运 筹 学 课 件

x5 36 (4)
可去掉
因此，在下一个基本可行解中，若
x2 进基，x1 仍为非基变量，则有：
xx34
80 12 2x2
0
x5 36 4x2 0
x2
x2
12
2 36
4
6 9
即 x2 6, x4 离基。
由 x1 0， x2 6
得 x3 8， x4 0， x5 12 ， z1 30
例：
解：首先将问题化为 标准形式：
x1 8
32xx12
12 4x2
36
x1, x2 0
x1 x3 8 32x1xx,12,4xxx45210x25 36
观察标准形式，易得初始基本可行解：
A→B=(P3，P4，P5)
X (0) (0,0,8,12,36)T
z0
0
基于X(0)，改写标准形式：
z
3x1 x1 x2
x3
5 2
1 2
x4 x4
30 8 6
3x1
2x4 x5 12
新典式
主元化 为1，主 元所在 列的其 余元素 化为0
继续求解： 检验数 主元
z
3x1 x1 x2
x3
5 2
1 2
x4 x4
30 8 6
3x1
2x4 x5 12
8/1 8
的系数(非基变量的系数可以作为检验当前基本可
行解是否最优的一个标志，称之为检验数)→进基
变量→离基变量。
X z0
(0)
0
(0,0,8,12,36)T
max z
检验数
z 3x1 5x2
x1
x3
2x2 x4
0 (1)
8 12
(2) (3)
………①
3x1 4x2 x1,, x5 0
x5 36 (4)
观察上述形式，满足： ⑴基本可行解X(0)对应的可行基是一个m阶排列
阵或单位阵；
⑵目标函数方程中所有基变量的系数全部为0。
我们将满足上述两个条件的方程组称为典式(方
程组典型形式)，这是单纯形法下任何一个基本可行
解必须满足的。一般地将这两个条件称为条典(典型 条件)。
现在分析X(0)是否最优：目标函数中非基变量
max z来自百度文库
z 3x1 5x2 0
2x1x2
x3 x4
8
12
(1) (2)
(3)………①
3x1 4 x2 x5 36 (4) x1,, x5 0
max z
z 3x1 5x2
0 (1)
x1
x3
2x2 x4
8 12
(2) (3)
………①
3x1 4x2 x1,, x5 0
即 X (1) (0,6,8,0,12)T
对应典式为：
(将 x2 (12 x4 ) / 2 代入①后，得)
z 3x1
5 2
x4
30
x1 x3
x2
1 2
x4
8 ………② 6
3x1 2x4 x5 12
①→②称为一次迭代(从图解法看是相邻顶点 的转移)
x1 8
最优解
32xx12
本章分以下几节介绍
§1 SM的基本原理 §2 SM计算步骤及应用举例
作业二： P70 1.7中(2)题 §3 初始基本可行解的确定 §4 改进单纯形法
作业三： P70 1.8中(2)题
§1 SM的基本原理
一、单纯形法的基本思想
对于标准形式的LP问题： max
设想：
初
X (0)
z0
≥ ≥ …≥
始
基 本
X (1)
z1
可
行
解
最优解
X*
z*
z CX AX b X 0
基于上述设想可以总结出单纯形法的 基本思想如下：
从一个基本可行解出发迭代到另一个 基本可行解，每次迭代使目标函数值上升， 反复迭代，逐步选优，直到目标函数取得 最大值为止。
单纯形法的实现形式：
①方程组；
②表格；
③矩阵。
二、方程组形式的单纯形法(单纯形法引例)
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
先讨论一下对应基B的单纯形表。
(一)对应于基B的单纯形表
讨论单纯形表结构的目的：①最优性检 验；②完成迭代；③为以后讨论奠定基础。
对于标准形式的LP问题：
max z CX AX b X 0
n维空间的单纯形，是指具有(n+1)个顶点的 多面体，如果各棱长相等，则称为正规单纯形， 如二维空间中的三角形(正三角形)三维空间的四 面体(正四面体)等,其一般表达式为：
n
x j 1, x j 0
j 1
如前述,当m=50,n=100时，枚举法要枚举
100!/(50!)2≈1029 个50阶50元的线性方程组；与之相比，单 纯形法只需约检查100个基本可行解，就可 得到最优解。几十年的计算实践表明，单 纯形法只需很少的迭代次数就能得到LP问 题的最优解，因此，它不仅成为LP的最基 本算法之一，而且已成为IP和NLP某些算 法的基础。
12 4x2
x1, x2 0
36
6
x2
可行域
x1
0
8
比较①→②迭代，可将其过程描述为：确定
换入变量→确定换出变量→主元→变换(初等变换)
→典式→新解
检验数
z 3x1 5x2 主元 0
x1
x3
8
2x2 x4 12
3x1 4x2
x5 36
12/ 2 6 36/ 4 9
X * 4,6T z* 42
说明：⑴单纯形法的几何意义：相邻顶点的迭代(路径
→统计规律)。
⑵理论上缺陷：每次只换入一个变量，速度不
理想→如何寻求快速算法。
迭代路径:
x1 8
32x1xx,12x2 41x202
36
最优解 x2
6
0
可行域
x1 8
三、单纯形法原理 由SM思想、引例可见，用SM求解标准