四边形与特殊四边形之间的关系定义及相关定理

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小学数学知识点认识四边形的特征与性质

小学数学知识点认识四边形的特征与性质四边形是小学数学中的基础概念之一，它具有独特的特征和性质。

通过认识四边形的特征与性质，可以更好地理解和解决与四边形相关的数学问题。

本文将介绍四边形的定义、分类以及一些主要的性质和定理。

一、四边形的基本定义四边形是由四条线段连接而成的图形。

其中，这四条线段称为四边形的边，两两相邻的边称为四边形的边界。

四边形的四个顶点是边界的端点，相邻的两个顶点之间的线段称为对角线，共有两条对角线。

二、四边形的分类1. 平行四边形：平行四边形是指四边形的对边都是平行的四边形。

平行四边形的性质包括：对边相等、对角线互相平分、对角线等长。

2. 矩形：矩形是指四条边都相等且每条内角都是直角的四边形。

矩形的性质包括：四条边相等、对角线互相平分、对边互相垂直、对角线相等、具有对称性。

3. 正方形：正方形是矩形的一种特殊情况，它的四条边相等且每条内角都是直角。

正方形的性质包括：四条边相等、对角线互相平分、对边互相垂直、对角线相等、具有对称性。

4. 长方形：长方形是指四条边都不相等但相对的边相等且每条内角都是直角的四边形。

长方形的性质包括：对边相等、对角线互相平分、对边互相垂直、对角线不等。

5. 菱形：菱形是指四条边都相等但相对的内角不是直角的四边形。

菱形的性质包括：四条边相等、对角线互相平分、具有对称性。

三、四边形的性质与定理1. 对边性质：平行四边形和矩形的对边相等；正方形的对边相等且互相垂直；长方形的对边相等且互相垂直；菱形的对边相等。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；矩形和正方形的对角线相等；长方形的对角线不等；菱形的对角线互相平分。

3. 角性质：矩形和正方形的内角都是直角；平行四边形的内角互补；相邻内角补角是180度。

4. 其他性质和定理：正方形的四个内角都是直角；正方形具有对称性；矩形和正方形的邻边互相垂直；对角线相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形是长方形。

四、应用实例通过对四边形的特征与性质的认识，我们可以解决与四边形相关的一些数学问题。

特殊四边形的性质和判定定理

特殊四边形的性质和判定定理名称性质判定平行四边形1、对边平行且相等。

2、对角相等。

3、对角线互相平分。

4、是中心对称图形。

5、S=a b （a 、b 分别表示底和这一底上的高）推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边.并且等于第三边的一半。

1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（定义）2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。

矩形矩形除了具有平行四边形的所有性质外.还有以下性质：1、四个角都是直角。

2、对角线相等。

3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示长和宽）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、对角线相等的平行四边形是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形菱形除了具有平行四边形的所有质外.还有以下性质：1、四条边都相等。

2、两条对角线互相垂直。

并且每一条对角线平分一组对角。

3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示两条对角线长。

）1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、边相等到的四边形是菱形。

正方形除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外.还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45º。

2、S= a ²（a 表示两边长。

） 1、一组邻边相等的矩形是正方形。

2、有一个是直角的菱形是正方形。

3、对角线相垂直的矩形是正方形。

4、对角线相等的菱形是正方形。

等腰梯形1、两腰相等。

2、同一底上的两个角相等。

3、对角线相等。

4、轴对称图形1、对角线相等的梯形是等腰梯形。

2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

梯形中常见辅助线AB CDABCDABC DABCD A BCD例1 如图.E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点.AM ⊥EF.垂足为M.若AM=AB.求证：EF=BE+CF例2 已知：如图.正方形ABCD 中.延长AD 到E.使DE=AD.再延长DE 到F.使DF=BD.连接BF 交CD 于Q.交CE 于P 。

四边形

n边形的对角线：共有n（n－3）/2条。边形的对角线：共有n /2条。说明：利用上述公式可以由一个多边形的边数计说明：利用上述公式可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。多边形内角和定理：边形内角和等于（n 多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2） 180° 180°。多边形内角和定理的推论：多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于 360° 360°。说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起来，掌握计算方法。
2、正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。 ①正方形的四个角都是直角； ②四条边都相等； ③正方形的对角线相等且互相垂直平分； ④每一条对角线平分一组对角； ⑤正方形是轴对称图形，有四条对称轴，它们是对角线所在直线和对边中点所在直线，同时又是中心对称图形，对称中心是对角线交点
1、菱形的定理
性质定理1 性质定理1 菱形的四条边都相等性质定理2 性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角面积=对角线乘积的一半，即S=（面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b） ÷2 判定定理1 判定定理1 四边都相等的四边形是菱形判定定理2 判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形
正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
1、正方形的定理
正方形性质定理1 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。正方形性质定理2 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。正方形判定定理1 正方形判定定理1：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形判定定理2 正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。

初中数学四边形相关定义定理

初中数学四边形相关定义定理初中数学四边形相关定义和定理一、等腰梯形定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

上底与下底平行，两条腰相等。

角：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形。

性质：判定两条腰相等的梯形是等腰梯形。

二、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

边：两组对边平行且相等。

角：两组对角分别相等。

对角线：对角线互相平分。

性质：判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

判定两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

判定一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

边：两组对边分别平行且相等。

四个角都是直角。

角对角线：对角线互相平分且相等。

性质：判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。

判定有三个角是直角的四边形是矩形。

判定四个角都相等的四边形是矩形。

判定对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

判定对角线相等的平行四边形是矩形。

四、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

边：四条边都相等。

两组对边分别平行。

角：两组对角分别相等。

对角线：对角线互相平分、互相垂直。

每条对角线平分一组对角。

性质：判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

判定四条边都相等的四边形是菱形。

判定对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

判定对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

五、正方形定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

边：四条边都相等。

两组对边分别相等。

角对角线：对角线互相平分、互相垂直且相等。

每条对角线平分一组对角。

性质：四个角都是直角。

判定有一组邻边相等的矩形是正方形。

判定有一个角是直角的菱形是正方形。

判定对角线互相垂直的矩形是正方形。

判定对角线相等的菱形是正方形。

判定既是矩形又是菱形的四边形是正方形。

四边形的性质和分类

四边形的性质和分类四边形是一种几何图形，由四条边和四个顶点组成。

在数学中，四边形有着丰富的性质和分类。

本文将介绍四边形的基本定义、性质和常见分类。

一、四边形的基本定义四边形是由四条线段相连组成的几何图形。

它的特点是具有四个内角和四个外角。

四边形的边相交于顶点，形成内角，而顶点和顶点之间的直线形成外角。

二、四边形的性质1. 内角和四边形的内角和等于360度。

也就是说，四边形的四个内角之和始终为360度。

这一性质可以通过将四边形划分成两个三角形来证明。

因为三角形的三个内角和等于180度，所以两个三角形的内角和加起来等于360度。

2. 对角线四边形的对角线是连接非相邻顶点的线段。

对角线有两条，它们分别把四边形分成两个对称的三角形。

对角线的长度可以通过使用勾股定理来计算。

3. 相邻角四边形的相邻角是指共享一条边的两个角。

相邻角的和等于180度，即补角。

这一性质也可以通过将四边形划分成两个三角形来证明。

4. 平行四边形平行四边形是指具有两组平行边的四边形。

它的对边长度相等，对角线相互平分，并且内角相互补角。

平行四边形是四边形中最基本的形式之一。

5. 矩形矩形是一种特殊的平行四边形，它的所有内角都是直角，即90度。

矩形的对边相等且平行，对角线长度相等。

矩形是一种常见的四边形，也是我们日常生活中最常见的几何形状之一。

6. 正方形正方形是一种特殊的矩形，它的所有边和内角都相等。

正方形也是一种特殊的菱形，具有对角线相等且互相垂直的性质。

正方形是对称性最好的四边形，具有许多特殊性质，如面积和周长的关系等。

三、四边形的分类根据四边形的性质和特点，我们可以将其分为以下几类：1. 平行四边形平行四边形具有平行的边和相等的对角线。

常见的平行四边形有矩形、正方形、菱形等。

2. 等腰四边形等腰四边形具有两对相等的边。

根据内角的不同，等腰四边形又可分为等腰梯形、等腰平行四边形等。

3. 等边四边形等边四边形的四条边都相等。

正方形是一种特殊的等边四边形。

四边形的性质及判定定理

1. 有一组临边相等的矩形。 2. 对角线互相垂直的矩形。 3. 有一个角是直角的菱形。 4. 对角线相等的菱形。
1.两腰相等的梯形。 2. 同一底上的两个角相等的梯形。
1. 三角形的中位线平行于三角形的第三边三角形中的几个重且等于第三边的一半。要定理： 2. 直角三角形的斜边中线等于斜边的一半。 3. 直角三角形中 300 的角所对的直角边等于斜边的一半。 4. 等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线合一。 5. 有一个角为 600 的等腰三角形是等边三角形。
矩形
菱形
1. 两组对边平行且相等. 2. 四个角都是直角。 3. 对角线互相平分且相等。 4. 既是轴对称图形，又是中心对称图形。 5. S=ab （ a 是长 b 是宽） 1. 两组对边平行且 1. 有一组临边相等四条边都相等。的平行四边形。 2. 两组对角相等。 2. 对角线互相垂直 3. 对角线互相垂直的平行四边形。平分且每一条对 3. 四条边相等的四角线平分一组对边形。角。 4. 既是轴对称图形，又是中心对称图形。 5. S= ab（a、b 是对角线长） .
万
等腰梯形
1.两组对边平行且四条边相等。 2.四个角都是直角。 1. 对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（既对角线和边的夹角是 450） 4. 既是轴对称图形，又是中心对称图形。 5.S= a2（a 是边长） 1. 两腰相等。 2. 同一底上的两个角相等。 3. 对角线相等。 4. 是轴对称图形。
对角线相等且互相垂直平分每一条对角线平分一组对角既对角线和边的夹角是4504
万成教育

平行四边形及特殊的平行四边形的性质和判定

平行四边形及特殊的平行四边形一、性质：1.平行四边形的对角；邻角；对边；对角线；是中心对称图形。

2.矩形的四个角为；对边；对角线；是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴有条。

3.菱形的对角；邻角；四条边都；对角线；是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴有条。

4.正方形的四个角为；四条边都；对角线；是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴有条。

二、判定：1.平行四边形的判定：（1）叫做平行四边形。

（定义）（2）的四边形是平行四边形。

（3）的四边形是平行四边形。

（4）的四边形是平行四边形。

2.矩形的判定：（1）的平行四边形叫做矩形。

（定义）（2）的四边形是矩形。

（3）的平行四边形是矩形。

3.菱形的判定：（1）的平行四边形叫做菱形。

（定义）（2）的四边形是菱形。

（3）的平行四边形是菱形。

4.正方形的判定：（1）的平行四边形叫做正方形。

（定义）（2）的矩形是正方形。

（3）的菱形是正方形。

三、其它：1.n边形的内角和为（n≥3），外角和为。

2.平行线的性质定理：夹在两条平行线间的相等。

推论：夹在两条平行线间的相等。

3.对称中心平分连结两个的线段。

4.连结三角形两边中点的线段叫做。

5.中位线定理：三角形的中位线平行于，并且等于第三边的。

6.平行线的传递性：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相。

7.在证明一个命题时，人们有时先假设命题，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与、基本事实、等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。

这种证明方法叫做。

1。

特殊的四边形及三角形的定义性质判定相关计算公式

特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2.平行四边形的性质：1平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点,不是轴对称图形;关于对称性的2平行四边形的对角相等；关于角的3平行四边形的邻角互补；关于角的4平行四边形的对边相等；推论：夹在两条平行线间的平行线段;关于边的5平行四边形的对边平行；关于边的6平行四边形的对角线互相平分;关于对角线的7连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形;关于中点四边形的3.平行四边形的判定方法：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定义判定法2两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4两组对角相等的四边形是平行四边形；5对角线互相平分的四边形是平行四边形;4. 相关计算公式：平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高,“a”表示底,“s”表示平行四边形面积,则S=ah平行四边形周长：2×底1+底2；如用“a"表示底1,“b”表示底2,“c“表示平行四边形周长,则C=2a+b5.平行四边形中常用辅助线的添法：1连结对角线或平移对角线；2过顶点作对边的垂线构成直角三角形；3连结对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线；4连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形；5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等;矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形;2.矩形的性质：1矩形是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,对称轴共有两条；关于对称性的2矩形的对角相等；关于角的3矩形的邻角互补；关于角的4矩形的对边相等；关于边的5矩形的对边平行；关于边的6矩形的对角线互相平分；关于对角线的7矩形的四个角都是直角；关于角的8矩形的对角线相等;关于对角线的9矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等3.矩形的判定方法：1有一个角是直角的平行四边形是矩形；定义判定法2对角线相等的平行四边形是矩形；3关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形4对于平行四边形,若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等,则此平行四边形为矩形5有三个角是直角的四边形是矩形；6四个内角都相等的四边形为矩形；7对角线互相平分且相等的四边形是矩形；8对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形;4.相关计算公式矩形面积：S=ah注:a为边长,h为该边上的高S=ab注:a为长,b为宽矩形周长：C=2a+b注:a为长,b为宽顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形;菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;2.菱形的性质：1菱形既是,是两条对角线所在直线,也是中心对称图形；2在60°的菱形中,短对角线等于边长,长对角线是短对角线的√3倍;3菱形的对角相等；关于角的4菱形的邻角互补；关于角的5菱形的对边相等；关于边的6菱形的对边平行；关于边的7菱形的对角线互相平分；关于对角线的8菱形的四边都相等；关于边的9菱形的对角线互相垂直,且平分各内角；关于对角线的10顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形;关于中点四边形的3.菱形的判定方法：1一组邻边相等的平行四边形是菱形；定义判定法2对角线相互垂直的平行四边形是菱形；3关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；4四条边都相等的四边形是菱形;4. 相关计算公式：菱形的面积：菱形的面积等于两对角线乘积的一半;只要是对角线互相垂直的四边形都可用正方形1.正方形的定义：1四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形;2有一组邻边相等的矩形是正方形;3有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形;4有一个角为直角的菱形是正方形;5对角线平分,垂直且相等,并且交角为直角的四边形为正方形;2.正方形的性质：1既是中心对称图形,又是有四条对称轴；关于对称性的2正方形的对角相等；关于角的3正方形的邻角互补；关于角的4正方形的对边相等；关于边的5正方形的相邻边互相垂直；关于边的6正方形的对边平行；关于边的7正方形的对角线互相平分；关于对角线的8正方形的四个角都是直角；关于角的9正方形的对角线相等;关于对角线的10正方形的四边都相等；关于边的（11）正方形的对角线互相垂直,且平分各内角;关于对角线的3.正方形的判定方法：1有一组邻边相等的矩形是正方形；2对角线互相垂直的矩形是正方形；3有一个角为直角的菱形是正方形；4对角线相等的菱形是正方形；5一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；6四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形；7四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形；8对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形;4.相关计算公式：面积计算公式：S=边长×边长或：S=对角线×对角线÷2周长计算公式: C=4×边长顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形;等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形;2. 等腰三角形的性质：1等腰三角形的两个底角相等；简写成“等边对等角”2等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合；简写成“三线合一”3等腰三角形的两底角的平分线相等；两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等4等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等；5等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高；需用等面积法证明7等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴;3. 等腰三角形的判定方法：1有两条边相等的三角形是等腰三角形2有两个角相等的三角形是等腰三角形简称：等角对等边等边三角形1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形;等边三角形是特殊的等腰三角形;注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形2.等边三角形的性质：1等边三角形的内角都相等,且为60度；2等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合；三线合一3等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线;3.等边三角形的判定方法：首先考虑判断三角形是等腰三角形1三边相等的三角形是等边三角形；定义2三个内角都相等的三角形是等边三角形；3有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；4等边三角形是锐角三角形；5有两个角等于60度的等腰三角形是等边三角形;等腰梯形1.等腰梯形的定义:一组对边平行不相等,另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形;2.等腰梯形的性质：1等腰梯形只有一条对称轴,上底和下底的中垂线就是它的对称轴；2等腰梯形在同一底上的两个角相等；3等腰梯形的两腰相等；4等腰梯形的两底平行；5等腰梯形的两个底角相等；6等腰梯形的对角线相等；7等腰梯形内接于圆;3. 等腰梯形的判定方法：1一组对边不平行边相等的梯形是等腰梯形；2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3对角线相等的梯形是等腰梯形；4一组对边平行不相等,另一组对边相等不平行的四边形是等腰梯形；5对角线相等,形成两个等腰三角形;4.相关计算公式等腰梯形的中位线长是上下底边长度和的一半；等腰梯形的面积公式等于上底加下底和一半乘高,也等于中位线乘高;直角三角形1.直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形;2.直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质：1直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;2在直角三角形中,两个锐角互余;3在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R＝C/2;4直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积;5在直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半;3.直角三角形的判定方法：1有一个角为90°的三角形是直角三角形；2一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；3若a的平方＋b的平方=c的平方,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；勾股定理的逆定理;4若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；5两个锐角互余的三角形是直角三角形;。

四边形的性质与角度的求解

未来学习
四边形其他性质、角度知识
应用
解决几何问题、建筑设计
● 04
第4章不规则四边形的角度求解
不规则四边形的角度性质
内角和求解
不规则四边形的内角和可以通过补角定理求解将四边形划分成三角形，得出内角和为180度
对角线性质
不规则四边形的对角线互相垂直平分对角线长度相等，夹角相等
实际例题分析
推理与演算
技巧总结
多角度思考
难点问题解决
角度关系分析
不规则四边形的应用场景
实际建模
建筑设计
科学研究
天体观测
工程解决
交通规划
不规则四边形的求解方法
方法一
根据对角线垂直平分性质利用角平分线求解
方法二
使用辅助线构造等腰三角形利用等角关系得出角度
方法三
利用内外角和定理结合补角求解
01 对角线长度
矩形对角线相等，正方形对角线相等且垂直
02 对角交点
矩形对角线交点为中点，正方形对角线交点为顶点
03 对角特性
对角线相互垂直
矩形与正方形的面积
矩形面积公式
矩形面积长*宽
正方形面积公式
正方形面积=边长*边长
面积计算方法比较
正方形是特殊矩形，面积计算公式相似
总结
重点
矩形与正方形的性质
内错角
相等
总结
平行四边形是具有特殊性质的四边形，其内角和为360度，角度关系有助于解决几何问题。面积公式简单易懂，通过掌握平行四边形的性质，可以更快解决相关问题。
● 03
第3章矩形、正方形的性质
矩形与正方形的定义
矩形是一种四边形，其相对边相等且内角均为直角；正方形是一种特殊的矩形，四条边相等且内角均为直角。矩形与正方形在几何学中具有重要意义，同时也有着不同的特性和区别。

特殊的平行四边形专题（题型详细分类）要点

特殊的平⾏四边形专题（题型详细分类）要点特殊的平⾏四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正⽅形之间的联系如下表所⽰：四边形分类专题汇总专题⼀：特殊四边形的判定矩形菱形正⽅形性质边对边平⾏且相等对边平⾏，四边相等对边平⾏，四边相等⾓四个⾓都是直⾓对⾓相等四个⾓都是直⾓对⾓线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对⾓线平分⼀组对⾓互相垂直平分且相等,每条对⾓线平分⼀组对⾓判定 ·有三个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且有⼀个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且两条对⾓线相等. ·四边相等的四边形；·是平⾏四边形且有⼀组邻边相等；·是平⾏四边形且两条对⾓线互相垂直。

·是矩形，且有⼀组邻边相等； ·是菱形，且有⼀个⾓是直⾓。

对称性既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正⽅形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________5.等腰梯形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练⼀练】⼀．选择题1．能够判定四边形ABCD是平⾏四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平⾏四边形的为（）．A．相邻的⾓互补 B．两组对⾓分别相等C．⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等 D．对⾓线交点是两对⾓线中点3.下列条件中，能判定四边形是平⾏四边形的条件是( )A.⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等B.⼀组对边平⾏，⼀组对⾓相等C.⼀组对边平⾏，⼀组邻⾓互补D.⼀组对边相等，⼀组邻⾓相等4．如下左图所⽰，四边形ABCD的对⾓线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平⾏四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平⾏四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平⾏四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平⾏四边形5．不能判定四边形ABCD是平⾏四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD的对⾓线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD7.四边形ABCD的对⾓线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8.在四边形ABCD中，O是对⾓线的交点，下列条件能判定这个四边形是正⽅形的是（）A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC9.在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对⾓线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对⾓线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形Ｄ．两条对⾓线互相垂直且相等的四边形是正⽅形10.在下列命题中，正确的是（）11.如图，已知四边形ABCD 是平⾏四边形，下列结论中不正确的是（） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=900时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正⽅形12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（） A ．四边形AEDF 是平⾏四边形B ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正⽅形的条件是（）。

人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)

第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大．【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ，又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形．（2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2，方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2，比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较．举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为（）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定Prepared on 22 November 2020平行四边形一、平行四边形1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

（3）夹在两条平行线间的平行线段相等。

（4）平行四边形的对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形。

4.平行四边形的面积：面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。

）二、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

2.矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.矩形的面积：矩形的面积=长×宽三、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。

（3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.菱形的面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半四、正方形1.正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。

四边形的基本概念

四边形的基本概念四边形是我们数学中常见的一种几何形状。

它由四条线段和四个角组成，具有一些特殊的性质和定义。

本文将介绍四边形的基本概念、性质和分类。

一、四边形的定义四边形是由四条线段和四个角所组成的几何图形。

这四条线段相互连接形成一个封闭的图形，同时四个角也是封闭的。

四边形的名称通常根据其各边的特点来命名，比如矩形、正方形、平行四边形等。

二、四边形的性质1. 四边形的内角和为360°：四边形的四个内角之和等于360°。

我们可以通过将四边形划分为两个三角形来证明这个定理。

对于任意一个四边形ABCD，连接AC，我们可以得到两个三角形ABC和ACD，而三角形的内角和为180°，因此四边形ABCD的内角和为360°。

2. 对角线的性质：四边形的对角线是相连的非相邻顶点之间的线段。

对于任意一个四边形ABCD，其对角线可以连接顶点A与C，以及顶点B与D。

对角线之间有以下性质：- 对角线的交点：四边形的对角线有且只有一个交点，称为四边形的对角线交点或对角线的交点。

- 对角线的长度：四边形的对角线长度可以通过使用勾股定理计算得出。

- 对角线的中点连线：四边形的对角线的中点连线平分对角线。

即连接对角线中点的线段等于对角线长度的一半。

3. 四边形的边与角的关系：在四边形中，边和角之间有一些特殊的关系：- 相对边：在四边形中，如果两边没有公共顶点且也不相交，则这两条边是相对边。

相对边的长度不一定相等，但是相对边之间的夹角相等。

- 相对角：在四边形中，如果两个角没有公共边且也不相交，则这两个角是相对角。

相对角的大小不一定相等，但是它们的对边平行。

三、四边形的分类根据四边形的边和角的特点，我们可以将四边形分为以下几类：1. 矩形：具有四个直角的四边形，相邻的两条边长度相等。

2. 正方形：具有四个直角和四条边长度相等的四边形。

3. 平行四边形：具有对边平行的四边形。

4. 菱形：具有相邻两边相等的四边形。

特殊四边形知识与考点解析

特殊四边形知识考点解析1．多边形的分类：2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：（1）平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫对角线。

性质：平行四边形对边相等。

平行四边形对角相等, 邻角互补.平行四边形的对角线互相平分。

若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两组对角分别相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（2）菱形：定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S 菱形=L1.L2/2）。

（3）矩形：定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：矩形的对角线相等；四个角都是直角。

矩形的判别方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且平分的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。

直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。

（4）正方形：定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形的性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

（5）梯形：定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形。

理解平行四边形与各种特殊的平行四边形的区别和联系

教学设计内容要求课程说明（信息技术与学科教学内容结合方面的指导思想与理论依据）：《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实中、探索性的数学活动中去。

教师在教学中要善于运用信息技术为学生创造图文并茂，丰富多彩、人机交互，及时反馈的学习环境，使学生在这一环境中多种感官协同活动，充分调动自我的学习积极性，发挥主动性和自主性。

建构主义学习理论认为，学习活动要以学习者为中心，学习过程不是学习者被动地接受知识，而是积极地建构知识的过程。

利用几何画板的功能可以将数学知识和某些过程直观化，变静态图形为动态图形，使学生在活动中主动参与、主动思考、积极探索，逐渐完善对特殊四边形有关知识的意义建构。

信息技术环境软硬件要求及搭建环境情况教室内有多媒体教学设备，电脑上安装《几何画板》软件教学背景分析在知识掌握上，学生已经学习了三角形、四边形、平行四边形和特殊的平行四边形，积累了一定的几何图形学习的经验，特别是在学习平行四边形时已经体会过一般到特殊的数学方法，也具有类比学习的经验，这为本节课学习打下了良好的基础．本班学生的数学学习基础参差不齐，差距较大，在设计例题和习题时必须考虑不同层次学生的需求。

教学目标教学目标：知识与技能:理解平行四边形与各种特殊的平行四边形的区别和联系能够运用平行四边形与各种特殊的平行四边形的定义、性质、判定进行推理证明过程与方法经历对图形的观察、分析和探究解答的过程，加深对平行四边形性质和判定的理解与掌握，积累解题经验，提高解题能力。

情感、态度与价值观通过观察图形、探究思路、解答问题的过程，养成善于观察、勤于思考的良好学习习惯，严谨的思维品质以及与他人合作交流的能力。

教学重点：综合运用平行四边形及各种特殊四边形的定义、性质、判定、证明教学难点：证明中添加辅助线问题教学过程教学阶段教师活动学生活动设置意图技术应用时间安排一、复习导入1.平行四边形与特殊平行四边形的从属关系检查各小组学案的完成情况对不准确的进行指出和辅导在课前独立完成学案课上先在小组内交流，完善、改正错误之处，形成统一的结果后,以小组为单位展示结合图形回忆并回答让学生对平行四边形的知识有一个系统完整的认识，强化和加强对平行四边形及几种特殊四边形的性质判定的理解和记忆为接下来的解题探究做好知识准备实物展台8分钟二、课上探究探究1：如图：平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，E 、F 是 BD 上两点 BE=DF 。

关于特殊平行四边形的数学文化知识

关于特殊平行四边形的数学文化知识特殊平行四边形是指四个边两两平行的四边形，并且所有角都不相等的几何图形。

在数学文化知识中，特殊平行四边形可以追溯到古希腊时代的几何学家欧几里得的《几何原本》中。

在欧几里得的《几何原本》中，特殊平行四边形被称为“平行梯形”，并在书中提到了一些特殊的平行四边形性质和定理。

特殊平行四边形的一个重要性质是其对角线相互平分，这一性质被称为“平行对角线定理”。

平行对角线定理表明，特殊平行四边形的两个对角线互相平分，并且对角线的交点同时也是它们的中点。

除了平行对角线定理，特殊平行四边形还有其他一些性质。

首先是特殊平行四边形的两对对边长度相等，这是因为两对对边是平行的，相互平等的线段在平行线之间的位置关系是不会改变的。

其次是特殊平行四边形的两对内角互补，也就是相加等于180度。

这一性质可以通过两对内角的对立角性质来推导出。

特殊平行四边形还有一个重要的定理是平行四边形的面积定理。

根据平行四边形的面积定理，特殊平行四边形的面积可以通过它的底边长度和高的乘积来计算。

即面积等于底边长度乘以高。

这一定理的证明可以通过将特殊平行四边形划分成两个平行梯形，并应用梯形的面积公式进行推导。

特殊平行四边形在数学文化中的应用很广泛。

它们不仅出现在几何学中的证明和推导中，也在建筑设计、艺术设计和图形计算中起到重要作用。

在建筑设计中，特殊平行四边形可以用来确定房屋的门窗设计或者屋顶的形状。

在艺术设计中，特殊平行四边形的对称性和不对称性可以用来构图和排版。

在图形计算中，特殊平行四边形的性质和公式可以用来计算其面积和边长。

除了特殊平行四边形本身的性质和应用，它在数学文化中还与其他几何图形和定理有着紧密的联系。

例如，特殊平行四边形可以被视为平行四边形的一种特殊情况，因此它们共享一些相似的性质和定理。

此外，特殊平行四边形还与梯形、正方形和菱形等相关联，它们之间有着一些相互关联的定理和性质。

总结起来，特殊平行四边形是几何学中的一种重要几何图形，它具有一些特殊的性质和定理。

教学重点理解四边形的定义

教学重点理解四边形的定义四边形是平面几何中的一个重要概念，它指的是由四条线段组成的封闭图形。

在教学中，理解四边形的定义是学生学习几何知识的重要一步。

本文将详细介绍四边形的定义，并探讨其相关性质和应用。

一、四边形的定义四边形是由四条线段连接构成的封闭图形。

这四条线段被称为四边形的边。

四边形的相邻边不共线，且没有交叉。

四边形的顶点即为四边形的端点。

四边形的顶点之间被称为对边。

根据四边形的边和顶点的不同位置关系，四边形可分为以下几种特殊类型：1. 矩形：四边形的四条边两两相等且相邻边互相垂直。

2. 正方形：矩形的特殊形式，四边形的四条边相等且相邻边互相垂直。

3. 平行四边形：四边形的对边平行。

4. 菱形：平行四边形的特殊形式，四边形的四条边相等。

5. 梯形：四边形中有两条平行边。

6. 不规则四边形：四边形的边和角没有特殊规律。

二、四边形的相关性质1. 内角和定理：四边形的内角和等于360度。

证明：将四边形分割成两个三角形，利用三角形内角和为180度的性质，可以得出四边形的内角和等于360度。

2. 对角线性质：- 矩形和正方形的对角线相等且互相平分。

- 平行四边形的对角线互相平分。

- 菱形的对角线相互垂直且互相平分。

三、四边形的应用四边形作为一种常见的几何形状，广泛应用于日常生活和工程实践中。

1. 建筑设计中常用的房屋平面图和布局通常包括各种四边形，如矩形、平行四边形等，用于规划房屋结构和空间布局。

2. 网球场、篮球场等运动场地通常采用矩形或正方形的形状，便于比赛的进行和规则的执行。

3. 工业制造中的机器部件如轴、齿轮、皮带等常采用矩形或梯形的形状，适应运动和传动的需要。

四、总结四边形是学习几何学的基础知识之一。

理解四边形的定义和性质对于学生进一步学习几何学以及解决实际问题具有重要意义。

四边形的定义清晰明了，通过对四边形类型和相关性质的学习，可以更好地应用于实际生活和工作中。

不仅如此，四边形还与其他几何概念相互联系，构成了几何学的基石，为学生的几何学习打下了坚实的基础。