷）
v E0
v v v＇ E = E0 + E = 0
感应电荷电场强度
导体内电场强度 外电场强度
+σ0 + + + + + + + + + + + -σ ′
- - - - - v v v 导体 E0 E E'
感应电荷 自由电荷） （自由电荷）
注意 σ 0 ≠ σ ′
S
σ0 + + + + + + + + + +
d
-σ 0 -
v E0
--------S
σ′ E′ = ε0
+σ0 + + + + + + + + + + + -σ ′
- - - - - v v v ε r E0 E E'
+σ′ + + + + + + -σ 0 - - - - - - - - - - -
εr
ε0
σ + + + + + + −σ 0 - - - - - - - - - - '
闭合曲面内 自由电荷总数
闭合曲面内束 缚电荷总数
εr − 1 Q′ = Q0 εr
v v 1 ∫ E ⋅ dS = (Q0 − Q′)
S
ε0
εr − 1 Q′ = Q0 εr
v v Q0 ∫ E ⋅ dS =
v + E0 + + v＇ + E + v + E =0 + +
感应电荷 （自由电荷） 自由电荷）
v E0
v v v＇ E = E0 + E = 0
感应电荷电场强度
导体内电场强度 外电场强度
+σ0 + + + + + + + + + + + -σ ′
- - - - - v v v 导体 E0 E E'
感应电荷 自由电荷） （自由电荷）
注意 σ 0 ≠ σ ′
S
σ0 + + + + + + + + + +
d
-σ 0 -
v E0
--------S
σ′ E′ = ε0
+σ0 + + + + + + + + + + + -σ ′
- - - - - v v v ε r E0 E E'
+σ′ + + + + + + -σ 0 - - - - - - - - - - -
[工学]第五章静电场中的电介质
![[工学]第五章静电场中的电介质](https://img.taocdn.com/s3/m/83078a4df5335a8102d22056.png)
10 A、B、C是三块平行金属板，面积均为 200 ，A、B间距4.0mm，A、C相距 2.0mm，B、C两板都接地（如图所示） ⑴设A板带正电 ，不计边缘效应， 求B板和C板上的感应电荷，以及A板电势。 ⑵若在A、B间充以相对介电常数为 =5 的均匀电介质， 再求B板和C板 上的感应电荷， 以及A板电势。
来的多少倍?
3.将一平行板电容器充电后切断电 源,并插入电介质,
问:
场强,能量是原来的多少倍?
习题课 1 将一带电+q，半径为R B 的大导体球B移 近一个半径为R A ，且不带电的小导体球A， 判断下列说法是否正确？ ⑴B球电势高于A球； ⑵以无穷远为电势零点，则A球电势 小 ； 于 0 ⑶任一P点的场强 （r为P与B球心的距离且远远大于R ）
第五章 静电场中的电介质
一、基本概念 1 电介质 2 无极分子电介质（非极性分子电介质） 有极分子电介质（极性分子电介质） 3 束缚电荷 4 极化现象 5 电极化强度
二、D的高斯定理
正确理解高斯定理的三种描述
例2 两块靠近的平行金属板间原为真空，使 它们分别带上等量异号电荷直至两板上面电 荷密度分别为 和 ,而板电压 这时保持两板上的电量不变，将板间一半空 间充以相对介电常数为 =5的电介质，求板 间电压变为多少？电介质表面的束缚电荷密 度多大？（忽略边缘效应） S 1 2 + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + ' - 1
' 1 D1 E1
_
D2
电磁学第5章静电场中的电介质.ppt
绝缘)并接地,导体间的介质均为空气,已知空
气的击穿场强为3100V/m,今使A,B两球所带
电量逐渐增加,计算(1)此系统何处首先被击
穿?(2)击穿时两球所带的总电量?
21
5.4 电容器和它的电容
１．孤立导体的电容 C q
２．电容器及其电容C Uq 计算电容器的一般步骤: U A U B
E0 0时
p
0 不规则排列, 不显电性 .
E0
0时
p
0,
也有位移极化，但转向极化占主要地位。
5
介质内部正负极化电荷互相抵消
6
二. 极化强度 P和极化电荷
１ 单位体积内分子电偶极矩的矢
． 量和。单位: 库仑／米２ P n
pi V
E
ds l
２．极化电荷
2 r 0 r
2r 0
ln
r2 r1
31
E
U12
r ln( r2 r1 )
电场能量密度：
w 1 ED r0
2
2
E2
r
0U
2 12
2 ln( r2 r1)
2
1 r2
静电能为；
W
r2
dw
r1
r
0U
2 12
2 ln( r2 r1)
D2 E2
- - ---
图5.8 例5.2用图
+2 -2
U0=300V
16
+ S 1 + + + + + + + + + + +
静电场中的电介质(4)
有电介质存在时，空间任一点的总电场场强
E E0 E '
E0 源场 E '极化场 E 合场
实验表明，对各向同性的线性均匀电介质，电极化强度与
总场强的关系为：
P 0E 0 (r 1)E
：电介质电极化率
r ：电介质的相对介电常数
r 1
4、电极化强度与极化电荷的关系
在已极化的介质内任意作一闭合面S
D的高斯定律的应用 1、分析自由电荷分布和电介质分布的对称性，选择适当 的高斯面，求出电位移矢量。 2、根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 3、根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。
4、根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
D E P ' q'
例5.1 一半径为R 的金属球，带有电荷q , 浸在相对电容率 为εr的大油箱中，求球外电场分布及贴近金属球表面的油面上
非均匀电介质，可能会出现多余的体束缚电荷。
E0 0 时 pi 0
pi 0
i
极性分子的不规则排列, 使得介质不显宏观电性。
E 0 时 pi 0 pi 0 i
极性分子的固有电矩呈现一定的规则排列, 使得介质表现出 宏观电性。
2)非极性分子的位移极化
加上外电场后，在电场力作用下介质分子正负电荷有一 微小位移，中心不再重合，出现感生分子电矩，电矩取向与 外电场方向趋于一致。
第五章 静电场中的电介质
§5.1 § 5.2 § 5.3
电介质对电场的影响 电介质的极化 有电介质时的高斯定律及应用
§ 5.4 § 5.5
电容器和它的电容 电容器的能量
§5.1 电介质对电场的影响
1、电介质：
电子处于被束缚状态，无自由电荷。只能在电场力 的作用下作微观的相对位移。在电击穿的情况下，电子 才能解除束缚而做宏观定向运动，使电介质丧失绝缘性 。
静电场中的电介质sx
解：由高斯定理，可得内外层介质
中的场强分布.设电荷线密度为 .
E1 21r (R1 r r0 ),
E2
22r
2
1
2
1r
(r0 r 2R1 )
1 R2
r0 R1
2
横截面图
每层介质中r 最小处场强最大,
E1m 21R1
1 2R1
E2m 22r0
1 r0
由其中r0<2R1 ,知∴E2m>E1m,当电压升高时，外层介质 先被击穿
0
0
#1a0505001c
平行板电容器充电后与电源断开，此时平板电容器两 板带等量异号电+σ0 ,-σ0.插入一均匀电介质εr ，极板间 的电位移和电场应为：
A. D 0
E 0 /0
B. D 0
E 0 /
C. D 0 / 0 E /
D.D 0 / 0 E 0 /
A.两区域D相同,电位移线连续！ B. 两区域E不相同,电场线不连续！ C.两区域E相同,电场线连续！ D.两区域D不相同,电位移线不连续！
AB
1 2
例2：平板电容器两带等量异号电,+σ0,-σ0插入两块均匀 电介质ε1 , ε2 求电容器中的电场极板间电压？
解：作Gauss面S1
DdS D1S D2S 0 D1 D2
E.以上都不对
0
0
例一: 带电球体（R,q0），放在均匀无限大的电介质
（r）中，求球外的电场分布以及贴近球表面上的束 缚电荷总量。
D
R
解：
D dS q0 D dS 4r2D q0
D
q0
4r 2
E
D
q0
4r 2
5静电场中的电介质37775
D 0 E P 0rE
引入介电常量（电容率） 0r
D 0 E P 0r E E
三、有电介质时电场、束缚电荷的计算
D dSq0
S
D 0rE
P0r 1E
q0 D
D
E
E P
U 1C q 1 1C 1 C 2 C 1C C 2 2 ＋ C 3 C 3C 1 C 3U 0
d Q l
q
P c o sd S
束缚电荷面密度：
n－分子数密度
P n ˆ P c o s nˆ－面元外法线
上述推导适用于极性电介质
单位矢量
束缚电荷面密度：
nˆ
P
P n ˆ P c o s
P表面该点的电极化强度矢量
nˆ 表面该点外法线方向单位矢量
相同(上式对) 束缚电荷…? ～ ？电极化强度…
六、束缚电荷与极化强度的关系
P
1、束缚电荷面密度 以非极性电介质为例推导
dS nˆ
电介质 q
表面 dS 出现的束缚电荷：
d n Q p n ˆn dS q d P V n ˆ d n S qln ˆdS
§5.5 电容器的能量 【演示实验】电介质对电场的影响、压电 效应、电致伸缩
§5.1 电介质对电场的影响
E0 U0
+Q
+Q
电介质 E，U
-Q
-Q
电场被削弱：E
E0
r
,
U
U0
r
r 1—相对介电常数
真空：r=1.0
变压器油： r～2.24
水（标况）：r～80，钛酸钡：r～103-104 铁电体
引入介电常量（电容率） 0r
D 0 E P 0r E E
三、有电介质时电场、束缚电荷的计算
D dSq0
S
D 0rE
P0r 1E
q0 D
D
E
E P
U 1C q 1 1C 1 C 2 C 1C C 2 2 ＋ C 3 C 3C 1 C 3U 0
d Q l
q
P c o sd S
束缚电荷面密度：
n－分子数密度
P n ˆ P c o s nˆ－面元外法线
上述推导适用于极性电介质
单位矢量
束缚电荷面密度：
nˆ
P
P n ˆ P c o s
P表面该点的电极化强度矢量
nˆ 表面该点外法线方向单位矢量
相同(上式对) 束缚电荷…? ～ ？电极化强度…
六、束缚电荷与极化强度的关系
P
1、束缚电荷面密度 以非极性电介质为例推导
dS nˆ
电介质 q
表面 dS 出现的束缚电荷：
d n Q p n ˆn dS q d P V n ˆ d n S qln ˆdS
§5.5 电容器的能量 【演示实验】电介质对电场的影响、压电 效应、电致伸缩
§5.1 电介质对电场的影响
E0 U0
+Q
+Q
电介质 E，U
-Q
-Q
电场被削弱：E
E0
r
,
U
U0
r
r 1—相对介电常数
真空：r=1.0
变压器油： r～2.24
水（标况）：r～80，钛酸钡：r～103-104 铁电体
静电场中的电介质(4)
d d2
B
d
U
VA－VB
E0d1＋E0d2＝E0 d
d
qd d
0S
所以铜板插入后的电容C’ 为
C
q VA－VB
0S
d 4d0
+
C
q VA－VB
0S
d d
C1
C2
2）由上式可见，C’ 的值与d1和
d2无关（ d1增大时， d2减小。 d1+ d2=d-d' 不变），所以铜板离 A
d1
d d2
+
f
f
p
e
E
M = pe× E
8
三、极化强度(polarization)矢量
取一物理无限小体积元△V，其中求电偶极矩矢量和
p
e
P i
V
实验证实：
PE
9
➢ 在各向同性介质中
其中： e
➢ 在各向异性介质中
P e0E
为极化率
P e0E (1) e0E (2)
E
E0
E'
'
与极化电荷有什 么关系呢？
,
C2
0
S 2d
板极上带电±Q 时所储的电能为
W1
1 2
Q2 C1
1 2
Q2d
0S
，W2
1 2
Q2 2d
0S
37
故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的
增量为
W＝W2－W1
1 2
Q2d
0S
（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板
时所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以
F A Q2
4.5静电场中的电介质
第八章静电场中的导体与电介质
D 0E0 8.85106C m2
E D0 E0
+- +- +- +-S+-+-+-+-+-+-+-0 '
0r r
1 106 V m1
d
3
E、D
P (r 1)0E
5.89106 C m-2
+ + + + + + '
-
-
-
-
-
-0
-
q S P dS (r 1)0ES S5.89106 C m-2
第八章静电场中的导体与电介质
例1 Q0 均匀分布于导体球表面,置于均匀各向同性介质中。求 (1)电场的分布； (2)紧贴导体球表面处的束缚电荷。
解 (1) D dS qi 4πr2D Q0
S
i
R2
0 (r R0)
+Q0
E
1
D
Q0 4π0r1r 2
Q0
4π0 r2r 2
Q0
4π0r 2
§ 4.5静电场中的电介质
Hale Waihona Puke 二、电介质中的静电场电介质内部的场强应该是外加电场 E0与附加电场 E
的合 场强
E E0 E
但 E 与 E0 方向相反，故 E E0 E E0
三、 电极化强度矢量
1、定义
P pi V
pi :分子偶极矩 P :电极化强度 P 的单位：C m2
§ 4.5 静电场中的电介质
§ 4.5静电场中的电介质
五、有电介质存在时的高斯定理的应用 （1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 , 求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场强度的关系，求出电场强度 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。
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§5.3 D的高斯定律
上一节说过,电介质极化的结果是其表面或体内出现束缚电荷,束缚电 荷也象自由电荷那样产生电场,并与原来的电场叠加,而电介质最后的极 化情况是由合场强决定的.本节来研究最简单的情况 (即“均匀充满”的 情况)下它们所遵循的规律. 在“均匀充满”的情况下,由于介质中的合场强比真空时减弱了r倍,则真 空情况下的高斯定律 将变为:
§5.2 电介质的极化
极性分子和非极性分子:电介质中没有可自由移动的电荷.电介质分子 中的正负电荷彼此牢固地束缚在一起.有些电介质分子中的正负电荷中 心是重叠的,对外既不显示电性,也没有偶极矩.称为非极性分子,例如H2,
He, N2, O2, CO2等.另一类电介质分子中的正负电荷中心不重合,它们虽 不显示电性,但却有固有电偶极矩,称为极性分子,例如HCl, NH3, H2O, CO等. 当电介质放进电场中时,非极性分子中的正负电荷中心会彼此分离一 个小距离,产生所谓的感应电偶极矩,而极性分子的固有电偶极矩在外电 场作用下,会不同程度地转向电场方向(当然也存在正负电荷中心的进一 步分离).在这两种情况下,电介质的宏观状态都发生了变化,称为电介质 的极化.下面以极性分子电介质为例作进一步的说明.
第五章 静电场中的电介质
(4学时) §5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 电介质对电场的影响 电介质的极化 D的高斯定律 电容器和它的电容 电容器的能量和电场的能量
§5.1 电介质对电场的影响
电介质也叫绝缘体.理想的电介质内 部没有可移动的自由电荷.但构成电介 质的原子分子都是由带电的电子和原 图5.1电介质对电场的影响 子核组成的,它们都会受到电场的作用,因此电介质进入电场后,其状态 会发生变化,并反过来影响静电场.不同的电介质对静电场的影响程度是 不同的.可以用下面的实验来考察电介质对静电场的影响程度:
例1. 在真空中一个均匀带电球体半径为R, 体电荷密度为,求此带电系 统的静电能. 解: 利用高斯定律可求得此带电系统的电场分布如下: E1=r0 (r R) E2=r0 (r R) 将此式代入公式(1),注意分区积分,可求得 W= 例2 . 一球形电容器两极板的半径分别为R1和R2, 极板之间电介质的 相对介电常数为r,将电容器充电到极板上的电量为Q,求该电容器贮存的 静电能. 解: 该电容器的电容为: C=40r 贮能: W=Q2/2C= 本题也可用(1)式计算能量,结果与此相同. 作业: 5.2(1),(2), 5.14, 5.19, 5.24
1F=10-6F, 1pF=10-12F 电容是描写电容器自身特性的物理量,它完全由电容器的大小,形状,结 构,填充介质等因素决定,而与是否充电及充电的多少无关. 最简单的电容器是平板电容器,它由两块靠得很近的大小相等的金属 平板中间夹一层电介质组成.两块金属板就是平板电容器的两极板.如果 将两极板与电压为V的电源的两极相连,则两极板上就会带极性不同的 自由电荷.当忽略边缘效应时,电荷全部集中在相对的两个表面,除了平 板电容器之外,还有圆柱形电容器,球形电容器等等. 二.几种不同电容器的电容公式 1. 平板电容器的电容 设平板电容器极板面积为S,两板间距为d,两板间充满一种均匀介 质,相对介电常数为r ,极板上的电量为Q,则面电荷密度为 = Q/S, 上一节 我们已求得此时两极板间的 D=,
r d S 图5.5 平板电容器
E=D/0r =/0r,=Q/(S0r) , V=Ed =Qd/(S0r) , 因此电容为: C= 这就是平板电容器的电容公式.两板间为真空时, r=1, C=
R2 R1 L
2. 同轴圆柱形电容器 两个同轴的金属圆筒,内部充满一种均匀 介质,就构成一个同轴圆柱形电容器.设内筒 的外半径为R1,外筒的内半径为R2, 介质的 图5.6圆柱形电容器 相对介电常数为r ,极板高度为L.极板上的电量为Q,我们来看一下两板 之间的电压V.设L>>( R2- R1) 作半径为r(R1<r<R2)的同轴圆柱形高斯面,利用D的高斯定律,很容易 求得两极板之间的电位移D,再利用D和E的关系,可得到两极板间的场强 大小为:
E r D q R 图5.3 例1用图
E= q /4r2 我们知道,如果金属球外是真空,则E= q /40r2, 可见有介质后,场强减弱了 r倍. 例2. 两平行金属板间原为真空,充电到电压V0并拆除电源.此时相对 两面的面电荷密度分别为+和－.然后使两板间的一半空间充满相对介 电常数为r的介质,忽略边缘效应,那么两板间的电压变为多少?
E E'
束缚电荷: 没有外电场时,由于无 图5.2 电介质的极化 规则热运动,分子偶极子的排列是 杂乱的,因此从宏观上看,整个电介质对外不产生电场.当存在外电场时, 由于偶极子都不同程度地转向电场方向,偶极子的排列趋于整齐,如图 5.2所示,这就是电介质极化的微观图像. 电介质未极化时,由于偶极子的排列是杂乱的,电介质内部和表面上 的任意一个宏观小体积内都没有净电荷,极化后,在电介质内部或表面就 可能有宏观的电荷积累,图5.2的右图表示了均匀极化电介质表面上出现 宏观电荷积累的情况.这种电荷不象导体中的电荷那样可以自由移动,而 是束缚于一定的范围,称为束缚电荷或极化电荷.束缚电荷与自由电荷的 共同之处是他们也会产生静电场E',它使介质内部的电场减弱.必须指出 的是,只有当一种均匀电介质充满整个电场时,合场强才正好是减弱一个 倍数r ,上一节中讲的就是这种情况.在普遍情况下,合场强的方向也会变 化,如图. 当外电场很强时,电介质分子有可能被”拉断”,电介质就被击穿.电 介质不被击穿的最大场强,称为这种介质的击穿强度.例如1atm下的干燥 空气的击穿强度为3kV/mm.
图5.4例2用图
§5.4 电容器和它的电容
一.电容的定义 电容器是一种常用的电工和电子学元件.它一般是由 用电介质隔开的两个金属导体组成,这两个导体中的一个包着另一个.用 高斯定律容易证明,在静电平衡下,这样两个导体的相对两个面上总是带 等量异号的电荷.这两个导体称为电容器的两个极板.用高斯定律容易证 明两个内表面的面电荷密度大小相等符号相反.每各极板上自由电荷的 绝对值Q与充电电压成正比.电容器的电容定义为: C= 其单位为法拉(F),1法拉=1库仑/伏特,这个单位在实用上显得太大,因此 更经常用到的是微法(F)和皮法(pF):
此时电容加大,而串联时的电容C由下式决定: … 即电容减小 2. 电容串并联时的电压和电量 电容并联时,各电容器上的电压相同,电量与电容成正比,耐压由这 些电容器中最小的耐压决定. 电容串联时,各电容器上的电量相同,电压与电容成反比,耐压情况 为,只要其中一个电容上的分压超过其耐压,它就会被击穿,其余电容上 的分压随之上升,可能引起其余电容相继击穿.
定义一个新矢量D: D = 0r E = E 式中0为真空介电常数, r为相对介电常数, 称为介质的介电常数.而这个 新的矢量D称为电位移矢量(其单位为C/m2), 于是高斯定律可简化为: 这个关系称为D的高斯定律,它可叙述为: 通过任意闭合曲面的电位移通量,等于该闭合曲面内自由电荷的代 数和. 利用D的高斯定律,在一些具有特殊对称性的问题中,可根据已知的自 由电荷分布求出电位移D,然后由上式求出E.下面举几个例题. 例1. 一个带正电的金属球,半径为R,带电量为q, 浸在一个大油箱中, 油的相对介电常数为r ,求球外的电场分布. 解: 本题具有球对称性,场强和电位移因而也具有球对称性.为了求 离球心为r处的场强,取半径为r的球面作为高斯面,利用D的高斯定律.有:
电场方向垂直于轴线.两极板间的电压为: 因此电容 C = Q/V = 单位长度的电容为C0=2/ln(R2/R1) 这就是圆柱形电容器的电容公式.若两极板靠得很近,令R2=R1+d ,R2/R1=1+d/R1,利用展开式ln(1+x)=x-x2/2+…～x
R1 r R2
可得 C=2LR1/d =S/d . 图5.7 同心球形电容器 其中S=2LR1为极板面积.此式与平板电 容器的电容公式相同. 3. 同心球形电容器 两个同心的金属球壳之间填充介质,就构成同心球形电容器.设内球壳 的外半径为R1,外球壳的内半径为R2,介质的相对介电常数为r ,用同样的 方法可以求得它的电容为: C=40rR1R2/(R2－R1) 如果两极板靠得很近,令R2－R1=d, d很小,此时C0rS/d,即平板电容器的 电容. 4. 孤立导体球的电容 在球形电容器的电容公式中令R2,并设R1=R,可得 C=40rR=4R 由这个公式,也称为电容率. 0称为真空电容率.其单位为F/m. 三. 电容器的耐压 衡量一个实际电容器的指标除了电容量外,还有它的耐压.如果电压超 过它的耐压能力,电容器就会被击穿. 四. 电容器的串并联 1. 串并联公式 在电路中,电容器的连接方式有串联和并联两种.几个电容器并联后的 总电容为: C=C1+C2+…
电压表 电压表
电介质
取两块大金属平板,将它们平行放置,充电到电压V, 并拆除电源.这时两 板间的场强E为: E=V/d, (d为两板间距). 然后用一块均匀的,厚度恰好为d 的电介质平板插入两金属板之间,结果发现电压下降了.表明两金属板间 的场强E减弱了.插入不同的电介质,场强E减弱的倍数也不同.用r 表示场 强E减弱的倍数.称为电介质的相对介电常数.它标志电介质对静电场影 响的程度,因此是反映物质电学性能的一个参数.下面给出一些电介质的 相对介电常数: 真空 r= 1 空气(0℃,1atm) r= 1.00059 纯水(0℃,1atm) r= 80 玻璃 r= 5—10 3 4 钛酸钡 r= 10 —10
S +1 +2 D1 E2 D2 -1 -2 E1
解: 设金属板面积为S,板间距 为d ,未填充电介质时,板间场强为E=/0 ,电压为V0=Ed 填充电介质后,忽 略边缘效应,则场强和电位移的方向应垂直于板面,且分区均匀.以1和2 分别表示上板内表面的自由电荷面密度,由电荷守恒定律,显然有: =S, 1+2=2 (1) 作如图所示的高斯面,应用D的高斯定律,有 其中上底和侧面的积分为0,下底面上D1均匀,方向与dS方向一致, 故 =D1S = 1S D1 = 1 , 将同样的方法应用于右侧,可求得: D2 = 2 , 从而 E1=D1/=D1/0r=1 /0r E2=D2/0=2 /0 由于两金属板分别是等势体,所以:E1d = E2d ,即E1 = E2 ,由此得: 2 =1 /r (2) 方程(1),(2)联立,可求出: 1 => 2 =< E1=E2=E 两板间的电压变为:V= V0