Maxwell方程的张量与外微分形式

(47)
下面我们论证 d(∗ α) = 0 正是另一 Maxwell 方程： 1 0 = d(∗ α) = ∂τ Fµν µνρσ dxτ ∧ dxρ ∧ dxσ 4 1 = ∂τ Fµν µνρσ dxρ ∧ dxσ ∧ dxτ g τ τ 4 1 = ∂τ Fµν µνρσ ρστ δ ∗ dxδ g τ τ 4 1 µ ν µ ν ∗ ∂τ Fµν 2(δτ δδ − δδ = δτ ) dxδ g τ τ 4 1 µ ν µ ν ∗ ∂τ Fµν (δτ δδ − δδ δτ ) dxδ g τ τ = 2 1 = (∂τ Fτ δ − ∂τ Fδτ ) ∗ dxδ g τ τ 2 = g τ τ ∂τ Fτ δ ∗ dxδ = ∂ τ Fτ δ ∗ dxδ 因此 0 = ∂ τ Fτ δ (49)
ρµνσ ∗
dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = 0ijk ∗ dx0 = ijk ∗ dxk = 0ijk ∗ dxk = 0ijk ∗ dxk
ijk
ijk0 ∗
dx0 (42) (43)
dxσ
(44)
代入(31)得 1 0 = ∂ρ Fµν 2 因此 1 0 = ∂ρ Fµν 2
ρµνσ ρµνσ ∗
dx σ
(45)
1 = ∂ρ Fµν 2
ρσµν
= ∂ρ ∗ F ρσ
(46)
此即 Maxwell 方程之一(27)。下面对(29)求 ∗ 得
∗
α =
1 dλ = Fµν ∗ (dxµ ∧ dxν ) 2 1 1 µνρσ 1 Fµν dxρ ∧ dxσ = Fµν = 2 2 4
∗
µνρσ
dxρ ∧ dxσ
0ijk
1 2 1 1 ijk0 ⇒ 0= ∂j Fk0 + 2 2 1 iµνρ ⇒ 0= ∂µ Fνρ 2 ⇒ 0=− ∂j Fk0 + 结合(20),(22)可得 1 2
1 2
0ijk
∂0 Fjk =
i0jk ij 0k
1 2
i0jk
∂0 Fjk ∂j Fk0 + ∂0 Fjk (22) 1 2
真空中的 Maxwell 方程组可显式地写为
1 ∂B c ∂t 我们首先把(1),(2),(3),(4)改写为张量形式。 ∇×E =−
2
张量形式
ηµν = diag(−1, 1, 1, 1) 1 (5)
记 Minkowski 时空度规为
四维时空坐标记为 xµ ≡ (c t, x) , 引入电磁势 Aµ = (A0 , A) 使得 B =∇×A E = −∇A0 − 即 Bi 考题可作为课外小论文，如果做得深入的话也可作为本科毕业论文 题目。请在教师指导下选做。 • 试将 ∗ F µν 显式地用 E , B 为元素的矩阵表达出来。 • 试将上面的讨论推广到含外源的 Maxwell 方程组。 • 试将上面的讨论推广到介质中的 Maxwell 方程组。 • 假如存在磁荷，则 Maxwell 方程组该如何改写？上面的讨论哪些仍 然适用，哪些不适用？ • 试用外微分形式推导出 Poynting 定理。 • 试将上面的讨论推广到 Einstein-Maxwell 理论。 • 试将上面的讨论推广到 Yang-Mills 理论。 • 试将上面的讨论推广到 Einstein-Yang-Mills 理论。
Maxwell 方程的张量与外微分形式
中山大学《电动力学》课程专题扩展讨论教案
张宏浩 （中大理工学院）
Contents
1 真 空 中 的 Maxwell 方程 2 张量形式 3 外微分形式 4 思考题 1 1 4 7
1
真 空 中 的 Maxwell 方 程
∇·E =0 ∇×B = ∇·B =0 1 ∂E c ∂t (1) (2) (3) (4)
7
(24)
则(23)成为 ∂ν ∗ F µν = 0 综上所述，真空中的 Maxwell 方程组为 ∂µ F µν = 0 ∂µ ∗ F µν = 0 ,
∗
(25)
(26) F µν ≡ 1 2
µνρσ
Fρσ
(27)
3
外微分形式
λ ≡ Aµ d x µ (28)
在 Minkowski 时空通过电磁势 Aµ 引入 1-形式场 λ 如下
ijk
xµ = ηµν xν = (−c t, x)
(6)
(7) 1 ∂A c ∂t (8)
∂j Ak =
1 2
ijk
(∂j Ak − ∂k Aj )
(9) (10)
Ei = E i = ∂i A0 − ∂0 Ai 注意在(5)的度规约定下 A0 = −A0 , 定义场强张量为 Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ = Aν, µ − Aµ, ν 则(9),(10)成为 Bi = B i = 或显式地 0 −E1 −E2 −E3 E1 0 B3 −B2 = E2 −B3 0 B1 E3 B2 −B1 0 0 E1 E2 E3 −E1 0 B3 −B2 = −E2 −B3 0 B1 −E3 B2 −B1 0 2 1 2
1 2
ijk
∂i Fjk =
1 2
0ijk
∂i Fjk
(20)
µνρσ
约定为
0ijk
0123
= 1 ，因此有 (21)
=
ijk
最后，由(4)得
ijk ijk
∂j Ek = −∂0 Bi = −∂0 ∂j Fk0 = − 1 2
ijk
1 2
ijk
Fjk
⇒
∂0 Fjk 3
⇒
0ijk
∂j Fk0 = −
ijk
A i = Ai
(11)
(12)
Fjk =
1 2
ijk
F jk ,
Ei = E i = Fi0 = −F i0
(13)
Fµν
(14)
F µν
(15)
有了这些准备，下面我们将 Maxwell 方程组(1),(2),(3),(4)逐个写为张量形 式。首先，(1)成为 0 = ∂ i Ei = ∂ i Fi0 = ∂ i Fi0 + ∂ 0 F00 = ∂ µ Fµ0 其次，由(2)得 ∂j Bk = ∂0 Ei 1 ijk ∂j ( kmn Fmn ) = ∂0 Fi0 2 1 kij kmn ∂j Fmn = ∂0 Fi0 2 1 im jn (δ δ − δ in δ jm )∂j Fmn = ∂0 Fi0 2 1 (∂j Fij − ∂j Fji ) = ∂0 Fi0 2 −∂j Fji = ∂0 Fi0 0 = ∂j Fji − ∂0 F0i = ∂ j Fji + ∂ 0 F0i = ∂ µ Fµi
∗
(30)
(dxi1 ∧ · · · ∧ dxip ) ≡ 1 (n − p)!
i1 ···ip ip+1 ···in
1 (n − p)!
i1 ···ip ip+1 ···in
dxip+1 ∧ · · · ∧ dxin (31)
=
gip+1 kp+1 · · · gin kn dxkp+1 ∧ · · · ∧ dxkn
例如，对于四维 Minkowski 流形，度规 gµν = ηµν = diag(−1, 1, 1, 1)，
∗
dx0 = 0123 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = 0123 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∗ dx1 = 1023 dx0 ∧ dx2 ∧ dx3 = − 1023 dx0 ∧ dx2 ∧ dx3 = 0123 dx0 ∧ dx2 ∧ dx3 = dx0 ∧ dx2 ∧ dx3 ∗ dx2 = dx0 ∧ dx3 ∧ dx1 ∗ dx3 = dx0 ∧ dx1 ∧ dx2
(48)
此即 Maxwell 方程(26)。综上所述， Maxwell 方程可用外微分形式写为 1 α ≡ Fµν dxµ ∧ dxν 2 1 ∗ 0 = d(∗ α) , α = ∗ Fµν dxµ ∧ dxν 2 0 = dα , 6 (50) (51)
或 0 = d(dλ) , 0 = d(∗ dλ) λ ≡ Aµ dxµ (52) (53)
ijk
(16)
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
(17)
这里我们用到了恒等式
kij kmn
= δ im δ jn − δ in δ jm
(18)
结合(16),(17)可得 ∂ µ Fµν = 0 再次，由(3)得 0 = ∂i Bi = ∂i ( 这里 Levi-Civita 张量 1 2
ijk
(19)
Fjk ) =
则 α ≡ dλ = ∂ν Aµ dxν ∧ dxµ 1 1 (∂ν Aµ − ∂µ Aν )dxν ∧ dxµ = Fµν dxµ ∧ dxν = 2 2 4
(29)
由 Poincare 引理，立得 1 0 = d(dλ) = ∂ρ Fµν dxρ ∧ dxµ ∧ dxν 2 在 n 维黎曼流形可定义 Hodge-∗ 算符如下：
i0jk
∂0 Fjk = 1 2
ijk0
∂0 Fjk
∂j F0k +
i0jk
µνρσ
∂ν Fρσ = 0
(23)
容易看出上式对于Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ 的定义是自动成立的，事实上这正是 我们可以这样引入电磁势 Aµ 的出发点。定义 Fµν 的对偶场为
∗
F µν ≡
1 2
µνρσ
Fρσ
∗
(32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41)
(dx0 ∧ dx1 ) = 0123 dx2 ∧ dx3 = dx2 ∧ dx3 ∗ (dx0 ∧ dx2 ) = dx3 ∧ dx1 ∗ (dx0 ∧ dx3 ) = dx1 ∧ dx2