大学数学(高数微积分)函数求导法则(课堂讲解)

1 f '( x) '( y )
定理 如果函数 x ( y )在某区间 I y内单调、可导
且 ( y ) 0 , 那末它的反函数 y f ( x )在对应区间 I x内也可导 , 且有 1 f ( x ) . ( y )
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
当x 0时,
(0 h) ln(1 0) 1, f (0) lim h 0 h f (0) lim
h 0
ln[1 (0 h)] ln(1 0) 1, h
f (0) 1.
1, f ( x ) 1 , 1 x x0 x0 .
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x ) ln x 1 2 sin x cos x x 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
y ' |x1 2cos 2ln1 sin 2 sin 2.
证(1)略.
证(2)
设y u ( x) v( x), 当自变量有增量x时，u u ( x), v v( x), y u ( x) v( x)分别有增量u , v, y.且 y u ( x x) v( x x) u ( x) v( x) (u ( x) u ) (v( x) v) u ( x) v( x) v( x)u u ( x)v u v
i 1k 1 k i n n
二、例题分析
例1 求 y x 3 2 x 2 sin x 的导数 . 解
2 y 3 x 4 x cos x.
例2 求 y sin 2 x ln x 的导数 y ' 及 y ' | x 1 . y 2 sin x cos x ln x 解
同理可得
(arccos x )
1 ; 2 1 x
1 1源自文库x
2
.
(arctan x )
1 ( arccot x ) . 2 1 x
例2
求函数 y log a x 的导数.
解 x a y在I y ( ,)内单调、可导,
且 (a y ) a y ln a 0,
2.2 函数的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ( 3) [ ] (v ( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
例1 求函数 y arcsin x 的导数. 解
x sin y在 I y ( , )内单调、可导, 2 2
且 (sin y ) cos y 0,
在 I x (1,1)内有
1 1 1 1 (arcsin x ) . 2 2 (sin y ) cos y 1 sin y 1 x
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1
n
n
( 2 ) [Cf ( x )] Cf ( x );
( 3) [ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
i 1
n

( x) f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n f i( x ) f k ( x );
(tan x ) sec 2 x . (cot x ) csc 2 x .
例4 解
求 y sec x 的导数 .
1 y (sec x ) ( ) cos x (cos x ) sin x sec x tan x . 2 2 cos x cos x
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
例5
x, x0 设 f ( x) , 求 f ( x ). ln(1 x ), x 0
解 当x 0时, f ( x ) 1,
当x 0时,
ln(1 x h) ln(1 x ) f ( x ) lim h 0 h 1 h lim ln(1 ) h 0 h 1 x 1 , 1 x
例3 求 y tan x 的导数 . 解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x
1 cos 2 x sin2 x 2 sec x 2 2 cos x cos x
即
同理可得
y u v v 故， v u u x x x x y u v v lim v lim u lim lim u x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x u '( x)v( x) u ( x)v '( x)
二、反函数的导数
若原来的函数x ( y )在某一区间Dy 上单调、连续.则其反函数y f ( x)在 x ( y )的值域Dy 上也单调、连续.
问题：若原函数x ( y )在点( ( y ), y )可导， 反函数y f ( x)在对应点( x, f ( x))是否可导？ 若可导，f '( x)与 '( y )有何关系？