二次函数与方程、不等式综合问题
二次函数与一元二次方程和不等式(热考题型)-解析版
专题07 二次函数与一元二次方程和不等式【思维导图】◎考试题型1 抛物线与x轴的交点情况二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c= 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b 2-4ac =0 有一个 有两个相等的实数根b 2-4ac <0没有公共点没有实数根例．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =，关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根为4x =，则另一个根为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．0【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =，求出2ba-=，设20ax bx c ++=的另一根为m ，利用根与系数的关系可得：4=2+-=bm a，即可求出m ． 【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =， ∵12b a-=，即2ba -=，设20ax bx c ++=的另一根为m ， 利用根与系数的关系可得：4=2+-=bm a， ∵=2m -． 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了根与系数的关系和二次函数的性质．变式1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -，另一个交点是B ，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】D 【解析】 【分析】将()1,0A -代入抛物线242y ax ax =-+中求出a 的值，然后令2420y ax ax =-+=求出点B 的坐标，即可求出AB 的值． 【详解】抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -， 420a a ∴++=，即25a =-，∴抛物线为：228255y x x =-++，∴令2282055y x x =-++=，求出1215x x =-=，，(50)B ∴，，6AB ∴=． 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数与x 轴交点问题，两点之间的距离，正确理解y=0时，一元二次方程的解与函数图象与x 轴交点坐标之间的联系是解题的关键．变式2．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：x -2 -1 0 6 y461下列结论不正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线12x =C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0D ．函数2y ax bx c =++的最大值为254【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可 【详解】解：由题意得42046a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得116a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵抛物线解析式为22125624y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线12x =，该函数的最大值为254，故A 、B 、D 说法正确，不符合题意；令0y =，则260x x -++=， 解得3x =或2x =-，∵抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C 说法错误，符合题意； 故选C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．变式3．（2022·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系内，抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A -，另一交点为B ，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】根据点A 在抛物线上，先求出a 的值，进而求出B 的坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线242y ax ax =-+与x 轴的一个交点是()1,0A - ∵0=a +4a +2 ∵a =25-∵228255y x x =-++当y =0时，2282055x x -++=，解得121,5x x =-= ∵B （5，0） ∵AB =5-（-1）=6， 故选：C ． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，两点间距离公式，准确理解抛物线与坐标轴的交点和方程的关系是解题的关键．◎考试题型2 抛物线与y 轴的交点情况图像与y 轴的交点即是x ＝0的情况求y 的值，也就是c 的值。
备考2021年中考数学复习专题：函数_二次函数_二次函数与不等式(组)的综合应用,综合题专训及答案
若
≤－2，比较 与 的大小；
（4） 当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围。
9、 (2017濉溪.中考模拟) 2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练 ．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米 ，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．
下面是他的探究过程，请将探究过程补充完整： 将不等式按条件进行转化：
当x=0时，原不等式不成立； 当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞ ； 当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜ ； （1） 构造函数，画出图象 设y3=x2+4x﹣1，y4= ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
备考2021年中考数学复习专题：函数_二次函数_二次函数与不等式（组）的综
合应用，综合题专训及答案
备 考 2021中 考 数 学 复 习 专 题 ： 函 数 _二 次 函 数 _二 次 函 数 与 不 等 式 （ 组 ） 的 综 合 应 用 ， 综 合 题 专 训
1、 (2018长春.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D 的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣ x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1 ， 函数y=﹣ x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2 ， 其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．
交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．
观察图象可知：
习题课4 二次函数与一元二次方程、不等式的综合应用
> 0,
> 0,
<
-2,
则有①Δ≤0 或② 2
或③ - 2 > 2,
7 + ≥ 0,
7-3 ≥ 0
课前预学
课堂导学
解①得-6≤a≤2,解②得 a 无解,解③得-7≤a<-6.综上可知,实数 a 的取值范围为-7≤a≤2.
(3)令关于 a 的函数 s=xa+x2+3.当 4≤a≤6 时,s≥0 恒成立,
2
<<2 ;
2
当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x<2};当 0<a<1 时,原不等式的解集为 > 或 x < 2 ;
当 a=1 时,原不等式的解集为{x|x≠2};
当 a>1 时,原不等式的解集为 > 2 或 <
2
.
课前预学
方法总结
课堂导学
解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑对应函数图象的开
课堂导学
1.不等式 6x2+x-2≤0 的解集为( A ).
2
1
3
2
A. - ≤ ≤
解析
2
1
3
2
B. ≤ - 或 ≥
C. ≥
1
D. ≤ -
2
2
1
3
2
由 6x +x-2≤0,得(2x-1)(3x+2)≤0,所以原不等式的解集为 - ≤ ≤
2
2
3
.
2.一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根为 2,-1,则当 a<0 时,不等式 ax 2+bx+c≥0 的解集为( D ).
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解本节知识点：1.一元二次不等式的概念。
2.三个二次的关系。
3.一元二次不等式的解法。
知识点拓展：4.分式不等式的解法。
5.高次不等式的解法。
本节题型：1.解不含参数的一元二次不等式。
2.解含参数的一元二次不等式。
3.三个二次之间的关系。
4.简单高次不等式、分式不等式的解法。
5.XXX成立问题。
6.一元二次不等式的应用。
知识点讲解：一元二次不等式的概念：一元二次不等式是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
即形如ax2+bx+c>(≥)或ax2+bx+c<(≤)（其中a≠）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式，就是求出使不等式成立的x的值。
解的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。
注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式。
三个二次的关系：一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系。
一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：1)当Δ=b2-4ac≥时，一元二次方程有实数根，二次函数的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标，交点的横坐标亦是方程的解；①当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；②当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）。
2)当Δ<0时，一元二次方程无实数根，二次函数的图象与x轴没有交点。
具体关系见下表（1）所示。
一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：一元二次不等式ax2+bx+c>(≥)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围。
例题讲解：1.解不等式x2+4x+3≤0.解：将不等式化为一元二次方程x2+4x+3=0，解得x=-1，x=-3.因此，不等式的解集为[-3,-1]。
二次函数与二元一次方程组不等式专项练习60题(有答案过程)ok
二次函数与二元一次方程组、不等式专项练习60题（有答案）1．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c ＞0；（2）方程ax 2+bx+c=0两根之和小于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y=x+bc 的图象 一定不过第二象限，其中错误的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，图象上有两点分别为A （2.18，﹣0.51）、B （2.68，0.54），则方程ax 2+bx+c=0的一个解只可能是（ ）A ． 2.18B ． 2.68C ． ﹣0.51D ． 2.453．方程x 2+3x ﹣1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程 x 3﹣x ﹣1=0的实数根x 0所在的范围是（ ）A ． ﹣1＜x 0＜0B ． 0＜x 0＜1C ． 1＜x 0＜2D ． 2＜x 0＜34．根据二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）得到一些对应值，列表如下：判断一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个解x 1的范围是（ ）A ． 2.1＜x 1＜2.2B ． 2.2＜x 1＜2.3C ． 2.3＜x 1＜2.4D ． 2.4＜x 1＜2.55．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）A ． 抛物线开口向上B ． 抛物线与y 轴交于负半轴C ． 当x=3时，y ＜0D ．方程ax 2+bx+c=0有两个相等实数根6．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： x 2.2 2.3 2.4 2.5y ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 x…﹣2﹣11234…若，则一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根x 1，x 2的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B ．﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C ． 0＜x1＜1，1＜x2＜2D ．﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜47．根据抛物线y=x 2+3x ﹣1与x 轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）A ． x 2﹣1=﹣3xB ． x 2+3x+1=0C ． 3x 2+x ﹣1=0D ． x 2﹣3x+1=08．已知二次函数y=x 2+2x ﹣10，小明利用计算器列出了下表：那么方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似根是（ ） A ． ﹣4.1 B ． ﹣4.2 C ． ﹣4.3 D ． ﹣ 4.49．根据关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0，可列表如下：则方程x 2+px+q=0的正数解满足（ ）A ． 解的整数部分是0，十分位是5B ． 解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ． 解的整数部分是1，十分位是210．根据下列表格中的二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的自变量x 与函数y 的对应值，判断ax 2+bx+c=0 的一个解x 的取值范围为（ ）A ． 1.40＜x ＜1.43B ． 1.43＜x ＜1.44C ． 1.44＜x ＜1.45D ． 1.45＜x ＜1.4611．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=1.3和x 2=（ ）A ． ﹣1.3B ． ﹣2.3C ． ﹣0.3D ． ﹣3.312．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=1.6，x 2=（ ）A ． ﹣1.6B ． 3.2C ． 4.4D ． 以上都不对y…m ﹣2mm ﹣2… x ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4 x 2+2x ﹣10 ﹣1.39 ﹣0.76﹣0.11 0.56 x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x 2+px+q﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 x 1.43 1.44 1.45 1.46y=ax 2+bx+c﹣0.095 ﹣0.046 0.003 0.05213．二次函数y=x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=_________．14．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是_________．15．抛物线y=x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_________．16．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为_________．17．抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_________．18．开口向下的抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），则m=_________．19．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=_________．20．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是_________．21．对于二次函数y=x 2+2x ﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x 2+2x ﹣5=0的一个正根的近似值是 _________ ．（精确到0.1）．22．根据下列表格中y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是 _________ ． x 6.17 6.18 6.196.20y=ax 2+bx+c﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.0423．抛物线y=2x 2﹣4x+m 的图象的部分如图所示，则关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x+m=0的解是 _________ ．24．二次函数y=ax 2+bx+c 的部分对应值如下表：①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）； ②与y 轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y 为﹣5．以上结论正确的是 _________ ．25．二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x … ﹣1 0 1 2 3 …y … ﹣1 ﹣ ﹣2﹣…根据表格中的信息，完成下列各题 （1）当x=3时，y= _________ ；（2）当x= _________ 时，y 有最 _________ 值为 _________ ； （3）若点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，试比较两函数值的大 小：y 1 _______ y 2（4）若自变量x 的取值范围是0≤x ≤5，则函数值y 的取值范围是 _________ ．26．阅读材料，解答问题．例 用图象法解一元二次不等式：．x 2﹣2x ﹣3＞0解：设y=x 2﹣2x ﹣3，则y 是x 的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3．∴由此得抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0． ∴x 2﹣2x ﹣3＞0的解集是：x ＜﹣1或x ＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2﹣2x ﹣3＞0的解集是 _________ ；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2﹣1＞0．x … ﹣3 ﹣20 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7…27．一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．28．画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么；（2）当x取何值时，y＞0；（3）当x取何值时，y＜0．29．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？30．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=_________的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=_________的图象与一个一次函数y=_________的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．31．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞532．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ． a bc ＜0B ． a +c ＜bC ． b ＞2aD ． 4a ＞2b ﹣c33．现定义某种运算a ⊕b=a （a ＞b ），若（x+2）⊕x 2=x+2，那么x 的取值范围是（ ）A ． ﹣1＜x ＜2B ． x ＞2或x ＜﹣1C ． x ＞2D ． x＜﹣134．如图，一次函数y 1=kx+n （k ≠0）与二次函数y 2=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象相交于A （﹣1，5）、B （9，2）两点，则关于x 的不等式kx+n ≥ax 2+bx+c 的解集为（ ）A ． ﹣1≤x ≤9B ． ﹣1≤x ＜9C ． ﹣1＜x ≤9D ． x ≤﹣1或x ≥935．如图所示的抛物线是二次函数y=ax 2﹣3x+a 2﹣1的图象，那么下列结论错误的是（ ）36．已知：二次函数y=x 2﹣4x ﹣a ，下列说法中错误的个数是（ ）①若图象与x 轴有交点，则a ≤4；②若该抛物线的顶点在直线y=2x 上，则a 的值为﹣8；③当a=3时，不等式x 2﹣4x+a ＞0的解集是（3，0）；④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点x ，则a=﹣1；⑤若抛物线与x 轴有两个交点，横坐标分别为x1、x 2，则当x 取x 1+x 2时的函数值与x 取0时的函数值相等． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 437．二次函数y=ax 2的图象如图所示，则不等式ax ＞a 的解集是（ ）A ． x ＞1B ． x ＜1C ． x ＞﹣1D ． x ＜﹣138．如图，函数y=x 2﹣2x+m （m 为常数）的图象如图，如果x=a 时，y ＜0；那么x=a ﹣2时，函数值（ ）A ． 当y ＜0时，x ＞0B ． 当﹣3＜x ＜0时，y ＞0C ． 当x ＜时，y 随x 的增大而增大D ．上述抛物线可由抛物线y=﹣x 2平移得到A．y＜0 B．0＜y＜m C．y=m D．y＞m39．已知：二次函数y=x2﹣4x+a，下列说法中错误的个数是（）①当x＜1时，y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=﹣3．A．1B．2C．3D．440．如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+n的图象相交于A（0，4），B（4，1）两点，下列三个结论：①不等式y1＞y2的解集是0＜x＜4②不等式y1＜y2的解集是x＜0或x＞4③方程ax2+bx+c=kx+n的解是x1=0，x2=4其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个41．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是_________．42. 如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是_________．43．已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）请写出该函数的对称轴，顶点坐标；（2）函数图象与x轴交点坐标为_________，与y轴的交点坐标为_________；（3）当_________时y＞0，_________时y随x的增大而增大；（4）写出不等式x2﹣6x+5＜0的解集．_________44．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：（1）b_________0（填“＞”、“＜”、“=”）；（2）当x满足_________时，ax2+bx+c＞0；（3）当x满足_________时，ax2+bx+c的值随x增大而减小．45．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根．x1=_________，x2=_________；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集．_________；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．_________；（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．_________．46．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中，正确的说法有_________．（请写出所有正确说法的序号）47．如图是函数y=x2+bx﹣1的图象，根据图象提供的信息，确定使﹣1≤y≤2的自变量x的取值范围是_________．48．已知抛物线y=x2﹣x﹣6，则不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为_________．49．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3的函数值y＜0，则x的取值范围为_________．50．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）不等式ax2+bx+c＞0的解集为_________．（2）若y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是_________．（3）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围是_________．51．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为_________．52．函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，观察图象，使y≥l成立的x的取值范围是_________．53．已知函数y1=x2与y2=﹣x+3的图象大致如图，若y1≤y2，则自变量x的取值范围是_________．54．已知二次函数y=4x2﹣4x﹣3的图象如图所示，，则函数值y_________0．55．函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是_________．56．已知抛物线y=﹣x2﹣3x﹣（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（3）画出草图；（4）观察草图，指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0．57．如图是二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象．（1）求该抛物线的顶点坐标、与x轴的交点坐标（2）观察图象直接指出x在什么范围内时，y＞0？58．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）59．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．60．已知抛物线y1=x2+（m+1）x+m﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且对称轴为x=﹣1．（1）求m的值；（2）画出这条抛物线；（2）若直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P（﹣2m，﹣3m），根据图象回答：当x取什么值时，y1≥y2．参考答案：1.解：∵当x=2时，y=4a+2b+c，对应的y值即纵坐标为正，即4a+2b+c＞0；故（1）正确；∵由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：函数图象与x轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根；并且正根的绝对值较大，∴方程ax2+bx+c=0两根之和大于零；故（2）错误；∵函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；不能在整个自变量取值范围内说y随x的增大而增大；故（3）错误；∵由图象可知：c＜0，b＜0，∴bc＞0，∴一次函数y=x+bc的图象一定经过第二象限，故（4）错误；∴错误的个数为3个，故选B．2．解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），∴当x=2.18时，y=﹣0.51；x=2.68时，y=0.54，∴当y=0时，2.18＜x＜2.68，只有选项D符合，故选D．3.解：方程x3﹣x﹣1=0，∴x2﹣1=，∴它的根可视为y=x2﹣1和y=的交点的横坐标，当x=1时，x2﹣1=0，=1，交点在x=1的右边，当x=2时，x2﹣1=3，=，交点在x=2的左边，又∵交点在第一象限．∴1＜x0＜2，故选C．4. ：根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在2.3～2.4之间．故选C．5．解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．6．解：∵，∴﹣1＜m﹣2＜﹣，＜m﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x2＜3．故选：A．7．解：∵抛物线y=x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1=0的根，∴可以求出方程x2+3x﹣1=0的根，方程x2﹣1=﹣3x与方程x2+3x﹣1=0等价，∴可以求出方程x2﹣1=﹣3x的根．故选A．8．解：根据表格得，当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56，∵0距﹣0.11近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3，故选C．9. 解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．所以解的整数部分是1，十分位是1．故选C．10．解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45．故选C11．解：方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）∴﹣=﹣1则﹣=﹣2∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根∴x1+x2=﹣又∵x1=1.3∴x1+x2=1.3+x2=﹣2解得x2=﹣3.3．方法二：根据对称轴为；x=﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3，则=﹣1，即=﹣1，解得：x2=﹣3.3，故选D12．解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．13．解：由图可知，对称轴为x=﹣==3，根据二次函数的图象的对称性，=3，解得x2=5．故答案为：514．解：把（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：c=﹣3，∴y=x2+bx﹣3，∵使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，∴把x=1代入y=x2+bx﹣3得：y=1+b﹣3＜0把x=3代入y=x2+bx﹣3得：y=9+3b﹣3＞0，∴﹣2＜b＜2，即在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数都符合，故答案为：在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数．15.解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+m中，得m=3，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．16．解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）=﹣1，∴交点坐标为（﹣1，0）∴当x=﹣1或x=3时，函数值y=0，即﹣x2+2x+m=0，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．故填空答案：x1=﹣1或x2=3．17. 解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+中，得m=6，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3 ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）18.解：由于抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），∴对称轴为直线x=﹣1，x==﹣1，解得m1=﹣1，m2=2．由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m2﹣2=2＞0，不合题意，应舍去，∴m=﹣1．19．解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），则对称轴为x=﹣1；所以=﹣1，又因为x1=1.3，所以x2=﹣2﹣x1=﹣2﹣1.3=﹣3.3．20. 解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=3，而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为1.6，∴x1=1.6；又∵对称轴为x=3，则=3，∴x2=2×3﹣1.6=4.4．21. 解：∵二次函数y=x2+2x﹣5中a=1＞0，∴抛物线开口方向向上，∵对称轴x=﹣=﹣1，∴x＞﹣1时y随x的增大而增大，∵当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0，∴方程x2+2x﹣5=0的一个正根：1.4＜x＜1.45，∴近似值是1.4．答案1.4．22．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故答案为：6.18＜x＜6.19．23．解：观察图象可知，抛物线y=2x2﹣4x+m与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=﹣1，x2=3．故本题答案为：x1=﹣1，x2=3．24．解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）；②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．故答案为：①②④．25．解：（1）由表得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣，当x=3时，y==﹣1；（2）将y=x2﹣x﹣配方得，y=（x﹣1）2﹣2，∵a=＞0，∴函数有最小值，当x=1时，最小值为﹣2；（3）令y=0，则x=±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（﹣2+1，0）∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x=5时，y最大，即y=2；当x=1时，y最小，即y=﹣2，∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2；故答案为﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．26．解：（1）x＜﹣1或x＞3；（2）设y=x2﹣1，则y是x的二次函数，∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1．∴由此得抛物线y=x2﹣1的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞1时，y＞0．∴x2﹣1＞0的解集是：x＜﹣1或x＞1．27．解：一元二次方程x2+7x+9=1的根是二次函数y=x2+7x+9图象中y=1时，所对应的x的值；当y=1时，x2+7x+9=1，∴作出二次函数y=x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y=1时，x≈﹣5.6或﹣1.4，∴一元二次方程x2+7x+9=1的根为x1≈﹣5.6，x2≈﹣1.4．28．解：函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象如图．由图象可知：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解x1=1，x2=3．（2）当1＜x＜3时，y＞0．（3）当x＜1或x＞3时，y＜0．29．解：根据图象可知，二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=﹣x2+2x+m，代入，得﹣32+2×3+m=0解得，m=3 ①把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m=0，得﹣x2+2x+3=0，②解②，得x1=3，x2=﹣130．解：（1）由原方程，得：=0，即=；解得x1=，x2=．（2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c，∴把（0，﹣1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=﹣1，①二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解；∴x1•x2==﹣1，即c=﹣a；②x1+x2==1；③由①②③，得：；∴二次函数方程为y=x2﹣x﹣1．（3）31．解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜﹣1或x＞5．故选：D．32．解：A、∵图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴左侧，﹣＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故本选项错误；B、∵当x=﹣1时，对应的函数值y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故本选项错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞﹣1，又a＜0，∴b＞2a，故本选项正确；D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错误．故选C．33. 解：由定义运算得：x+2＞x2，即解不等式x2﹣x﹣2＜0，设y=x2﹣x﹣2，函数图象开口向上，图象与x轴交点是（﹣1，0），（2，0），由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，即x的取值范围﹣1＜x＜2．故选A．34．解：由图形可以看出：抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y1=kx+n（k≠0）的交点的横坐标分别为﹣1，9，当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即﹣1≤x≤9．故选A．35．解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），所以a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．∴y=﹣x2﹣3x，∴二次函数与图象的交点为：（﹣3，0），（0，0），∴当y＜0时，x＜﹣3或x＞0，故A选项错误；当﹣3＜x＜0时，y＞0，故B选项正确；当x＜时，y随x的增大而增大故C选项正确；上述抛物线可由抛物线y=﹣x2平移得到，故D选项正确；故选：A．36．解：①∵图象与x轴有交点，则△=16﹣4×1×（﹣a）≥0，解得a≥﹣4；故本选项错误；②∵二次函数y=x2﹣4x﹣a的顶点坐标为（2，﹣a﹣4），代入y=2x得，﹣a﹣4=2×2，a=﹣8，故本选项正确；③表达错误，解集不能表示为（3，0），故本选项错误；④表达错误，点不能用x表示，故本选项错误；⑤由根与系数的关系，x1+x2=4，当x=4时，y=16﹣16﹣a=﹣a，当x=0时，y=﹣a，故本选项正确．故选C．37．解：由图象可知a＜0，∴不等式ax＞a的解集为x＜1．故选B．38．解：x=a代入函数y=x2﹣2x+m中得：y=a2﹣2a+m=a（a﹣2）+m，∵x=a时，y＜0，∴a（a﹣2）+m＜0，由图象可知：m＞0，∴a（a﹣2）＜0，又∵x=a时，y＜0，∴a＞0则a﹣2＜0，由图象可知：x=0时，y=m，又∵x＜1时y随x的增大而减小，∴x=a﹣2时，y＞m．故选：D．39.解：二次函数为y=x2﹣4x+a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16﹣4a≥0，则a≤4，故说法正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+3＜0的解集是x＜0或x＞3，故说法错误；D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4+a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3+a，函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：a=﹣3．故说法正确．故选A．40．①通过图象可知，在点A和B之间y1的图象在y2的上面，也就是y1＞y2，且解集是0＜x＜4，此选项正确；②通过图象可知，在点A的左边和在B的右边，y1的图象在y2的下面，也就是y1＜y2，且解集是x＜0或x＞4，此选项正确；③两函数图象的交点就是y1=y2的解，且解是x1=0，x2=4，此选项正确．故选D．41．解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0），∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．42．解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）而对称轴x=1∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）当y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方此时x＜﹣1或x＞3故填空答案：x＜﹣1或x＞3．43.解：（1）根据二次函数的性质可知对称轴为x=﹣=﹣=3顶点坐标为x=﹣=3，y===﹣4，故对称轴为x=3，顶点坐标为（3，﹣4）；（2）令y=0，即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5故函数图象与x轴交点为（1，0），（5，0）∴c=0，故图象与y轴交点为（0，5）；（3）由图象可知当x＜1或x＞5时，y＞0当x＞3时，y随x的增大而增大（4）由图象可知，x2﹣6x+5＜0的解集为1＜x＜5．44．解：（1）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，a＞0，∵对称轴经过x轴的负半轴，即可得出a，b同号，∴b＞0，故答案为：b＞0；（2）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（2，0）、（﹣4，0），而ax2+bx+c＞0，即y＞0，∴x＜﹣4或x＞2；故答案为：x＜﹣4或x＞2；（3）根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐标为（2，0）、（﹣4，0），∴抛物线的对称轴为x=﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．故答案为：x＜﹣1．45．解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（1，0），（3，0）∴方程ax2+bx+c=0的两个根x1=1，x2=3；（2）由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：1＜x＜3时，二次函数y=ax2+bx+c的值大于0∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3；（3）由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为x＞2；（4）由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，2），当直线y=k，在（0，2）的下边时，一定与抛物线有两个不同的交点，因而当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．46．解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①错误；由图象可知：﹣=1，∴2a+b=0，∴②正确；当x=1时，y=a+b+c＞0，∴③错误；由图象可知：当x＞1时，函数y随x的增大而减小，∴④错误；根据图象，当﹣1＜x＜3时，y＞0，∴⑤正确；正确的说法有②⑤．47．解：∵y=x2+bx﹣1经过（3，2）点，∴b=﹣2，∵﹣1≤y≤2，∴﹣1≤x2﹣2x﹣1≤2，解得2≤x≤3或﹣1≤x≤0．48. 解：∵x2﹣x﹣6=0∴x1=﹣2，x2=3∴抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（3，0）而抛物线y=x2﹣x﹣6开口向上当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣2＜x＜3故填空答案：﹣2＜x＜3．49. 解：当y=0时，即x2﹣2x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣1＜x＜3．故填空答案：﹣1＜x＜3．50．解：（1）依题意因为ax2+bx+c＞0，得出x的取值范围为：1＜x＜3；（2）如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为：x＞2；（3）由顶点（2，2）设方程为a（x﹣2）2+2=0，∵二次函数与x轴的2个交点为（1，0），（3，0），∴a=﹣2，∴抛物线方程为y=﹣2（x﹣2）2+2，y=﹣2（x﹣2）2+2﹣k实际上是原曲线下移k个单位，由图形知，当k＜2时，曲线与x轴有两个交点．故k＜2．故答案为：（1）1＜x＜3；（2）x＞2；（3）k＜2．51．解：∵直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3；故答案为：x＜1或x＞3．52．解：直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值为x≤﹣1或x≥3，故答案为x≤﹣1或x≥3．53.解：根据图象知，当y1≤y2时，自变量x的取值范围是﹣2≤x≤．故答案为﹣2≤x≤．54．解：由图可知，﹣＜x＜时，函数图象在x轴的下方，所以y＜0．故答案为：＜．55．解：当y=1时，x2﹣2x﹣2=1，解得（x+1）（x﹣3）=0，x1=﹣1，x2=3．由图可知，x≤﹣1或x≥3时y≥1．故答案为x≤﹣1或x≥3．56．解：（1）∵y=﹣x2﹣3x﹣=﹣（x2+6x+5）=﹣（x2+6x+9﹣4）=﹣（x+3）2+2，∴开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，2）；（2）∵令x=0，得：y=﹣，∴抛物线与y轴的交点坐标为：（0，﹣）；令y=0，得到﹣x2﹣3x﹣=0，解得：x=﹣1或x=﹣5，故抛物线与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）和（﹣5，0）；（3）草图为：（4）根据草图知：当x=﹣1或x=﹣5时，y=0，当﹣5＜x＜﹣1时y＞0，当x＜﹣5或x＞﹣1时y＜0．57．解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x=1，与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）；（2）由图象可知，当x＞3或x＜﹣1时，y＞0．58．解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2，∴y=（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=；顶点坐标是（，﹣）；（3）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．59．解：（1）由二次函数的图象经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点，得，解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为；（2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0，解这个方程，得x1=﹣3，x2=1，∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）；（3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1．60．解：（1）由题意，有，解得m=1．（2）∵m=1，∴y1=x2+2x﹣3，∴y1=（x+1）2﹣4，列表为：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y=x2+2x﹣3 …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …描点并连线为：（3）∵m=1∴P（﹣2，﹣3），∴可以画出直线的图象．∴由图象得x≤﹣2或x≥1时，y1≥y2．。
高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0， 故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时， 函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <， 则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立； 反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<， 此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-， 故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数， 若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________． 【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=． 故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（ ）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+， （2）1m =-恒成立，符合题意； （3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=， 其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点， 因为函数()g x 的对称轴为122a x =<， 所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈， 当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-； 当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤， 所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=， 因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-， 当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-； 当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-； 当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2． 【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】 解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+， 令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈． （1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞； （2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭， 设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出， （Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2． 当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9； 当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1； 故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54． 令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩， 解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=． （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞． 【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式； （2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠； （2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； 【答案】（1）()2h x x =； 【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。
二次函数综合题专项讲解（经典）
第16题QP N Oyx初中二次函数综合题专项讲解引言：二次函数综合题题目难度较大，也称压轴题。
解压轴题有三个步骤：认真审题；理解题意、探究解题思路；正确解答。
审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。
二次函数一般会出现在选择题（或填空题）、解答题的倒数几个题目中。
选择题和填空题时易时难。
解答题较难，一般有2—3小题。
第1小题通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度而确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。
第2—3小题通常是以动点为切入口，结合三角形、四边形、圆、平移、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关的关系，系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
一、重庆一中13—14学年度上期半期考试二次函数习题1212．．如图，直线y kx c =+与抛物线2y ax bx c =++的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线1x =，且OA OD =直线y kx c =+与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）则下列命题中正确命题的个数是（下列命题中正确命题的个数是（ ））. ①0abc >; ; ②②30a b +>; ; ③③10k -<<; ④k a b >+; ; ⑤⑤0ac k +>A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 16．如右图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知20ax bx c ++>时x 的取值范围是的取值范围是_______________________________________________________________________________________．．1818．已知抛物线．已知抛物线2122y x x =-+的图象如左图所示，点N 为抛物线的顶点，直线ON 上有两个动点P 和Q ,且满足22PQ =,在直线x=1DCBAoyx第12题xy OEB A第25题 xyOEBA备用图备用图轴的对称图象的解析式为轴的对称图象的解析式为 ________关于关于对称图象的解析式为对称图象的解析式为 __________________，关于顶点旋转______ 对称轴为 _ ____ _ ____ x 时，时，Yy x O 22x21(轴的交点：抛物线与的图像与轴的两个交点的横坐标、轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的①有两个交点抛物线与24b acx a-③没有交点抛物线与）直线与抛物线的交点：一次函数：一次函数与二次函数的交点， 与与212212)()(y y x x -+- 元的苹果，物价部门规定每箱元的价格调查，平均每天销售90箱，价箱）之间的函数关系式．（3分）分）开口方向0112Oxy 对称轴对称轴在对称轴在与;与轴交于正半轴；与25.已知二次函数()22a +b=0+b=0；；的横坐标分别为的横坐标分别为-1,3-1,3-1,3，，0；②20a b +=； ③⑤只有 D.5x）三点． ，）三点．x，）过点xA 72x = B(0,4) A(6,0) E F xyO 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，5-4-3-2-1-1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 AEBC¢1-O2l1lx y【陈老师*专用】二次函数综合题21 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙作⊙A A 的切线L.（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点（及点（00，9），求此抛物线的解析式；，求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙作⊙A A 的切线DE DE，，E 为切点，求此切线长；为切点，求此切线长；（3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△上的一个动点，当△BFD BFD 与EAD EAD△相似时，求出△相似时，求出BF 的长的长 ．。
第4讲 二次函数与方程、不等式综合--尖子班
第4讲 二次函数与方程、不等式综合知识点1二次函数与x 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 抛物线与x 轴交点的个数是由一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中的ac b 42-=∆决定。
若0>∆，抛物线与x 轴有两个交点，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不等的实根，这两个与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若0=∆，抛物线与x 轴有一个交点，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若0<∆ ，抛物线图象与x 轴没有交点，方程)0(02≠=++a c bx ax 无实根，0>a 抛物线在x 轴上方，0<a ，抛物线在x 轴下方。
【典例】1.下列关于二次函数y=ax 2﹣2ax+1（a ＞1）的图象与x 轴交点的判断，正确的是（ ）A. 没有交点B. 只有一个交点，且它位于y 轴右侧C. 有两个交点，且它们均位于y 轴左侧D. 有两个交点，且它们均位于y 轴右侧【答案】D.【解析】解：当y=0时，ax 2﹣2ax+1=0，∵a＞1∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，x=＞0，故选：D．2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是______【答案】﹣5＜t≤4【解析】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，y 与x 的部分对应值如下：则一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个解x 满足条件（ ）A. 1.2＜x ＜1.3B. 1.3＜x ＜1.4C. 1.4＜x ＜1.5D. 1.5＜x ＜1.6【答案】C.【解析】解：由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax 2+bx+c=0的一个根．ax 2+bx+c=0的一个解x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5．故选：C ．4.若方程ax 2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）A. x=﹣3B. x=﹣2C. x=﹣1D. x=1【答案】C.【解析】解：∵方程ax 2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，∴二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．∵此两点关于对称轴对称，∴对称轴是直线x==﹣1．故选：C ． 【方法总结】解这类题的方法是：求二次函数与x 轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问题。
二次函数与一元二次方程及不等式综合专题训练
二次函数与一元二次方程及不等式综合专题训练1、（1）抛物线2x x 2y －－=与x 轴有 个交点； （2）抛物线2x 41x 1y －－=与x 轴有 个交点； （3）抛物线222+-=x x y 与x 轴有 个交点。
2、下列函数图象与x 轴有两个交点的是（ ）A ．y =7(x +8)2+2 B ．y =7(x -8)2+2 C ．y = -7(x -8)2-2 D ．y = -7(x +8)2+2 3、（1）抛物线532+-=x x y －与直线2y =有 个交点； （2）抛物线642+-=x x y 与直线2y =有 个交点； （3）抛物线232+-=x x y －与直线2y =有 个交点； （4）抛物线243y x x =++与直线x=-9有 个交点； 4、抛物线231y x x =-+与直线y k =有1个交点，则_____k =. 5、已知二次函数y =－12 x 2 － x + 32。
在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图 象直接作答： （1）方程 - 12 x 2 - x + 32 =0的解为x= ；（2）当y ＜ 0时，x 的取值范围是 ； （3）当x 满足条件： 时，y 随x 的增大而减小； （4）当x= 时，y 的最小值为 ； （5）以图象与坐标轴交点为顶点的三角形面积是 ；（6）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位所对应的函数关系式是 ． (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0； (8)当y 取何值时，－4＜x ＜0；6、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点. （1）求出二次函数的解析式； （2）根据图象回答下列问题：①当x 取何值时，两函数的函数值都随x 增大而增大； ②当x 取何值时，一次函数值等于二次函数值； ③当x 取何值时，一次函数值大于二次函数值； ④当x 取何值时，两函数的函数值的积小于0．1－1 －3 3xyO A BCxyO7、已知抛物线y=x 2-8x+c,(1)、若抛物线的顶点在x 轴上,则c= ；(2)、若抛物线与x 轴有两个交点,则c 的范围是 ； (3)、若抛物线与坐标轴有两个公共点,则c 的范围是 。
二次函数与二元一次方程组不等式专项练习60题ok
二次函数与二元一次方程组、不等式专项练习60题（有答案）1 .已知二次函数y=a《+bx+c （a工）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c> 0; （2）方程ax2+bx+c=0两根之和小于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y=x+bc的图象一定不过第二象限，其中错误的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2 .如图是二次函数y=a/+bx+c的图象，图象上有两点分别为3 .方程X2+3X-仁0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数x3-x-仁0的实数根x0所在的范围是（）A. - 1< X0V0B. 0v X0V 1C. 1< x0V 24 .根据二次函数yna^+bx+c （a工0 a、b、c为常数）得到一些对应值，列表如下: 判断一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解X1的范围是（）xy - -A. < X1<B. < x1<C. < x1<D. <x1<6.二次函数y=ax2+bx+c （a工0中，自变量x与函数y的对应值如下表:x …-2 - 1 0 1 2 3 4C.—D.A (,-)、B (,),则方程ax2+bx+c=0y—的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程D. 2 < X0< 3-1012■■VIy…-51 3 1卄0C. 当x=3 时，y< 0B. 抛物线与y轴交于负半轴D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根5 .已知二次函数y=a/+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（A. 抛物线开口向上.，-m - 2 2丄，则一兀二次方程 2ax 2+bx+c=0 的两个根 x 1，右x 2的取值范围是（)A .- 1 v x1 v 0，2v x2v 3B .- 2v x1 v- 1， 1 v x2v 2C. 0v x1 v 1， 1 v x2v 2 D .- 2v x1 v- 1， 3 v x2v 47 .根据抛物线y=x 2+3x - 1与x 轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ A .x 2-仁-3xB . x 2+3x+ 仁0C. 3x 2+x -仁0D.x 2- 3x+ 仁08•已知二次函数y=x 2+2x - 10,小明利用计算器列出了下表： 那么方程x 2+2x - 10=0的一个近似根是（ ）x -- - -x 2+2x - 10 -- -A . -B . -C. -D.-9 •根据关于x 的一元二次方程 x 2+px+q=0,可列表如下：则方程x 2+px+q=0的正数解满足（）x0 2x +px+q - 15 -A . 解的整数部分是 1-2 - 0，十分位是5B .C.解的整数部分是1，十分位是1 D .10 .根据下列表格中的二次函数2y=ax +bx+c (a MQa 、b 、的一个解x 的取值范围为（)xy=ax 2+bx+c- -A .v x vB . v x vC. v x v解的整数部分是0,十分位是8解的整数部分是1,十分位是2 c 为常数）的自变量x 与函数y 的对应值，判断ax 2+bx+c=0 D. v x v 11.已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0的顶点坐标（-1, 元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=和x 2=（-）及部分图象（如图） ），由图象可知关于 x 的一c.-D.-y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别B . C.D.以上都不对m - 212 .如图，已知二次函数A .15 .抛物线 曲-4x+m 与x 轴的一个交点的坐标为（1,0），则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 __________________ 16 .已知二次函数y=- x 2+2x+m 的部分图象如图所示， 则关于x 的一元二次方程-x 2+2x+m=0的解为 _________________17 .抛物线ynx 2 - 4x+丄与x 轴的一个交点的坐标为（1,0），则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 _______________218 .开口向下的抛物线 y= （m 2- 2） x 2+2mx+1的对称轴经过点（-1, 3）,则m= _______________ .19.已知二次函数y=a/+bx+c （a 工0的顶点坐标（-1,-）及部分图象（如图），由图象可知关于 x 的方程 ax 2+bx+c=0的两个根分别是 x 1=和x 2= ________________________ .20 .如图，已知二次函数 ynax^bx+c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两个根分别是13 .二次函数y=x 2 - 6x+n 的部分图象如图所示，若关于解 X 2= _________ .x 的一元二次方程 x 2 - 6x+n=0的一个解为 x i =i ，则另一个14 .如图，已知抛物线 y=x 2+bx+c 经过点（0,- 3）,请你确定一个b 的值，使该抛物线与 x 轴的一个交点在b 的值是21 .对于二次函数 y=/+2x -5,当x=时，y=-v 0,当x=时，y=>0;所以方程x 2+2x - 5=0的一个正根的近似值是 .(精确到).22 .根据下列表格中y=a/+bx+c 的自变量 x 与函数值y 的对应值，判断方程 ax 2+bx+c=0 (a ^Q a , b , c 为常数)的 一个解x 的范围是 ______________________ . x 2 y=ax +bx+c - - 23 .抛物线y=2x 2-4x+m 的图象的部分如图所示，则关于 x 的一元二次方程 2x 2- 4x+m=0的解是224 .二次函数y=ax +bx+c 的部分对应值如下表： x … -3 - 2 0 1 3 5 …y … 7 0 - 8 - 9 - 5 7 … ① 抛物线的顶点坐标为(1 , - 9); ② 与y 轴的交点坐标为(0，- 8); ③ 与x 轴的交点坐标为(-2, 0 )和(2, 0); ④ 当x=- 1时，对应的函数值 y 为-5.以上结论正确的是 _________________ 25 .二次函数 y=ax 2+bx+c 的自变量 x … -1 -1x 与函数值 0 -74y 的部分对应值如下表: 1 -2根据表格中的信息，完成下列各题(1) 当 x=3 时，y= _________ (2) 当x= _________ 时，y 有最(3) 若点A (X 1, y"、B (x 2, y 2)是该二次函数图象上的两点，且- 小: y 1 __________ y 2 (4) 若自变量x 的取值范围是0W x w,5则函数值y 的取值范围是 值为 1< X 1V 0 , 1 V x 2< 2，试比较两函数值的大26 .阅读材料，解答问题. 例 用图象法解一元二次不等式：.x 2 - 2x - 3 > 0 解：设y=x 2- 2x - 3,则y 是x 的二次函数.■/ a=1> 0, 抛物线开口向上. 又•••当 y=0 时，x 2- 2x - 3=0,解得 X 1 = - 1, x 2=3. •由此得抛物线y=x 2 - 2x - 3的大致图象如图所示. 观察函数图象可知：当 x <- 1或x >3时，y >0. x 2- 2x - 3> 0 的解集是：x <- 1 或 x > 3. (1) 观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2- 2x - 3> 0的解集是 _____________ (2) 仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2- 1 > 0.27. 一元二次方程 X 2+7X +9=1的根与二次函数 y=x 2+7x+9的图象有什么关系试把方程的根在图象上表示出来. 28 .画出函数y=- 2X 2+8X - 6的图象，根据图象回答： (1) 方程-2X 2+8X - 6=0的解是什么； (2) 当X 取何值时，y >0; (3) 当X 取何值时，y v 0.29 .已知二次函数 y=- x 2+2x+m 的部分图象如图所示，你能确定关于X 的一元二次方程-x2+2x+m=0的解o\ 1:?~*30 .小明在复习数学知识时，针对求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程 X 2- X -仁0的两个解.(1) 解法一：选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法) (2) 解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解.如图，把方程X 2- X - 1=0的解看成是二次函数 y= _____________ 的图象与X 轴交点的横坐标即XI ,X 2就是方程的解. (3)解法三：利用两个函数图象的交点求解 _____________________ ① 把方程X 2- X - 1=0的解看成是二次函数 y=的图象与一个一次函数y= __________ 的图象交点的横坐标 ②画出这两个函数的图象，用X 1, X 2在x 轴上标出方程的解.31 .如图是二次函数 y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax 2+bx+c v 0的解集是L-22A . - 1 v x v 5B . X >5C. x v - 1 且 X > 5D. x v - 1 或 X > 5-4 -S3x+a 2 - 1的图象，那么下列结论错误的是（ 当 y v 0 时，x > 0 当-3 v x v 0 时，y >0 当x v 时，y 随x 的增大而增大2上述抛物线可由抛物线 y= - x 2平移得到36 .已知：二次函数 y=x 2 - 4x - a ,下列说法中错误的个数是（ ）① 若图象与x 轴有交点，贝U a <；②若该抛物线的顶点在直线 y=2x 上，则a 的值为-8;③ 当a=3时，不等式x 2- 4x+a >0的解集是（3, 0）;④ 若将图象向上平移1个单位，再向左平移 3个单位后过点x ,则a=- 1; ⑤ 若抛物线与x 轴有两个交点，横坐标分别为 X 1、x 2,则当x 取x 1+x 2时的函数值与x 取0时的函数值相等.A. 1B . 2 C. 3D. 438 .如图，函数y=x 2 - 2x+m （ m 为常数）的图象如图，如果x=a 时，y v 0;那么x=a - 2时，函数值（33 .现定义某种运算 A . - 1v x v 2a ® b=a ( a >b )，若(x+2) ® x 2=x+2，那么x 的取值范围是(B . x >2 或 x v - 1 C. x >2 D. x v - 1 y i =kx+n （k 工0与二次函数 y 2=a/+bx+c （ a 旳）的图象相交于 A (- 1, 5 )、B ( 9, 2)两点,B . - 1<x 9 C. - 1 v x W9 D. x <- 1 或 x >9D. x v - 132 .二次函数y=a/+bx+c （a ^0的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（34 .如图，一次函数kx+n > a+bx+c 的解集为（ ）x >- 1ax > a 的解集是41 .二次函数y=x 2 - 2x - 3的图象如图所示•当 y v 0时，自变量x 的取值范围是 _________________42.如图是抛物线y=ax 2+bx+c 的一部分，其对称轴为直线 x=1，若其与x 轴一交点为B (3, 0),则由图象可知，不等式ax 2+bx+c > 0的解集是 _____________ .1L4L/43 .已知二次函数 y=x 2 - 6x+5.(1) 请写出该函数的对称轴，顶点坐标；(2) 函数图象与 x 轴交点坐标为 _____________ ，与y 轴的交点坐标为 _______________ (3) _____________ 当时y > 0, _ 时y 随x 的增大而增大；(4) 写出不等式 x 2- 6x+5 v 0的解集. _____________0 v y v mC. y=mD. y > m39 .已知：二次函数① 当X V 1时，y 随x 的增大而减小② 若图象与x 轴有交点，贝U a <4③ 当a=3时，不等式 ④ 若将图象向上平移 A . 1y=x 2- 4x+a ,下列说法中错误的个数是x 2 - 4x+a > 0的解集是 1个单位，再向左平移 B . 2 C. 1 v x v 33个单位后过点 3 (1,- 2),则 a=- 3.D. 4 二次函数 y 1 > y2的解集疋y 1 v y 2的解集是 2 ■--40 .如图，① 不等式 ② 不等式 ③ 方程 ax 2+bx+c=kx+n 的解是 X 1=0, X 2=4 其中正确的个数是(y 1=ax 2+bx+c 与一次函数 旦 O v x v 4 x v 0 或 x > 4y 2=kx+n 的图象相交于 A (0, 4), B (4, 1)两点，下列三个结论: B . 1个C.D. 3个时，ax 2+bx+c > 0；时，ax 2+bx+c 的值随x 增大而减小.45.二次函数y=ax 2+bx+c (a ^0的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1) __________________________________________ 写出方程 ax 2+bx+c=0的两个根.x i = , x 2= ;(2) ________________________________________ 写出不等式ax 2+bx+c > 0的解集. ;(3) _______________________________________________________ 写出y 随x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围. ______________________________________________________________ ; (4)若方程ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围.岭54 -2- 1的图象，根据图象提供的信息，确定使- K y 嘲自变量x 的取值范围是 _____________________\V ■■■/ ,A48 .已知抛物线y=x 2 - x - 6,则不等式x 2- x - 6v 0的解集为 ________________ . 49 .已知二次函数y=x 2 - 2x - 3的函数值y v 0,则x 的取值范围为 ________________ 50. 二次函数y=ax 2+bx+c (a ^0的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1) ____________________________________ 不等式ax 2+bx+c > 0的解集为 . (2) 若y 随x 的增大而减小，则自变量 x 的取值范围是 .(3) 若方程ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围是44 .如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于两个点， 根据图象回答:(1) b0 (填 >”、N”、a=)(2)当x 满足 ____________ 46 .二次函数y=a/+bx+c 的图象如图所示，给出下列说法： ①ac >0;②2a+b=0 ;③a+b+c=0 ;④ 当x > 1时，函数y 随x 的增大而增大;x v 3 .其中，正确的说法有 ______________ .(请写出所有正确说法的序号)⑤当y > 0时，—1v3\211 --1 0/ 2 !1-2-51. ______________________________________________________________________________________________ 如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点(1 ,0)和B( 3,2)，不等式x2+bx+c>x+m的解集为 _____________________i\53 .已知函数y i =x2与y2=--；x+3的图象大致如图，若y i<2，则自变量x的取值范围是55 .函数y=x2- 2x- 2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y》l成立的x的取值范围是y》成立的x的取值范围是，则函数值y56 .已知抛物线y= - —x 2 - 3x _—3 2|(1) 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2) 求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标； (3) 画出草图；(4) 观察草图，指出 x 为何值时，y > 0, y=0, y v 0. 57 .如图是二次函数 y=x 2 -2x - 3的图象. (1)求该抛物线的顶点坐标、与 x 轴的交点坐标(2) 观察图象直接指出 x 在什么范围内时，y > 058 .如图，直线 y=x+m 和抛物线y=x 2+bx+c 都经过点 A (1, 0), B ( 3, 2). (1) 求m 的值和抛物线的解析式； (2) 求抛物线的对称轴和顶点坐标；(3) 求不等式x 2+bx+c > x+m 的解集.(直接写出答案)59 .如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C,且点B 的坐标为( 的坐标为(0，- 3), 一次函数y 2=mx+n 的图象过点A 、C. (1) 求二次函数的解析式；(2) 求二次函数的图象与 x 轴的另一个交点 A 的坐标； (3) 根据图象写出y 2v y 1时，x 的取值范围.1, 0),点 C60 .已知抛物线y i=/+ (m+1) x+m - 4与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，且对称轴为x=- 1 .(1)求m的值；(2)画出这条抛物线；(2)若直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P (- 2m, - 3m),根据图象回答：当x取什么值时，y i》2・9> r i « I 4»—□--------- _ u _ _二次函数与二元一次方程组、不等式 60题参考答案:1.解：•••当x=2时，y=4a+2b+c ,对应的y 值即纵坐标为正，即 4a+2b+c >0;故（1）正确；•••由二次函数ynax^bx+c （a 工0的图象可知：函数图象与 x 轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数 根；并且正根的绝对值较大，•方程ax 2+bx+c=0两根之和大于零；故（2）错误；•••函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；不能在整个自变量取值范围内说 y 随x 的增大而增大；故（3）错误；•••由图象可知：c v 0, b v 0, • bc >0,• 一次函数y=x+bc 的图象一定经过第二象限，故（4）错误；•错误的个数为3个，故选B . 2.解：•••图象上有两点分别为 A （,-）、B （,）, •••当 x=时，y=-; x=时，y=, •••当 y=0 时，v x v, 只有选项D 符合，故选D . 3.解：方程x 3- x -仁0,二x 2-仁丄，•它的根可视为y=x 2 - 1和y=的交点的横坐标,罠4. :根据表格可知，5.解：•••由图表可以得出当 x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1, 3）,•二次函数解析式为：y=a （x - 1） 2+3，再将（0, 1）点代入得： 仁a （- 1） 2+3,解得：a=- 2,• y=- 2 （ x - 1） 2+3, •/ a v 0 • A ,抛物线开口向上错误，故： A 错误；T y=- 2 （ x - 1） 2+3= - 2X 2+4X +1，与y 轴交点坐标为（0, 1）,故与y 轴交于正半轴，故：B 错误；■/ x=3 时，y=- 5 v 0,故：C 正确；•••方程a/+bx+c=0, △ =16+4 X 2X 1=22），此方程有两个不相等的实数根，故： D.方程有两个相等实数根错误；故 选：C6. 解：T', •的值在-1与0之间，即-1 v X 1v 0, y=0在y=m - 2与y=m -■之间，故对应的x 的值在2与3之间，即 7 .解：•••抛物线y=x 2+3x - 1与x 轴的交点的横坐标就是方程x 2+3x -仁0的根，•可以求出方程x 2+3x -仁0的根,方程x 2 -仁-3x 与方程x 2+3x -仁0等价，•可以求出方程x 2 -仁-3x 的根•故选 A .8.解：根据表格得，当-v X V-时，-v y v,即-v x 2+2x - 10v, •/ 0距-近一些，•方程x 2+2x- 10=0的一个近似根是-，故选 C .当x=1时，x 2-仁0,又•••交点在第一象限. -=1，交点在x=1的右边，当x=2时，X 2-仁3,X•••1 v xo V 2,故选 C.匸，交点在x =2的左边,-L 卓 \ 11-：■ -4 -3 j 人2 3! 4■A:ax 2+bx+c=0时，对应的x 的值在〜之间.故选• — 1 v m - 2v ——, —v m -—八"T•函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程 ax 2+bx+c=0 的根，函数y=a/+bx+c 的图象与x 轴的交点的 纵坐标为 0 .由表中数据可知: y=0 在 y=m - 2 与 y=m -一之间,C .故对应的2 v X 2V3 .故选：A .9•解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于而小于.所以解的整数部分是1，十分位是1 .故选C.10 .解：由表可以看出，当x取与之间的某个数时，y=0,即这个数是ax2+bx+c=0的一个根.ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为v x v.故选C11 .解：方法一：■/ 二次函数ynax^bx+c 的顶点坐标（-1，-）上=-1则-上=-22a a■/ x1x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根 .x1+x2=- —|日又•/ x1 = . x1+x2=+x2= - 2 解得x2=-.方法二：根据对称轴为；x=- 1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=,Xi 3*孟空则一: --- =-1，即 _ = - 1，解得：x2=-,故选D12 .解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，•••抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1, x2,那么两根满足2x 3=1+x2，而X1 = , • X2=.故选C.卜_ & 1+七13 .解：由图可知，对称轴为x=- . =-一「=3，根据二次函数的图象的对称性，----------- =3,2a / 2解得x2=5 .故答案为：514.解：把（0,- 3）代入抛物线的解析式得：c=-3, • y=x2+bx- 3,•••使该抛物线与x轴的一个交点在（1, 0）和（3, 0）之间，•••把x=1 代入y=x+bx- 3 得：y=1+b-3v 0把x=3 代入y=x2+bx-3 得：y=9+3b - 3>0, • - 2v b v2 ,即在-2v b v 2范围内的任何一个数都符合，故答案为：在-2v b v 2范围内的任何一个数.15.解：把点（1, 0）代入抛物线y=x2- 4x+m中，得m=3，所以，原方程为y=x2- 4x+3, 令y=0,解方程x2- 4x+3=0,得X1=1, X2=3，•抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3, 0）. 故答案为：（3, 0）.16.解：依题意得二次函数y=-x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3, 0）,•••抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1 -（3- 1）=- 1，•交点坐标为（-1, 0）•••当x=- 1或x=3时，函数值y=0, 即-x2+2x+m=0, •关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为X1=- 1或X2=3.故填空答案：X1= - 1或X2=3 .17. 解：把点（1 , 0）代入抛物线y=x2- 4x—；中，得m=6，所以，原方程为y=x2- 4x+3,令y=0,解方程x2- 4x+3=0,得X1=1, x2=3 •••抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3, 0）18.解：由于抛物线y= （m2- 2）x2+2mx+1的对称轴经过点（-1, 3）,•对称轴为直线x= - 1, x= i = - 1,解得m1 = - 1, m2=2.2 （ID2-2）由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m2- 2=2> 0,不合题意，应舍去，• m= - 1.19 .解：二次函数y=ax2+bx+c （a工0的顶点坐标是（-1,-）,则对称轴为x= - 1;所以「 j = — 1，又因为 X 1=,所以 X 2=- 2 - X 1=- 2 -=-.|2\20. 解：依题意得二次函数 y=ax 2+bx+c 的部分图象的对称轴为 x=3,而对称轴左侧图象与 x 轴交点与原点的距离，约为，••• X1=；X 1 +虽 ri又•••对称轴为x=3,则 ——=3, • X 2=2X3 =. 221.解：•••二次函数y=x 2+2x - 5中a=1>0, •••抛物线开口方向向上， •••对称轴x=-— =- 1, • x >- 1时y 随x 的增大而增大，2a•••当 x=时，y=-v 0，当 x=时，y=> 0, •方程x 2+2x - 5=0的一个正根：v x v, •近似值是.答案. 22 .解：由表格中的数据看出-和更接近于 0，故x 应取对应的范围.故答案为：v x v.23.解：观察图象可知，抛物线y=2x 2- 4x+m 与x 轴的一个交点为（-1, 0）,对称轴为x=1,•••抛物线与x 轴的另一交点坐标为（3, 0）, •一元二次方程2x 2- 4x+m=0的解为X 1=- 1, x 2=3. 故本题答案为：X 1=- 1, x 2=3. 24.解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得，① 抛物线的顶点坐标为（1，- 9）;② 与y 轴的交点坐标为（0，- 8）;③与x 轴的交点坐标为（-2, 0）和（4, 0）;④当x=- 1时，对应的函数值 y 为-5. 故答案为：①②④.25.当 x =3 时，y —]=- 1；（2） 将y=：x 2- x -—配方得，y 二（x - 1） 2 - 2, •/ a 二> 0, •函数有最小值，当 x=1时，最小值为-2;4 2 4 4 4（3） 令y=0,则x=±2 >1,抛物线与x 轴的两个交点坐标为（2 ：-：+1, 0） （- 2："+1 , 0） ■/ - 1 v X 1V 0, 1 v X 2V 2, • x 1 到 1 的距离大于 x 2 到 1 的距离，• y 1 >y 2（4） •••抛物线的顶点为（1，- 2） , •当x=5时，y 最大，即y=2;当x=1时，y 最小，即y= - 2, •函数值y 的取值范围是-2 < y 秀2故答案为-1 ; 1、小、-2; >;- 2< y W2 26. 解：（1） x v - 1 或 x >3;（2）设y=x 2 - 1,贝U y 是x 的二次函数，•/ a=1 > 0, •抛物线开口向上.又•••当y=0时，x 2- 1=0，解得x 仁-1, X 2=1 . •由此得抛物线y=x 2- 1的大致图象如图所示. 观察函数图象可知：当 x v - 1或x > 1时，y >0. • x 2 - 1>0的解集是：x v - 1或x > 1.解：（1）由表得，解得 11-, •二次函数的解析式为讨—x -「二 X 1X 2=i= - 1 , 3由①②③，得:3=1- 1 ； .•.二次函数方程为y=x 2 - x - 1 . 尸一1解：一兀二次方程 x 2+7x+9=1的根是二次函数 y=x 2+7x+9图象中y=1时，所对应的x 的值; 当 y=1 时，x 2+7x+9=1,•••作出二次函数y=x 2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当 y=1时，x 或-， •••一元二次方程 x 2+7x+9=1的根为x i^, x 2〜-.28.解：函数y=-2x 2+8x - 6的图象如图.由图象可知：(1) 方程-2x 2+8x - 6=0 的解 x i =1, x 2=3. (2)当 1v x v 3 时，y > 0. (3) 当 x v 1 或 x > 3 时，y v 0.29 .解：根据图象可知，二次函数 入，得-32+2 x 3+m=（解得, 解②，得 x i =3, x 2=- 1 30.解：（1 ）由原方程，得：y=- x 2+2x+m 的部分图象经过点（3, 0）,所以该点适合方程 m=3y= - x 2+2x+m , 代① 把① 代入一兀二次方程-x 2+2x+m=0，得-x 2+2x+3=0,②-Vs+i2 2 --7=0,即（玄2 4 2（2）设二次函数方程为 y=aY+bx+c （a , b , c 均为实数，且 a 工0. 由图象得知，该函数过点（ •把（0,- 1） 二次函数方程为：丄；解得 X1 -- - ---- , X2二0, - 1）,所以该点满足方程 代入方程y=ax 2+bx+c ,得c=- 1,① y=aY+bx+c 与x 轴交点的横坐标就是方妬41~2 y=ax 2+bx+c ,x 2- x -仁0的解;即 c=- a ;②x 1+x 2= ——=1 ；③a(3)31.解：由图象得：对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5, 0),•••图象与x轴的另一个交点坐标为(- 1, 0).利用图象可知：a^+bx+c v 0的解集即是y v 0的解集，x v- 1 或x>5 .故选：D.32.解：A、T图象开口向下，• a v 0, •••与y轴交于正半轴，• c>0, ：•对称轴在y轴左侧，-上v 0, • b v 0,2a• abc> 0，故本选项错误；B、•••当x= - 1时，对应的函数值y> 0，即a - b+c> 0, • a+c>b，故本选项错误；C、•••抛物线的对称轴为直线x=-上〉-1，又a v 0, ••• b > 2a，故本选项正确；2aD、•••当x=- 2时，对应的函数值y v 0，即4a- 2b+c v 0, • 4a v 2b- c,故本选项错误.故选C.33. 解：由定义运算得：x+2>x2,即解不等式x2- x- 2v 0,设y=x2- x-2，函数图象开口向上，图象与x轴交点是(-1 , 0), (2, 0),由图象可知，当-1 v x v 2时，y v 0, 即卩x的取值范围-1 v x v2.故选A.34 .解：由图形可以看出：抛物线y2=ax2+bx+c (a工0和一次函数y1=kx+ n ( k工0的交点的横坐标分别为- 1, 9,当y1》2时，x的取值范围正好在两交点之内，即- K x W9故选A.35.解：由图象可知，抛物线经过原点(0, 0),所以a2-仁0,解得a=±l,•••图象开口向下，a v 0, • a=- 1. • y=- x2- 3x, •二次函数与图象的交点为：(-3, 0), (0, 0),•••当y v 0时，x v - 3或x> 0,故A选项错误；当-3v x v 0时，y> 0 ,故B选项正确；当x v -育时,y随x的增大而增大故C选项正确；上述抛物线可由抛物线y=-x2平移得到，故D选项正确；故选：A.36 .解：①•••图象与x轴有交点，贝U △ =16 - 4 X 1^- a)解得a A 4;故本选项错误；②•••二次函数y=x2- 4x- a的顶点坐标为(2, - a - 4),代入y=2x得，-a- 4=2X2, a= - 8,故本选项正确；③表达错误，解集不能表示为(3, 0),故本选项错误；④ 表达错误，点不能用x表示，故本选项错误；⑤ 由根与系数的关系，x1+x2=4,当x=4时，y=16 - 16 - a= - a,当x=0时，y=- a,故本选项正确.故选C.37. 解：由图象可知a v0, •不等式ax>a的解集为x v 1 .故选B.38.解：x=a 代入函数y=x2- 2x+m 中得：y=a2- 2a+m=a (a - 2) +m ,■/ x=a 时，y v 0, • a (a- 2) +m v 0,由图象可知：m > 0, • a (a - 2) v 0,又T x=a 时，y v 0, • a >0 则 a - 2 v 0,由图象可知：x=0 时，y=m,又T x v 1时y随x的增大而减小，• x=a - 2时，y>m.故选：D.39.45.解：二次函数为 y=x 2 - 4x+a ，对称轴为x=2,图象开口向上.则： A 、 当x v 1时，y 随x 的增大而减小，故说法正确；B 、 若图象与x 轴有交点，即△ =16 - 4a >0贝U a <4故说法正确；C 、 当a=3时，不等式 £ - 4x+3v 0的解集是x v 0或x > 3，故说法错误；D 、 原式可化为y= (x - 2) 2- 4+a ,将图象向上平移1个单位，再向左平移 3个单位后所得函数解析 式是y= (x+1) 2- 3+a ,函数过点(1, - 2),代入解析式得到：a= - 3.故说法正确.故选 A .40 .① 通过图象可知，在点 A 和B 之间y 1的图象在y 2的上面，也就是 y 1>y 2,且解集是0 v x v 4,此选项正确； ② 通过图象可知，在点 A 的左边和在B 的右边，y 1的图象在y 2的下面，也就是y 1 v y 2,且解集是x v 0或x >4, 此选项正确；③ 两函数图象的交点就是 y 仁y 2的解，且解是x 仁0, x 2=4,此选项正确. 故选D . 41 .解：•••二次函数y=x 2 - 2x - 3的图象如图所示.•••图象与x 轴交在(-1, 0), (3, 0), •••当y v 0时，即图象在x 轴下方的部分，此时 x 的取值范围是：-1 v x v 3，故答案为：-1 v x v 3.42.解：•••抛物线与x 轴的一个交点(3, 0)而对称轴x=1 •抛物线与x 轴的另一交点(-1, 0) 当y=ax 2+bx+c >0时，图象在 x 轴上方此时x v - 1或x > 3 故填空答案：x v - 1或x >3. 43.故对称轴为x=3,顶点坐标为(3, - 4)；(2) 令y=0,即x 2- 6x+5=0解得x 仁1, x 2=5故函数图象与x 轴交点为(1, 0) , (5, 0) • c=0,故图象与y 轴交点为(0, 5)；(3) 由图象可知当x v 1或x >5时，y >0当x >3时，y 随x 的增大而增大 (4) 由图象可知，x 2- 6x+5v 0的解集为1 v x v 5. 44.解：(1)根据图象得二次函数 y=ax 2+bx+c (a 工0的图象，a > 0,•••对称轴经过x 轴的负半轴，即可得出 a , b 同号，• b >0,故答案为：b >0； (2)根据图象得二次函数 y=ax 2+bx+c (a 工0的图象与x 轴交点坐标为(2, 0)、(- 4, 0), 而 ax 2+bx+c > 0，即 y >0, • x v - 4 或 x > 2;故答案为：x v - 4 或 x > 2； (3)根据图象得二次函数 y=aY+bx+c (a 工0的图象与x 轴交点坐标为(2, 0)、(- 4, 0),•抛物线的对称轴为 x=- 1, •当x v - 1时，y 随x 的增大而减小.故答案为： x v - 1.-4,解：(1) •••二次函数y=aY+bx+c的图象与x轴的交点为(1, 0), (3, 0)•••方程ax2+bx+c=0 的两个根x i=1, X2=3;(2)由二次函数y=aY+bx+c的图象可知：1 < x v 3时，二次函数y=ax2+bx+c的值大于0•不等式ax2+bx+c>0的解集为1< x< 3;(3)由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2「. y随x的增大而减小的自变量x 的取值范围为x>2;(4)由图象可知：二次函数y=aY+bx+c的顶点坐标为(2, 2),当直线y=k，在(0, 2)的下边时，一定与抛物线有两个不同的交点，因而当k< 2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根.46.解：•••抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，• a< 0, c> 0, • ac v 0, •① 错误；由图象可知：- 丄=1, • 2a+b=0, •••② 正确；当x=1时，y=a+b+c> 0, •③ 错误；2a由图象可知：当x> 1时，函数y随x的增大而减小，•••④ 错误；根据图象，当-1 < x< 3时，y>0, •⑤正确；正确的说法有②⑤.47. 解：•/y=x2+bx- 1 经过(3, 2)点，• b=- 2, •/ - 1 < y手2二—1 <2-2x- K2,解得2< x<或- 1 < x W048. 解：•/ x2- x- 6=0 • X1 = - 2, X2=3「.抛物线y=x2- x- 6 与x 轴的交点坐标为(-2, 0), (3, 0) 而抛物线y=x2- x-6开口向上当y< 0时，图象在x轴的下方，此时-2< x< 3故填空答案：-2< x< 3.49. 解：当y=0 时，即x2- 2x- 3=0, • X1 = - 1 , x2=3, •图象与x 轴的交点是(-1, 0), (3, 0), 当y< 0时，图象在x轴的下方，此时-1< x< 3.故填空答案：-1< x<3.50.解：(1)依题意因为ax2+bx+c> 0，得出x的取值范围为：1< x< 3；(2)如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为：x>2；(3)由顶点(2, 2)设方程为a (x- 2) 2+2=0, ：•二次函数与x轴的2个交点为(1 , 0), (3 , 0),• a=- 2, •抛物线方程为y=-2 (x- 2) 2+2, y=- 2 (x-2) 2+2- k实际上是原曲线下移k个单位，由图形知，当k<2时，曲线与x轴有两个交点.故k< 2.故答案为：(1) 1< x< 3； (2) x>2； (3) k< 2.50. 解：•••直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A (1, 0)和B (3, 2),•根据图象可知，不等式x2+bx+c>x+m的解集为x< 1或x>3;故答案为：x< 1或x>3.52 .解：直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值为x<- 1或x >3故答案为x w 1或x >353. 解：根据图象知，当y1<2时，自变量x的取值范围是-2<总故答案为-2<余.L_a54.解：由图可知，-三< x< -时，函数图象在x轴的下方，所以y< 0 .故答案为：<.55 .解：当y=1 时，x2- 2x- 2=1，解得(x+1) (x- 3) =0, X1= - 1, x2=3.由图可知，x务1或x>3寸y >1故答案为xw 1或x>356.解：(1) T y=-=x2-3x-育=-£ (x2+6x+5)=-纟(x2+6x+9- 4) =-£(x+3) 2+2,•••开口向下，对称轴为x=- 3，顶点坐标为(-3, 2)；(2)•••令x=0,得：y=-=,.・.抛物线与y轴的交点坐标为：(0,-—)；令y=0,得到-丄x2- 3x-—=0,解得：x= - 1 或x= - 5,故抛物线与x轴的交点坐标为：(-1, 0)和(-5, 0)；(3)草图为：(4) 根据草图知：当 x= - 1或x=- 5时，y=0,当—5v x v — 1 时 y > 0,当 x v — 5 或 x >— 1 时 y v 0. 57. 解：(1) ■/y=x 2 —2x — 3=(x —1) 2 — 4= (x+1) (x — 3),二抛物线的顶点坐标为(1 , — 4),对称轴为直线x=1，与x 轴交点为(-1, 0),( 3, 0); (2)由图象可知，当 x >3或x v — 1时，y >0 .58.解：(1)把点A (1, 0), B (3, 2)分别代入直线 y=x+m 和抛物线y=x 2+bx+c 得:l+b+c=Qc — —3*(2) 令 y 1=0,得 x 2+2x — 3=0,解这个方程，得 x 1= — 3, x 2=1, •此二次函数的图象与 x 轴的另一个交点 A 的坐标为(-3, 0); (3) 当 x v — 3 或 x >0, y 2v y 1.0=1+m ,0=14Uc2=9+3b+c，• m= — 1, b= — 3, c=2,所以 y=x — 1, y=x 2 — 3x+2;(2)由(1 )知，该抛物线的解析式为:y=x 2 — 3x+2, • y= (x-卫)2 —2x=— 2 ;顶点坐标是(—, x v 1 或 x > 3.%二工丄的图象经过B (1, 0)、C3)两点,，解这个方程组，得•抛物线的解析式为•••抛物线的对称轴是:解：(1)由二次函数60 .解：(1)由题意，有一竺二一 1,解得m=1 .(2) •/ m=1, ••• y i =x 2+2x — 3, /• y i = (x+1) 2 - 4, 列表为：x … —3— 2 — 1 0 y=x 2+2x — 3 0— 3 — 4 — 3 描点并连线为：； *■ 二£■ • a * ■ ■(3) •/ m=1 • P (— 2,— 3), •••可以画出直线的图象.•••由图象得x w 2或x》时，y1>2.。
专项练习二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合练习
专项练习二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合练习1．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图3－ZT －1所示，那么关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝m 有实数根的条件是( ) 图3－ZT －1A 、m ≥－2B 、m ≥5C 、m ≥0D 、m ＞42．如图3－ZT －2是二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝( )图3－ZT －2A 、－1.6B 、3.2C 、4.4D 、以上都不对3．2019·杭州四名同学在研究函数y ＝x2＋bx ＋c(b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，这四名同学中只有一名同学发现的结论是错误的，那么该同学是( )A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁4．直线y ＝3x －3与抛物线y ＝x2－x ＋1的交点的个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、不能确定5．抛物线y1＝ax2＋bx ＋c 与直线y2＝mx ＋n 如图3－ZT －3所示，以下判断：①abc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③5a －c ＝0；④当x ＜12或x ＞6时，y1＞y2.其中正确的个数是( )图3－ZT －3A 、1B 、2C 、3D 、46．2019·绵阳将二次函数y ＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，那么实数b 的取值范围是( )A 、b ＞8B 、b ＞－8C 、b ≥8D 、b ≥－87．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 和正比例函数y ＝23x 的图象如图3－ZT －4所示，那么方程ax2＋(b －23)x ＋c ＝0的两根之和( )图3－ZT －4A 、大于0B 、等于0C 、小于0D 、不能确定8．如图3－ZT －5是抛物线y1＝ax2＋bx ＋c 的一部分，抛物线的顶点是A(1，3)，与x 轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝mx ＋n(m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，以下结论：①2a ＋b ＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1.其中正确的选项是( )图3－ZT －5A 、①②③B 、①③④C 、①③⑤D 、②④⑤9．二次函数y ＝(x －h)2＋1(h 为常数), 在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，那么h 的值为( )A 、1或－5B 、－1或5C 、1或－3D 、1或310．2019·孝感如图3－ZT －6，抛物线y ＝ax2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，那么方程ax2＝bx ＋c 的解是________．图3－ZT －611．二次函数y ＝kx2＋(2k －1)x －1的图象与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)，那么对于以下结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②方程kx2＋(2k －1)x －1＝0有两个不相等的实数根x1，x2；③x2－x1＝1＋4k2k.其中正确的选项是__________(只填序号)．12．如图3－ZT－7，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象分别与x轴、y轴相交于点A(－3，0)，B(0，－3)，二次函数y＝x2＋mx ＋n的图象经过点A.(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)假设二次函数y＝x2＋mx＋n的图象的顶点在直线AB上，求m，n 的值；(3)当－3≤x≤0时，二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值为－4，求m，n 的值．图3－ZT－713．请阅读以下解题过程，并回答以下问题．解一元二次不等式：x2－5x＞0.解：设x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，那么抛物线y＝x2－5x与x轴的交点坐标为(0，0)和(5，0)．画出二次函数y＝x2－5x的大致图象(如图3－ZT－8所示)，由图象可知：当x＜0或x＞5时，函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－5x＞0，所以一元二次不等式x2－5x＞0的解集为x＜0或x＞5.通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答以下问题：(1)上述解题过程中，渗透了以下数学思想中的________和_______ _．(只填序号)①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．(2)一元二次不等式x2－5x＜0的解集为____________．(3)用类似的方法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0.图3－ZT－814．小明在复习数学知识时，针对〝求一元二次方程的解〞整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的解．(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)．(2)解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图3－ZT －9(a)，把方程x2－x －1＝0的解看成是二次函数y ＝________的图象与x 轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．①把方程x2－x －1＝0的解看成是二次函数y ＝________的图象与一次函数y ＝________的图象交点的横坐标；②在图(b)中，画出这两个函数的图象，用x1，x2在x 轴上标出方程的解．图3－ZT －9教师详解详析1．[解析] A 求方程ax2＋bx ＋c ＝m 有实数根的条件就是求二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与常数函数y ＝m 的图象什么时候有交点，由二次函数的图象可知，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 有最小值－2，因此，当m ≥－2时，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与常数函数y ＝m 的图象有交点．2．[解析] C 由图可知，抛物线的对称轴为直线x ＝3，∴抛物线与x 轴的两个交点关于直线x ＝3对称．而关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x1，x2， ∴两根满足x1＋x2＝2×3.∵x1＝1.6，∴x2＝4.4. 3．[解析] B 假设甲和丙的结论正确，那么⎩⎨⎧－b 2＝1，4c －b24＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝4， ∴函数的表达式为y ＝x2－2x ＋4.当x ＝－1时，y ＝x2－2x ＋4＝7，∴乙的结论不正确；当x ＝2时，y ＝x2－2x ＋4＝4，∴丁的结论正确．∵四名同学中只有一名同学发现的结论是错误的，∴假设成立．应选B.4．[解析] B 由3x －3＝x2－x ＋1，得x2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，x1＝x2＝2.故直线y ＝3x －3与抛物线y ＝x2－x ＋1的交点只有一个．5．[解析] C 由图知抛物线开口向上，∴a ＞0.对称轴为直线x ＝－b 2a ＝3，∴b ＜0.∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＜0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝3，且与x 轴交于点(5，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)，∴当x ＝1时，y1＝a ＋b ＋c ＝0，∴②错误；由①知－b 2a ＝3，∴b ＝－6a ，由②知当x ＝1时，y1＝a ＋b ＋c ＝0，∴a －6a ＋c ＝0，即－5a ＋c ＝0，5a －c ＝0，∴③正确；观察图象可知抛物线与直线交点的横坐标分别是12与6，∴当x<12或x>6时，y1>y2，∴④正确．应选C.6．[解析] D 二次函数y ＝x2的图象向下平移1个单位，再向右平移3个单位后，得到y ＝(x －3)2－1的图象，再结合与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，建立关于x 的一元二次方程，利用一元二次方程有解的条件Δ≥0，可求出b 的取值范围．7．[解析] A 设ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x1，x2.∵由二次函数的图象可知x1＋x2＞0，a ＞0，∴－b a ＞0. 设方程ax2＋(b －23)x ＋c ＝0(a ≠0)的两根为m ，n ，那么m ＋n ＝－b －23a ＝－b a ＋23a .∵a ＞0，∴23a ＞0，∴m ＋n ＞0.应选A.8．[答案] C9．[解析] B 根据题意知，最小值肯定不是x ＝h 时y 的值，∴对称轴x ＝h 中的h 不在1≤x ≤3的范围内．∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，∴①假设h ＜1，那么当x ＝1时，y 取得最小值5，可得(1－h)2＋1＝5，解得h ＝－1或h ＝3(舍去)；②假设h>3，那么当x ＝3时，y 取得最小值5，可得(3－h)2＋1＝5，解得h ＝5或h ＝1(舍去)．综上所述，h 的值为－1或5.应选B.10．[答案] x1＝－2，x2＝1[解析] ∵抛物线y ＝ax2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－2，y1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝1，y2＝1， 即方程ax2＝bx ＋c 的解是x1＝－2，x2＝1.11．[答案] ①②[解析] ①当x ＝－2时，y ＝4k －2×(2k －1)－1＝4k －4k ＋2－1＝1，故本结论正确；②∵抛物线与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)，∴方程kx2＋(2k －1)x －1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，故本结论正确；③∵二次函数y ＝kx2＋(2k －1)x －1的图象与x 轴交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)， ∴x1＋x2＝1－2k k ，x1·x2＝－1k ， ∴x2－x1＝()x1＋x22－4x1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2＋4×1k ＝1＋4k2k2＝1＋4k2||k ， 故本结论错误．故答案为①②. 12．解：(1)由题意可得y ＝kx －3，把点A 的坐标代入y ＝kx －3，得－3k －3＝0，解得k ＝－1.∴一次函数的表达式为y ＝－x －3.(2)∵y ＝x2＋mx ＋n 的图象经过点A(－3，0)， ∴9－3m ＋n ＝0，n ＝3m －9，∴y ＝x2＋mx ＋3m －9，其顶点坐标为(－m 2，－m2＋12m －364)． ∵该抛物线的顶点在直线AB 上，∴－(－m 2)－3＝－m2＋12m －364， 化简，得m2－10m ＋24＝0，解得m1＝4，m2＝6.当m ＝4时，n ＝3m －9＝3；当m ＝6时，n ＝3m －9＝9. 综上可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝9. (3)抛物线y ＝x2＋mx ＋3m －9的对称轴是直线x ＝－m 2.①假设－m 2<－3，即m>6，那么当x ＝－3时，y 最小值＝9－3m ＋3m－9＝0≠－4(不符合题意，舍去)．②假设－3≤－m 2≤0，即0≤m ≤6，那么当x ＝－m 2时，y 最小值＝－m2＋12m －364＝－4，得m2－12m ＋20＝0，解得m1＝2，m2＝10(不符合题意，舍去)．③假设－m 2>0，即m<0，那么当x ＝0时，y 最小值＝3m －9＝－4，∴m ＝53>0(不符合题意，舍去)．综上所述，m ＝2符合题意，此时n ＝－3.13．[解析] (1)根据题意容易得出结论．(2)由图象可知：当0＜x ＜5时函数图象位于x 轴下方，此时y ＜0，即x2－5x ＜0，即可得出结果．(3)设x2－2x －3＝0，解方程得出抛物线y ＝x2－2x －3与x 轴的交点坐标，画出二次函数y ＝x2－2x －3的大致图象，由图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即x2－2x －3＞0.解：(1)① ③(2)由图象可知：当0＜x ＜5时，函数图象位于x 轴下方，此时y ＜0，即x2－5x ＜0，∴一元二次不等式x2－5x ＜0的解集为0＜x ＜5.故答案为0＜x ＜5.(3)设x2－2x －3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴抛物线y ＝x2－2x －3与x 轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)． 画出二次函数y ＝x2－2x －3的大致图象(如下图)，由图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即x2－2x －3＞0，∴一元二次不等式x2－2x －3＞0的解集为x ＜－1或x ＞3.14．解：(1)由原方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＝54， 解得x1＝－5＋12，x2＝5＋12. (2)x2－x －1(3)(答案不唯一)①x2 x ＋1 ②如图．。
二次函数与一元二次方程、不等式 高中数学教案
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x│x>x2或x<x1}{x│x≠‒2b a}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x│x1<x<x2}∅∅ab2-=22．一元二次不等式ax+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
二次函数与一元二次方程不等式常见题型总结
二次函数与一元二次方程、不等式常见题型总结题型一：不含参数的一元二次不等式的解法 1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R2．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >3或x <－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12 D ．R3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－13 4．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤－1或x ≥92 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤－92或x ≥1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －92≤x ≤1 5．不等式⎝⎛⎭⎫12－x ⎝⎛⎭⎫13－x >0的解集是( D )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <13D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >12 6．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <－2或x >1}D ．{x |－1<x <2}7．(多选)下列不等式的解集为R 的有( )A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－25x ＋5>0C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<1 8.解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6<0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3>0. 9.解下列不等式：(1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0.题型二：含参数的一元二次不等式的解法1.设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( )A ．{x |x <－n 或x >m }B ．{x |－n <x <m }C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }2.(多选)已知关于x 的一元二次不等式ax 2－(2a －1)x －2>0，其中a <0，则该不等式的解集可能是( )A ．∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1a<x <2 3.若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________________． 4.若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为________． 5.若关于x 的不等式x 2－mx <0恰有一个整数解1，则m 的取值范围为________．6.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(1,0)与(3,0)两点，当a ＝________时，不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为________．(写出a 的一个值即可)7.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R ，a ≥0)．8.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R ，a <0)．9.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a <0.10.已知关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0.(1)当a ＝2时，解上述不等式；(2)当a ∈R 时，解上述关于x 的不等式． 11.解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0. 题型三：三个“二次”关系的应用1.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <1}，那么关于x 的不等式cx 2－ax ＋b >0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1或x >12 2.若关于x 的不等式ax －1x ＋b >0的解集是{x |－1<x <3}，则关于x 的不等式2ax ＋12x －b <0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－32或x >12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－12或x >323．若关于x 的不等式ax －b ≤0的解集为{x |x ≥2}，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0的解集是( )A ．{x |x <－3或x >2}B ．{x |－3<x <2}C ．{x |x <－2或x >3}D ．{x |－2<x <3}4.．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值的和是( )A ．13B ．18C ．21D ．265.(多选)若关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是{x |－1<x <2}，则下列选项正确的是( )A ．b <0且c >0B ．a －b ＋c >0C ．a ＋b ＋c >0D ．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |－2<x <1}6.．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为{x |x <－1或x >4}，则实数a ＝________.7．写出一个一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正实数根和一个负实数根的充分不必要条件________．8.．已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12.(1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.9.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}， （1）求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集； （2）求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．10.已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．题型四：分式不等式的解法 1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．{x |x <－1或－1<x ≤2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1或x ≥2}D ．{x |－1<x ≤2}2．若p ：x －52－x≥0，q ：x 2－7x ＋10<0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 4．不等式x －1x ＋2<0的解集为( )A ．{x |x >1}B ．{x |x <－2}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}5．不等式1x <12的解集是( )A ．{x |x <2}B ．{x |x >2}C ．{x |0<x <2}D ．{x |x <0或x >2} 6.解下列不等式：(1)x ＋12x －1<0； (2)1－x 3x ＋5≥0； (3)x －1x ＋2>1. 7.解下列不等式：(1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1<3. 题型五：高次不等式的解法解下列不等式(1) 6x 2－17x ＋122x 2－5x ＋2≥0 (2)(x ＋2)(x 2－x －12)>0 （3）(x 2＋2x －3)(x －1)(－8x ＋24)≤0（4）0322322<--+-x x x x (5)62323+>+x x x (6)0)2)(54(22<++--x x x x 题型六：与一元二次不等式有关的恒成立问题1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<02．若关于x 的不等式－x 2＋mx －1≥0有解，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |m ≤－2或m ≥2}B ．{m |－2≤m ≤2}C ．{m |m <－2或m >2}D ．{m |－2<m <2}3．已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．{a |－4≤a ≤4}B ．{a |－4<a <4}C ．{a |a ≤－4或a ≥4}D ．{a |a <－4或a >4}4．已知关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1}5.对任意实数x ，不等式3x 2＋2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 恒成立，则正整数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(多选)不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a <2D ．a <07.已知不等式x 2＋x ＋k ＞0恒成立，则k 的取值范围为________．8.若一元二次不等式2kx 2＋kx －38 <0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．9.已知不等式mx 2－2x ＋m －2＜0.若对于任意x ∈R ，不等式恒成立，则m 的取值范围为________．10.若对于任意实数x ，不等式mx 2－mx －1<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围． 11.已知函数y ＝mx 2－mx －6＋m ，若对于1≤m ≤3，y <0恒成立，求实数x 的取值范围． 题型七：一元二次不等式与实际问题1.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52 t 万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是( )A ．{t |1≤t ≤3}B ．{t |3≤t ≤5}C ．{t |2≤t ≤4}D ．{t |4≤t ≤6}2.一个容积为1 000 mL 的容器里盛满浓度为80 %的酒精．第一次倒出若干毫升后，用水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满．要使这时容器内的酒精浓度不大于20 %.则每次至少倒出溶液( )A ．200 mLB ．500 mLC ．1 000 mLD ．1 500 mL3．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的关系式是y ＝3 000＋20x －x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．4.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价(单位：元)的取值范围是________．5.一辆汽车总质量为ω，时速为v (km/h)，设它从刹车到停车行走的距离L 与ω，v 之间的关系式L ＝k v 2ω(k 是常数).这辆汽车空车以每小时50 km 行驶时，从刹车到停车行进了10 m ，求该车载有等于自身质量的货物行驶时，若要求司机在15 m 距离内停车(包含15 m)，并且司机从得到刹车指令到实施刹车时间为 1 s，汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到1 km/h)6.国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.7.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(米/秒)，且0≤v≤时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且≤k≤0.9).警距离，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/时？。
备考2022年中考数学二轮复习-函数_二次函数_二次函数与不等式(组)的综合应用-综合题专训及答案
备考2022年中考数学二轮复习-函数_二次函数_二次函数与不等式（组）的综合应用-综合题专训及答案二次函数与不等式（组）的综合应用综合题专训1、(2017丰台.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+2m﹣1（m≠0）与平行于x轴的一条直线交于A，B两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果点A的坐标是（﹣1，﹣2），求点B的坐标；（3）抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线顶点D到点C的距离大于2，求m的取值范围．2、(2018西湖.中考模拟) 二次函数y=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣m+3．（1）求该二次函数的对称轴；（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；（3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m．3、(2017江北.中考模拟) 如图，已知图①中抛物线y=ax2+bx+c经过点D（﹣1，0）、C（0，﹣1）、E（1，0）．（1）求图①中抛物线的函数表达式；（2）将图①中抛物线向上平移一个单位，再绕原点O顺时针旋转180°后得到图②中抛物线，则图②中抛物线的函数表达式为；（3）图②中抛物线与直线y=﹣x﹣相交于A、B两点（点A在点B的左侧），如图③，求点A、B的坐标，并直接写出当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围．4、(2017杭州.中考模拟) 已知抛物线y=x2﹣2bx+c（1）若抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），求b，c的值；（2）若b+c=0，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由；（3）若c=b+2且抛物线在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．5、(2016杭州.中考真卷) 已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．①求证：2a+b=0；②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．6、(2019河南.中考模拟) 根据下列要求，解答相关问题：（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点（﹣1，2）与x轴的交点是（0，0），（﹣2，0），用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象如图1所示；②数形结合，求得界点：当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；③借助图象，写出解集：由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为．（2）利用（1）中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2﹣2x+1＜4的解集．①构造函数，画出图象；②数形结合，求得界点；③借助图象，写出解集．（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集．7、(2017荆州.中考真卷) 已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．8、(2017长沙.中考真卷) 若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．9、(2017揭阳.中考模拟) 如图，直线y=﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点C（m，﹣）在抛物线上，求m的值．（3）根据图象直接写出一次函数值大于二次函数值时x的取值范围．10、(2019昆明.中考模拟) 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B （3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤ 时，直接写出x的取值范围是.11、(2019盘龙.中考模拟) 如图，已知抛物线与轴交于点，，且线段，该抛物线与轴交于点，对称轴为直线.（1）求抛物线的函数表达式；（2）根据图象，直接写出不等式的解集：；（3）设D为抛物线上一点，为对称轴上一点，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为.12、(2020萧山.中考模拟) 已知点A（1，1）为函数y=ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）上一点。
考点07 二次函数与一元二次方程和不等式的关系-解析版 2023-2024学年九年级数学考点归纳与解
考点07 二次函数与一元二次方程和不等式的关系1 抛物线与x 轴的交点情况的分析二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）1.抛物线与x 轴的交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx +c=0的解.2.若已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的函数值为s ，求自变量x 的值，就是解一元二次方程ax 2+bx +c=s .3.二次函数y =a x 2+bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程a x 2+bx +c =0的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x 轴相离.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点的个数一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况b 2-4ac >0有两个有两个不相等的实数根b 2-4ac =0有一个有两个相等的实数根b 2-4ac<0没有公共点没有实数根2 抛物线与y 轴的交点情况图像与y 轴的交点即是x ＝0的情况求y 的值，也就是c 的值。
3 已知函数值求自变量的值只需要将对应的函数值的值带入函数解析式即可求出自变量的值4 根据图像确定方程根的情况二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的横坐标即是一元二次方程ax 2+bx+c=0的根。
5 图像法确定一元二次方程的近似根图像与x轴的交点纵坐标为0，在这个点的左右的点的纵坐标的值必然是一正一负，根据条件，离这个交点的最近的左右两个点的横坐标即是对应的方程的近似值。
6 二次函数与不等式（组）1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.考点1抛物线与x轴的交点考点2 抛物线与y轴的交点情况考点3 已知函数值求自变量的值考点4 根据图像确定方程根的情况考点5 图像法确定一元二次方程的近似根考点6 二次函数与不等式（组）考点7 根据不等式确定自变量或函数值的范围考点8 求x轴与抛物线交点的截线长考点1抛物线与x轴的交点A ．11x =，2x =C ．11x =，2x =∴方程()200ax bx c a ++=≠的两根是11x =-，27x =．故答案为：B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性及二次函数与一元二次方程的性质，结合图象掌握函数的性质是解题的关键．3．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）抛物线()()234y x x =-+与x 轴交点的坐标为（ ）A ．()3,0-和()4,0-B ．()0,3和()0,4-C ．()0,3-和()0,4D ．()3,0和()4,0-【答案】D【分析】通过解方程()()2340x x -+=即可得到抛物线()()234y x x =-+与x 轴交点的坐标．【详解】解：当0y =时，()()2340x x -+=，解得：13x =，24x =-，∴抛物线()()234y x x =-+与x 轴交点的坐标为()3,0，()4,0-，故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是求抛物线与x 轴交点的坐标问题转化成解关于x 的一元二次方程．4．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于x 的二次函数()()y x a x b x =---的与x 轴的交点坐标是(),0c 和(),0d ，其中a ，b ，c ，d 均为常数，则关于x 的二次函数()()y x c x d x =--+与x 轴的交点坐标是（ ）A ．(),0a 和(),0b B ．(),0a -和(),0b -C ．(),0c 和(),0d D ．(),0c -和(),0d -【答案】A【分析】将()()y x a x b x =---化为一般式，根据根与系数的关系可得1c d a b +-=+，cd ab =，将()()y x c x d x =--+化为一般式，可得121x x c d +=+-，12x x cd ⋅=，即可求解．【详解】解：∵二次函数()()()21y x a x b x x a b x ab =---=-+++的与x 轴的交点坐标是(),0c 和(),0d ，∴方程()()0x a x b x =---的两个根分别为c 、d ，∴1c d a b +=++，cd ab =，∴1c d a b+-=+∵()()()21y x c x d x x c d x cd =--+=-+-+，设方程()()0x a x b x =--+的两根为1x ，2x ，∴121x x c d +=+-，12x x cd ⋅=，∴1x ，2x 分别为a 、b ，∴该函数与x 轴的交点坐标(),0a 和(),0b ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x 轴的交点横坐标即为对应方程的根，掌握一元二次方程根与系数的关系．考点2 抛物线与y 轴的交点情况在2=23y x x --中，当0y =时，解得：121,3x x =-=当0x =时，=3y -，即()()()1,03,00,3A B C --、、，∴4,3AB OC ==故ABC 的面积为：12436⨯⨯=考点3 已知函数值求自变量的值考点4 根据图像确定方程根的情况A．a<0B．【答案】B【分析】由图象可知，a<【详解】解：由图象可知，b<，∴0a>A．0C．240-<b ac【答案】B【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题．值为（ ）A ．5B ．2C ．1D ．1或5【答案】A【分析】根据二次函数与x 轴只有一个交点，则关于x 的一元二次方程()21410a x x --+=只有一个实数根，据此求解即可．【详解】解：∵关于x 的二次函数()2141y a x x =--+图象与x 轴只有一个交点，∴关于x 的一元二次方程()21410a x x --+=只有一个实数根，∴()()2Δ441010a a ⎧=---=⎪⎨-≠⎪⎩，解得5a =，故选A ．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．考点5 图像法确定一元二次方程的近似根A ．5m >【答案】A 【分析】利用函数图象，的解的情况．【详解】解：观察图象可得，【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是由二次函数的图象与考点6 二次函数与不等式（组）b<A．a<0，0a b+>C．40【答案】D【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时(即0)ab >，对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时(即0)ab <，对称轴在y 轴右侧．(简称：左同右异)；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于()0,c ．抛物线与x 轴交点个数由∆决定：240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；24<0b ac ∆=-时，抛物线与x 轴没有交点．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，根据图象回答，当21ax bx c ++<时，x 的取值范围是（ ）A ．13x -<<B ．1x <-或3x >C ．1x <-D ．3x >【答案】A 【分析】由图象可得：当1y =时，=1x -或3x =，可得当21ax bx c ++<时，即图象在直线1y =的下方，从而可得x 的取值范围是13x -<<．【详解】解：由图象可得：当1y =时，=1x -或3x =，∴当21ax bx c ++<时，x 的取值范围是13x -<<；故选A【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．23．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则函数值0y >时，x 的取值范围是（ ）A ．1x <-B ．3x >C ．13x -<<D ．1x <-或3x >【答案】D 【分析】写出函数图象在x 轴上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由图可知，当1x <-或3x >时，0y >．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是关键．24．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，抛物线214y x x =-+和直线22y x =，当12y y <时，x 的取值范围是（ ）A ．02x <<B ．0x <或2x >C ．0x <或>4x D ．04x <<【答案】B 【分析】先求出两图象的交点为()()0,0,2,4，可得当0x <或2x >时，抛物线的图象位于直线的下方，即可求解．【详解】解：联立得：224y x y x x=⎧⎨=-+⎩，解得：121202,04x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，即两图象的交点为()()0,0,2,4，∴当0x <或2x >时，抛物线的图象位于直线的下方，∴当12y y <时，x 的取值范围是0x <或2x >．故选：B【点睛】此题考查求两个函数图象的交点坐标，根据函数图象确定自变量x 的取值范围，正确解出交点坐标及正确理解函数图象是解题的关键．考点7 根据不等式确定自变量或函数值的范围则t 的取值范围是（ ）A ．2t >B ．0t >C ．02t <<D ．2t <【答案】B【分析】将(),A t m 、()4,B t n +代入二次函数24y x x c =-+求解即可．【详解】将(),A t m 、()4,B t n +代入二次函数24y x x c =-+，∴24m t t c =-+，()()2444n t t c =+-++，∵m n <，∴()()224444t t c t t c -+<+-++，∴0t >．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式．26．（2022春·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，已知点A （4，2），B （4，4）抛物线L ：y ＝﹣（x ﹣t ）2+t （t ≥0），当L 与线段AB 有公共点时，t 的取值范围是（ ）A ．3≤t ≤6B ．3≤t ≤4或5≤t ≤6C ．3≤t ≤4，t ＝6D ．5≤t ≤6【答案】B【分析】根据题意知线段AB 平行于y 轴，先根据二次函数经过点A 与点B 构建方程，进而得出二次函数与线段交点解集即可．【详解】解：根据题意知：∵点()4,2A ，()4,4B ，故对于二次函数()()20y x t t t =--+≥与线段AB 有公共点时，即当x =4时，2y 4≤≤，即()2244t t --+≤≤，当()242t t --+=时，解得123,6t t ==，当()244t t --+=时，解得434,5t t ==，∴()2244t t --+≤≤的解集为34t ≤≤或56t ≤≤；方程在13x -<<的范围内有实数根，当2x =时，7y =∵抛物开口朝下，函数243y x x =-++在2x =时有最大值7，对称轴是2x =，()213,321--=-=，31>即在13x -<<的范围，当=1x -时的函数值最小∴当=1x -时，=2y -∴t 的取值范围是27t -<≤故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．考点8 求x 轴与抛物线交点的截线长A．3B．−3故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．。
第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式6种题型 (解析版)高一数学同步教学题型2019必修第一册)
第10讲二次函数与一元二次方程、不等式6种题型【考点分析】考点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤(其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．考点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.考点三：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac∆=-0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅考点四：一元二次不等式恒成立问题①20(0)ax bx c a ++>≠在R x ∈上恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立②20(0)ax bx c a ++<≠在R x ∈上恒成立00.a <⎧⇔⎨∆<⎩考点五：简单的分式不等式的解法()()00>--⇔>--b x a x b x a x ；()()00<--⇔<--b x a x b x ax ()()⎩⎨⎧≠-≥--⇔≥--000b x b x a x b x ax ；()()⎩⎨⎧≠-≤--⇔≤--000b x b x a x b x a x 考点六：简单的绝对值不等式的解法c b ax c c b ax <+<-⇔<+；cb axc b ax c b ax -<+>+⇔>+或【题型目录】题型一：解不含参数的一元二次不等式题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇题型三：含有参数的一元二次不等式的解法题型四：不等式的恒成立问题题型五：一次分式不等式的解法题型六：实际问题中的一元二次不等式问题【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式【例1】（2022·浙江·高一阶段练习）不等式()()220x x +->的解集是（）A ．{2}xx >∣B ．{2}xx <-∣C ．{2∣<-xx 或2}x >D ．{22}xx -<<∣【答案】D 【解析】【分析】直接解一元二次不等式即可得答案.【详解】解：原式化为()()220x x -+<，即22x -<<，故不等式的解集为{22}xx -<<∣.故选:D【例2】（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）记集合{}24M x x =>，{}240N x x x =-≤，则M N = （）A ．{}24x x <≤B ．{0x x ≥或}2x <-C ．{}02x x ≤<D ．{}24x x -<≤【答案】A 【解析】【分析】化简集合，再由交集的定义即得.【详解】∵{}{242M x x x x =>=<-或}2x >，{}{}2|40|04N x x x x x =-≤=≤≤，所以M N = {|24}x x <≤.故选：A.【例3】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设x ∈R ，则“12x <<”是“2230x x --<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解出不等式2230x x --<，再判断充分性和必要性即可.【详解】由于不等式2230x x --<的解集为{}13x x -<<，则12x <<可推出13x -<<，反之不成立，所以“12x <<”是“2230x x --<”的充分而不必要条件．故选：A.【例4】（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）不等式2230x x -+->的解集是（）A ．RB ．φC ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|31}x x -<<-【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质，分析即可得答案.【详解】由题意得所求2230x x -+<，令223y x x =-+，为开口向上的抛物线，2(2)41380∆=--⨯⨯=-<，所以2230y x x +-=>恒成立，所以2230y x x +-=<不成立，故2230x x -+->的解集为φ.故选：B【例5】（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式22150x x -++≤的解集为（）A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；【详解】解：依题意可得22150x x --≥，故()()2530x x +-≥，解得52x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥【题型专练】1.（2022·全国·高一单元测试）设集合{}32A x x =∈-<<Z ，{}2340B x x x =+-<，则A B =（）A ．{}1,0-B ．{}2,1,0--C ．{}32x x -<<D ．{}21x x -<<【答案】B 【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再求二者交集【详解】{}{}322,1,0,1A x Z x =∈-<<=--，{}{}234041B x x x x x =+-<=-<<，则{}2,1,0A B =-- ．故选：B ．2.（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：(1)2430x x ++>；(2)294604x x -+-<.【答案】(1){|3x x <-或1}x >-(2){34x x ⎫≠⎬⎭【解析】(1)(1)因为1641340∆⨯⨯>＝－＝，所以方程2430x x ＋＋＝有两个不等实根x 1＝－1，x 2＝－3.所以原不等式的解集为{|3x x <-或1}x >-.(2)(2)因为()036449()4∆⨯-⨯-=＝－，所以方程246x x --＋9=04有两个相等实根x 1＝x 2＝34所以原不等式的解集为{34x x ⎫≠⎬⎭.3．（2022·四川眉山·高一期末（理））不等式2340x x --<的解集为（）A ．(,1)(4,)-∝-+∝UB ．（－4，1）C ．（－1，4）D ．(,4)(1,)-∝-+∝U 【答案】C 【解析】【分析】直接用因式分解求得解集即可.【详解】因为不等式2340x x --<可化为:(1)(4)0x x +-<解得:14x -<<所以解集为:(1,4)-.故选:C.4．（2022·贵州·高二学业考试）不等式240x -≤的解集是（）A ．(,5)-∞-B ．[)5,2--C ．[]22-,D ．()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】直接解不等式即可求解.【详解】由240x -≤得()()220x x +-≤，解得22x -≤≤，即解集为[]22-,.故选：C.5.（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）不等式2210x x +->的解集是（）A ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将不等式化简为()()2110x x -+>，即可求出其解集.【详解】由2210x x +->可得：()()2110x x -+>，所以不等式的解集为：()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.故选：C.6.（2022·全国·高一多选）下列不等式的解集为R 的有（）A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<1【答案】AC 【解析】【分析】利用判别式的正负，即可判断选项.【详解】A 中21410∆=-⨯<.满足条件；B 中(240∆=-->，解集不为R ；C 中264100∆=-⨯<，满足条件；D 中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选：AC题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【例1】（2022·四川甘孜·高一期末）若不等式220ax bx +-<的解集为{21}xx -<<∣，则a b +=（）A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】【分析】利用二次函数，把不等式问题转化为方程问题，再用韦达定理.因为不等式220ax bx +-<的解集为{21}xx -<<∣所以0a >，-2和1是方程220ax bx +-=的两实数根所以21221b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩，解得1b 1a ==，所以2ab +=.故A ，B ，C 错误.故选：D.【例2】（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<>的解集为()12,x x ，则1212ax x x x ++的最小值是（）A．3B．3-C．3D．3-【答案】C 【解析】【分析】由根与系数关系及基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，124x x a +=，2123x x a =且0a >，所以12121433a x x a x x a ++=+≥=6a =时等号成立.故选：C【例3】（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax x c ++<的解集是11,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a -+≤的解集是（）A ．11,23⎡⎤-⎢⎣⎦B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3-D ．[]3,2-【答案】C 【解析】【分析】依题意13-和12是方程220ax x c ++=的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出a 、c ，再解一元二次不等式即可.解：因为不等式220ax x c ++<的解集是11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴13-和12是方程220ax x c ++=的两个实数根，由112321132a c a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得：12a =-，2c =，故不等式220cx x a -+≤即222120x x --≤，即260x x --≤，即()()320x x -+≤，解得：23x -≤≤，所以所求不等式的解集是：[]23-，.故选：C ．【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C 【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a2﹣4b ＝0则b 24a =，不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6），则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6∴|m +6﹣m|===6解得c ＝9故选：C ．【题型专练】1.（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式20x x a -+<的解集为{}23x x -<<，则=a （）A ．6-B ．16-C ．6D ．16【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.【详解】由不等式的解集知：2-和3是方程20x x a -+=的两根，236a ∴=-⨯=-.故选：A .2.（2022·湖南·怀化五中高一期中）若关于x 的不等式28210mx mx ++<的解集为{}71x x -<<-，则实数m 的值为______.【答案】3【解析】【分析】根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m .【详解】由题可知，－7和－1是二次方程28210mx mx ++=的两个根，故()21713m m=-⨯-⇒=.经检验满足题意故答案为：3.3.（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是（）A ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣【答案】B 【解析】【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集，得到2,8b a c a =-=-，代入20cx bx a -+<中即可求解.【详解】由题意得24,24,0b ca a a-+=--⨯=<，即2,8b a c a =-=-，所以2820ax ax a -++<即28210x x --<，解得1142x -<<．故选：B4.（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））二次不等式20ax bx c ++<的解集是()2,3，则cb的值为（）A ．65B ．65-C ．56D ．56-【答案】B 【解析】【分析】由题意得2,3为方程20ax bx c ++=的两个根，根据韦达定理，化简计算，即可得答案.【详解】因为二次不等式，所以0a ≠，因为不等式20ax bx c ++<的解集是()2,3，所以2,3为方程20ax bx c ++=的两个根，所以23,23b ca a+=-⨯=，即5,6b c a a =-=所以65c b =-.故选：B5.（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为（）A ．1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用根于系数的关系先求出,a b ，再解不等式即可.【详解】不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则根据对应方程的韦达定理得到：112311223b a a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，则1220x -->的解集为1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭故选：A6.（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --<的解集是________.【答案】{|23}x x <<【解析】【分析】根据给定的解集求出a ，b 的值，再代入解不等式即可作答.【详解】依题意，12-，13-是方程210ax bx --=的两个根，且0a <，于是得11()()23111()()23b aa ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得：6,5ab =-=，因此，不等式20x bx a --<为：2560x x -+<，解得23x <<，所以不等式20x bx a --<的解集是{|23}x x <<.故答案为：{|23}x x <<题型三：含有参数的一元二次不等式的解法【例1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有4个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)3,2--C ．[)(]3,26,7--D ．[]3,7-【答案】C 【解析】【分析】讨论m 与2的大小关系，求得不等式的解集，根据解集中恰有4个整数，确定m 的取值范围.【详解】不等式()2220x m x m -++<即(2)()0x x m --<，当2m >时，不等式解集为(2,)m ，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3,4,5,6，故67m <≤，当2m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当2m <时，不等式解集为(,2)m ，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是2,1,0,1--，故32m -≤<-，，故实数m 的取值范围为[)(]3,26,7-- ，故选：C【例2】（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）解关于x 的不等式2220ax x a +-+>【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】原不等式可化为()()120x ax a +-+>．然后分0a =，0a >和0a <三种情况求解不等式【详解】解：关于x 的不等式2220ax x a +-+>可化为()()120x ax a +-+>．（1）当0a =时，()210x +>，解得{}|1x x >-．（2）当0a >，所以()210a x x a -⎛⎫+-> ⎝⎭．所以方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为-1和2a a -，当21a a--<，即1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a ->}，当21a a--=，即1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-．当21a a -->，即01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1x >-}，．（3）当0a <时，()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．因为方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为—1和2a a -，又因为2211a a a -=->，所以21a a--<，．即不等式()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集是2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，综上所述：当0a <时，不等式的解集为2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当0a =时，不等式的解集为{}1x x -，当01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1}x >-当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，当1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a->}，【例3】（2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习（文））已知条件p ：2780x x --<，条件q ：22210x x m -+-≤（其中0m >），若p 是q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A ．()0,8B ．()0,∞+C ．()0,2D ．[]28,【答案】C 【解析】【分析】分别解出两个不等式，再根据p 是q 的必要而不充分条件，可得q 对应得集合是p 对应得集合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.【详解】解：由2780x x --<，得18x -<<，所以:18p x -<<，由()222100x x m m -+-≤>，得11m x m -≤≤+，所以:11q m x m -≤≤+，因为P 是q 的必要而不充分条件，所以{}{}1118x m x m x x ≠-≤≤+⊂-<<所以11180m m m ->-⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得02m <<，即实数m 的取值范围为()0,2.故选：C.【例4】（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）设2(1)2y ax a x a =+-+-.(1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式2(1)21(R)ax a x a a a +-+-<-∈.【答案】(1)13a a ⎧⎫≥⎨⎩⎭(2)答案见解析【解析】【分析】（1）不等式转化为2(1)0ax a x a +-+≥对一切实数成立，列不等式即可求解；（2）不等式转化为(1)(1)0ax x +-<，对a 进行分类讨论求解即可.（1）由题意可得22(1)22(1)0ax a x a ax a x a +-+-≥-⇒+-+≥对一切实数成立，当0a =时，0x ≥不满足题意；当0a ≠时，得2201(1)403a a a a >⎧⇒≥⎨--≤⎩.所以实数a 的取值范围为13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.（2）由题意可得22(1)21(1)10ax a x a a ax a x +-+-<-⇒+--<，当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，21(1)10(1)(1)01ax a x ax x x a+--<⇒+-<⇒-<<，当0a <时，2(1)10(1)(1)0ax a x ax x +--<⇒+-<，①当1a =-，解集{}1x x ≠，②当10a -<<，解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，③当1a <-，解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭.综上所述，当1a <-，不等式的解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭，当1a =-，不等式的解集为{}1x x ≠，当10a -<<，不等式的解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，当0a =时，不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【例5】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-；由于()221a a a+--=，于是当20a -<<时，21x a≤≤-；当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤．综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][)a -∞-⋃+∞；当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例6】（2022·全国·高一课时练习）解关于x 的不等式：220ax x a -+<.【答案】答案不唯一，见解析【解析】【分析】由于参数a 的不确定性，可分为0a =和0a ≠，当0a ≠时，又可具体分为∆<0，0∆=，0∆>，再结合二次函数的图像开口与判别式的关系即可求解【详解】解:当0a =时，不等式即20x -<，解得0x >.当0a ≠时，对于方程220ax a -+=，244a ∆=-令∆<0，解得1a >或1a <-；令0∆=，解得1a =或1-；令0∆>，解得01a <<或10a -<<，方程220ax x a -+=的两根为1a.综上可得，当1a ≥时，不等式的解集为∅；当01a <<时，不等式的解集为1x a ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当0a =时，不等式的解集为{}0x x >；当10a -<<时，不等式的解集x x x ⎧⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭；当1a =-时，不等式的解集为{}1x x x ∈≠-R 且；当1a <-时，不等式的解集为R .【题型专练】1.（2022·黑龙江·铁人中学高二期末）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C 【解析】【分析】由题设可得()()30x x m --<，讨论,3m 的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m 的范围即可.【详解】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C2.（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．【答案】(1)3a b =(2)231x x b ⎧⎫-+<<-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）化简()()230a b x a b +-<+，结合不等式的解集即可判断0a b +<，得到3234b a a b -=-+即可得到a 和b 满足的关系.（2）可用a 或b 对不等式()()()222120a b x a b x a ---->++进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.(1)解：因为()()230a b x a b <++-，所以()32a b x b a +<-，因为不等式的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，所以0a b +<，且3234b a a b -=-+，解得3a b =．(2)由（1）得30a b =<则不等式()()()222120a b x a b x a -+--+->等价为()()242320bx b x b +-+->，即222430x x b b +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭⎝⎭-<，即()2130x x b ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭+<．因为231b -+<-，所以不等式的解为231x b-+<<-．即所求不等式的解集为231x x b ⎧⎫-+<<-⎨⎬⎩⎭．（说明：解集也可以用a 表示）3.（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）设函数()()211f x ax a x =-++.(1)若2a =，解不等式0y >；(2)若0a >，解关于x 的不等式0y <【答案】(1)12x x ⎧<⎨⎩或}1x >；(2)详见解析.【解析】【分析】（1）利用二次不等式的解法即可得解；（2）将原不等式变形为()()110ax x --<，对实数a 的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法即可得解.(1)当2a =时，由20321y x x =+->，解得12x <或1x >，故当2a =时，不等式0y >的解集为12x x ⎧<⎨⎩或}1x >.(2)由0y <可得()()110ax x --<，当0a ≠时，方程()()110ax x --=的两根分别为11x a=，21x =.当01a <<时，11a>，解原不等式可得11x a <<；当1a =时，原不等式即为()210x -<，该不等式的解集为∅；当1a >时，11a<，解原不等式可得11x a <<.综上所述，当01a <<时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a =时，原不等式的解集为∅；当1a >时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.4.（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数2(2)()y ax a x a =+-∈R .(1)若关于x 的不等式y b <的解集为{}14x x -<<，求,a b 的值；(2)若2a >-，解关于x 的不等式2y ≥.【答案】(1)1,22a b ==(2)20a -<<时，解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，解集为{}1x x ≤-；0a >时，解集为2{|x x a≥或1}x ≤-【解析】(1) y b <的解集为{}14x x -<<，∴1-和4是方程2(2)0y b ax a x b -=+--=的两个根，∴20,2080,b a b -=⎧⎨--=⎩，解得：1,22a b ==.(2)不等式2y ≥，可化为：()2220ax a x +--≥.当0a =时，原不等式即为220x --≥，∴1x ≤-．当0a >时，原不等式化为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，∴2x a ≥或1x ≤-.当20a -<<时，原不等式为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，可化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭因21a <-，∴21x a≤≤-．综上，20a -<<时，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≤-；0a >时，原不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤-5.（2022·北京市第五中学高一阶段练习）求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.【答案】答案见解析【解析】解：不等式()2325ax x ax a R -+>-Î，即2(3)30ax a x +-->，即(3)(1)0ax x -+>，当0a =时，原不等式解集为{|1}x x <-；当0a ≠时，方程(3)(1)0ax x -+=的根为13x a=，21x =-，∴①当0a >时，31a>-，∴原不等式的解集为3{|x x a >或1}x <-；②当30a -<<时，31a<-，∴原不等式的解集为3{|1}x x a <<-；③当3a =-时，31a=-，∴原不等式的解集为∅；④当3a <-时，31a>-，∴原不等式的解集为3{|1x x a -<<．题型四：不等式的恒成立问题【例1】（2023·全国·高三专题练习）关于x 的不等式210mx mx m -++>恒成立，则m 的取值范围为()A ．(0,)+∞B ．[0，)∞+C ．(-∞，4(03- ，)∞+D ．4(,)[03-∞- ，)∞+【答案】B 【解析】【分析】通过讨论m 的范围，结合二次函数的性质求出m 的范围即可．【详解】解：0m =时，10>成立，0m ≠时，2Δ4(1)0m m m m >⎧⎨=-+<⎩，故0m >，综上：0m ，故选：B ．【例2】（2022·全国·高一专题练习）若命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．()1,3-C ．(][),13,-∞-+∞D ．()(),13,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】写出命题的否定，则∆<0，从而可得出答案.【详解】:解：命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定为“()2R,110x x a x ∀∈+-+>”为真命题，所以()2140a ∆=--<，解得13a -<<，即实数a 的取值范围是()1,3-.故选：B.【例3】（2021·新疆喀什·高一期中）若不等式222424mx mx x x +-<+的解集为R ，则实数m 的取值范围是（）A ．22m -<<B ．22m -<≤C ．2m <-或2m ≥D ．2m <【答案】B 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集，讨论2m =、20m -<分别求出满足条件的m 范围即可.【详解】由题设，2(2)2(2)40m x m x -+--<，当2m =时，40-<恒成立，满足要求；当()()220{Δ421620m m m -<=-+-<，可得22m -<<；综上，22m -<≤.故选：B【例4】（2022·江西师大附中高一期中）若不等式240ax x a -+>对任意2x >恒成立，则实数a 的取值范围是____________.【答案】14a 【解析】【分析】分离参数，求出14y x x=+的取值范围即可得到答案.【详解】解：∵不等式240ax x a -+>对任意2x >恒成立，即24xa x >+对任意2x >恒成立，又211444x y x x x==<++所以14a .故答案为：14a .【例5】（2022·四川南充·高一期末（理））不等式()()2242120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,2-B ．(]1,2-C ．()2,1-D ．[]1,2-【答案】B 【解析】【分析】分20a -=、20a -≠两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数a 的不等式组，综合可得出实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式()()2242120a x a x -+--<的解集为R .当20a -=时，即当2a =时，则有120-<恒成立，符合题意；②当20a -≠时，则有()()220Δ1624820a a a -<⎧⎪⎨=-+-<⎪⎩，解得1a 2-<<.综上所述，实数a 的取值范围是(]1,2-.故选：B.【例6】（2022·福建省华安县第一中学高二期末）下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（）A ．04m ≤<B ．02m <<C ．14m <<D ．16m -<<【答案】BC 【解析】【分析】对m 讨论：0m =；0m >，∆<0；0m <，结合二次函数的图象，解不等式可得m 的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立，当0m =时，原不等式即为10>恒成立；当0m >时，不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立，可得∆<0，即240m m -<，解得：04m <<.当0m <时，21y mx mx =-+的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m 的取值范围为：[)0,4.所以“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有02m <<或14m <<.故选：BC.【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a ba b+-最小值为_________．【答案】【解析】【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b+=-+--，利用基本不等式可得结果.【详解】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤，所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥---当且仅当2a b a b-=-，即a b -=所以22a b a b+-的最小值为故答案为：【题型专练】1.（2023·全国·高三专题练习多选题）“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是（）A ．01a <<B ．01a ≤≤C ．103a <<D ．0a ≥【答案】BD 【解析】【分析】求得关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成时a 的取值范围，根据必要不充分条件与集合包含之间的关系，即可判断答案.【详解】由题意可知，关于x 的不等式220x ax a -+>恒成立，则2440a a =-< ，解得01a <<，对于选项A ，“01a <<”是“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”的充要条件；对于选项B ，{|01}x a <<⊆{|01}x a ≤≤,故“01a ≤≤”是“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”的必要不充分条件；对于选项C ，1|}03{a x <<⊆{|01}x a <<,“103a <<”是“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件；对于选项D 中，{|01}x a <<⊆{|0}x a ≥,“0a ≥”是“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”必要不充分条件，故选：BD ．2.（2022·江苏·高一专题练习）若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____________．【答案】1a <或4a >【解析】【详解】本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题．分类讨论，先验证0a =是否成立，再根据二次函数的性质列出不等式得出a 的范围．【解答】当0a =时，不等式为9204x -+<有解，故0a =，满足题意；当0a >时，若不等式29(2)04ax a x -++<有解，则满足29(2)404a a ∆=+-⋅>，解得1a <或4a >；当0a <时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04ax a x -++<总是有解，所以0a <，综上可得，实数a 的取值范围是1a <或4a >.3.（2022·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）关于x 的不等式2244x x a a -+≥在16x 内有解，则a 的取值范围为________．【答案】26a -≤≤【解析】2244x x a a -+≥ 在16x 内有解，()22max 44a a x x ∴-≤-，其中16x ；设()2416y x x x =-≤≤，则当6x =时，max 362412y =-=，2412a a ∴-≤，解得：26a -≤≤，a ∴的取值范围为26a -≤≤.故答案为：26a -≤≤.4.（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．[)4,+∞D ．()0,4【答案】A 【解析】【分析】先求出命题为真时实数a 的取值范围，即可求出命题为假时实数a 的取值范围.【详解】若“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是真命题，即判别式()21Δ24404a =--⨯⨯<，解得：04a <<，所以命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为：(][),04,-∞+∞U .故选：A.5.（2022·江苏省天一中学高一期中）已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，则实数a 的取值范围是__________．【答案】14a -≤≤【解析】【分析】求出24y x x =-+的最大值，然后可得234a a -≤，解出即可.【详解】因为关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，()22424y x x x =-+=--+的最大值为4所以234a a -≤，解得14a -≤≤故答案为：14a -≤≤6.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意R x ∈，2222224x ax bx c x x +≤++≤-+恒成立，则ab 的最大值为_________．【答案】12##0.5【解析】【分析】先令1x =，可得4a b c ++=，再根据222x ax bx c +≤++恒成立，可得2c a =+，22b a =-，由此可得12≤ab ，再验证符合22224ax bx c x x ++≤-+恒成立即可．【详解】解：令1x =，则44a b c ≤++≤，故4a b c ++=，对任意R x ∈，222x ax bx c +≤++，则2(2)20ax b x c +-+-≥恒成立，∴222(2)4(2)(2)4(2)(2)0b a c a c a c a c ∆=---=+---=-+≤∴2c a =+，此时22b a =-，∴2111(22)2(1)2(222ab a a a a a =-=-=--+≤，当15,1,22a b c ===时取等号，此时()()2222333224310222x x ax bx c x x x -+-++=-+=-≥成立，∴ab 的最大值为12．故答案为：12．7.（2022·湖南·高一课时练习）设二次函数234y kx kx =-+．（1）若方程0y =有实根，则实数k 的取值范围是______；（2）若不等式0y >的解集为∅，则实数k 的取值范围是______；（3）若不等式0y >的解集为R ，则实数k 的取值范围是______．【答案】0k <或3k ≥.∅03k <<【解析】【分析】根据方程的解或不等式的解的情况结合判别式可得相应的结果.【详解】对于（1），因为方程0y =有实根，故2030k k k ≠⎧⎨-≥⎩，解得0k <或3k ≥.对于（2），因为不等式0y >的解集为∅，故2030k k k <⎧⎨-≤⎩，解得k ∈∅.对于（3），不等式0y >的解集为R ，故2030k k k >⎧⎨-<⎩，故03k <<.8.（2022·江苏·高一）命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．()30-，B ．(]30-，C ．()31--，D ．()3∞-+，【答案】AC 【解析】【分析】先求命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为23,208x R kx kx ∀∈+-<为真命题，所以0k =或230k k k <⎧⎨+<⎩30k ⇔-<≤，所以()30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，A 对，所以(]30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充要条件，B 错，所以()31--，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，C 对，所以()3∞-+，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题必要不充分条件，D 错，故选：AC9.（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数222y x ax =++.若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】a <【解析】【分析】对目标式分离参数，结合基本不等式，即可求得参数的取值范围.【详解】不等式3y ax >即为：220x ax -+>，当15x ≤≤时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2()a x x <+.又2x x +≥=当且仅当2x x=，即x =时，等号成立，min 2(x x∴+=a <故实数a 的取值范围是：a <题型五：一次分式不等式的解法分式不等式转化为整式不等式（1）()()00cx dax b cx d ax b+>⇔++>+（2）()()00cx dax b cx d ax b+<⇔++<+（3）()()00cx dax b cx d ax b+≥⇔++>+且0ax b +≠（4）()()00cx d ax b cx d ax b+≤⇔++≤+且0ax b +≠【例1】（2022·江苏·苏州中学高二期末）已知集合{}22|20,|01x A x x x B x x -⎧⎫=+-≤=≥⎨⎬+⎩⎭，则A ∩B =（）A ．{x |-2≤x <2}B ．{x |-2≤x ≤1}C ．{x |-2≤x ≤-1}D ．{x |-2≤x <-1}【答案】D【分析】求出集合,A B 后可求A B .【详解】{}|21A x x =-≤≤，而{|1B x x =<-或2}x ≥，故{}|21A B x x =-≤<- ，不等式303x ax -<-的解集为___________.【答案】{}23x x <<【解析】【分析】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭可得参数a 的值，则不等式303x ax -<-也具体化了，按分式不等式解之即可.【详解】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，可知方程251=0ax x ++有两根121123x x =-=-，，故6a =，则不等式303x a x -<-即3603x x -<-等价于3(2)(3)0x x --<，不等式3(2)(3)0x x --<的解集为{}23x x <<，则不等式303x ax -<-的解集为{}23x x <<，故答案为：{}23x x <<.【例3】（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式0ax cbx c+≤-的解集为______．【答案】()[),48,-∞+∞ 【解析】【分析】根据20ax bx c ++>的解集求出a b c 、、的关系，再化简不等式0ax cbx c+≤-，求出它的解集即可．【详解】解：因为20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则0a <，且对应方程的根为-2和4，所以242b a -=-+=，248ca=-⨯=-，且0a <，不等式0ax c bx c+≤-可化为8028ax a ax a -≤-+,则8028x x -≤-+，即804x x -≤-，解得4x <或8x ≥．故答案为()[),48,-∞+∞ ．【例4】（2022·河北省博野中学高一阶段练习）不等式21131x x ->+的解集是____________.【答案】1{2}3xx -<<-∣##123⎛⎫-- ⎪⎝⎭，【解析】【分析】根据题意将21131x x ->+化为2031x x +<+，利用分式不等式的解法解分式不等式即可.【详解】21131x x ->+可化为211031x x -->+，2031x x +<+，等价于()()2310x x ++<，解得123x -<<-，所以不等式21131x x ->+的解集是1{2}3x x -<<-∣，故答案为：1{2}3xx -<<-∣.【例5】（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）不等式102xx ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B .(1)若1m =时，求A B ；(2)设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|11}x x -≤<;(2){|12}a a <≤.【解析】【分析】（1）1m =时，求出集合A ，B ，由此能求出A B ．（2）利用不等式的解法求解出命题p ，q 中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a 的不等式，从而求解出a 的取值范围．（1）解：不等式102xx ->+的解集为A ，关于x 的不等式22450x mx m --<的解集为B 1{|0}{{|21}2xA x x x x -∴=>==-<<+，1m =时，2{|450}{|15}B x x x x x =--≤=-≤≤，{|11}A B x x ∴=-≤< ．（2）解：当0a >时，22430x ax a -+<的解集为(,3)A a a =；若p 是q 的必要不充分条件，(2∴，3]A Ü，则21233a a a ≤⎧⇒<≤⎨>⎩；故a 的取值范围是{|12}a a <≤．【题型专练】1.（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））“1x >”是“11x<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））设集合{|0}2A x Z x =∈<+，2{|760}B x Z x x =∈-+<，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4所以{}2{|760}2,3,4,5B x Z x x =∈-+<=，所以{}2,3A B ⋂=.故选：B3.（2022·四川凉山·高一期末（理））不等式301x x -<+的解集是（）A ．()(),13,-∞-+∞ B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-4.（2022·四川成都·高一期末）不等式01x <-的解集为（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()(),10,-∞-⋃+∞D ．()(),01,-∞⋃+∞ 5.（2022·山东济宁·高二期末）设x ∈R ，则“02x x <+”是“21x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件。
二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】(解析版)-2025年新高考数学一轮复习
二次函数与一元二次不等式【八大题型】【新高考专用】【题型1不含参一元二次不等式的解法】【题型2含参一元二次不等式的解法】【题型3由一元二次不等式的解确定参数】【题型4其他不等式的解法】【题型5一元二次不等式根的分布问题】【题型6二次函数的单调性、最值问题】【题型7一元二次不等式恒成立问题】【题型8一元二次不等式有解问题】1、二次函数与一元二次方程、不等式考点要求真题统计考情分析(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法2020年I 卷：第1题，5分2023年新高考I 卷：第1题，5分一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.【知识点1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2+bx+c>0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac<0；一元二次不等式ax2+bx+c≥0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac≤0；一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为a<0，Δ≤0.【方法技巧与总结】1．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足a>0Δ<0 ；2．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为φ，则一定满足a<0Δ≤0 ；3．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足a<0Δ<0 ；4．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为φ，则一定满足a>0Δ≤0 ．【题型1不含参一元二次不等式的解法】1(2023·广东珠海·模拟预测)不等式x2+x-6<0的解集是()A.-6,1B.-1,6C.-2,3D.-3,2【解题思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【解答过程】由x2+x-6<0得x-2x+3<0，解得-3<x<2，故原不等式的解集为-3,2.故选：D.2(2024·天津·一模)设x∈R，则“x<0”是“x2-x>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】解出不等式x 2-x >0后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.【解答过程】由x 2-x >0，解得x >1或x <0，故“x <0”是“x 2-x >0”的充分不必要条件.故选：A .3(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x 2-1<3x +1 的解集是()A.x ∣x <4B.x ∣-4<x <1C.x ∣-1<x <4D.x ∣x <-1 或x >4【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.【解答过程】由不等式x 2-1<3x +1 可得x 2-3x -4<0，即x -4 x +1 <0，可得-1<x <4，因此不等式x 2-1<3x +1 的解集是x ∣-1<x <4 .故选：C .4(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知命题p ：集合A =x x 2+x -2>0 ，命题q ：集合B =x x 2+2x -3>0 ，则p 是q 的( )条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【解题思路】解出集合A 、B ，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解答过程】∵A =x x 2+x -2>0 =x x +2 x -1 >0 =x x <-2或x >1 ，B =x x 2+2x -3>0 =x x +3 x -1 >0 =x x <-3或x >1 ，∴B 是A 的真子集，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B .【题型2含参一元二次不等式的解法】1(23-24高一上·海南海口·期中)若0<m <1，则不等式x -m x -1m<0的解集为()A.x 1m <x <mB.x x >1m 或x <mC.x x <1m或x >m D.x m <x <1m【解题思路】根据0<m <1得到1m >m ，从而写出x -m x -1m <0的解集.【解答过程】因为0<m <1，所以1m>m ，所以x -m x -1m <0的解集为x m <x <1m.故选：D .2(23-24高一上·山东·阶段练习)不等式ax 2-a +1 x +1≥0a <0 的解集为( ).A.x 1a ≤x ≤1B.x 1≤x ≤1aC.x x ≤1a 或x ≥1D.x x ≤1或x ≥1a【解题思路】由一元二次不等式的解法求解.【解答过程】原不等式可化为ax -1 x -1 ≥0即a x -1a (x -1)≥0，而a <0，故1a<1，y =ax 2-(a +1)x +1图象开口向下，故原不等式的解集为x 1a≤x ≤1 .故选：A .3(23-24高一上·河南开封·期中)关于x 的不等式ax 2-a +1 x +1<0的解集不可能是()A.∅B.x x >1C.x 1 <x <1aD.x |x <1 或x >1a【解题思路】将原不等式化为ax -1 x -1 <0，再分类讨论a 的取值情况进行求解.【解答过程】由题意，原不等式可化为ax -1 x -1 <0当a =0时，原不等式为-x +1<0，解得x >1，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，0<1a <1，原不等式的解集为x 1a<x <1 ；当0<a <1时，1a >1，原不等式的解集为x 1<x <1a ；当a =1时，1a =1，原不等式的解集为∅；当a <0时，1a <1，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；综上，当a =0时，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，原不等式的解集为x 1a <x <1 ；当0<a <1时，原不等式的解集为x 1<x <1a；当a =1时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；故不可能的解集为x |x <1 或x >1a .故选：D .4(23-24高一上·浙江台州·期中)不等式ax 2+bx +c >0的解集为x -3<x <2 ，则下列选项正确的为()A.a +b +c <0B.9a +3b +c >0C.不等式cx 2+ax +b >0的解集为x -13<x <12D.不等式cx 2+bx +a >0的解集为x x >12 或x <-13 【解题思路】赋值法可解AB ，消去参数可解CD .【解答过程】记f x =ax 2+bx +c ，因为1∈x -3<x <2 所以f 1 =a +b +c >0，故A 错误；因为3∉x -3<x <2所以f 3 =9a +3b +c ≤0，故B 错误；由题知-3和2是方程ax 2+bx +c =0的两个实根，所以-b a =-3+2=-1，ca=-3×2=-6且a <0解得b =a ,c =-6a故cx 2+ax +b =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，C 错误；cx 2+bx +a =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，D 正确；故选：D .【题型3由一元二次不等式的解确定参数】1(23-24高一下·云南·阶段练习)若关于x 的不等式x 2-m +1 x +m <0的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为()A.-3,-2 ∪4,5B.-2,-1 ∪4,5C.-3,1 ∪4,5D.-3,5【解题思路】分类讨论x 2-(m +1)x +m =0的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.【解答过程】原不等式可化为(x -1)(x -m )<0，当m >1时，得1<x <m ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<m ≤5；当m <1时，得m <x <1，此时解集中的整数为-2，-1，0，则-3≤m <-2，综上所述，m 的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].故选：A .2(2024·广东·一模)已知a ,b ,c ∈R 且a ≠0，则“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.【解答过程】由题意，二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ，则等价于a >0-b2a =1Δ=b 2-4ac =0 ，即a =c >0,b =-2a ，即a +b +c =0，当a +b +c =0时，不能推出a =c >0,b =-2a ，所以“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的充分不必要条件，故选：A .3(23-24高三上·云南德宏·期末)已知关于x 的不等式x 2-ax +b ≤0的解集为x 2≤x ≤3 ，则关于x 的不等式x 2-bx +a <0的解集为()A.x 2<x <3B.x 1<x <3C.x 2<x <5D.x 1<x <5【解题思路】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出a 、b 的值，再解不等式.【解答过程】根据题意，方程x 2-ax +b =0的两根为2和3，则a =2+3=5,b =2×3=6，则x 2-bx +a <0为x 2-6x +5<0，其解集为x 1<x <5 .故选：D .4(23-24高一上·黑龙江大庆·期末)关于x 的不等式x 2-ax -6a <0的解集是{x |m <x <n }，且n -m ≤5，则实数a 的取值范围()A.-25,-24B.0，1C.-25,-24 ∪0，1D.-25,-24 ∪0，1【解题思路】先求出m =a -a 2+24a 2，n =a +a 2+24a2，再根据n -m ≤5，即可求出．【解答过程】关于x的不等式x2-ax-6a<0的解集是{x|m<x<n}，∴m,n是方程x2-ax-6a=0的两个根，∴Δ=a2+24a>0即a(a+24)>0，∴a<-24或a>0，∴m=a-a2+24a2，n=a+a2+24a2，∵n-m≤5，∴a+a2+24a2-a-a2+24a2≤5，即a2+24a-25≤0，即(a-1)(a+25)≤0，解得-25≤a≤1，综上所述-25≤a<-24，或0<a≤1，故选：D.【题型4其他不等式的解法】1(23-24高一上·湖南长沙·期末)解下列不等式：(1)2xx-1≥4；(2)2x-3+x-2≤3.【解题思路】(1)将分式不等式化为2x-2x-1≤0且x≠1，求出解集；(2)将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式.【解答过程】(1)不等式2xx-1≥4，移项得2xx-1-4≥0，通分得4-2xx-1≥0，可转化为2x-2x-1≤0且x≠1，解得1<x≤2，不等式解集为x 1<x≤2.(2)令y=2x-3+ x-2=3x-5,x≥2,x-1,32<x<2,-3x+5,x≤32,当x≥2时，3x-5≤3，解得x≤83，即x∈2,83；当32<x<2时，x-1≤3，解得x≤4，即x∈32,2；当x≤32时，-3x+5≤3，解得x≥23，即x∈23,32；综上所述：不等式解集为x 23≤x≤83.2(23-24高一上·江苏扬州·期中)求下列不等式的解集(1)3x-1x+1>4；(2)2x-3x+1<1(3)x+2<1【解题思路】(1)将原不等式3x-1x+1>4等价转换为x-13x+5>0，解一元二次不等式即可.(2)将原不等式2x-3x+1<1等价转换为x+1x-4<0，解一元二次不等式即可.(3)将原不等式x+2<1等价转换为x+1x+3<0，解一元二次不等式即可.【解答过程】(1)由题意3x -1 x +1 >4⇔3x 2+2x -1>4⇔3x 2+2x -5>0⇔x -1 3x +5 >0，解不等式得x <-53或x >1，从而不等式3x -1 x +1 >4的解集为-∞,-53∪1,+∞ .(2)由题意2x -3x +1<1⇔x -4x +1<0⇔x +1 x -4 <0，解不等式得-1<x <4，从而不等式2x -3x +1<1的解集为-1,4 .(3)由题意x +2 <1⇔x +2 2-12<0⇔x +1 x +3 <0，解不等式得-3<x <-1，从而不等式x +2 <1的解集为-3,-1 .3(22-23高一上·上海徐汇·阶段练习)解下列不等式：(1)5-x x 2-2x -3<-1；(2)(x -1)(x +2)2≥0.【解题思路】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【解答过程】(1)5-x x 2-2x -3<-1⇔x 2-3x +2x 2-2x -3<0⇔(x +1)(x -1)(x -2)(x -3)<0，由数轴标根法得，解集为(-1,1)∪(2,3)；(2)(x -1)(x +2)2≥0⇔x -1≥0x +2≠0 或x +2=0，易得解集为{-2}∪[1,+∞).4(2023高一·上海·专题练习)解下列关于x 的不等式．(1)x +4 x +5 22-x 3<0；(2)x 2-4x +13x 2-7x +2<1．【解题思路】(1)由题意不等式等价于x ≠-5x +4 x -2 3>0，由零点标根法画图即可求解.(2)由题意不等式等价于(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，由零点标根法画图即可求解.【解答过程】(1)原不等式等价于x +4 x +5 2x -2 3>0，所以x ≠-5x +4 x -2 3>0，如图所示：解得x <-4或x >2且x ≠-5，所以原不等式解集为x |x <-5 或-5<x <-4或x >2 .(2)由x 2-4x +13x 2-7x +2<1得，-2x 2+3x -13x 2-7x +2<0，∴原不等式等价于2x -1 x -13x -1 x -2 >0，即(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，如图所示：解得x <13或12<x <1或x >2，所以原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．【题型5一元二次不等式根的分布问题】1(2024高三·全国·专题练习)关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，那么a 的取值范围是()A.-27<a <25B.a >25 C.a <-27D.-211<a <0【解题思路】说明a =0时，不合题意，从而将ax 2+a +2 x +9a =0化为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，结合其与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.【解答过程】当a =0时，ax 2+a +2 x +9a =0即为2x =0，不符合题意；故a ≠0，ax 2+a +2 x +9a =0即为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，由于关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，则y =ax 2+a +2 x +9a 与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故x =1时，y <0，即1+1+2a ×1+9<0，解得2a <-11，故-211<a <0，故选：D .2(23-24高三上·四川·阶段练习)若关于x 的方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是()A.-65,-1 B.-65,1 C.-∞,-65 ∪-1,+∞D.-∞,-65∪1,+∞【解题思路】令g x =x 2-2ax +a +2，依题意可得Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，解得即可.【解答过程】令g x =x 2-2ax +a +2，因为方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，所以Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，即Δ=4a 2-4a +2 >0-2<a <14+4a +a +2>01-2a +a +2>0，解得-65<a <-1，所以a 的取值范围是-65,-1 ．故选：A ．3(23-24高一上·上海浦东新·期中)已知实数a <b ，关于x 的不等式x 2-a +b x +ab +1<0的解集为x 1,x 2 ，则实数a 、b 、x 1、x 2从小到大的排列是()A.a <x 1<x 2<bB.x 1<a <b <x 2C.a <x 1<b <x 2D.x 1<a <x 2<b【解题思路】由题可知x 1+x 2=a +b ，再利用中间量m ，根据x 1+x 2与x 1x 2之间的关系求出的取值范围，即可判断a 、b 、x 1、x 2之间的关系.【解答过程】由题可得：x 1+x 2=a +b ，x 1x 2=ab +1.由a <b ，x 1<x 2，设x 1=a +m ，则x 2=b -m .所以x 1x 2=(a +m )(b -m )=ab +m (b -a )-m 2=ab +1，所以m (b -a )-m 2=1，m =1+m 2b -a .又a <b ，所以b -a >0，所以m >0.故x 1>a ，x 2<b .又x 1<x 2，故a <x 1<x 2<b .故选：A .4(23-24高三·全国·阶段练习)方程x 2+(m -2)x +5-m =0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是()A.(-5,-4)B.-133,-2 C.-133,-4 D.(-5,-2)【解题思路】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质有f (2)>0，f (3)<0)，f (4)>0，求得m 的取值范围.【解答过程】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3，4)内，只需f (2)>0f (3)<0f (4)>0 ，即4+2(m -2)+5-m >09+3(m -2)+5-m <016+4(m -2)+5-m >0，解不等式组可得-133<m <-4，即m 的取值范围为-133,-4 ，故选：C .【题型6二次函数的单调性、最值问题】1(23-24高一上·江苏南京·期末)若函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，则实数m 的取值范围是()A.-∞,2B.2,+∞C.-∞,4D.4,+∞【解题思路】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.【解答过程】因为函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，所以m 2≥2，解得m ≥4.故选：D .2(23-24高一上·湖北武汉·期中)已知函数f (x )=2x 2-kx -8在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是()A.k ≤-8B.k ≥4C.k ≤-8或k ≥4D.-8≤k ≤4【解题思路】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.【解答过程】函数f (x )=2x 2-kx -8对称轴为x =k4，要使f (x )在区间[-2，1]上具有单调性，则k 4≤-2或k4≥1，∴k ≤-8或k ≥4综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4.故选：C .3(23-24高一上·江苏镇江·阶段练习)若函数y =x 2-2x -3的定义域为[-1,t ]，值域为[-4,0]则实数t 的取值范围为()A.1≤t ≤3B.1<t <3C.-1<t <3D.-1<t ≤3【解题思路】利用分类讨论-1<t ≤1与t >1，求解t 范围.【解答过程】由y =x 2-2x -3的定义域为-1，t ，对称轴为x =1,y =x 2-2x -3当-1<t ≤1时，y =x 2-2x -3在-1，t 单调递减，则y min =t 2-2t -3，y max =(-1)2-2×-1 -3=0，而函数的值域为-4,0 ，则t 2-2t -3=-4，解得t =1，故t =1，当t >1时，y =x 2-2x -3在-1，1 单调递减，在1，t 单调递增，则y min =12-2×1-3=-4，y =-1 2-2×-1 -3=0，y =t 2-2t +3，故-4≤t 2-2t -3≤0，解得-1≤t ≤3，故1<t ≤3，综上所述，t 的取值范围为1≤t ≤3，故选：A .4(2024高三·全国·专题练习)已知函数f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，若关于x 的不等式f x <c 的解集为m ,m +4 ，则实数c 的值为()A.9B.8C.6D.4【解题思路】先由f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，得到Δ=0，再由f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，得到f (x )-c =0的根为m ,m +4，从而利用韦达定理即可求解.【解答过程】因为f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 开口向上，最小值为0，∴Δ=a 2-4b =0,∴b =a 24，则f (x )=x 2+ax +a 24=x +a 22，∵f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，所以m ,m +4是f (x )-c =0的两个不等实根，即m ,m +4是x 2+ax +a 24-c =0的两个不等实根，所以m +m +4=-a ，则m =-a -42，∴c =f (m )=m +a 2 2=-a -42+a 22=4.故选：D .【题型7一元二次不等式恒成立问题】1(2023·福建厦门·二模)不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是()A.a >2B.a ≥1C.a >1D.0<a <12【解题思路】分a =0和a ≠0两种情况讨论求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a =0时，-2x +1>0，得x <12，与题意矛盾，当a ≠0时，则a >0Δ=4-4a <0 ，解得a >1，综上所述，a >1，所以不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是A 选项.故选：A .2(2023·江西九江·模拟预测)无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，则k 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,-4C.-4,4D.-2,2【解题思路】由题知4k 2-16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，所以，4k 2-16<0，解得-2<k <2，所以，k 的取值范围是-2,2 故选：D .3(2023·辽宁鞍山·二模)若对任意的x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是()A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(-∞,2).故选：C .4(23-24高一上·贵州铜仁·期末)当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，则k 的取值范围是()A.-3,0B.-3,0C.-3,18D.-3,18【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f x =2kx 2-kx -38，则f x <0在-1,1 上恒成立，函数f x 的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f x 在-1,14 上单调递减，在14,1 上单调递增，则有f -1 =2k +k -38≤0f 1 =2k -k -38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f x 在-1,14 上单调递增，在14,1 上单调递减，则有f 14 =2k 16-k 4-38<0，解得-3<k <0.综上可知，k 的取值范围是-3,18.故选：D .【题型8一元二次不等式有解问题】1(2023·福建宁德·模拟预测)命题“∃x ∈[1,2],x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a ≥1B.a ≥4C.a ≥-2D.a ≤4【解题思路】根据能成立问题求a 的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x ∈[1,2],x 2≤a ，则x 2 min ≤a ，即a ≥1，∴a 的取值范围1,+∞由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为1,+∞ 的真子集，结合选项可知B 对应的集合为4,+∞ 为1,+∞ 的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B ，故选：B .2(2023高三·全国·专题练习)若关于x 的不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，则实数m 的取值范围为()A.-3,+∞B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-3【解题思路】利用二次函数的图象及根的分布计算即可.【解答过程】易知Δ=m 2+16>0恒成立，即x 2+mx -4=0有两个不等实数根x 1,x 2，又x 1x 2=-4<0，即二次函数y =x 2+mx -4有两个异号零点，所以要满足不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，所以只需42+4m -4>0，解得m >-3，所以实数m 的取值范围是-3,+∞ ．故选A ．3(2023·河南·模拟预测)已知命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,4C.-2,+∞D.4,+∞【解题思路】由题知x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈-1,1 ，a >x 20-3x 0”为真命题，所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，因为，y =x 2-3x =x -32 2-94，所以，当x ∈-1,1 时，y min =-2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min =-2，即实数a 的取值范围是-2,+∞ 故选：C .4(23-24高一上·福建·期中)若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是()A.-374,3B.-3,134C.-374,134D.-3,3【解题思路】化简不等式3-3x -a >x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式-x2-2x+3>3x-a成立，画出y=-x2-2x+3x<0以及y=3x-a的图象如下图所示，其中-x2-2x+3>0.当y=3x-a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=3x-ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2+5x-a-3=0，Δ=25+4a+12=0,a=-374.当y=-3x+a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=-3x+ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2-x+a-3=0①，由Δ=1-4a+12=0解得a=134，代入①得x2-x+14=x-122=0，解得x=12，不符合题意.当y=-3x+a过0,3时，a=3.结合图象可知a的取值范围是-37 4 ,3.故选：A.一、单选题1(2023·山东泰安·模拟预测)“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】化简“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，再结合充分条件和必要条件的定义判断.【解答过程】由∀x∈R,x2-cx+3≥0可得Δ=c2-4×3≤0，化简可得-23≤c≤23，所以“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”等价于“c∈-23,23”，“c∈-23,23”可推出“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”不能推出“c∈-23,23”所以“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的充分不必要条件，故选：A.2(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x-1x-2023≥0的解集为()A.{x∣x≥2023或x≥1}B.{x∣x≤1或x≥2023}C.x∣1≤x≤2023D.{x∣x<1或x>2023}【解题思路】解一元二次不等式即可得解.【解答过程】因为x-1x-2023≥0，所以x≥2023或x≤1，故不等式x -1 x -2023 ≥0的解集为{x ∣x ≤1或x ≥2023}.故选：B .3(2024·浙江·模拟预测)若不等式kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是()A.2≤k ≤18B.-18<k <-2C.2<k <18D.0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+k -6 x +2>0可化为-6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=k -6 2-4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C .4(2024·甘肃张掖·模拟预测)不等式x 2-3x <2-2x 的解集是()A.-1,12B.-12,12C.-1,5-172D.5-172,12【解题思路】按照x 2-3x 正负分类讨论取绝对值，运算得解.【解答过程】当x 2-3x ≥0，即x ≥3或x ≤0时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于x 2-3x <2-2x ，即x 2-x -2<0，解得-1<x <2，所以-1<x ≤0；当x 2-3x <0，即0<x <3时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于不等式3x -x 2<2-2x ，即x 2-5x +2>0，解得x >5+172或x <5-172，所以0<x <5-172.综上，不等式x 2-3x <2-2x 的解集是-1,5-172 .故选：C .5(2023·山东·模拟预测)若不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是()A.x =2B.x =4C.x =52D.x =32【解题思路】由一元二次不等式的解法与二次函数的性质求解．【解答过程】解：∵不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，∴x =0和x =4是方程2x 2+bx +c =0的两个根，∴-b2=0+4，∴b =-8，∴函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是x =-b4=2．故选：A ．6(23-24高一上·四川成都·期中)一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，那么ax 2-bx +c >0的解集为()A.x x >3或x <-2B.x x >2或x <-3C.x -2<x <3D.x -3<x <2【解题思路】根据题意得出a 、b 、c 的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【解答过程】一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，所以ax 2+bx +c =0的解为x 1=-2,x 2=3，且a <0，由韦达定理得x 1+x 2=-ba =1x 1⋅x 2=c a =-6⇒b =-ac =-6a，代入得ax 2+ax -6a >0⇒x 2+x -6<0⇒-3<x <2，故选：D .7(2023·辽宁鞍山·二模)已知当x >0时，不等式：x 2-mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是()A.-8,8B.-∞,8C.-∞,8D.8,+∞【解题思路】先由x 2-mx +16>0得m <x +16x ，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2-mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x ≥2x ×16x =8，当且仅当x =16x 即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C .8(2023·河南·模拟预测)某同学解关于x 的不等式ax 2+bx +c <0(a ≠0)时，因弄错了常数c 的符号，解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞)，则不等式bx 2+cx +a >0的解集为()A.-1,-15B.(-∞,-1)∪-15,+∞ C.15,1D.-∞,15∪(1,+∞)【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a ,b ,c 的关系式，进而求得不等式bx 2+cx +a >0的解集.【解答过程】由题意可知a <0，且-3+(-2)=-b a ,-3×(-2)=-c a，所以b =5a ,c =-6a ，所以bx 2+cx +a >0化为5x 2-6x +1<0，5x -1 x -1 <0，解得15<x <1.故选：C .二、多选题9(2024·广东深圳·模拟预测)下列说法正确的是()A.不等式4x 2-5x +1>0的解集是x x >14或x <1 B.不等式2x 2-x -6≤0的解集是x x ≤-32或x ≥2 C.若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，则a 的取值范围是∅D.若关于x 的不等式2x 2+px -3<0的解集是q ,1 ，则p +q 的值为-12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p ,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2-5x +1>0⇔x -1 4x -1 >0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2-x -6≤0⇔x -2 2x +3 ≤0⇔-32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2-84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q ,1是一元二次方程2x 2+px -3=0的两根，从而q ×1=-322+p -3=0，解得p =1,q =-32，而当p =1,q =-32时，一元二次不等式2x 2+x -3<0⇔x -1 2x +3 <0⇔-32<x <1满足题意，所以p +q 的值为-12，故D 正确.故选：CD .10(2023·江苏连云港·模拟预测)若对于任意实数x ，不等式a -1 x 2-2a -1 x -4<0恒成立，则实数a 可能是()A.-2B.0C.-4D.1【解题思路】首先当a =1，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；其次a ≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a -1<0Δ<0 ，解不等式组即可.【解答过程】当a =1时，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；当a ≠1时，要满足a -1<0Δ<0 ，而Δ=4a -1 2+16a -1 =4a -1 a +3 ，所以解得-3<a <1；综上，实数a 的取值范围是-3,1 ；所以对比选项得，实数a 可能是-2，0，1.故选：ABD .11(23-24高二上·山东威海·期末)已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则下列选项中正确的是()A.a <0B.不等式bx +c >0的解集是x |x <-6C.a +b +c >0D.不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ 【解题思路】根据给定的解集，用a 表示出b ,c ，再逐项判断作答.【解答过程】不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则-2,3是方程ax 2+bx +c =0的根，且a >0，则-b a =1,ca=-6,a >0，即b =-a ,c =-6a ,a >0，A 错误；不等式bx +c >0化为-ax -6a >0，解得x <-6，即不等式bx +c >0的解集是x |x <-6 ，B 正确；a +b +c =-6a <0，C 错误；不等式cx 2-bx +a <0化为-6ax 2+ax +a <0，即6x 2-x -1>0，解得x <-13或x >12，所以不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ ，D 正确.故选：BD .三、填空题12(2023·江西鹰潭·模拟预测)若命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，则k 的取值范围是[1,7).【解题思路】本题首先可根据题意得出命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，然后分为k =1,k =-1,k 2-1≠0三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【解答过程】因为命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，所以命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，若k 2-1=0，即k =1或k =-1，当k =1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意；当k =-1时，不等式为8x +3>0，不恒成立，不满足题意；当k 2-1≠0时，则需要满足k 2-1>0Δ=16(1-k )2-4×k 2-1 ×3<0 ，即(k -1)(k +1)>0(k -1)(k -7)<0，解得1<k <7，综上所述，k 的取值范围是[1,7).故答案为：[1,7).13(2023·河南·模拟预测)已知函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，则k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞.【解题思路】将两曲线表达式联立，得出一元二次方程，利用判别式即可求出k 的取值范围.【解答过程】由题意，函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，y =kx -ky =x 2-1x，则x -1 x 2+1-k x +1 =0，若直线y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，只需满足方程x 2+1-k x +1=0有两个不等于1和0的解.因为该方程的两个解之积x 1x 2=1，故只需满足Δ=1-k 2-4>0，所以k <-1或k >3，即k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞ .故答案为：-∞,-1 ∪3,+∞ .14(23-24高一上·江苏徐州·阶段练习)若关于x 的不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，则3a +b +2c 的取值范围是32,4．【解题思路】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a 的取值范围，最后3a +b +2c 都表示成a 的形式即可.【解答过程】因为不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，所以二次函数f x =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，且需满足f -1 =2f 3 =2f 1 ≥0，即a -b +c =29a +3b +c =2a +b +c ≥0，解得b =-2ac =-3a +2 ，所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0⇒a≤12，所以a∈0,12，所以3a+b+2c=3a -2a-6a+4=4-5a∈32,4.故答案为：3 2 ,4.四、解答题15(23-24高一下·四川成都·开学考试)已知函数f x =x2-2ax+3．(1)若关于x的不等式f x ≥0的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f x <0．【解题思路】(1)由题意可知Δ≤0，进而求出实数a的取值范围；(2)根据Δ≤0和Δ>0两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．【解答过程】(1)若不等式x2-2ax+3≥0的解集为R，则Δ=(-2a)2-12≤0，解得-3≤a≤3，即实数a的取值范围[-3,3]；(2)不等式x2-2ax+3<0，①当Δ≤0时，即-3≤a≤3时，不等式的解集为∅，②当Δ>0时，即a<-3或a>3时，由x2-2ax+3=0，解得x=a-a2-3或x=a+a2-3，所以不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}，综上所述，当-3≤a≤3时，不等式的解集为∅；当a<-3或a>3时，不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}．16(2024·山东·二模)已知f x 是二次函数，且f1 =4,f0 =1,f3 =4．(1)求f x 的解析式；(2)若x∈-1,5，求函数f x 的最小值和最大值．【解题思路】(1)设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，根据题意，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质，求得函数f x 的单调区间，进而求得其最值.【解答过程】(1)解：设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，因为f1 =4,f0 =1,f3 =4，可得a+b+c=4c=19a+3b+c=4，解得a=-1,b=4,c=1，所以函数f x 的解析式f x =-x2+4x+1．(2)解：函数f x =-x2+4x+1，开口向下，对称轴方程为x=2，即函数f x =-x2+4x+1在-1,2单调递增，在2,5单调递减，所以f(x)min=f-1=f5 =-4，f(x)max=f2 =5．17(23-24高二上·江苏南通·期中)设m∈R，关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅.(1)求m的取值范围；(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集.【解题思路】(1)由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解；(2)转化条件为mx-2x+1≥0，按照m=0、0<m≤2、-1≤m<0讨论，运算即可得解.【解答过程】(1)因为关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅，。
二次函数与一元二次方程、不等式练习题
二次函数与一元二次方程、不等式练习题1．如图，直线y 1＝kx +n （k ≠0）与抛物线y 2＝ax 2+bx +c （a ≠0）分别交于A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜﹣1或x ＞2D ．x ≤﹣12．抛物线y 1＝﹣x 2+4x 和直线y 2＝2x 的图象如图所示，那么不等式y 1＞y 2的解集是（ ）第2题 第1题 第3题A ．x ＜0B ．0＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．2＜x ＜43．已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的实数根D ．没有实根 4．抛物线2321y x x =-+-与y 轴的交点坐标为（ ）A ．()0,1 B ．()0,1- C ．()1,0- D ．()1,0第9题图5．已知二次函数y=（k ﹣2）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥3 B ．k ＜3 C ．k≤3且k≠2 D ．k ＜2 6．若二次函数y=x 2﹣2x+c 的图象与x 轴没有交点，则c 的值可能是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．0 D ．27．二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是（）A．（1，0）B．（2，0）C．（﹣1，0）或（﹣2，0）D．（﹣1，0）或（1，0）8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是A．有两个不相等的根B．有两个同号的实数根C．有两个相等实数根D．无实数根11．抛物线y＝－2x2－x＋2与坐标轴的交点个数是()A．3 B．2 C．1 D．012．若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．201613．抛物线y=ax2−4x+c经过A(−1,−1)和B(3,−9).（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出当y>0时，x的取值范围；（3）若点P(m,m)在该函数图像上，求点P的坐标.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数与方程、不等式综合问题
1、在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y +-
=65经过点()n A ,2-，⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1B ，抛物线1222-+-=t tx x y 与x 轴相交于点C 、D .
（1）求点A 的坐标。
（2）设点E 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25，若点C 、D 都在线段OE 上，求t 的取值范围。
（3）若该抛物线与线段AB 有公共点，求t 的取值范围。
2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，且经过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛
23,0A 。
（1）若此抛物线经过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-21,2B ，且与x 轴相交于点E 、F 。
①填空：b ＝ （用含a 的代数式表示）。
②当2
EF 的值最小时，求抛物线的解析式。
（2）若2
1=
a ，当10≤≤x ，抛物线上的点到x 轴的距离的最大值为3时，求
b 的值。
3、已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y ，当0=x 和2=x 时的函数值相等。
（1）求二次函数的解析式。
（2）若一次函数6+=kx y 的图像与二次函数的图像都经过点),3(m A -，求m 和k 的值。
（3）设二次函数的图像与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图像在B 、C 点间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0>n ）个单位后得到的图像记为G ，同时将（2）中得到的直线6+=kx y 向上平移n 个单位，当平移后的直线与图像G 有公共点时，求n 的取值范围。
4、已知二次函数)12(221-+-=t tx x y （1>t ）的图像为抛物线1C 。
（1）求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点。
（2）已知抛物线1C 与x 轴交点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线222)(:t x y C -=，平移后A 、B 的对应点分别为点),(n m D ，),2(n m E +，求n 的值。
（3）在（2）的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G 。
若直线b x y +-
=2
1（3<b ）与图形G 有且只有两个公共点，请结合图像求b 的取值范围。
5、已知一次函数x y 21=和二次函数122+=x y 。
（1）求证：函数1y 和函数2y 的图像都经过同一个定点。
（2）求证：在实数范围内，对于任意同一个x 的值，这两个函数所对应的函数值21y y ≤总成立。
（3）是否存在抛物线c bx ax y ++=23，其图像经过点)2,5(-，且在实数范围内，对于同一个x 的值，这三个函数所对应的函数值231y y y ≤≤总成立？若存在，求出3y 的解析式；若不存在，请说明理由。
6、已知二次函数c bx ax y ++=2。
（1）若c a b 2
12+=，则函数图像一定经过哪个定点？ （2）若0<a ，0=c 且对于任意的实数x ，都有1≤y ，求证：042≤+b a 。
（3）若函数图像上两点),0(1y 和),1(2y 满足021>y y ，且0632=++c b a ，试确定二次函数图像对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围。