二次函数数形结合问题
数形结合学数学——以“二次函数与一元二次方程”为例
课程教育研究Course Education Research 2021年第15期一、一元二次方程与二次函数的关系首先我们需要理解二次函数y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数且a≠0)中x、y 的双重含义:代值计算时:x 表示自变量的值;y 表示函数值;在函数图像中:x 表示图像上点的横坐标;y 表示图像上点的纵坐标。
由此我们可以发现,当函数值y 赋值为0时函数问题则等价于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数且a≠0)问题,由特殊推广到一般情况,我们发现当函数值y 赋值为k(k 为常数)时,函数问题均可转化为一元二次方程ax 2+bx+c=k(系数要求同上)问题;从图像角度来看,二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数且a≠0)的根,同理,二次函数y=ax 2+bx+c 图像与函数y=k 图像的交点横坐标即为方程ax 2+bx+c=k(a,b,c 为常数且a≠0)的根。
二、从二次函数的角度看一元二次方程通过对二次函数的学习我们掌握了变量间的相关关系,二次函数的图像、性质并抽象概括出了相关定理,如此一来,我们重新回顾一元二次方程便会发现方程问题容易得多。
例1:观察y=x 2-8x+12、y=x 2-4x+4、y=x 2+3这三个二次函数的图像,并且分别说出x 2-8x+12=0、x 2-4x+4=0、x 2+3=0的根的情况。
分析:从三个函数图像中我们观察发现,第一个函数图像与x 轴交点横坐标为-2、-6,即方程x 2-8x+12=0的根分别为-2、-6,第二个图像与x 轴交点横坐标为2,即方程x 2-4x+4=0的根为2,y=x 2+3图像与x 轴无交点,则说明方程x 2+3=0无实数根,三种不同函数的图像与x 轴相交的情况不同,方程的根的个数也与之不同,以上三种图像让我们将方程的根的情况也大致分为以下三类:①如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个公共点即可等价于一元二次方程方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根;②如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有且仅有一个交点则等价于方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实根(按照方程的定义,一元二次方程都有两个根,故这里称有两个相等实根);③如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴没有公共点则说明方程ax 2+bx+c=0没有实根。
二次函数数形结合
二次函数数形结合1、已知抛物线过点（1，0），（―1，8）在y 轴上截距为5，若函数图象与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。
2、已知抛物线对称轴为x=―1，过点（0，―1），（2，1），函数图象与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。
3、已知抛物线与x 轴交点的横坐标为3，5，且有最大值21，函数图象与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积。
4、已知抛物线图象顶点C 坐标（1，3），交x 轴于A 、B ，且△ABC 的面积为3，求函数解析式。
5、已知二次函数图象过点A （1，0）、B （3，0），顶点为C ，△ABC 的面积为2，求函数解析式。
6、抛物线A （2，8），B （0，–4）且在x 轴上截得的线段长为3，求函数解析式。
7、已知抛物线过点（4，6）（–2，6），在x 轴上截得的线段长为32，求函数解析式。
8、函数12-+-=k kx x y 与x 轴两交点A 、B 与顶点C 组成的三角形面积为8，求该函数的解析式。
9、抛物线12-+=kx x y 与 x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，且∠ACB=900，求函数解析式。
10、已知q px x y ++-=221的图象交x 轴于点A （–1，0），B 两点，B 点在A 点左边，P 是图象顶点，若△ABP 是Rt △，求此函数解析式。
11、已知抛物线b ax x y ++=221图象交x 轴于A （–4，0），B 两点，B 在A 右边，P 是顶点，且△ABP 是直角三角形，求函数解析式。
12、已知抛物线b ax x y ++=2图象在y 轴上的截距是1，交x 轴于A ，B 两点，P 是顶点，且抛物线对称轴在y 轴左侧，若△ABP 是等边三角形，求函数解析式。
例析二次函数问题解决的基本思想_分类讨论和数形结合
时
，M(a)∈(-
2 a
,0)（ 注 ：
M(a)在对称轴右边 ），所 以 f[M(a)]=-4，令 ax2+4x-2=-4，
解
得
x=
-2±
姨4-2a a
，故
M(a)=
-2+
姨4-2a a
；
（2）
当
-2-
4 a
≥-4，
即 a≥2 时 ，
M(a)<- 2 a
（注：
M(a)在对称轴 左 边 ）， 所 以 f[M(a)]=4，令 ax2+4x-2=-4，
题．
下面， 我们从一个具体例子出发， 给同学们详细
分析一下解决的基本过程．
例题． 已知函数 f(x)=3x2+a，g(x)=2ax+1(a∈R)．
（I） 证 明 ： 方 程 f(x)=g(x)恒 有 两 个 不 相 等 的 实 数
根；
（II） 若 函 数 f(x)在(0,2)上 无 零 点 ， 请 你 探 究 函 数
责任编校 徐国坚
高中 2011 年第 5 期
17
数学有数
点拨
例析二次函数问题解决的基本思想 —— —分类讨论和数形结合
■俞新龙
二次函数问题是同学们初中重点解决的一类函数
问题， 有范围限制的二次函数问题 （包括换元后可化
为二次函数） 是高中一类比较重要的函数问题， 此类
问题比同学们初中遇到的难度要大， 因此， 同学们经
常会感觉处理起来比较难．其实， 该类问题的解决还
优越性．
变式 1：
设
f(x)=1-
2 2x+1
，方程 f(x2-2x-a)=0 在(0,3)
数学人教版九年级上册数形结合求二次函数最值
数形结合求二次函数最值一、教学内容分析二次函数在中考中占有非常重要的地位，而二次函数在自变量给定区间内的最值在中考中频频出现，主要考察我们分类讨论和数形结合思想的应用。
这节课我们主要以二次函数为例，讨论影响二次函数在自变量给定区间的最值，主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴的位置。
而对称轴的位置是解决这类问题的关键。
二、教学目标设计知识与技能1、掌握运用数形结合求给定区间内的二次函数最值。
体会利用对称性比较函数值大小。
2、分类讨论思想求二次函数的最值。
过程与方法1、经历求最值、画图像，在给定区间内通过图像总结对称轴的位置与图像最值的关系，培养学生画图和推理能力。
2、结合图像与函数知识进行分类讨论求二次函数最值。
情感与价值1、渗透数形结合、分类讨论思想，培养学生总结推理能力。
2、了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。
三、教学重难点重点：通过数形结合总结在区间内求二次函数最值的方法，知道对称轴的位置最为关键。
难点：运用分类讨论思想求二次函数最值。
四、教学方法：讲授发现法、分类讨论法五、教学过程（典型例题分析）1、教师以数学家华罗庚先生的话引入本节课内容。
“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数统一体。
永远联系．切莫分离!”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致．教师以二次函数y=-2x2-4x+6为例通过让学生求顶点坐标画草图，让学生复习二次函数基本知识，接下来教师通过给定自变量范围：（1）当-4≤x≤-2时的最值情况（2）当-2≤x≤12时的最值情况y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8设计意图：学生复习求二次函数顶点坐标的方法和画草图的基本方法。
通过画草图体会准确图像的重要性。
让学生明确在自变量区间内对应的图像是抛物线的一部分从而找到对应的最值。
学生通过自变量的不同区间得出不同最值。
尝试得出结论：（1）当自变量区间在对称轴同侧时可根据函数增减性得出最值。
二次函数中的数形结合
二次函数中的数形结合一、选择题1．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0 没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A． 0 B．1C． 2 D．34．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c ＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B． 3个C． 2个D． 1个5．已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h可能为 ( )A．1 B．3 C．5 D．77．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（﹣3，7）B．（﹣1，7）C．（﹣4，10）D．（0，10）8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．B．或C．2或D．2或﹣或9．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b10．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1 0 1 3y﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个二.填空题11．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y…10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范围是．14．如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是．15．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．16．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= _______．三.解答题17．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．18．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？19．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．20．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1 与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．21．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．22．抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？。
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用发布时间：2022-08-11T18:15:02.792Z 来源：《中小学教育》2022年7月4期作者：鲍炜[导读]鲍炜安徽省芜湖市第二十九中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）7-179-021引言数学是一种既古老又年轻的文化，也是自然科学的基础学科。
人类从远古时代的结绳计数，到如今可以宇宙航行，无时无刻不受到数学思想的影响。
最近几年，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了深刻地变化，数学教学的主要目的和任务早已不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习培养学生的数学能力。
二次函数是初高中教材中一个重要的内容。
二次函数是中考命题的重点，同时也是省示范高中自主招生考试的重要考点。
如何让学生对二次函数了解更加的深刻透彻，本论文运用数形结合思想对初中二次函数做了更深一步的研究。
我们通过以下几个方面的阐述让学生更加深入理解二次函数的知识，更加体会到数形结合思想的运用：利用二次函数图象讨论一元二不等式的解（自主招生考试考点）、利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题（中考难点）、巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题自主招生考试考点）、巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题（中考重点）。
2 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了数形结合在教学、解题及函数中的应用，也给出了自己独特的见解。
在所查阅到的国内外参考文献中，教育者们对数形结合在二次函数中只针对二次函数中的某一问题作了相应的介绍，并未给出较为深入系统的研究。
数形结合思想在初高中二次函数中的应用非常广泛，对数形结合在初高中二次函数中的综合应用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用数形结合思想在二次函数教学、解题及其在中考以及自主招生考试中的应用具有重要的意义。
3 提出问题数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且是一种基本的数学思想，同时二次函数也是初高中比较重要的一个内容，为了促进学生对这种思想方法的掌握，我们初中老师在依据教材对标课程标准的前提下，要适当提高二次函数的教学难度，这样学生到了高中才能较好的掌握二次函数内容，能起到承上启下的作用。
巧用“数形结合”求解二次函数问题
巧用“数形结合”求解二次函数问题作者：徐超凡来源：《中小学教学研究》2010年第06期摘要:二次函数是初中数学知识的重中之重,它与其他知识紧密相关,中考命题者钟爱有加。
如何把脉二次函数,让学生学而不厌,知难而进呢?可以把数形结合作为解决二次函数问题的武器,逐一破解“残缺型抛物线”、灵活解决“四点”“五距”,化解二次函数的探究应用问题中难点。
关键词:数形结合;残缺型抛物线;探究应用数形结合的思想,它是指把代数的精确刻划与几何的直观形象相统一,将抽象思维与直观形象水乳交融的一种思想方法。
数形结合是学好数学的一个魔法棒:它可将一些看似复杂的问题简单化,一些难于入手的问题迎刃而解。
二次函数是初中数学知识的重中之重,它与其他知识紧密相关,中考命题者钟爱有加。
如何把脉二次函数,让学生学而不厌,知难而进呢?巧妙运用数形结合可以达到四量拨千斤的效果,让学不得法的学生忘了烦恼忘了忧。
一、巧用数形结合求残缺型抛物线问题何谓“残缺型抛物线”,顾名思义,就是不完整的抛物线。
虽然抛物线不完整,但是利用已知条件及抛物线的轴对称性,可以达到既可意会,也可言传的功效,从而轻而易举解决相关问题。
例1(2007南充).如图1是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1。
给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a②其中正确结论是().A ②④B ①④C ②③D ①③解析:图象开口向下,顶点在第二象限想象到抛物线一定与x轴有两个交点,所以①正确;对称轴为x=-■=-1 得2a-b=0,所以②错误;顶点在第二象限,当x=-1,a-b+c>0,所以③错误;抛物线开口向下,a例2(2009德城).如图2是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3 ,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是_________解析:根据图象可知抛物线开口向上,与x轴有两个公共点,对称轴右边的交点B与对称轴相距2个单位长度。
二次函数数形结合题专练
1、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）2、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2-x-2 B 、y=121212++-x C 、y=121212+--x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图4A ．B ．C ．D ．xxxx5、如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，则阴影部分的面积是 .6、图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）7、某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ （3）请画出上述函数的大致图象．8、如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．9、如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
初中数学二次函数解题技巧必看
初中数学二次函数解题技巧必看每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲技巧的。
下面是小编给大家整理的一些初中数学二次函数解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
二次函数解题方法1、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标)，任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线(显然最多有3条)，此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。
进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否?若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。
②若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否?若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。
③若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。
2.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。
)先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积)，然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。
(注意去掉不合题意的点)，如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。
3.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标(一母示)，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1)，得到一个方程，解之即可。
数形结合之二次函数小题
数形结合之二次函数一．选择题1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．①③④8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形9．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0，其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的个数为（）①c＞0；②a＜b＜0；③2b+c＞0；④当x＞时，y随x的增大而减小．A．1 B．2 C．3 D．411．以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤212．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③14．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=115．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．17．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜319．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．420．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．2a+b＜0 B．4a+2b+c＞0C．m（am+b）＞a+b（m为大于1的实数）D．3a+c＜021．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个22．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（）个．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个23．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④24．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①b＜0；②b+2a=0；③方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=﹣2，x2=4；④a+c＞b；⑤3a+c ＜0．其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个25．若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k 有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（）A．0＜k＜4 B．﹣3＜k＜1 C．k＜﹣3或k＞1 D．k＜426．已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m，其中m＞0，它的图象与x轴从左到右交于R和Q两点，与y轴交于点P，点O是坐标原点．下列判断中不正确的是（）A．方程x2﹣（m﹣1）x﹣m=0一定有两个不相等的实数根B．点R的坐标一定是（﹣1，0）C．△POQ是等腰直角三角形D．该二次函数图象的对称轴在直线x=﹣1的左側27．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是（）①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0．A．1 B．2 C．3 D．428．如图，二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①abc＜0；②b ＜﹣2a；③b2+8a＞4ac；④2a+c＜0．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个29．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点（0，2）．下列结论①2a+b＞﹣1，②3a+b ＞0，③a+b＜﹣2，④a＞0，⑤a﹣b＜0，其中结论正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1第11页（共11页）。
二次函数的数形结合归纳
二次函数的数形结合一、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）顶点坐标)44,2(2a b ac a b --，对称轴是ab x 2-= 当ab x 2-=时，函数有最大(小)值为a b ac 442- 抛物线的开口方向和大小 a 的符号，︱a ︱越大开口越小 抛物线的形状相同︱a ︱相同对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号对称轴在y 轴右侧 a ，b 异号正半轴 c ＞0与y 轴的交点（0，c ）位置 原点 c=0负半轴 c ＜0与x 轴的交点的横坐标 ax 2+bx+c=0 的解抛物线与x 轴有两个交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＞0抛物线与x 轴有一个交点 顶点在x 轴上 抛物线与x 轴没有交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＜0抛物线的顶点在y 轴上 b=0抛物线的顶点在原点3个交点 △＞0，c △＞0，c=0抛物线与坐标轴有 2个交点△=0，c ≠0 △＜01个交点b=c=0函数值恒为正（无论x 取何值，y 始终为正） a ＞0，△＜0 函数值恒为负（无论x 取何值，y 始终为负） a ＞0，△＜0 X 轴的对称抛物线是 y=-ax 2-bx-c 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）关于 Y 轴的对称抛物线是 y=ax 2-bx+c原点的对称抛物线是 y=-ax 2+bx-c抛物线在x 轴上截得的线段长度—————︱x 1-x 2︱=aac b 42- a ≠0；△=b 2-4ac=0二、顶点式：y=a(x+m)2+k(a ≠0)的顶点是（－m ，k ），对称轴是x =－m. 当x =－m 时，函数有最大(小)值为 k考虑平移时一般要用顶点式，平移规律是抛物线y=a(x+m)2+k 关于x 轴y 轴或原点的对称抛物线——————关键是找到对称抛物线的顶点坐标和a 即可如y=2(x+2)2-3关于x 轴的对称抛物线——关于x 轴的对称抛物线——关于原点的对称抛物线——顶点在一定在什么特殊的函数上-------如何处理三、交点式（两根式）：))((21x x x x a y --=，其中21,x x 是c bx ax ++2=0的两个实数根，图象与x 轴的两个交点坐标为（ ， ）和 （ ， ），对称轴是直线x= 图像上纵坐标相等的点关于对称轴对称如（2,5），（-4,5）在图像上 对称轴是直线x=1242-=- 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于（x 1,0），（x 2,0）ax 2+bx+c ＞0——————抛物线))((21x x x x a y --=关于x 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ---=抛物线))((21x x x x a y --=关于y 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ++= 抛物线))((21x x x x a y --=关于原点的对称抛物线—— a ＞0———— a ＜0————。
数形结合思想在二次函数问题中的应用解析
5
例4、如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C(0,三点，
2
)
（1）、求抛物线的解析式
（2）、在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，
求点P的坐标。
（3）、点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，
使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求
点yN的坐标;若不存在，请说明理由。
下列结论列结中论：中：①①aabbcc＞＞0；0②；b=2a；②b=2a；
③a+b+c③是＜a+（0b+；c＜④）0；a④+ab+b--cc＞＞0;0⑤; a⑤-b+ac＞-b0正+c确＞的个0正数 确的个数
是 （ A、）2个 B、3个
A、2个 C、4B个、D3、个5个
y
C、4个 D、5个
y
-1 0o 1 x x
①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③无
实数根？
b2 4ac 0 有2个交点
y
4
b
2
4ac
0
有1个交点
b2 4ac 0 没有交点
方程问题 转化 函数问题
-3 -1 o 1
x
（数）
（形）
y (x 1)2 4
本题先由数到形，后图由1形到数，用运动变化的观点去进行观察分 析和化归，巧妙地运用了图形特征来观察图形的变化规律，解答 十分巧妙，充分体现了“数”、“形”结合的解题思想。
两数
者缺
结形
合时
万少
般直
好观
，，
隔形
y
离缺 分数
——
家时
o
x
万难
二次函数与几何图形结合题及答案
1.如图，抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．〔1〕求A 、B 、C 三点的坐标;〔2〕过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积;解：〔1〕令0y =，得210x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =-∴A (1,0)-B (1,0)C (0,1)-……………………3分〔2〕∵O A =O B =O C =1∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45过点P 作P E ⊥x 轴于E ，那么∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，那么P E =1a +∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-〔不合题意，舍去〕∴P E =3……………………………………………………………………………5分∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯=………………………………6分2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．〔1〕求b ,c 的值；〔2〕点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 假设存在，求出所有点P 的坐标；假设不存在，说明理由.解：〔1〕由得：A 〔-1，0〕 B 〔4，5〕…………………1分∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A 〔-1，0〕B(4,5)∴101645b c b c -+=⎧⎨++=⎩…………………………………………………2分 解得：b=-2 c=-3…………………………………………………3分〔2〕如２６题图：∵直线AB 经过点A 〔-1，0〕 B(4,5)∴直线AB 的解析式为：y=x+1……………………………………4分∵二次函数223y x x =--∴设点E(t ， t+1),那么F 〔t ，223t t --〕………………………5分∴EF= 2(1)(23)t t t +---………………………………………6分=2325()24t --+ ∴当32t =时，EF 的最大值=254 ∴点E 的坐标为〔32，52〕………………………………7分 〔3〕①如２６题图：顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形ＥＢＦＤ．可求出点F 的坐标〔32，154-〕,点D 的坐标为〔1，-4〕 S EBFD 四边行 = SBEF + S DEF =12531253(4)(1)242242⨯-+⨯- =758………………………………………………10分 ②如２６题备用图：ⅰ)过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P,设点P(m ,223m m --)那么有：25232m m --= 解得:1226m =－,2226m += ∴12265(,)2p －, 22265(,)2p + ⅱ〕过点F 作b ⊥EF 交抛物线于3P ，设3P 〔n ，223n n --〕那么有：215423n n --=- 解得：112n = ，232n =〔与点F 重合，舍去〕 ∴3P 11524（，－） 综上所述：所有点P 的坐标：12265(,)22p －，22265(,)22p +3P 〔11524（，－）. 能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．…………………………………… 13分3.如图,二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C 〔1，－2〕. 〔1〕求此函数的关系式；〔2〕作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D.假设在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；〔1〕∵c bx x y ++=2的顶点为C 〔1，－2〕， ∴2)1(2--=x y ，122--=x x y ． ……………2分 ２６题备用图〔2〕设直线PE 对应的函数关系式为b kx y +=由题意，四边形ACBD 是菱形.故直线PE 必过菱形ACBD 的对称中心M ． ………3分由P (0，－1)，M 〔1，0〕，得⎩⎨⎧=+-=01b k b ．从而1-=x y ， …5分 设E (x ，1-x )，代入122--=x x y ，得1212--=-x x x ． 解之得01=x ，32=x ，根据题意，得点E (3，2) …………………………………7分．4如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 的右侧〕，点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动〔点P 与A 不重合〕，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，假设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？假设存在，求点F 的坐标；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕∵抛物线的顶点为Q 〔2，－1〕∴设()122--=x a y将C 〔0，3〕代入上式，得()12032--=a1=a ∴()122--=x y ， 即342+-=x x y …〔3分〕〔2〕分两种情况：①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图)令y =0, 得0342=+-x x 解之得11=x , 32=x∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)∴P 1(1,0) 〔5分〕②解:当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图)∵OA=OC, ∠AOC= 90, ∴∠OAD 2=45当∠D 2AP 2= 90时, ∠OAP 2= 45, ∴AO 平分∠D 2AP 2- .又∵P 2D 2∥y 轴, ∴P 2D 2⊥AO, ∴P 2、D 2关于x 轴对称设直线AC 的函数关系式为b kx y +=将A(3,0), C(0,3)代入上式得 ⎩⎨⎧=+=bb k 330, ∴⎩⎨⎧=-=31b k ∴3+-=x y ……………〔7分〕 ∵D 2在3+-=x y 上, P 2在342+-=x x y 上,∴设D 2(x ,3+-x ), P 2(x ,342+-x x )∴(3+-x )+(342+-x x )=0 0652=+-x x , ∴21=x , 32=x (舍)∴当x =2时, 342+-=x x y =32422+⨯-=－1 ∴P 2的坐标为P 2(2,－1)(即为抛物线顶点)∴P 点坐标为P 1(1,0), P 2(2,－1) …………………………………………………〔9分〕(3)解: 由题(2)知,当点P 的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形……………………〔10分〕当点P 的坐标为P 2(2,－1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x 轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE 时,四边形PAFE 是平行四边形∵P(2,－1), ∴可令F(x ,1)∴1342=+-x x 解之得: 221-=x , 222+=x ∴F 点有两点, 即F 1(22-,1), F 2(22+,1) ……………〔13分〕3. 〔2021，25，10分〕如图，抛物线212y x x a =-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y =－2x 上.(1)求a 的值；(2)求A ,B 两点的坐标; (3)以AC ,CB 为一组邻边作□ABCD ,那么点D 关于x 轴的对称点D ´是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重点内容之一，也是考试中经常出现的考点，掌握二次函数的知识对于学生而言非常重要。
在二次函数的教学过程中，采用“数形结合”的教学方法可以提高学生的学习兴趣和掌握程度。
下面将从以下两个方面介绍二次函数教学中“数形结合”思想的应用。
在二次函数的例题教学中，通过“数形结合”的教学方法可以加强学生对知识点的理解和记忆。
例如，当讲解二次函数的基本形式y=ax²+bx+c时，通过画出y=x²、y=2x²、y=0.5x²等曲线示意图，让学生能够直观地感受到参数a的正负、大小对图像的影响，帮助学生更好地理解二次函数的概念和性质。
在讲解二次函数图像和性质时，可以使用多组例题来巩固学生的掌握程度。
例如，可以让学生用手绘图法，画出y=x²-1和y=-x²+3的图像，并分析它们的性质。
通过手绘图的方式，不仅可以帮助学生更好地理解二次函数图像的基本特征，还可以加深对二次函数对称轴、顶点、开口方向等基本特征的理解。
在二次函数的应用题教学中，通过“数形结合”的教学方法可以帮助学生更好地理解和应用二次函数知识。
例如，在讲解极值问题时，可以引导学生通过手绘图形的方式，搭建一个简单的桥梁模型，让学生可以清晰地看到桥梁两端的高低和中间点的最低位置，从而引导学生理解和应用极值概念和解决问题的方法。
在讲解最值问题时，可以引导学生通过手动计算和手绘图像的方式，来理解问题所在，并进行分析综合。
例如，可以让学生计算二次函数y=x²-6x+8在区间[1,5]内的最大值和最小值，并通过手绘图的方式，将函数图像和区间范围清晰呈现出来，以便更好地理解和应用最值问题求解方法。
“二次函数与一元二次方程”中数形结合思想应用论文
“二次函数与一元二次方程”中数形结合思想的应用初四第二章《二次函数》第七节是“二次函数与一元二次方程”，主要探索二次函数与一元二次方程的关系，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性，在经历知识的形成与应用过程中，有利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学好数学的信心，有利于进一步培养学生的数形结合思想，使学生具有初步的创新精神和探索能力。
主要的内容有：一是用方程的方法研究二次函数图象与x轴交点个数以及与x轴交点的求法；二是用图象的方法寻求方程的近似根，并进一步发展学生的估算能力。
其实二者本质是一样的，就是用数形结合的方法解决问题。
由此，为训练学生领会并运用数形结合的思想方法解决问题，我在完成课本内容的教学之后，又安排了几个培养学生数形结合思想的题型，让学生进一步理解体会数形结合的思想以及运用的方法。
1.当x为何值时，不等式x2+2x-8>0 成立？先给学生5分钟独立探索本题的解法，然后学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法。
我在巡视的过程中发现多数学生试图用代数的方法去解不等式，可大部分学生不会解，只有两个同学用分解因式的方法求出了正确的结果。
由此我提示学生，这个问题与我们正在学习的二次函数有什么联系？能否借助函数图象解决这个问题？经过思考，学生很快就利用二次函数的图像解决了这个不等式。
教师点评：此题最好的方法是利用二次函数图象解决，先求出抛物线y= x2+2x-8与x轴的两个交点，画出抛物线草图，很容易在图像上观察出当x2时不等式成立。
针对性小练习：当x为何值时，不等式x2-2x-3<0成立？2.已知二次函数 y= x2+2mx+m-7与x轴的两个交点在点（1，0）两侧，判断关于x的方程 x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情况。
此题是为一些有能力的同学准备的，有一定的难度，学生能想到解决此题的关键是由y=x2+2mx+m-7判断m的范围，但是怎样求m的范围成了难点。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的教学涉及到数学概念、数学方法和数学技巧的培养。
在教学过程中，如何引导学生掌握二次函数的数学知识，培养数学思维，实现数学与现实生活的结合是教学的关键。
数形结合是数学教学中的一种重要教学思想，它通过将抽象的数学概念与具体的图形形象相结合，帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。
本文将以二次函数教学为例，谈谈数形结合在二次函数教学中的应用，并探讨如何有效地开展数形结合教学，使学生更好地掌握二次函数的知识。
一、数形结合的意义与作用二、数形结合在二次函数教学中的应用1. 通过图形展示二次函数的基本性质二次函数是平面解析几何中的一个重要内容，它的图象——抛物线是解析几何中的一个重要曲线。
在二次函数的教学中，可以通过绘制二次函数的图象来展示二次函数的基本性质，如顶点、对称轴、开口方向等，使学生直观地感受二次函数的特点，从而对二次函数有一个清晰的认识。
二次函数的图象是一个抛物线，它的形状随着参数a、b、c的变化而发生变化。
在二次函数的教学中，可以通过改变参数a、b、c的值，绘制不同的二次函数图象，并让学生观察图象的变化规律，探讨参数对二次函数图象的影响，帮助学生深入理解二次函数的变化规律。
3. 通过实际问题引导学生建立二次函数模型二次函数是描述抛射、运动、变化规律等问题的数学模型，它在实际生活中有着广泛的应用。
在二次函数的教学中，可以通过实际问题引导学生建立二次函数模型，并通过绘制二次函数图象来解决实际问题，使学生理论联系实际，培养学生的数学建模能力。
三、如何有效地开展数形结合教学1. 合理选择教学内容在开展数形结合教学时，需要根据学生的实际情况和教学要求，合理选择教学内容。
可以根据二次函数的特点，选择一些具有代表性的例题和实际问题，通过图形展示和解释，帮助学生理解和掌握二次函数的相关知识。
2. 创设丰富多彩的教学情境在开展数形结合教学时，可以通过举一反三、对比分析等教学方法，创设丰富多彩的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言概述二次函数在数学教学中扮演着重要的角色，而数形结合思想则是二次函数教学中的一种重要方法。
数形结合思想是指将数学概念与几何图形相结合，通过观察和分析图形，深入理解数学概念。
在二次函数教学中，运用数形结合思想可以帮助学生更直观地理解函数的性质和特点，提高他们的学习兴趣和学习效果。
本文将围绕数形结合思想在二次函数教学中的应用展开讨论。
我们将探讨数形结合的重要性，说明其对学生学习的益处。
接着，我们将分析如何在二次函数教学中应用数形结合思想，介绍具体的教学方法和技巧。
然后，我们将讨论数形结合在二次函数图像的解析中的应用，以及在实际问题中的具体运用。
我们将总结数形结合思想在二次函数教学中的启示，展望其在其他数学教学中的潜在应用价值。
通过本文的讨论，希望能够为教师和学生提供有益的启示，促进数学教学的创新与发展。
2. 正文2.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的思维方式，它通过将数学概念与几何形状相结合，帮助学生更深入地理解抽象的数学概念。
在二次函数教学中，数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合能够帮助学生从直观的角度理解二次函数的性质。
通过观察二次函数图像的形状、拐点位置等特征，学生可以更加直观地感受到二次函数的凹凸性、极值点等数学概念，从而加深对二次函数性质的理解。
数形结合可以提高学生的解题能力和应用能力。
在解决与二次函数相关的实际问题时，通过将数学模型与几何图形相结合，学生可以更快地找到问题的解决方法，并更好地理解问题的本质，从而提高解题效率。
数形结合还能够激发学生对数学的兴趣和热情。
通过观察二次函数图像的变化规律、探讨数形结合在实际问题中的应用等，可以帮助学生发现数学的美感和实用性，从而增强对数学学习的动力和积极性。
数形结合在二次函数教学中的重要性不言而喻，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力，培养数学兴趣，促进学生全面发展。
有关二次函数的数形结合思想
有关二次函数的数形结合思想作者：寻二辉赵文翠来源：《教育周报·教研版》2018年第50期摘要：数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的;[1]。
关键词：数形结合 ;二次函数正因为数形结合在解题中的重要性，因此中考试题中常常以各种各样的形式反映出它们之间的联系。
我们应不断提高对数形结合的认识，提高解题能力。
二次函数是中学阶段训练学生代数思维的基础知识点，数形结合在解决相关问题时能够化繁为简，甚至能解决永代数方法解决不了的问题。
文章从数形结合能解决的问题类型入手介绍属性结合思想在解决二次函数相关问题的应用[2]。
例3.已知抛物线y=ax2+bx+c（a的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（）A.﹣2xB.﹣4xC.xx>2D.xx>2解答：解答：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），因为抛物线开口向下，y>0时，图象在x轴的上方，此时，﹣4x例4.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3;③a+b+c>0;④当x时，y随x值的增大而增大;⑤当y>0时，x或x>3.其中，正确的说法有（）A.①②④ ;B.①②⑤ ;;C.①③⑤ ;D.②④⑤例5.（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时，y=3a;④am2+bm+a>0（m≠﹣1），其中正确的个数是（）参考文献：。
例谈二次函数背景下“数形结合”求点的坐标问题
例谈二次函数背景下“数形结合”求点的坐标问题摘要：数学学习的主要目的是让学生能用数学的方法解决数学问题，从中积累数学思维活动和实践活动的经验，感悟数学的基本思想。
笔者整理了近三年上海16个区的一模、二模卷，以24题综合题为研究对象，谈谈如何运用数形结合思想解决二次函数中求点的坐标问题。
关键词：二次函数数形结合点的坐标恩格斯说：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。
”数学的发展历史悠久，它的内涵随着时代的变化而变化，但始终是围绕着“数”与“形”两个基本概念的抽象、提炼而发展的。
“数形结合思想”是义务教育阶段数学教学的一个重要思想方法，借助数形结合的思想解决二次函数问题在现阶段教学中具有重要的价值意义。
一、“数形结合”与二次函数中求点的坐标问题初中数学知识分为“数与运算”“方程与代数”“图形与几何”“函数与分析”和“数据整理与概率统计”五大部分内容。
其中函数是“数形结合”的典型，二次函数作为初中数学和中考的重要考查内容之一，这部分内容的特点是知识点多、涉及面广、综合性强、难度大、占分多。
教学中需重点突出数学思想，注意各知识点间的内在联系，加强数形结合的观点看问题。
如解析式y=ax2+bx+c(其中a≠0)中a、b、c的不同取值决定着抛物线的开口方向、大小、对称轴的位置、与坐标轴的交点坐标、顶点坐标等等，这些都是“数”对“形”的影响；反之，由抛物线的位置形状我们也能判断出a、b、c的符号，这又是“形”与“数”的关联。
近3年来，上海市各区初三第一学期期末质量抽查考试（简称一模）与上海市各区中考考前质量抽查考试（简称二模）及上海市初中毕业生统一学业考试（简称中考）中24题绝大部分以二次函数为背景。
这些题目分值多，难度大，考验综合能力强。
笔者就2017年、2018年和2019年三年来上海16个区县的一模卷和二模卷的96份试卷进行统计，只有一份试卷的第24题不以二次函数为背景。
我对另外95份试卷中在第二问或第三问中直接涉及“求点的坐标问题”的试卷数量进行了统计，如下表：由此可见点的坐标的求解在“压轴题”中的地位，而我们对求“点的坐标”问题常常可采用定义法、代入法、交点法、设参法这几种基本方法。
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二次函数与图形专题 姓名：
图象型 经典例题
例1.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h
=4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交
AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ ）
D
O
4
2
4O
424
O 4
24
O 4
24
A
y
x
B
C
C
A E
F B
D
例2.(2013年南京建邺区一模)矩形ABCD 中，AD =8 cm ，AB =6 cm ．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：cm 2
)，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的 （ ）
变式训练*举一反三
1.如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点， 且∠ACD =45°，DF ⊥AB 于点F ,EG ⊥AB 于点G ,当点C 在AB 上运动时，设AF =x ，DE =y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的
图象大致是（
）
2.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）
A ． 2
425
y x =
B ．225y x =
C ．2225y x
= D ．2
45
y x =
3．（赵州二中九年七班模拟）点E 为正方形ABCD 的BC 边的中点，动点F 在对角线AC 上运动，连接BF 、
EF ．设AF ＝x ，△BEF 的周长为y ，那么能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
第3题
A
B
C
D
4、（2012年浙江省杭州市一模） 如图所示，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点，设AC=2，BD=1，AP=x ，则△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
5．如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE =BF =CG =DH ， 设小正方形EFGH 的面积为，AE 为，则关于的函数图象大致是（ ）
9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，B D=6，P 是BD 上的任一点，过P 作EF ∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E ，F ．设BP =x ，EF =y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为……………（ ）
求最值型
O
x O
O
O
x x x
y y y y A
B
C
D
A
B
C
D
F
E
A B
C
D
E
F
P
例1．(2012•扬州)如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 ．
例2．已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=，10BC CD ==，4sin 5
C =点
E,F 分别是BC,CD 上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ．求EFC △面积的最大值为 ．
变式训练*举一反三
运动型
例1.在△ABC 中，AB =AC =12cm ，BC =6cm ，D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动．设运动时间为t 秒，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t 的值为 .
例2. 如图, 正方形 ABCO 放在平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，A 、 C 两点分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（-4，4）。
已知点E 、点F 分别从A 、点B 同时出发，点E 以每秒2个单位长度的速度在线段AB 上来回运动. 点F 沿B →C →0方向，以每秒1个单位长度的速度向点O 运动.,当点F 到达点O 时，E 、F 两点都停止运动.在E 、F 的运动过程中，存在某个时刻，使得△OEF 的面积为6.那么点E 的坐标为 。
A
D
C
F
B
E 例2。