大学数学(高数微积分)函数求导法则(课堂讲解)
大学数学(高数微积分)隐函数的导数(课堂讲解)
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
一般地，不必要求写出具体的复合关系，只 要记住哪些是中间变量，将中间变量的表达 式看成一个整体，由外向内，逐层求导即可。
y x2 y 3 3 2 1. ( , ) y x 22 3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
3 3 ( , ) 2 2
例3：求由下列方程所确定的函数的二阶导数 y 2 x ( x y) ln( x y)
1 y '' 3 ( x y )[2 ln( x y )]
求隐函数的二阶导数时，在得到的一阶导数的 表达式后，再进一步求二阶导数的表达式，此 时，要注意将一阶导数的表达式代入其中．
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x
练习：设y arcsin( x ), 求y '
2
练习：设y arcsin( x e ), 求y '
2 x
练习：设y e
tan
31
x
, 求y '
2.5 隐函数的导数
一、隐函数的导数
定义:如果变量x,y之间的函数关系由一个方程
F ( x , y ) 0 确定，那么这种函数叫做隐函数． y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
大学数学微积分第16讲《求导法则》课件
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十六讲 求导法则
第四章 一元函数的导数与微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
例6 设 y a0 xn a1xn1 an1x2 an1x an，
求 y。
解 由和的求导公式
y (a0 xn ) (a1xn1) (an2 x2 ) (an1x) (an )
a0n xn1 a1(n 1)xn2 an2 2x an1
通常说, 多项式的导数仍是多项式, 其次 数降低一次, 系数相应改变.
1 x2
y arctanx, ( x ), 求y。
例17
解 它是 x tan y , y ( , )的反函数,
22
且 x tan y 满足定理的条件,
又 (tan y) 1 tan2 y 0
故
y
(arctan
x)
1 (tan
y)
1
1 tan 2
y
1 1 x2
x ( , )
(arctan
又 x cos y 在 (0, ) 内单调、连续、可导, 且
d x (cos y) sin y 0 dy
故 y (arccos x) d y 1 1
d x d x (cos y) dy
1 1
1
sin y
1 cos2 y
1 x2
(1 x 1)
(arccos x) 1
(1 x 1)
x 等价无穷小替代
lim
ln 1
高数求导法则37页PPT
( 1 ) y=l n c o s ( e x) , 求 d y. ( 2 ) y=e s i n1 x, 求 y . d x
解 所给函数y可 lnu 分 ,u解 cov为 ,svex.
因 d y1,d u siv,n d vex,故 du udx dx
(arccox)t (ex) ex
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基本求导法则与导数公式
1、常数和基本初等函数的导数公式
(1) (C )0
(2 ) (x) x 1
(3 ) (sx ) i n co xs (4 ) (cx )o s sixn
(5) (tanx)=sec2x
解 y s1 i 2 n x x 2可看 y su i作 ,u n 1 2 由 x x 2 复合而成.
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因为
dy cosu, du d d u x2(1 (1x 2)x 2)(2 2x)2(2 1 2 xx 2 o (2 1 s 2 x x 2 ) 2 2 (2 1 2 x x 2 ) 2 2c1 o 2 x x s 2.
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y
dy dy d u dv
u
dx d u dv d x
f( u )( v ) (x )
v
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
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例4. 求下列导数:
解: (1) (x)(e lnx)
x (x34cox ssi1n )
1(x34co x ssi1)nx(3x2 4sixn) 2x
导数的基本公式与运算法则讲解
导数的基本公式与运算法则讲解在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的基本公式和运算法则是求导的基础，下面将详细讨论这些内容。
导数的定义给定函数f(f)，在某一点f=f处的导数定义为：$$ f'(a) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$其中f表示自变量f的增量。
导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率。
导数的基本公式1.幂函数的导数如果f(f)=f f，其中f为常数，则有：f′(f)=ff f−1这个公式可以通过求导的定义和一些简单的代数运算来推导。
2.常数函数的导数对于常数函数f(f)=f，导数恒为零：f′(f)=03.和差法则设f(f)和f(f)在f处可导，则有：$$ (f \\pm g)'(x) = f'(x) \\pm g'(x) $$4.积的法则如果f(f)和f(f)在f处可导，则有：(ff)′(f)=f′(f)f(f)+f(f)f′(f)5.商的法则如果f(f)和f(f)在f处可导且f(f)ff0，则有：$$ \\left(\\frac{f}{g}\\right)'(x) = \\frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{(g(x))^2} $$导数的运算法则1.复合函数的导数如果f=f(f)和f=f(f)均可导，则复合函数f=f(f(f))的导数为：$$ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx} $$2.反函数的导数如果f=f(f)在区间f上严格单调且可导，且f′(f)ff0，则它的反函数f−1在相应的区间上也可导，且有：$$ (y^{-1})'(x) = \\frac{1}{f'(y^{-1}(x))} $$3.链式法则设f=f(f)和f=f(f)均可导，则有：$$ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx} =f'(u) \\cdot g'(x) $$总结导数的基本公式和运算法则是微积分中的重要内容，它们为我们求各种函数的导数提供了便利。
《微积分一》导数的基本公式与运算法则
《微积分一》导数的基本公式与运算法则微积分是数学的一个分支，主要研究函数的导数和积分，其中导数是微积分的基本概念之一、导数是用来描述一个函数在其中一点上的变化率，它可以用来解决很多实际问题，比如求曲线的切线、函数在其中一点的极值等。
本文将详细介绍导数的基本公式与运算法则。
一、导数的定义首先，我们来看导数的定义。
设函数 y=f(x) 是定义在区间 I 上的一个函数，如果对于 I 上的任意一个实数 x0，当自变量 x 的变化量Δx 趋近于0时，对应的函数值的变化量Δy/f(Δy) 也趋近于一个确定的常数 k，那么这个常数 k 称为函数 f(x) 在点 x0 处的导数，记为f'(x0) 或 dy/dx，<sub>x=x0</sub>。
导数的定义给出了导数的几何意义：函数y=f(x)在点(x0,f(x0))的导数f'(x0)等于曲线在该点处的切线的斜率。
也就是说，导数描述了函数在其中一点上的变化趋势和速率。
二、导数的基本公式在实际计算导数时，我们可以利用一些基本公式来简化计算。
下面介绍导数的一些基本公式：1.常数函数的导数如果函数f(x)是一个常数函数，即f(x)=C（C为常数），那么f'(x)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为0。
2.幂函数的导数如果函数 f(x) 是一个幂函数，即 f(x)=x<sup>n</sup> （n 为常数），那么 f'(x)=n * x^(n-1)。
这个公式可以通过导数的定义及幂函数的性质进行推导。
3.指数函数的导数指数函数是以常数 e 为底的指数幂函数，即 f(x)=e<sup>x</sup>。
根据指数函数的性质，可以得到 f(x) 的导数等于自身，即f'(x)=e<sup>x</sup>。
4.对数函数的导数对数函数是指以一些正实数 a（a>0，且a≠1）为底的对数函数，即f(x)=log<sub>a</sub>x。
大学数学(高数微积分)函数求导法则(课堂讲解)
二、反函数的导数
若原来的函数x ( y )在某一区间Dy 上单调、连续.则其反函数y f ( x)在 x ( y )的值域Dy 上也单调、连续.
问题：若原函数x ( y )在点( ( y ), y )可导， 反函数y f ( x)在对应点( x, f ( x))是否可导？ 若可导，f '( x)与 '( y )有何关系？
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
例5
x, x0 设 f ( x) , 求 f ( x ). ln(1 x ), x 0
解 当x 0时, f ( x ) 1,
当x 0时,
ln(1 x h) ln(1 x ) f ( x ) lim h 0 h 1 h lim ln(1 ) h 0 h 1 x 1 , 1 x
（常数和基本初等函数的导数公式）
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc xctgx (e x ) e x 1 (ln x ) x 1 1 x2 1 (arccot x ) 1 x2 (arccos x )
例1 求函数 y arcsin x 的导数. 解
x sin y在 I y ( , )内单调、可导, 2 2
且 (sin y ) cos y 0,
在 I x (1,1)内有
1 1 1 1 (arcsin x ) . 2 2 (sin y ) cos y 1 sin y 1 x
1 3( x 2)
例 解
求函数 y e
sin 1 x
sin
微积分一导数的基本公式与运算法则PPT课件
解 y 1 (3x2) 6x
1(3x2)2
19x4
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例13. 求函数y ( x )n的导数. 2x 1
解 yn( x )n1( x ) 2x1 2x1
n(
x )n1 2x1
2x12x (2x1)2
nxn1 (2x1)n1
例14. 求函数y x a2 x2的导数. 2
解解 y 1[x a2x2 x( a2x2)] 2
引例2 已知y (3x 1)2，求y.
y [(3x 1)2 ]
(9x2 6x 1)
18 x 6
y sin10x
y (3x 1)100
?
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四、复合函数的导数
设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函 数yf[(x)]在点x处也可导，且其导数为
基本导数公式
1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
3 (ax)axln a (ex)ex
4
(loga
x)
1 xln
a
(ln x) 1 x
5 (sinx)cosx (tanx)sec2x
(cosx)sinx (cotx)csc2x
(secx)secxtanx
(cscx)cscxcotx
(sin x)cos x sin x(cos x)
cos2 x
sin2 x cos2 x cos2 x
1 cos2
x
sec2
x
第8页/共40页
1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
3 (ax)axln a (ex)ex
4
(log
函数的求导与积分详细解析与归纳
函数的求导与积分详细解析与归纳函数的求导与积分是微积分的两个基本概念和操作。
求导是对函数求导数，表示函数在某一点的变化率；积分是对函数进行求和，表示函数在某一区间上的累积效果。
在数学中，求导和积分是互逆操作，互相补充的关系。
一、函数的求导函数的求导是计算函数在某一点的斜率，即函数的变化率。
在数学中，函数的求导有多种方法，包括基本导数、链式法则、高阶导数等。
1. 基本导数基本导数是对常见函数的求导规则进行总结和归纳。
常见的基本导数规则包括：- 常数函数的导数为0；- 幂函数的导数，如常见的多项式函数；- 指数函数和对数函数的导数；- 三角函数和反三角函数的导数。
通过这些基本导数规则，我们可以求得很多函数的导数，从而进行更复杂的计算。
2. 链式法则链式法则是对复合函数求导的一种方法。
当函数是由两个或多个函数相互嵌套而成时，可以使用链式法则求导。
链式法则可以将一个复合函数求导的问题，转换成对每个函数求导后的乘积形式。
3. 高阶导数高阶导数是对函数进行多次求导的概念。
一阶导数表示函数的变化率，二阶导数表示一阶导数的变化率，以此类推。
高阶导数可以帮助我们更深入地了解函数的性质和变化规律。
二、函数的积分函数的积分是对函数进行加和的操作。
积分的结果可以表示函数在某一区间上的总效果或面积。
在数学中，函数的积分有多种方法，包括不定积分、定积分和变限积分等。
1. 不定积分不定积分是求解函数的原函数的过程。
在不定积分中，可以使用基本积分公式对常见函数进行积分。
不定积分的结果是一个含有常数项的函数，因为对导数的逆运算有无穷多个可能的原函数。
2. 定积分定积分是对函数在某一区间上的积分。
它可以表示函数在该区间上的总效果或面积。
定积分的计算可以使用黎曼和、牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 变限积分变限积分是对函数在不同区间上进行积分的过程。
它可以通过定积分的性质和换元法进行计算。
变限积分的结果是一个关于积分上限和下限的函数。
微积分导数的概念及运算法则
微积分导数的概念及运算法则微积分是数学的一个分支，主要研究函数的变化与数量之间的关系。
在微积分中，导数是其中一个重要的概念。
导数可以用来描述函数其中一点上的变化率，它告诉我们函数在其中一点附近的变化情况。
导数的概念：函数在其中一点上的导数，是指函数在该点附近有定义的区间内的变化率。
换句话说，导数就是函数在其中一点的瞬时变化率。
设函数y=f(x)，如果函数在点x0的邻近有定义，那么它在x0点的导数表示为f'(x0)或dy/dx，x=x0，它的值定义为：f'(x0) = lim_(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h导数表示了函数在其中一点上的切线的斜率或斜率的极限，所以导数可以用来描述函数在其中一点的变化趋势。
导数的运算法则：导数具有一些运算法则，这些规则可以帮助我们在计算导数时进行简化：1. 常数法则：常数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c是一个常数。
2.乘法法则：如果y=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)都是可导函数，则y的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)3.除法法则：如果y=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)不等于0，则y的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = [u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)] / [v(x)]²4.加法法则：如果y=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)都是可导函数，则y的导数等于u'(x)+v'(x)。
5.减法法则：如果y=u(x)-v(x)，其中u(x)和v(x)都是可导函数，则y的导数等于u'(x)-v'(x)。
6.复合函数法则：如果y=g(f(x))，其中f(x)和g(x)都是可导函数，则y的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = g'(f(x)) * f'(x)7.反函数法则：如果y=f(x)是一个可导函数，且f'(x)不等于0，则它的反函数x=f^(-1)(y)的导数可以通过以下公式计算：dx/dy = 1 / (dy/dx)这些导数的运算法则可以帮助我们在计算比较复杂的函数的导数时进行简化。
大学微积分第三章函数的求导法则ppt课件
f( x) f(0)
x0
lim
x0
xe x 0 1 x
f ( 0 ) 1
f
(x)
e x
xex
,
x0
1,
x0
（讨论分断点的可导性用定义）
24
小结
(1) 掌握求导数的四则运算法则 (2) 熟记16个求导数公式
两条经验
(1).一般函数的求导用公式 (2).求分断点的导数用定义
25
作业 P82 1单 2单 3
h0
h
u( x h ) u( x )
v( x h ) v( x )
lim
v( x h ) lim
u( x )
h0
h
h0
h
u(x) v(x) u(x) v(x)
即 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
7
3、商的导数
设函数 u u(x), v v(x)在点 x 处可导，(v(x) 0) 则
3x2 cos x ln x x3 sin x ln x x2 cos x
x
11
例4. y tan x 求 y
解
y
(tan
x)
sin
x
cos x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin 2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
x sin y
在
Iy
2
,
2
内单调、可导，且 (sin y) cos y 0
求导的方法
求导的方法求导，是微积分中的一个重要概念，它是对函数进行微分运算，求出函数的导数。
在实际应用中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势，求出函数的极值点，解决最优化问题等。
因此，掌握好求导的方法对于理解数学知识和解决实际问题非常重要。
一、基本求导法则。
1.导数的定义。
在介绍求导的方法之前，我们首先来了解一下导数的定义。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数定义为：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) f(x)] / h。
其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，也可以表示为dy/dx或者y'。
这个定义是我们求导的基础，通过这个定义我们可以得到一些基本的求导法则。
2.基本求导法则。
（1）常数法则，如果f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。
（2）幂函数法则，如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
（3）和差法则，如果f(x) = g(x) ± h(x)，则f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
（4）积法则，如果f(x) = g(x) h(x)，则f'(x) = g(x) h'(x) + g'(x) h(x)。
（5）商法则，如果f(x) = g(x) / h(x)，则f'(x) = [g'(x) h(x) g(x) h'(x)] / (h(x))^2。
这些基本的求导法则是我们在求导过程中经常会使用到的，通过这些法则我们可以对各种函数进行求导，进而得到它们的导数。
二、常见函数的求导。
1.指数函数的求导。
指数函数f(x) = a^x（其中a为常数且a>0）的导数为f'(x) = a^x ln(a)。
这是指数函数的一个重要求导结果，通过这个结果我们可以求出各种指数函数的导数。
2.对数函数的求导。
高等数学第二章第二节函数的求导法则课件
h0
h
h0
h
u(x) v(x)
故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(2) (uv) uv u v
证: 设 f (x) u(x)v(x) , 则有
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f
( x)
[
f
1 1 (
y)]
或 d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y f (x x) f (x) 0, y x
1
x y
且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0, 因此
f (x) lim y lim x0 x y0
1 ln
a
(arcsin x) 1
1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uv uv
3. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
注意: 1)
(uv) uv,
u v
u v
2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
思考与练习
1.
1 x
x
1 x
3
4
3 4
高等数学——函数的求导法则
函数的求导法则本节将要介绍求导数的基本法则以及前一节中尚未讨论过的几个基本初等函数的导数公式。
借助这些法则和基本初等函数的导数公式，就能比较方便地求出常见的初等函数的导数。
一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 若函数)(x u 、)(x v 在点x 处均可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x 处也可导，且（1）)()(])()([x v x u x v x u '±'='±； （2）)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='， 特别的，若C x v =)(（常数），则有)(])([x u C x Cu '='（3）2)]([)()()()()()(x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（0)(≠x v ）， 特别的，)()()(12x v x v x v '-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 证明：此处只证明（3），（1）、（2）请读者仿此自行证明。
设)()()(x v x u x f =（0)(≠x v ），则 xx v x u x x v x x u x x f x x f x f x x ∆-∆+∆+=∆-∆+='→∆→∆)()()()(lim )()(lim )(00xx v x x v x x v x u x v x x u x ∆∆+∆+-∆+=→∆)()()()()()(limxx v x x v x v x x v x u x v x u x x u x ∆∆+-∆+--∆+=→∆)()()]()()[()()]()([lim)()()()()()()()(lim 0x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x ∆+∆-∆+-∆-∆+=→∆2)]([)()()()(x v x v x u x v x u '-'=法则（3）得证。
函数求导方法
函数求导方法在微积分中，求导是一个非常重要的概念，它可以帮助我们求出函数在某一点的斜率，以及函数的变化率。
在实际应用中，求导也经常被用来解决各种问题，比如最优化、物理学中的运动问题等。
因此，掌握函数求导的方法对于理解微积分以及解决实际问题都是非常重要的。
一、导数的定义。
首先，我们来看一下导数的定义。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
这个定义告诉我们，导数表示的是函数在某一点的变化率，也就是函数在这一点的切线斜率。
二、常见函数的求导法则。
接下来，我们来看一下常见函数的求导法则。
对于常见的初等函数，它们的求导规则如下：1. 常数函数的导数为0，\[f'(x)=0\]2. 幂函数的导数，\[f(x)=x^n\]，则\[f'(x)=nx^{n-1}\]3. 指数函数的导数，\[f(x)=a^x\]，则\[f'(x)=a^x\ln{a}\]4. 对数函数的导数，\[f(x)=\log_a{x}\]，则\[f'(x)=\frac{1}{x\ln{a}}\]5. 三角函数的导数，\[\begin{aligned} &\frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x} \\ & \frac{d}{dx}\cos{x}=-\sin{x} \\ & \frac{d}{dx}\tan{x}=\sec^2{x} \\ &\frac{d}{dx}\cot{x}=-\csc^2{x} \\ &\frac{d}{dx}\sec{x}=\sec{x}\tan{x} \\ &\frac{d}{dx}\csc{x}=-\csc{x}\cot{x} \end{aligned}\]三、常用的求导方法。
微积分倒数及求导法则
(1)h 1 gt2 2
(2) y (1 x2 )arctan x
例8、导出下列函数的n阶导数。
(1) y e x (3) y ln(1 x) (5) y cos x
(2) y xex (4) y sin x
(6) y (1 x) ( N )
定理3：(Leibniz公式)
n
设u( x), v( x)n阶可导,则(uv )(n)
C
k n
u(
nk
)v
(
k
)
.
k0
例9、求y(n) : (1) y x2e2x (2) y e x sin x.
例10、求y(n) : (1) y sin4 x cos4 x
1 (2) y 1 2x 3x2 .
练习题
1.设f ( x)可导,求y. (1) y f (2x ) f ( x ) (3) y f (ln x) ln f ( x)
6 参数式的导数
设
x y
x(t )确 定y y(t )
y( x),求
dy dx
d2y , dx2
.
dy
解题过程： (1)
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
;
dt
d2y (2) dx2
d dy dx dx
d dy dx dt
dt dx
d dy dx
dt dx
.
dt
例14、求参数式的二阶导数。
第三讲 导数及求导法则
1 导数概念
定义1：y f ( x)在x0处的导数
f ( x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
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二、例题分析
例1 求 y x 3 2 x 2 sin x 的导数 . 解
2 y 3 x 4 x cos x.
例2 求 y sin 2 x ln x 的导数 y ' 及 y ' | x 1 . y 2 sin x cos x ln x 解
同理可得
(arccos x )
1 ; 2 1 x
1 1 x
2
.
(arctan x )
1 ( arccot x ) . 2 1 x
例2
求函数 y log a x 的导数.
解 x a y在I y ( ,)内单调、可导,
且 (a y ) a y ln a 0,
例1 求函数 y arcsin x 的导数. 解
x sin y在 I y ( , )内单调、可导, 2 2
且 (sin y ) cos y 0,
在 I x (1,1)内有
1 1 1 1 (arcsin x ) . 2 2 (sin y ) cos y 1 sin y 1 x
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x ) ln x 1 2 sin x cos x x 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
y ' |x1 2cos 2ln1 sin 2 sin 2.
二、反函数的导数
若原来的函数x ( y )在某一区间Dy 上单调、连续.则其反函数y f ( x)在 x ( y )的值域Dy 上也单调、连续.
问题：若原函数x ( y )在点( ( y ), y )可导， 反函数y f ( x)在对应点( x, f ( x))是否可导？ 若可导，f '( x)与 '( y )有何关系？
当x 0时,
(0 h) ln(1 0) 1, f (0) lim h 0 h f (0) lim
h 0
ln[1 (0 h)] ln(1 0) 1, h
f (0) 1.
1, f ( x ) 1 , 1 x x0 x0 .
证(1)略.
证(2)
设y u ( x) v( x), 当自变量有增量x时，u u ( x), v v( x), y u ( x) v( x)分别有增量u , v, y.且 y u ( x x) v( x x) u ( x) v( x) (u ( x) u ) (v( x) v) u ( x) v( x) v( x)u u ( x)v u v
2.2 函数的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ( 3) [ ] (v ( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1
n
n
( 2 ) [Cf ( x )] Cf ( x );
( 3) [ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
i 1
n
( x) f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n f i( x ) f k ( x );
例3 求 y tan x 的导数 . 解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x
1 cos 2 x sin2 x 2 sec x 2 2 cos x cos x
即
同理可得
1 f '( x) '( y )
定理 如果函数 x ( y )在某区间 I y内单调、可导
且 ( y ) 0 , 那末它的反函数 y f ( x )在对应区间 I x内也可导 , 且有 1 f ( x ) . ( y )
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
y u v v 故， v u u x x x x y u v v lim v lim u lim lim u x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x u '( x)v( x) u ( x)v '( x)
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
例5
ห้องสมุดไป่ตู้
x, x0 设 f ( x) , 求 f ( x ). ln(1 x ), x 0
解 当x 0时, f ( x ) 1,
当x 0时,
ln(1 x h) ln(1 x ) f ( x ) lim h 0 h 1 h lim ln(1 ) h 0 h 1 x 1 , 1 x
(tan x ) sec 2 x . (cot x ) csc 2 x .
例4 解
求 y sec x 的导数 .
1 y (sec x ) ( ) cos x (cos x ) sin x sec x tan x . 2 2 cos x cos x