高一数学(对数与对数的运算)

例6 求下列各式中x的值：
2 (1) log64 x (2)logx 8 6 3 (3) lg100 x (4) - lne2 x
(5) logx (3 2 2 ) 2
( 5)
(6) log5 (log2 x) 0
2 例7．求x的值： log 64 x 3
思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成 立吗？
思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，则
log a M 等于什么？
n
思考6:上述关于对数运算的三个基本 性质如何用文字语言描述？
①两数积的对数，等于各数的对数的和； ②两数商的对数，等于被除数的对数减 去 除数的对数；
4.对数的运算法则
如果a > 0, 且a ≠ 1, M > 0, N > 0, n ∈ R, 那么 (1) loga ( M N ) = loga M + loga N ; M (2) loga = loga M loga N ; N n (3) log M = n loga M ; (4) loga
思考Ⅲ：已知 log1 (log2 x) log1 (log3 y) 1
2 3
1
试比较x和y的大小
1 解： log1 (log2 x) 1 log2 x 2 2
1 1 即： log 2 x 22 x 2 同理可得： y 3 3
x 2
6
x
logc N p 即证得 logc a
logc N loga N logc a
其他重要公式 2:
1 log a b logb a
logb b loga b logb a
a, b (0,1) (1,)
证明:由换底公式 取以b为底的对数得：
1 logb b 1 loga b logb a
即3

3x
2 log 5x 1
3 x
3
2
x 5
3 3
2
2 即3 x 2 x 3
注：把对数式化成指数式， 利用指数的性质进行运算
例5、求下列式子中的 x 的值 注：把对数式化成指数式，
3 (3) log x 27 4
由题意
解 :
x 0, x 1
a;
1 (2) 3
5
2
3;
(4) e a.
• 例 3.求下列各式的值:
(1) log 2 64; (2) log9 27;
解: 6 log2 64 6. (1) 由2 64，得：
1 (3)lg . 100
(2) 设x=log9 27, 则根据对数的定义知:
还可以变形,得
loga b logb a 1
例14 计算
（ 1）
log2 (2 4 )
5 7
5
解 : log2 (2
4 ) log2 2 log2 4
7
5
7
log2 2 log2 2 =5+14=19
5
14
（ 2）
解 :
log9 27 3 3 log9 27 log32 3 log 3 3 2 3 2
x
即负数和零没有对数 2、两个恒等式： loga 1 0
loga a 1
3、常用对数 lg N 和自然对数 ln N
请同学们回顾一下指数运算法则 ：
(1)a a a
m n m n n n
mn
(m, n R)
n
(2)(a ) a (m, n R)
mn
(3)(ab) a b (n R )
b
思考：
1.是否所有的实数都有对数呢？
零和负数没有对数.
n N a 2.如果 ，那么上式变为：
loga a n（对数恒等式1）
n
思考3:当a>0，且a≠1时，loga（2），loga0存在吗？为什么？由此能 得到什么结论？ 思考4:根据对数定义，logal和logaa （a>0，a≠1）的值分别是多少？
①
解：∵
∴
2 log 64 x 3
求真数
2 3 2 3
x 64

(4 )
3
4
2
1 16
②
log x 8 6
1 6
解： ∵ log 8 6,又∵ x 0 x
x 8 (2 ) 2 2 ③ ln e 2x 解： ∵ ln x e 2 2 x ∴ ln e x, e e
∴ ∴
3
1 6
求对数
x 2.
课堂练习 3 求下列各式中x的值
(1)
(2)
2 log 64 x 3 log x 8 6
(3) lg100
(4)
2
x
ln e x
课堂练习 4、求 x 的值： (1)
2
log2x 1 3x 2x 1 1

2

(2)
log2 log3 log4 x 0
1.截止到1999年底，我国人口约 13亿.如果今后能将人口年平均增长 率控制在1%，那么经过20年后，我国 人口数最多为多少（精确到亿）？到 哪一年我国的人口数将达到18亿？
13×
x (1＋1％) ＝18，求x=?
2.假设2006年我国国民生产总值 为a亿元，如果每年的平均增长率为 8% ，那么经过多少年我国的国民生 产总值是2006年的2倍？
?
N
t
(a 0, a 1)
对数恒等式
loga N
证明： 令t loga N，则：
t loga N a N
训练：
即：a
N
(1)2
(3)2
log2 10
10 _____ (2)2
2log2 8
32 _______
2 log2 10
100 (4)4log2 8 _______ 64 _____
思考Ⅰ： 求下列式子中的
解：
log2 x2 1 3x 2x 1 1
2


x
的值
log 2 x 2 1 3x 2 x 1 1 2 x 1 3x 2 x 1 都能
2 2 2




1
0…… 和-2 回顾定义 取吗 ？
即2x 1 3x 2x 1 x 2x 0
a
loga N
N
b
证 明： 设 a N
b loga N
a
loga N
N
• 例１．将下列指数式改写成对数式：
1 (1) 2 = 16； (2) 3 = ； 27
4 -3
1 (3) 5 = 20； (4) = 0.45 . 2
a
b
解：(1)log2 16 4
(3) log5 20 a;
2 2 2
x 0或 2
当x 0时，底数x 2 1 1 0 不合，则舍去 当x 2时，底数x 2 1 3, 且真数3x 2 2x 1 3 符合题意 综上所述 x=-2
注：在底数和真数有未知数的时候一定要注意 底数和真数的范围限制
思考Ⅱ：
a
loga N
思考1:当a>0，且a≠1时，若ax＝N， 则x＝logaN，反之成立吗？ 思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝ logaN中，a，x，N各自的地位有什么 不同？ a N x
指数式ax＝N 指数的底数 幂 幂指数 对数式x＝ 对数的底数 真 对数 logaN 数
数学理论
即a N loga N b
(1＋8％)x＝2，求x=? 3.上面的实际问题归结为一个什 么数学问题？
已知底数和幂的值，求指数.
思考1:若24＝M，则M＝？
若2－2＝N，则N＝？ 思考2:若2x＝16，则x＝？
1 若2 x＝ 4
若4 x＝8 ， 若2 x＝3 ，
,则x＝？
则x＝？ 则x＝？
思考3:满足2x＝3的x的值，我们用 log23表示，即x＝log23，并叫做“以 2为底3的对数”.那么满足2x＝16，2x ＝ 32，4x＝8的x的值可分别怎样表示？ 思考4:一般地，如果ax＝N（a>0，且 a≠1），那么数x叫做什么？怎样表示？
思考5:若ax＝N，则x＝logaN ，二者 组合可得什么等式？
对数的性质：
(1)真数N必须大于0,即负数与零没有对数 . （∵在指数式中 N > 0 ） (2) (3)
loga 1 0,
loga a 1
对数恒等式
a
log a N
N
(a 0且a 1, N 0)
3.对数恒等式：
x＝logaN
数学理论
1.对数的概念
一般地，如果 a(a 0, a 1) 的b次幂等于N, 即: a N
b
那么就称b是以a为底N的对数,记作
loga N b
其中,a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.
18 1.01 思考5:前面问题中， 13
x
1.08 , 2
x
中的x的值可分别怎样表示？
思考4:将log232－log24=log28推广 到一般情形有什么结论？怎样证明？
思考5:若a＞0，且a≠1，M1， M2，„， Mn均大于0，则loga(M1M2M3„Mn）＝？
思考1:log23与log281有什么关系？
思考2:将log281=4log23推广到一般情形 有什么结论？
思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什 么方法证明等式logaMn＝nlogaM成立．