重庆大学高等数学习题3-2
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A 组
1.用洛必达法则求下列极限：
（1）02lim 1cos x
x
x e e x -→+-- （2）arctan 2lim 1
x x x
π
→+∞-
（3）0cos lim sin x x e x x x →- （4）011
limcot (
)sin x x x x
→- （5）1
0(1)lim x
x x e
x
→+- （6）21
0sin lim ()x x x x +→ （7）011lim()sin x x x
→- （8）sin 0lim x
x x +→
（9）lim(1)x
x a x
→∞+ （10
）n 其中n 为正整数
解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于00，∞
∞型极限的求解，当然对于一
些能够化简为00，∞
∞
型极限的同样适用，例如00010⋅∞==∞
等等，在求解的过程中，同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限 解：（1）本题为
型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x
---→→→+--+===- （2）本题为
型极限的求解，利用洛必达法则求解得 2222
1arctan 12lim lim lim 111
1x x x x x x x x x π
→+∞→+∞→+∞--+===+-
（3）本题为0
型极限的求解，利用洛必达法则求解得
000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x x
x x x →→→-+===∞+ （4）先化简，得
23
00011cos sin sin sin limcot (
)lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x →→→→----=⋅==
型极限的求解，利用洛必达法则求解得
23220001sin 1cos 12lim lim lim 336
x x x x
x x x x x x →→→--=== （5）化简1
ln(1)00(1)lim lim
x x x
x x x e e
e
x
x
+→→+--=
型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0ln(1)ln(1)ln(1)
lim 220002000ln(1)(1)ln(1)
1lim lim lim
(1)(1)ln(1)1ln(1)1ln(1)lim lim lim 222
x x x x x
x
x x x x x x x x
x e e x x x x e e x x x x x x x x x e e e e x x x →+++→→→→→→-+--+++=⋅=+-++-+--+====-
（6）1∞型极限的求解，首先利用ln
e ，然后利用洛必达法则求解得
222
2
2
00
023
2
2000sin sin sin sin ln ln 11ln 1
1
lim lim lim 0
01
sin cos 112lim
lim
lim 336
sin lim ()lim x x x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x x x x x x x
x
x
x e e
e
e
x
e
e
e
e
+
++
→→→+
+
+
+
+→→→⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+-- ⎪
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭→→----
========
（7）∞-∞型极限的求解，先化简再利用洛必达法则求解得
2200000111sin sin 1cos 2lim()lim lim lim lim 0sin sin 22x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
→→→→→----==== （8）0
0型极限的求解，先利用ln
e 化简，再利用洛必达法则求解得
220
02001ln lim lim
sin cos 1lim
lim
sin ln sin cos sin sin 0
lim lim 1x x x x x
x x
x x x x x
x x x x
x
x x x e e e
e
e
++
→→++→→++
---→→======
（9）1∞
型极限的求解，先利用重要极限二化简
lim(1)lim(1)lim(1)x x a a x a a a
x x x a a a e x x x
⋅⋅→∞→∞→∞+=+=+= 当然也可以先化简，再利用洛必达法则求解
2
22ln()ln lim
1[ln()ln ]11
11lim
lim
112lim
lim
()2lim(1)lim()lim x x x x x x a x
x x x x a x x x x x x a x x a x ax ax
a
x x a x
x
x a
a x a e e x x e
e
e
e
e →∞
→∞
→∞
→∞→∞+-+-→∞→∞→∞--++--++++========
（10）0
∞型极限的求解，先化简，利用洛必达法则求解