高等数学I(本科类)第1阶段考试试题及答案

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高数一真题及答案解析

高数一真题及答案解析高等数学（一）是大多数理工科学生在大学期间必须修习的一门课程。

它作为数学的一门重要基础科目，不仅在理论上具有重要意义，更在实际应用中广泛发挥作用。

因此，掌握高等数学（一）的知识点和解题技巧对每位理工科学生都是至关重要的。

为了帮助同学们更好地复习和准备高等数学（一）的考试，下面将提供一些高数一真题及其答案的解析。

1.【题目】已知函数f(x)=x^2+2x，求f(-1)的值。

【解析】根据题目给出的函数f(x)，我们需要求解f(-1)的值。

解题的关键在于将x替换为-1，然后计算f(-1)。

将x替换为-1，得到：f(-1) = (-1)^2 + 2(-1)化简得：f(-1) = 1 - 2f(-1) = -1所以，f(-1)的值为-1。

2.【题目】已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，求Sn的表达式。

【解析】根据等差数列的定义，我们知道等差数列的第n项的表达式为an = a + (n-1)d。

要求解等差数列前n项和Sn的表达式，我们可以将Sn拆分为每一项an的和。

Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + [a + (n-1)d]通过观察，我们可以发现这个等差数列中的每一项an都包含一个公共的项a，并且公差d会依次增加。

所以，Sn可以写成公共项a与公差d的函数。

Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + [a + (n-1)d]Sn = n * a + (1 + 2 + ... + (n-1)) * d在这里，我们可以利用等差数列前n项和的公式来化简上式。

Sn = n * a + (n(n-1)/2) * d所以，Sn的表达式为Sn = n * a + (n(n-1)/2) * d。

通过解析以上两道题目，我们可以看到高等数学（一）题目的求解方法并不是单一的，需要根据具体问题的不同选择相应的解题技巧和数学公式。

因此，在复习高等数学（一）的过程中，我们需要掌握不同的解题方法，并且灵活应用于实际题目中。

2019年成人高考专升本考试高等数学(一)真题与标准答案解析

2019年成人高考专升本考试高等数学（一）真题(总分：150.00，做题时间：150分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当x→0时，x+x2+x3+x4为x的________。

（分数：4.00）A.等价无穷小√B.2阶无穷小C.3阶无穷小D.4阶无穷小解析：2.________。

（分数：4.00）A.-e2B.-eC.eD.e2√解析：3.设函数y=cos2x，则y'= ________。

（分数：4.00）A.2sin2xB.-2sin2x √C.sin2xD.-sin2x解析：y'= (cos2x)'=-sin2x·(2x)'=-2sin2x。

4.设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可导，f(x)>0，f(a)f(b)<0, 则f(x)在(a，b)零点的个数为________。

（分数：4.00）A.3B.2C.1 √D.0解析：由零点存在定理可知，f(x)在(a,b)，上必有零点.且函数是单调函数，故其在(a，b) 上只有一个零点。

5.设2x为f(x)的一个原函数，则f(x)=________。

（分数：4.00）A.0B.2 √C.x2D.x2+C解析：由题可知∫f(x)dx=2x+C，故f(x)=(∫f(x)dx)=(2x+C)'=2。

6.设函数f(x)=arctanx，则∫f'(x)dx=________。

（分数：4.00）A.-arctanx+CB.C.arctanx+C √D.解析：∫f'(x)dx= f(x)+C=arctanx+C。

7.则________。

（分数：4.00）A.l1> l2> I3√B.l2> I3> I1C.I3> I2> I1D.l1> I3> I2解析：在区间(0，1)内，有x2>x3>x4由积分的性质可知8.设函数z=x2e y，则________。

高等数学I本科类第阶段测试题

江南大学现代远程教育第一阶段测试卷考试科目:《高等数学》专升本第一章至第三章（总分100分）时间：90分钟__________学习中心（教学点）批次：层次：专业：学号：身份证号：姓名：得分：一、选择题 (每题4分，共20分)1. 函数y = 的定义域是 ( A ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 10lim(13)xx x →+ ( C) (a) e (b) 1 (c) 3e (d) ∞ 3.要使函数()f x x=在0x =处连续, 应给(0)f 补充定义的数值是( D ). (a) 1 (b)2(c)(d) 5 4. 设 sin 3x y -=, 则 y ' 等于 ( B ). (a)sin 3(ln 3)cos x x - (b) sin 3(ln 3)cos x x -- (c) sin 3cos x x -- (d) sin 3(ln 3)sin x x --5. 设函数 ()f x 在点 0x 处可导, 则 000(3)()lim h f x h f x h→+-等于 ( B ). (a) 03()f x '- (b) 03()f x ' (c) 02()f x '- (d) 02()f x '二.填空题(每题4分，共28分)6. 设 2(1)3f x x x -=++, 则 ()f x =__ x 2+3x+5 __.7. 2sin(2)lim 2x x x →-++=__1__. 8. 设 1,0,()5,0,1,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩, 则 0lim ()x f x +→=___1__.9. 设 ,0(),2,0x e x f x a x x -⎧≤=⎨+>⎩ 在点 0x = 处连续, 则常数 a =__0.5__ 10. 曲线 54y x -= 在点 (1,1) 处的法线方程为___y=（4/5）x+1/5__ 11. 由方程 2250xyx y e -+=确定隐函数 ()y y x =, 则 y '=__2xy 22e y +2y -2xy x （）___ 12. 设函数 2()ln(2)f x x x =, 则 (1)f ''=__3+2ln 2___三. 解答题(满分52分)13. 求 45lim()46x x x x →∞--. 答：14. 求01lim sin 3x x→. 答：15. 确定A 的值, 使函数 62cos ,0(),tan ,0sin 2x e x x f x Ax x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩在点 0x = 处连续。

课程：高等数学Ⅰ(专升本)试题和答案

课程：高等数学Ⅰ(专升本)--习题和答案1. (单选题) 若函数区间上连续,则在区间上函数一定存在最大值和最小值的是( )(本题3.5分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：B解析：得分：2. (单选题) 函数在区间(-1,1)内( )(本题3.5分)A、递减B、递增C、不增不减D、有增有减学生答案：未答题标准答案：D解析：得分：3. (单选题) 下列各对函数中表示同一函数的是( )(本题3.5分)A、与B、与C、与D、与学生答案：未答题标准答案：C解析：得分：4. (单选题) 当时,是( )(本题3.5分)A、无穷大B、无穷小C、有界函数D、无界函数学生答案：未答题标准答案：C解析：得分：5. (单选题) 下列定积分其值为零的是( )(本题3.5分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：A解析：得分：6. (单选题) 当时,和都是无穷小,下列变量中,当时,可能不是无穷小的是( )(本题3.5分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：D解析：得分：7. (单选题) 函数( )(本题3.5分)A、充分条件B、充分必要条件C、必要条件D、既非充分也非必要条件学生答案：未答题标准答案：C解析：得分：8. (单选题) 如果函数( )(本题3.5分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：C解析：得分：9. (单选题) 已知( )(本题3.5分)A、B、C、D、标准答案：B解析：得分：10. (单选题) 设函数,则当且时,( )(本题3.5分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：C解析：得分：11. (单选题) 下列函数在定义域内既是奇函数,又是无界函数的是( )。

(本题3.5分)A、B、C、D、标准答案：C解析：无.得分：12. (单选题) 当时,下列函数为无穷小量的是( )。

(本题3.5分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：B解析：无.得分：13. (单选题) 函数的间断点是( )。

专升本考试：2022高等数学一真题及答案(1)

专升本考试：2022高等数学一真题及答案(1)1、方程x 2+y 2-2z=0表示的二次曲面是（）（单选题）A. 柱面B. 球面C. 旋转抛物面D. 椭球面试题答案：C2、国际标准化委员会（1SO）、国际电工委员会（1Ec）等制定的针对产品和服务的质量及技术要求的标准是（）（单选题）A. 国家标准B. 国际公约C. 国际惯例D. 国际标准试题答案：D3、封口机按照封口方式的不同，额分为（）封口机。

（多选题）A. 手压式B. 脚踏式C. 热压式D. 熔焊式E. 液压式试题答案：C,D,E4、（）是入库商品堆存的操作及其方式、方法的总称。

（单选题）B. 翻垛C. 倒堆D. 堆码试题答案：D5、组织对人力资源的开发过程主要包括（）等环节。

（多选题）A. 招聘B. 专业定向C. 岗位培训D. 脱产培训试题答案：B,C,D6、在计算机中，bit含义是（）。

（单选题）A. 字B. 字长C. 字节D. 二进制位试题答案：D7、（）（单选题）A.B. ƒ(2x)+CC. 2ƒ(2x)+CD.试题答案：A8、GIS系统定位的精度取决于对信号传播（）的测定。

（单选题）B. 范围C. 频率D. 时间试题答案：D9、选择合作伙伴的评价指标体系设置原则有（）。

（多选题）A. 系统全面性B. 简明科学性C. 稳定可比性D. 灵活可操作性E. 距离相近性试题答案：A,B,C,D10、若y=1+cosx，则dy= （）（单选题）A. (1+sinx)dxB. (1-sinx)dxC. sinxdxD. -sinxdx试题答案：D11、在下拉菜单里的各个操作命令项中有一类命令项的右面标有省略号（…）这类命令项的执行特点是（）。

（单选题）A. 被选中执行时会要求用户加以确认B. 被选中执行时会弹出菜单C. 被选中执行时会弹出对话框D. 当前情况下不能执行试题答案：C12、（）的四个阶段首尾相接，不断循环，每一次循环都会有新的内容和要求，他把计划的编制、执行与控制有机地结合在一起，有利于提高计划管理的水平。

自考高数(一)试题及答案

自考高数(一)试题及答案自考高等数学（一）试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是基本初等函数？A. 正弦函数B. 常数函数C. 指数函数D. 绝对值函数答案：D2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间（-∞，-2）上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 不确定D. 非单调答案：B3. 微积分基本定理指出：A. 定积分可以转化为不定积分求解B. 不定积分是定积分的基础C. 定积分的值等于其原函数的不定积分的差值D. 所有连续函数都有原函数答案：C4. 曲线y = x^3在点（1，1）处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 2答案：C5. 以下哪个级数是发散的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. (1/2) + (1/4) + (1/8) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...答案：A6. 微分方程dy/dx = x^2 - y^2的解的形式是：A. y = x^2B. y = C/xC. y = x + CD. y = Cx^2答案：B7. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式的前两项是：A. 1 + xB. 1 - xC. 1 + x^2D. 1 + x + x^2答案：A8. 以下哪个选项是二元函数f(x, y) = x^2 + y^2的极值点？A. (0, 0)B. (1, 1)C. (-1, -1)D. (2, -2)答案：A9. 曲线积分∮(x^2 + y^2) ds 在圆周x^2 + y^2 = 1上的值是：A. 0B. 1C. 2πD. 4π答案：D10. 以下哪个选项是函数f(x) = sin(x)的傅里叶变换？A. 1/2B. 1/2δ(x - π)C. 1/2δ(x)D. δ(x - π)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim (x→0) (sin(x)/x) 的值是 _______。

专升本(高等数学一)-试卷106

专升本（高等数学一）-试卷106(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.（分数：2.00）A.2B.1D.0 √解析：解析：因x→∞时，而sin2x2.设f(x)=则（分数：2.00）A.B. √C.D.3.（分数：2.00）A.0B.1C.2D.+∞√解析：解析：因该极限属型不定式，用洛必达法则求极限．4.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f’(x)＜0，则下列结论成立的是（分数：2.00）A.f(0)＜OB.f(1)＞0C.f(1)＞f(0)D.f(1)＜f(0) √解析：解析：因f’(x)＜0，x∈(0，1)，可知f(x)在[0，1]上是单调递减的，故f(1)＜f(0)．5.曲线y=x 3 (x一4)的拐点个数为（分数：2.00）A.1个B.2个√C.3个D.0个解析：解析：因y=x 4一4x 3,于是y’=4x 3一12x 2，y"=12x 2一24x=12x(x一2)，令y"=0，得x=0，x=2；具有下表：由表知，函数曲线有两个拐点为(0，0)，(2，一16)．6.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫cosxf(sinx)dx等于（分数：2.00）A.F(cosx)+CB.F(sinx)+C √C.一F(cosx)+CD.一F(sinx)+C解析：7.（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：对于A选项，xsin 2x为奇函数，由积分性质知，=0；对于B选项，∫ -11|x|dx=2∫01 xdx=x 2 |1 =1；对于C选项，对于D选项，．故选A．8.（分数：2.00）A.过原点且与y轴垂直√B.不过原点但与y轴垂直C.过原点且与y轴平行D.不过原点但与y轴平行解析：解析：若直线方程为令比例系数为t，则直线可化为x 0 =y 0 =z 0 =0说明直线过原点。

又β=0．则y=0，即此直线在xOz内，即垂直于y轴，所以选A．9.设函数f(x，y)=xy+(x一 f y (1，0)等于（分数：2.00）A.0B.1 √C.2D.不存在解析：解析：因f(1．y)=y，故f y (1，0)=f’(1，y)| y=0 =1.10.（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.当x=1时，f(x)=x 3 +3px+q取到极值(其中q为任意常数)，则p= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）解析：解析：f'(x)=3x 2 +3p，f'(1)=3+3p=0，所以p=-1．12.设f(x)=∫ 0x |t|dt则f'(x)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：|x|）解析：解析：当x＞0时，当x＜0时，当x=0f'(0)=0，所以f'(0)=0，故f'(x)=|x|．13.设f’(x 2f(x)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令x 2 =t，则因此14.设f(x)是连续的奇函数，且∫ 01 f(x)dx=1，则∫ -10 f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：—1）解析：解析：f(x)是奇函数，则∫ -11 f(x)dx=0，因此∫ -10 f(x)dx=一∫ 01 f(x)dx=一1．15.设z=x y，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：yx y-1 dx+x y lnxdy）解析：解析：z=x y，则dz=yx y-1 dx+x y lnxdy．16.，y)dx交换积分次序，则有I= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）17.当p 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：＜0）解析：解析：收敛，必有p＜0，因如果p≥0，则当x＞118. 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：发散）19.ylnxdx+xlnydy=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(lnx) 2 +(lny) 2 =C）解析：解析：分离变量得积分得 (lnx) 2 +(lny) 2 =C．20.y"一2y’一3y=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e -x +C 2 e 3x）解析：解析：由y"一2y’一3y=0的特征方程为r 2—2r一3=0．得特征根为r 1 =3，r 2 =一1，所以方程的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 3x．三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.设y=y(x)是由方程2y-x=(x—y)ln(x—y)确定的隐函数，求dy．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程两边对x求导有(注意y是x的函数))解析：22.已知曲线y=ax 4 +bx 3 +x 2 +3在点(1，6)处与直线y=11x-5相切，求a，b．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4，(1) 再y’=4ax 3+3bx 2 +2x，且曲线在点(1，6)处与y=11x一5相切，所以y'|x=1 =4a+3b+2=11， (2) 联立(1)(2)解得a=3，b=一1．)解析：23.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：原式两边对x)解析：（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：25.求方程y’=e 3x-2y满足初始条件y| x=0 =0的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：26.dz．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：27.求2一y 2 )dxdy，其中D是由y=x，y=0，x 2 +y 2 =1在第一象限内所围的区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：积分区域D如图所示，据被积函数特点(含x 2+y 2)，及积分区域的特点(扇形)，该积分易用极坐标计算．)解析：28.一艘轮船以20海里／小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船在其正北82海里处以16海里／小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设经过t小时两船相距S海里，则即S 2=(82—16t) 2+(20t) 2，所以(S 2)’=2.(82—16t).(一16)+2×20t.20，令(S 2)’=0，得驻点t=2，即经过两小时后两船相距最近．) 解析：。

大学高等数学第一册考试试题答案详解

大学高等数学第一册考试试题答案详解【大学高等数学第一册考试试题答案详解】一、选择题：1. 答：B解析：首先应用导数求解微分方程，得到特解y=e^x。

再将y=e^x 代入$x^2y''+xy'-y=0$式中，可以得到等式左边为0，故选项B正确。

2. 答：D解析：根据导数的定义得出，当x=1时，函数f(x)的导数为0，由此可推知f(x)在x=1处取极值。

又根据极值点的判定条件，当导数变号时，极值达到。

从而得出答案为选项D。

3. 答：C解析：由公式算得h(t)=1−0.2t，比较上下限得到兴趣区间为(0,5]，同时根据积分的定义算得兴趣总量为1.2。

4. 答：A解析：利用二重积分计算可以得出此立体体积为选项A中的数字。

5. 答：D解析：根据函数与其导函数的关系，对f(-3)进行积分，可以得到选项D的答案。

二、填空题：1. 答：$-1/4$解析：利用分部积分法计算，并带入上下限，得到此结果。

2. 答：2解析：根据积分的性质计算得到积分结果为2。

3. 答：27解析：由多重积分公式计算得积分结果为27。

4. 答：0.5解析：利用积分求解二次方程得出结果为0.5。

5. 答：$\arcsin(2/3)+C$解析：通过求导验证可得到该结果。

三、解答题：1. 答：解释二重积分与定积分的关系。

解析：二重积分是定积分的推广，用于计算平面区域上的面积，其中积分的上下限分别为该区域的y轴边界函数和x轴边界函数。

定积分则是对一个区间上的函数进行求和，其中积分的上下限为该区间的起点和终点。

2. 答：证明洛必达法则在极限存在的条件下成立。

解析：洛必达法则用于解决极限存在但无法直接求解的情况。

在证明洛必达法则成立时，可以通过应用导数定义以及泰勒级数展开等方法进行推导，最终得到洛必达法则的条件以及成立的证明过程。

四、应用题：1. 答：$\frac{1}{6}\pi^3$解析：根据旋转体体积的计算公式，可以得到此结果。

高数(一)试题(1)参考答案

高等数学（一）（第一章和第二章练习题）参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ） A.x 2+2x B.x 2-2x C.-x 2+2x D.-x 2-2x解：设：1cos x t -= c o s1x t ∴=+ ()()()21c o s 1c o s 1c o s 1c o s f x x x x -=-=+- ()()2112ft t t t t ∴=++=+ ()22f x x x =+ 2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ） A.2x 2B.x2xC.x 2xD.22x解：()2f t t = ()()22[()]222xx xf x f ϕ===3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)解：110x -> 10x x-> 01x ∴<< ()0,1x ∴∈ 4．设f(x)=⎩⎨⎧>≤0x ,x 0x ,x ，则f(x)在点x=0处（ D ）A ．无定义B ．无极限C ．不连续D ．连续解：()00f = ()0lim lim 0x x f x x --→→== ()0lim lim 0x x f x ++→→==()0l i m 0x f x →∴= ()()0l i m 0x fx f →= 0x ∴=处连续5.函数2x x y -=的定义域是（ D ） A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]解：20x x -≥ ()10x x ∴-≥ []0,1x ∴∈ 6.∑∞==1n n)23ln (（） A.23ln 3ln - B. 3ln 23ln - C. 3ln 21-D. 3ln 2)3(ln n-解：此为等比级数，1ln 32a =ln 32q =11l n 3l n 3l n 32()212ln 312n n a q ∞====---∑ 7.设函数=-=)x 2(f 1x x)x 1(f ，则（ A ）A.x211- B.x 12- C.x2)1x (2- D.x)1x (2- 解：设1t x= 1x t ∴= ()11111t f t t t∴==-- ()1212f x x ∴=-8.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（） A.x+3 B.x-3 C.2xD.-2x解：()()12;12f a b f a b -=-+==+=- 2;0a b ∴=-= ()2f x x∴=- 9.lim()1xx x x →∞=+（ B ） A.eB.e -1C.∞D.1解：111lim()lim 111xxx x x e x e x -→∞→∞⎛⎫ ⎪=== ⎪+ ⎪+⎝⎭ 10.函数)1x )(2x (3x y -+-=的连续区间是（ D ）A.),1()2,(+∞---∞B.),1()1,(+∞---∞C.),1()1,2()2,(+∞-----∞D.[)+∞,3解：()()30210x x x -≥⎧⎪⎨+-≠⎪⎩3x ∴≥ [)3,x ∴∈+∞11.设函数⎩⎨⎧-=-≠++=1x a 1x )1x ln()1x ()x (f 2 ，　，在x=-1连续,则a=（ D ）A.1B.-1C.2D.0解：1x =- 处连续， ()()11lim x f f x →-∴-=()()()()()211112122ln 11lim 1ln 1limlim2lim 101111x x x x x x a x x x x x →-→-→-→-⋅++∴=++===-+=-++12.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ） A.x 2-6x+5 B.x 2-5x+6 C.x 2-5x+2 D.x 2-x 解：设1x t += 1x t =- ()()()22131256f t t t t t =---+=-+ ()256f x x x =-+13．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（） A ．[a,3a] B ．[a,2a] C ．[-a,4a]D ．[0,2a]解：0303x a a x a a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩ 324a x aa x a-≤≤⎧∴⎨≤≤⎩ 2a x a ≤≤ [],2x a a ∴∈14．=→xsin x 1sinx lim20x （ D ）A ．1B ．∞C ．不存在D ．0解：0,sin x x x →∴ 原式= 2001sin1limlim sin 0x x x x x x x→→==15．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ） A ．|x|≤1 B ．|x|<1 C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<1解：2010x >-≥⎪⎩ 011x x ≠⎧∴⎨-≤≤⎩ 01x ∴<≤16．0x lim →x 2sin2x1=（ A ）A ．0B ．1C ．-1D ．不存在解：0x lim →x 2sin 2x 1=017.函数y=1-cosx 的值域是（ C ） A.[-1,1] B.[0,1] C.[0,2]D.(-∞,+∞)解：cos 1,110x y ==-=；()cos 1,112x y =-=--= 02y ≤≤ []0,2y ∴∈ 18.设2a 0π<<，则=→x x sin lim a x （ D ）A.0B.1C.不存在D.aasin 解：=→x x sin lima x sin aa19.下列各式中，正确的是（ D ）A.e )x 11(lim x 0x =++→B.e )x 1(lim x 10x =-→ C.e )x11(lim x x -=-∞→D.1x x e )x11(lim -∞→=-解：()1111lim(1)lim 1x x x x e x x -⋅--→∞→∞⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭20．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ） A ．x(x-1) B ．x(x+1) C ．(x-1)2-(x-1) D ．(x+1)(x-2)解：设1x t -= 1x t =+ ()()()()22111f t t t tt t t ∴=+-+=+=+()()1fx x x =+21．设f(x)=ln4,则0x lim →∆=∆-∆+x)x (f )x x (f （ C ）A ．4B ．41C ．0D ．∞解：0x lim→∆=∆-∆+x )x (f )x x (f 0ln 4ln 4lim0x x∆→-=∆ 22.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ） A.[0，2] B.[0，16] C.[-16，16]D.[-2，2]解：204x ≤≤ 24x ≤ 22x -≤≤ []2,2x ∴∈-23.xx x 1lim→=（ C ）A.0B.1C.-1D.不存在解：11limlim 1x x x xx x→→== 24.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ） A.t 2+1 B.t 4+2 C.t 4+t 2+1 D. t 4+2t 2+2解：()21f x x =+ ()()2224211122ft t t t ∴+=++=++25.数列0，31，42，53，64，…的极限是（） A.0 B.n2n - C.1 D.不存在解：11n n x n -=+ 111l i m l i m l i m1111n n n n n n x n n→∞→∞→∞--∴===++ 26．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x解；设1x t -= 1x t =+ ()()3321133f x t t t t ∴=+-=++()3233f x x x x ∴=++ 27．下列极限存在的是（ D ） A ．11lim-→xx eB ．xx e 1lim → C ．x x sin lim ∞→D ．221limx x x -∞→解：2221limlim 1111x x x x x →∞→∞==--- 28.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞)解：()0,ln1x f x ==；()1,ln 25x f x ==； ()ln1ln 2f x ≤≤ 29.设函数g (x)在x = a 连续而f (x) = (x-a)g(x),则'f (a) =（ D ） A.０ B.g '(a) C.f (a)D.g (a)解：()()()()()()()()f x x a g x x a g x g x x a g x ''''=-+-=+- ()()()()()f ag a a a g a g a''=+-= 30．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,11)(x x xx x f ,则x =0是f (x )的（ A ） A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．无穷间断点 D ．连续点解：()00f =()000111lim 2x x x x f x →→→→====()()0l i m 0x fx f →≠ 但极限存在，此为可去间断点31.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ） A.(-1,1) B.[-1,1] C.[-1,0] D.[0,1]解：1211x -≤-≤ 022x ∴≤≤ 01x ≤≤ []0,1x ∴∈ 32.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B )A.(a a 2,1)B.（a a 1,2) C.(a ，2a)D.(a a,2]解：12ax << 0a < 12x a a ∴>> 21,x a a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭33．函数f (x )=2211⎪⎭⎫⎝⎛--x 的定义域为（ B ）A ．[]1,1-B ．[]3,1-C ．(-1,1)D ．(-1,3)解：21102x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ 2112x -⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭1112x --≤≤ 212x -≤-≤ 13x -≤≤ []1,3x ∴∈-34．设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<02302sin 2 x k x x x x x在x =0点连续，则k =（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：()0f k = ()00sin 2lim lim2x x xf x x→→== 0x = 处连续()()00lim x f f x →∴= 2k ∴=35.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数解：1sin 1x -≤≤ 12s i n 3x ∴≤+≤ 22212s i n 303111x x x x +∴≤≤≤≤+++ 36．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ） A ．(-1,+∞) B ．(0,+∞) C ．(1,+∞) D ．(0,1)解：010x x >⎧⎨->⎩ 1x ∴> ()1,x ∈+∞37．极限=→xxx 62tan lim0（ B ）A ．0B ．31C ．21D ．3解：0,tan 22x x x → 00tan 221limlim 663x x x x x x →→==二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.解；设1x t += 1x t =- ()()21f t t ∴=- ()()21f x x ∴=-2．无穷级数 +++++n 31313112的和等于________.解：此为等比级数，111,3a q ==1211113113331213n a q +++++===-- 3.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________. 解：212212x x -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩ 1331x x -≤≤⎧∴⎨-≤≤⎩11x -≤≤ []1,1x ∴∈-4.=-++∞→]x ln )2x [ln(x lim x ___________.解：22lim [ln(2)ln ]lim ln lim ln 1x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+⎛⎫⎛⎫+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222lim ln 1lim ln 1ln 2xxx x e x x ⋅→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．函数y=x ln ln 的定义域是 . 解：0ln 0x x >⎧⎨>⎩1x x >⎧⎨>⎩ 1x ∴> ()1,x ∴∈+∞ 6．nn 999.0lim ⋅⋅⋅∞→= . 解：1lim0.999lim 1110n n n n→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅=-= ⎪⎝⎭7．=∞→x21sinx 3lim x . 解：1110,0,sin 222x x x x →∴→∴ 113l i m 3s i n l i m 3222x x xx x x →∞→∞=⋅= 8.设⎩⎨⎧<-≥+=0x ,1x 0x ,1x )x (f ，则f (-1)= ___________.解：()1112f -=--=-9.=-+∞→)n 1n (n lim n ___________.解：n n =1l i l2n n n→∞====10.2x2xlim2x--→= ___________.解：()()()2222lim2x x xx xx→→→--==-2l i22x→=11.设函数1x2y+=，其反函数的定义域是________________.解：反函数的定义域是原函数的值域；而原函数的值域为0y≥其反函数的定义域是()0,+∞12.=--+∞→)nnn3n(limn________________.解：nn→∞=4l i l211 n n nn n+-=====+13.在一个极限过程中，变量u的极限为A的充分必要条件是u=A+α，其中α是极限过程中的________________.解：无穷小14．若f(x+1)=x+cosx则f(1)=__________.解：设11x+=0x=()10c o s01f=+=15．.__________1n5n)n1(lim233x=++-∞→解：()()33333323233331111(1)lim lim lim151515111n n nnn nnn nn nn nn n n→∞→∞→∞⎛⎫--⎪--⎝⎭====-++++++16．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.解：()1ln 2y x -=+ 12y x e -+= 12y x e-∴=- 反函数是12x y e -=-17. =∞→xxarctan limn _______.解：arctan 1limlim arctan 0x x x x xx →∞→∞=⋅=18.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。

成人高考专升本高等数学(一)全真模拟试题及答案解析③

成人高考专升本高等数学（一）------------------------全真模拟试题及答案解析③1(单选题)若则是( )(本题4分)A 2B -2C -1D 1标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了一元函数的导数及其极限的知识点。

【应试指导】因为2(单选题)若则等于（）(本题4分)A 2x+2B x（x+1)C x(x-1)D 2x-1标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。

【应试指导】因为故则3(单选题)设函数f（x）满足且f（0）=0，则f(x)=（）。

(本题4分)ABCD标准答案： D解析：【考情点拨】本题考查了已知导函数求原函数的知识点。

【应试指导】由4(单选题)函数是（）(本题4分)ABCD标准答案： D解析：【考情点拨】本题考查了函数的极值的知识点。

【应试指导】因于是令得驻点（-4，1）。

又因故对于点（-4，1），A=2，B=-1，C=2，B^2-AC=-3<0，且A>0，因此z=f(x,y)在点（-4，1）处取得极小值，且极小值为f(-4,1)=-1。

5(单选题)当x→0时，与x等价的无穷小量是( )。

(本题4分)ABCD标准答案： B解析：【考情点拨】本题考查了等价无穷小量的知识点。

【应试指导】对于选项A，故是在x→0时的比x低价的无穷小；对于选项B，故ln(1+x)是x→0时与x等价的无穷小；对于选项C，故是x→0时与x同阶非等价的无穷小；对于选项D，故是x→0时的比x高阶的无穷小。

6(单选题)使成立的f(x)为（)。

(本题4分)A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 无法确定敛散性标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了反常积分的敛散性的知识点。

【应试指导】对于选项A，故此积分收敛，且收敛于1；对于选项B，不存在；对于选项C，故此积分收敛，但收敛于；对于选项D，故此积分收敛，但收敛于故选A。

7(单选题)级数是（）。

(本题4分)ABCD标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了级数的绝对收敛的知识点。

高等数学I(本科类)第1阶段考试试题及答案

江南大学现代远程教育第一阶段测试卷考试科目:《高等数学》专升本第一章至第三章（总分100分）时间：90分钟__________学习中心（教学点）批次：层次：专业：学号：身份证号：姓名：得分：一、选择题 (每题4分，共20分)1. 函数y = 的定义域是 ( A ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c) [2,6) (d)[2,6]- 2. 110lim(1)x x x +→+ A(a) e (b) 1 (c) 3e (d) ∞3. 要使函数sin 3()x f x x=在 0x = 处连续, 应给(0)f 补充定义的数值是 ( C ). (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 4. 设 23(21)y x =+, 则 y ' 等于 ( B ).(a) 2212(21)x x -+ (b) 2212(21)x x + (c) 222(21)x x + (d) 226(21)x x +5. 设函数 ()f x 在点 0x 处可导, 则 000()(3)lim h f x f x h h→-+ 等于 ( A ). (a) 03()f x '- (b) 03()f x ' (c) 02()f x '- (d) 02()f x '二.填空题(每题4分，共28分)6. 设 (4)3f x x =+, 则 ()f x =___________.7. 2sin[2(2)]lim 2x x x →-++=__2___. 8. 设 12,0,()5,0,34,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩, 则 0lim ()x f x +→=___3____. 9. 设 2,0(),4,0x e x f x a x x -⎧≤=⎨+>⎩ 在点 0x = 处极限存在, 则常数 a =______ 10. 曲线 1y x -= 在点 (1,1) 处的法线方程为__11. 由方程 250y xy e -+=确定隐函数 ()y y x =, 则 y '=________12. 设函数 ()ln cos f x x =, 则 (0)f ''=___-1_____三. 解答题(满分52分)13. 求 78lim()79x x x x →∞--.14. 求 301lim sin 3x x e x→-.15. 确定A 的值, 使函数 5cos ,0(),sin ,02x e x x f x Ax x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩在点 0x = 处极限存在。

高等数学I(上)复习题共7套(答案)

x)
1 1 lim 1 x lim
x
lim 1 1
x0 2 x
x0 2x(1 x) x0 2(1 x) 2
12．
1
e
1 x dx .
0
解：设 1 x t, 则 x 1 t2, dx 2tdt, 且 x 0 时， t 1 ； x 1时， t 0 ，
1 e
1 x dx
证. 对任意 x ，由于 f ( x) 是连续函数，所以
F ( x x) F ( x)
lim
x 0
x
lim f ( ) x0
xx f t dt x f t dt
lim 0
0
x 0
x
2
xx f t dt
lim x
x 0
x
f ( )x lim
x0 x
其中介于 x 与 x x 之间，由 lim f ( ) f ( x) ，可知函数 F( x) 在 x 处可导，且 x0
所以
dy cos π π sin π 1 ． dx π 1 sin π π cos π 1 π
法二： dy cos (sin )d cos sin d ．
dx 1 sin (cos )d 1 sin cos d ．
5
dy
dy dx
d dx
cos sin ; 1 sin cos
0 ，驻点 x
f (0) .
在 t 0 两侧， dy 变号，故驻点是函数 y y( x)的极值点。 dx
1
（2）
d2 y dx 2
dt dt
1 dx
1 0 f (t)
dt
，曲线 y y( x)没有拐点.

本科高等数学练习题(I)(含答案)

x x

. . . .
2． sin 2 x cos xdx 4． cos 2 x sin xdx 6． cos 4 x sin xdx 8．

. . . .

ln x dx x
二．解答题 1．求 e (1
x

ex x
)dx .
2．求
ex e x e x dx .
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第一章
一．填空题
函数与极限
x2 1 x 1 x 3 1 3x 2 5 x 1 2． lim x 5 x 2 7 x 3 3x 3 5 x 2 7 3． lim . x 4 x 3 x 5 3 x 2 5． lim 3 x 5 x 3 x 2 7 x 5 2n 2 3n 7 7． lim 3 n n 5n 2 6 x 3 9． lim 1 x x
x dx . 2x 9

4
0
3
1 dx . 2x 1
x 1 x dx .Fra bibliotek0
8
0
7．计算

0
8．计算
4
x2 2x 1
dx .
9．计算

0
1 cos 2 x dx .
4
10．计算 12．计算 14．计算

4
0 1
e
x
dx .
11．计算 13．计算

0
e
e
2 x 1
dx .

高等数学(一)本科-练习题 (含答案)

《高等数学Ⅰ》练习题一、单项选择题(1) f(x)在x 0连续是0)(lim x x x f → 存在的（）。

A.必要条件B.充分条件C.充要条件D. 无关条件(2) x→∞时，f(x)=)1(sin x 3cosx 是21x的（）。

A.等价无穷小 B.高阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D. 低阶无穷小(3) f(x 0+0)与f(x 0-0)存在且相等，是)(lim 0x f x x →存在的（）。

A.必要条件 B.充分条件 C. 无关条件D. 充要条件(4) f +(0)=f -(0)=a ，则xx f x f x x 2)()2(lim 0-→ =（）。

A. 2a B. 0 C. a D. a /2(5) f(x)在x 0连续是f’(x 0)存在的（）。

A.必要条件B.充分条件C.充要条件D. 无关条件(6) 若f(x)在x 0取得极小值，则f(x)在x 0必然满足（）。

A. 在x 0连续B. f’(x 0)=0C. f’(x 0)=0且f 〃(x 0)>0D. f’(x 0)=0或f’(x 0)不存在(7) 在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的函数是（）。

A. f(x)=|x|，x ∈[-1,1]B. f(x)=32)1(-x ，x ∈[0,9]C. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=>0,20,sin x x x x ，x ∈[0,2π]D. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=>+0,10,)1ln(x x x x ，x ∈[0,1] (8) 若f(x)可微，下列各式中，不成立的是（）。

A. f(x)=f(0)+f’(0)x+o(x)B. ln (1+x 2)≈x , |x|<<1C. e x ≈x, |x|<<1D. f(2a+△x)-f(2a)≈f’(2a)△x, |△x|<<1(9) 计算积分⎰+dx x a 22时应作变量代换（）。

《高等数学1(一)》课程考试试卷A及答案

《高等数学1（一）》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意：1、本试卷共3页； 2、考试时间:120分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方。

一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分，共20分)1．与函数2()f x ln x =相同的函数是[ C ]. A ．lnx B ．21()2ln x C ．lnx D ．ln x2．若(1)(2)(3)(4)(5)lim (32)x x x x x x x αβ→∞-----=-，则α与β的值为[ D ]. A ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C ．511,3αβ== D ．515,3αβ==3．设函数()y f x =在点0x 处可导，dy 为()f x 在0x 处的微分，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时，极限0limx y dyx∆→∆-∆等于[ B ].A ．－1B ．0C ．1D ．∞4．若()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在B ．0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在C ．0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D ．0()()lim h f a f a h h→--存在5．已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ].A ．1,1a b ==B ．0,a b R =∈C ．,0a R b ∈=D ．,a R b R ∈∈6．若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则下列结论中正确的是[ B ].A ．3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点B ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极小值点C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点D ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极大值点7．设1()1f x x =-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ C ]. A ．11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C ．12,(01)(1)n n x x θθ++<<-D ．11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8．若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于[ D ]. A ．sin 2cos 2x x x C ++ B ．sin 2cos 2x x x C -+C ．1sin 2cos 22x x x C -+ D ．1sin 2cos 22x x x C ++9．若非零向量,,a b c满足0a b ⋅= 与0a c ⨯= ，则b c ⋅ 等于[ A ].A ．0B ．－1C ．1D ．310．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ C ].A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直二．填空题(每小题2分，共10分)1．一质点作直线运动，其运动规律为426s t t t =-+，则速度增加的时刻t = 1 . 2．若21arctan (1)2y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . 3．已知21adx x π+∞-∞=+⎰，则a = 1 .4．已知()xf x e =，则()f lnx dx x'=⎰ x C + . 5．设向量,,m n p 满足0m n p ++=，且6m = ，8n = ，10p = ，则m n n p p m ⨯+⨯+⨯=144 .三．求解下列各题（每小题5分，共10分)阅卷人得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学试卷教学班号序号班级学号姓名密封线1．11lim(1)21n n n +→∞-+解：原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2=(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ 41/2e -= 52．20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解：原式=203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=223cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题（每小题6分，共12分)1．若方程arctan 1xyy e =+确定了y 是x 的函数，求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xyy y e y x y e+'=-+ 4 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e +=-+ 62．设参数方程21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数，求22d ydx .解：sin 2dy tdx t-= 3 222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt-= 6五．求解下列各题（每小题6分，共18分)1．222()lnx dx xlnx +⎰解：原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ 42C xlnx-=+ 6 2．222max{,}x x dx -⎰解：原式=0122221x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5=11/2 63．设21sin ()x tf x dt t =⎰，求10()xf x dx ⎰解：21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ 2221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. （本题10分）y阅卷人得分阅卷人得分阅卷人得分已知星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩如右图所示，其中0a >， a 1）计算星形线的全长； a - 0 a x 2）求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解：1）长度 2224()()dy dx L dt dt dtπ=+⎰2 a - 222249sin cos a t tdt π=⎰46a = 52）面积024202443sin cos a S ydx a t tdt π==-⎰⎰ 82422012sin cos at tdt π=⎰238a π= 10七. （本题7分）已知某直角三角形的边长之和为常数，求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ，其和为常数k ，所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=，则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-，且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=- 有驻点222x k -= 5 则22max132241282S k k -==+为所求 7八. （本题7分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321x y zL +-==-，设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= 2令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --= 为所求直线的方向向量得到所求直线为：213214x y z ---==- 7九. （本题6分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根，并证明你的结论. 证：记0()2()1x g x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->，即在闭区间[0,1]上单调增加 4 故02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根 6阅卷人得分阅卷人得分阅卷人得分。

大一上高等数学(I )试题及答案

高等数学（I ）一．填空题（每小题5分，共30分）1. 已知0)(2sin lim 30=+>-x x xf x x , 则20)(2lim xx f x +>-= 。

2. 曲线x y ln =上曲率最大的点为__________________。

3. 极限]cos 1[cos lim x x x -+∞>-的结果是_________。

4. 极限 20arcsin lim ln(1)x x x x x →-+＝_____________。

5. 曲线)0()1ln(>+=x xe x y 的斜渐近线为（）。

6. 当1→x 时，已知1-x x 和k x a )1(-是等价无穷小，则a =_____，.___=k二、计算题（每小题5分，共20分） 1. x x x x e sin 1023lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->-2.dx e x x 32⎰ 3.dx x ⎰+cos 2114. 22(tan 1)x e x dx +⎰三．(6分)已知曲线)(x y y =的参数方程⎩⎨⎧++==)41ln(2arctan 2t t y t x ，求22dx y d dx dy ，。

四．（8分）设xx x f )1ln()(ln +=，求⎰dx x f )(五．（10分）设)(x f 31+=x ，把)(x f 展开成带Peano 型余项的n 阶麦克劳林公式，并求).0()50(f六（12分）．已知)(x f 是周期为5的连续函数，它在0=x 的某邻域内满足关系式)sin 1(x f +－)(8)sin 1(3x x x f α+=-，其中)(x α是当0→x 时比x 高阶的无穷小，且)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点))6(,6(f 处的切线方程。

七．（14分）设函数)(x f 在],[b a 上具有连续导函数)(x f '，且0)()(==b f a f ，证明：2)(4)(a b M dx x f b a -≤⎰，其中|)(|],[x f Max M b a x '=∈。

2021年高等数学一(专升本)考试题库(含答案)

2021年高等数学一（专升本）考试题库（含答案）单选题1.A、AB、BC、CD、D答案：B解析：2.设．f(x)在[a，b]上连续，x∈[a，b]，则下列等式成立的是（）A、AB、BC、CD、D答案：B解析：由可变限积分求导公式知选B。

3.A、x+yB、xC、yD、2x答案：D解析：4.A、-1/2B、0C、1/2D、1答案：B解析：5.设f(x)在点xo的某邻域内有定义，（）A、AB、BC、CD、D答案：A解析：6.A、-2B、-1C、0D、2答案：D解析：由复合函数链式法则可知2，应选D．7.下列方程为一阶线性微分方程的是()．A、AB、BC、CD、D答案：C解析：一阶线性微分方程的特点是方程中所含未知函数及其一阶导数都为一次的．因此选C．8.A、1B、2C、3D、4答案：A解析：所给级数为不缺项情形，an=1，an+1=1因此9.在空间直角坐标系中方程y2=x表示的是（）A、抛物线B、柱面C、椭球面D、平面答案：B解析：空间中曲线方程应为方程组，故A不正确；三元一次方程表示空间平面，故D不正确；空间中，缺少一维坐标的方程均表示柱面，可知应选B．10.设幂级数在x=2处收敛，则该级数在x=-1处必定()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不能确定答案：C解析：11.设f(x)有连续导函数，（A、AB、BC、CD、D答案：A解析：本题考核的是不定积分的性质：“先求导后积分作用抵消”．前后两种运算不是对同一个变量的运算，因此不能直接利用上述性质．必须先变形，再利用这个性质．12.A、0B、1C、3D、6答案：C解析：所给问题为导数定义的问题，由导数定义可知故选C．【评析】导数定义的问题通常考虑y=f(x)在点x0处导数的定义的标准形式与等价形式13.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：14.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：由不定积分基本公式可知15.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：16.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为（）A、2B、-2C、3D、-3答案：C解析：点(-1，0)在曲线y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由导数的几何意义可知，曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3，所以选C．17.A、5yB、3xC、6xD、6x+5答案：C解析：18.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：先依所给积分次序的积分限写出区域D的不等式表达式画出积分区域D的图形如图5-2所示．上述表达式不是题目中选项中的形式．如果换为先对y积分后对x积分的积分次序，则区域D可以表示为可知应选C．说明此题虽然没有明确提出交换二重积分次序，但是这是交换二重积分次序的问题．19.微分方程(y′)2=x的阶数为()．A、1B、2C、3D、4答案：A解析：所给微分方程中所含未知函数的最高阶导数为1阶，因此方程阶数为1，故选A．20.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：21.A、x2+cosyB、x2-cosyC、x2+cosy+1D、x2-cosy+1 答案：A解析：22.曲线y=x3-6x+2的拐点坐标（）A、（0,4）B、（0,2）C、（0,3）D、（0,-2）答案：B23.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)>0，则f(x)在(0，1)内（）A、单调减少B、单调增加C、为常量D、不为常量，也不单调答案：B解析：由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加．因此选B．24.A、AB、BC、CD、D答案：A解析：25.设y=f(x)为可导函数，则当△x→0时，△y-dy为△x的（）A、高阶无穷小B、等价无穷小C、同阶但不等价无穷小D、低阶无穷小答案：A解析：26.设平面π1：2x+y+4z+4=0,π2：2x-8y+z+1=0,则平面π1与π2的位置关系是（）A、相交且垂直B、相交但不垂直C、平行但不重合D、重合答案：A解析：平面π1的法线向量，n1=(2，1，4)，平面π2的法线向量n2=(2，-8，1)，n1·n2=0．可知两平面垂直，因此选A．27.过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程为()．A、x+y+z=1B、2x+y+z=1C、x+2y+z=1D、x+y+2z=1答案：A解析：设所求平面方程为．由于点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，将它们的坐标分别代入所设平面方程，可得方程组故选A．28.微分方程y′-y=0的通解为()．A、y=ex+CB、y=e-x+CC、y=CexD、y=Ce-x答案：C解析：所给方程为可分离变量方程．29.微分方程yy'=1的通解为（）A、AB、BC、CD、D答案：D解析：30.A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但不等价无穷小D、等价无穷小答案：B解析：故2x+x2是比x2低阶的无穷小，因此选B．31.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：32.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：解法l由于当故选D．解法2故选D．33.A、过原点且平行于X轴B、不过原点但平行于X轴C、过原点且垂直于X轴D、不过原点但垂直于X轴答案：C解析：将原点(0，0，O)代入直线方程成等式，可知直线过原点(或由34.A、1/3B、1C、2D、3答案：D解析：解法1由于当x一0时，sinax～ax，可知故选D．解法2故选D．35.A、1-sinxB、1+sinxC、-sinxD、sinx答案：D解析：y=2-cosx，则y'=2'-(cosx)'=sinx．因此选D．36.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：37.曲线Y=x-3在点(1，1)处的切线的斜率为()．A、-1B、-2C、-3D、-4答案：C解析：点(1，1)在曲线．由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为-3，因此选C．38.A、AB、BC、CD、D答案：D 解析：39.A、AB、BC、C答案：B解析：40.在空间直角坐标系中，方程x2+z2=z的图形是（）A、圆柱面B、圆C、抛物线D、旋转抛物面答案：A解析：线为圆、母线平行于y轴的圆柱面．41.下列不等式成立的是（）A、AC、CD、D答案：B解析：在[0，1]上，x2≥x3，由定积分的性质可知选B．同样在[1，2]上，x2≤x3，可知D不正确．42.设x是f(x)的一个原函数，则f(x)=A、AB、BC、CD、D答案：C解析：x为f(x)的一个原函数，由原函数定义可知f(x)=x'=1，故选C．43.A、0B、1C、eD、e2答案：B解析：为初等函数，且点x=0在的定义区间内，因此，故选B．44.A、cos(x+y)B、-cos(x+y)C、sin(x+y)D、-sin(x+y)答案：B解析：45.A、2dx+3y2dyB、2xdx+6ydyC、2dx+6ydyD、2xdx+3y2dy答案：C解析：46.等于()．A、sinx+CB、-sinx+CC、COSx+CD、-cosx+C答案：D解析：由不定积分基本公式可知．故选D．47.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：lim{x→0}sin(x^2+5x^3)/x^2=lim{x→0}(x^2+5x^3)/x^2=lim{x→0}(1+ 5x)=148.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：由于f'(2)=1，则49.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：50.A、6xarctanx2B、6xtanx2+5C、5D、6xcos2x答案：C解析：51.A、AB、BC、CD、D答案：D52.A、1B、2C、x2+y2D、TL答案：A解析：53.A、sinx+CB、cosx+CC、-sinx+CD、-COSx+C答案：A解析：54.设y=2^x，则dy等于()．A、x2x-1dxB、2x-1dxC、2xdxD、2xln2dx答案：D解析：南微分的基本公式可知，因此选D．55.设f(x)在点x0处可导，（）A、4B、-4C、2D、-2答案：D解析：因此f'(x0)=-2，可知选D．56.设区域D={(x，y)|-1≤x≤1，-2≤y≤2)，A、0B、2C、4D、8答案：A解析：积分区域关于y轴对称，被积函数xy为X的奇函数，可知57.下列命题中正确的为（）A、若xo为f(x)的极值点，则必有，f'(xo)=0B、若f'(xo)=0，则点xo必为f(x)的极值点C、若f'(xo)≠0，则点xo必定不为f(x)的极值点D、若f(x)在点xo处可导，且点xo为f(x)的极值点，则必有f'(xo)=0答案：D解析：由极值的必要条件知D正确．Y=|x|在x=0处取得极值，但不可导，知A 与C不正确．y=x3在xo=0处导数为0，但Xo=0不为它的极值点，可知B不正确．因此选D．58.A、xyB、yxyC、(x+1)y1n(x+1)D、y(x+1)y-1答案：C解析：59.设二元函数z=xy，则点Po(0，0)（）A、为z的驻点，但不为极值点B、为z的驻点，且为极大值点C、为z的驻点，且为极小值点D、不为z的驻点，也不为极值点答案：A解析：可知Po点为Z的驻点．当x、y同号时，z=xy>0；当x、y异号时，z=xy<0．在点Po(0，0)处，z|Po=0．因此可知Po不为z的极值点．因此选A．60.设函数f(x)=COS2x，则f′(x)=()．A、2sin2xB、-2sin2xC、sin2xD、-sin2x答案：B解析：由复合函数求导法则，可得故选B．61.A、AB、BC、CD、D答案：A解析：62.A、f(x)B、f(x)+CC、f/(x)D、f/(x)+C答案：A解析：由不定积分的性质“先积分后求导，作用抵消”可知应选A．63.A、2x2+x+CB、x2+x+CC、2x2+CD、x2+C答案：B解析：64.A、0B、cos2-cos1C、sin1-sin2D、sin2-sin1答案：A解析：由于定积分存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选A．65.A、e-1B、e-1-1C、-e-1D、1-e-1解析：66.设区域D为x2+y2≤4，A、4πB、3πC、2πD、π答案：A解析：A为区域D的面积．由于D为x2+y 2≤4表示圆域，半径为2，因此A=π×22=4π，所以选A．67.设f(x，y)为连续函数，A、AB、BC、CD、D解析：积分区域D可以由0≤x≤1，x2≤y≤x表示，其图形为右图中阴影部分．68.A、AB、BC、CD、D答案：B解析：69.B、x=2C、y=1D、y=-2答案：C解析：70.当x→0时，2x+x2是x的（）A、等价无穷小B、较低阶无穷小C、较高阶无穷小D、同阶但不等价的无穷小答案：D解析：71.A、2B、1C、0答案：C解析：72.A、3B、2C、1D、0答案：A解析：73.设y=5x，则y'=（）A、AB、BC、C答案：A解析：74.A、仅为x=+1B、仅为x=0C、仅为x=-1D、为x=0，±1 答案：C解析：x=-1，因此选C．75.A、AB、BC、CD、D答案：A解析：76.A、2x-2eB、2x-e2C、2x-eD、2x答案：D解析：由导数的基本公式及四则运算法则，有故选D．77.设A、-cosxB、cosxC、1-cosxD、1+cosx答案：B解析：由导数四则运算法则，有故选B．78.A、AB、BC、CD、D答案：A解析：79.A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、收敛性与口有关答案：A解析：80.A、AB、BC、CD、D答案：B81.A、1/2B、1C、π/2D、2π答案：B解析：82.A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充分必要条件D、无关条件答案：D解析：内的概念，与f(x)在点x0处是否有定义无关．83.A、2xy+sinyB、x2+xcosyC、2xy+xsinyD、x2y+siny答案：A解析：将y认作常数，可得知因此选A．84.A、2x+1B、2xy+1C、x2+1D、2xy答案：B解析：85.设，f(x)在点x0处取得极值，则()．A、AB、BC、CD、D答案：A解析：如果f(x)在点x0处可导，且f(x)在点x处取得极值，由极值的必要条件可知f′(x0)=0．又如y=1xI在点戈=0处取得极小值，但在点x=0处不可导．86.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）A.Y*=(Ax+B)exB.y*=x(Ax+A、exB、y*=Ax3exC、Y*=x2(Ax+D、ex答案：D解析：87.微分方程y"-4y=0的特征根为（）A、0，4B、-2，2C、-2，4D、2，4答案：B解析：由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B．88.设A是一个常数，（）A、单调增加且收敛B、单调减少且收敛C、收敛于零D、发散答案：C解析：89.A、arctan2-arctan1B、arctan2C、arctan1D、0答案：D解析：由于定积分存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选D．90.A、exB、2exC、-exD、-2ex答案：D解析：由导数的基本公式及四则运算法则，有故选D．91.设f(x)=e3x，则在x=0处的二阶导数，f"(0)=（）A、3B、6C、9D、9e答案：C解析：92.A、必条件收敛B、必绝对收敛C、必发散D、收敛但可能为条件收敛，也可能为绝对收敛答案：D解析：93.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：94.A、必定存在且值为0B、必定存在且值可能为0C、必定存在且值一定不为0D、可能不存在答案：B解析：由级数收敛的定义可知应选B．95.A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、无法判定敛散性答案：C解析：96.A、AB、BC、CD、D答案：A97.设y=2x3，则dy=()．A、2x2dxB、6x2dxC、3x2dxD、x2dx答案：B解析：由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B．98.方程z=x2+y2表示的二次曲面是()．A、球面B、柱面C、圆锥面D、抛物面答案：D解析：对照标准二次曲面的方程可知z=x2+y2表示的二次曲面是抛物面，故选D．99.A、AB、BC、CD、D答案：A100.A、AB、BC、C。

2000-2001《高等数学Ⅰ(1)》参考答案

2000-2001学年《高等数学Ⅰ(1)》参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、极限32lim(1)xx x→∞-=6e - .2、若函数)(x f 在闭区间]1,1[-上连续,则⎰-=--11)]()([dx x f x f 0 .3、若函数)(x f 在点0x 处可导,则=--+→hh x f h x f h )3()2(lim00005()f x ' .4、极限=∞→xxx 3sin lim0 .5、若2(sin )cos f x x '=,则=)(x f 3/3x x C -+ .二、选择题（每小题3分，共15分） 1、下列结论正确的是（ B ）(A)有界数列必定收敛. (B)无界数列必定发散. (C)发散数列必定无界. (D)单调数列必定收敛.2、设)(x f 在区间(,)-∞+∞内连续,且)(x F 是)(x f 的一个原函数,则=⎰))((dx x f d （ C ） (A)C x F +)(. (B))(x f . (C)dx x f )(. (D)dx x F )(.3、设)(x f 可微,且()0f x '≠,则当0→∆x 时,在点x 处的dy y -∆是关于x ∆的（ D ） (A)等价无穷小. (B)同阶无穷小. (C)低阶无穷小. (D)高阶无穷小.4、设函数)(),(x g x f 都在],[b a 上可导,且()()f x g x ''>,则当b x a <<时,必有（ B ） (A))()(x g x f >. (B))()()()(x g a f a g x f +>+. (C))()(x g x f <. (D))()()()(x g b f b g x f +>+.5、设函数)(x f 在),[∞+a 上连续,且0)(≥x f ,则函数⎰xa dt t f )(在),[∞+a 上有界是广义积分⎰+∞adx x f )(收敛的（ A ）(A)充要条件. (B)充分条件. (C)必要条件. (D)无关条件.三、计算下列各题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）1、求42)1ln(limxdt t x x ⎰+→.解：2230433000ln(1)2ln(1)21limlim lim 442x x x x t dt x x x x x x →→→++===⎰. 2、设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=-,0,,0,1)(2x e x x x f x 计算⎰-31)2(dx x f .解：令2x t -=,则3111(2)()f x dx f t dt --=⎰⎰012171(1)3t t dt e dt e--=++=-⎰⎰. 3、计算⎰-eedx x 1|ln |.解：11111112ln (ln )ln (ln )(ln )2eeee e ex dx x dx xdx x x x x x x e =-+=-++-=-⎰⎰⎰.4、求⎰-122x xdx .解：令sec x t =,则2sec tan cos sin sec tan t tdt tdt t C C t t ⋅===+⋅⎰⎰. 5、设⎪⎩⎪⎨⎧=+=,arctan ,1ln 2t y t x 求22dx yd .解： 22211ln(1)112arctan 1x t dy t t dx t y t t ⎧=+⎪+⇒==⎨⎪=⎩+, 222232111d y t t t dx t t -+==-+. 6、设)(x y y =是由方程01=+-y xe y确定的隐函数,求22dxyd .解：x 两边对求导，得：01yyyye xe y e y y xe '''⋅+-=⇒=-22223(1)()(3)(1)(2)y y y y y y y d y e y xe e e xe y e y dx xe y ''⋅-++⋅-==--.四、（本题满分7分）设2(1)2,1,()1,1,x ex f x ax bx x -⎧≥⎪=⎨++<⎪⎩若)(x f 在1=x 处可导,求常数,a b 及(1)f '.解：()f x 在1x =可导,故()f x 在1x =连续.1lim ()(1)11,0x f x f a b a b -→=⇒++=+=2(1)111()(1)12(1)(1)lim lim lim 2111x x x x f x f e x f x x x +++-+→→→---'====---2111()(1)11(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax bx bx x f b x x x -++-→→→-++---'====---- 由(1)(1)f f +-''=得：2b =-,2a b =-=,(1)2f '=.五、（本题满分6分）求数列),2,1( =n n n 的最大项.解：设()(0)f x x =>,则2ln ()exp (1ln )x f x x x x '⎛⎫'==-⇒ ⎪⎝⎭唯一驻点x e =且当0x e <<时,()0f x '>；当x e >时,()0f x '<. 所以()f x 在x e =取得极大值,也是最大值.数列的最大项只可能在x e =邻近取得.<的最大项.六、（本题满分9分）描绘函数xx x f 2)(2+=的图形. 解：定义域为(,0)(0,)-∞+∞22()2f x x x '=-,令()0f x '=得1x = 34()2f x x ''=+,令()0f x ''=得x =因为0lim ()x f x→=∞，所以1x =是铅直渐近线. 列表如下：极小值为(1)3y =；拐点为(七、（本题满分10分）曲线)1(2x a y -=)0(>a 与过两点(1,0)-和(1,0)所作该曲线的法线围成的平面图形如图所示,试问a 取何值时,该平面图形的面积最小,并求面积的最小值. 解：2(1)2y ax y a ''=-⇒=-⇒在(1,0)处的法线方程为1(1)2y x a=-. 由对称性得：112001412(1)2(1)232a S a x dx x dx a a=---=+⎰⎰2224183326a S a a -'=-=⇒唯一驻点a =3104S S a ''''=⇒>⎝⎭所以S 在4a =取得极小值,也是最小值.即平面图形面积的最小值为：43S ⎛= ⎝⎭.八、（本题满分8分）设函数)(x f 在[0,1]上连续,在)1,0(内可导,且)0()(313/2f dx x f =⎰,试证：在)1,0(内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=. 证：()[0,1]f x C ∈∴由积分中值定理知：存在22,1,31()(0)33f f ηη⎛⎫⎛⎫∈∍⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()(0)f f η=.在[0,]η上由Rolle 中值定理得：至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂,使得()0f ξ'=附加题（10分）设函数()f x 在[0,1]上单调减,证明：对(0,1)x ∀∈,有 1()()xf t dt x f t dt ≥⎰⎰.证明：设1()()()x F x f t dt x f t dt =-⎰⎰，则11()()()()(1)()()x x x xxF x f t dt x f t dt x f t dt x f t dt x f t dt=--=--⎰⎰⎰⎰⎰12(1)()(1)()x x f x x f ξξ=--- (其中1201x ξξ≤≤≤≤)12(1)[()()]0x x f f ξξ=--≥ (()f x 在[0,1]上单调减少)所以对(0,1)x ∀∈，有1()()x f t dt x f t dt ≥⎰⎰.。