相面解图
相平面法
1 的情况相同,只是 运动方向相反。
<3>正反馈二阶系统:
n2 x 0 x 2 n x
s 1 .2 n n 2 1
则 s 1 0 , 而 s 2 0。
相轨迹存在的两条特殊的等 倾线也是相轨迹,其斜率分
k 1 s 1 , k 2 s 2,同时它 别为:
初条下的运动对应多条相轨迹,形成相轨迹簇。而
由一簇相轨迹所组成的图形——相平面图。 二、相轨迹的绘制: (1)解析法、(2)作图法、(3)实验法 (一)解析法:求出相轨迹的解,再画出相轨迹。
相轨迹的绘制(续)
适用场合:(1)运动方程比较简单 (2)可以分段线性化 例1、如图所示,弹簧—质量运动系统, m 为物体质 量,k 为弹性系数。 若初条为
2 n x dx dx x
dx n2 x d x 则 有x
2 x 2 x 2 A2 n
其中A是初条决定的积分常数,此为同心椭圆。
2、 0 1:
由第三章知: x ( t ) A e n t s in( d t ), d n 1
由x— 2、相轨迹
组成的直角坐标平面——相平面。 x
0 )起 , 相变量从初始时刻 t0 对应的状态点 ( x 0, x
随着时间的推移,在相平面上运动形成 的曲线
基本概念(续)
——相轨迹。
3、相平面图: 根据微分方程解的存在和唯一性定理,对于任一给 定的初条,相平面上有一条相轨迹与之对应,多个
由初始条件求得。
相轨迹的绘制(续)
可见:直线c=r[在此r=1]
将相平面分成两个
区域I和II。 1)若初始条件处于A点(II内):
相平面法
7-4 相 轨 迹一、相轨迹的概念设二阶系统可以用下列常微分方程描述),(x x f x= 或),(xx f dtxd = 式中),(xx f 一般是x 和x 的非线性函数。
该系统的时域解,可以用x 与t 的关系曲线来表示。
也可把时间t 作为参变量,用x 与x之间的关系曲线来表示。
下面以线性二阶系统为例加以说明。
设线性二阶系统如图7-34(a)所示,其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。
即可把系统的阶跃响应用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述,由图可见,xx -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。
从某种意义上来说,甚至比)(t x 曲线更形象,可获得更多的信息。
显然,如果把方程),(x x f x=看作是一个质点运动方程,用x 表示质点的位置,那么x 就表示质点的运动速度。
用x 和x 描述方程的解,也就是用质点的“状态”(位置和速度)来表示该质点的运动。
在物理学中,这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运动的方法称为相空间方法,也称为状态空间法。
在自动控制理论中,把具有直角坐标xx -的平面称为相平面。
相平面是二维的状态空间(平面),相平面上的每个点对应着系统的一个运动状态,这个点就称为相点。
相点随时间t 的变化在xx -平面上描绘出的轨迹线,表征了系统运动状态(相)的演变过程,这种轨迹称为相轨迹。
对于二阶系统,它的状态变量只有两个,所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。
对于三阶系统,它有三个状态变量,必须用三维空间来描述其相迹,这就比较困难了。
对于三阶以上的系统,要作其相轨迹就更加困难;然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。
相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。
首先把二阶常微分运动方程),(x x f x= 改写成两个联立一阶微分方程,令1x x =,21x x =∙则有12212(,)dx x dt dx f x x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 (,)dxx dtdx f x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (7-20)用(7-20)式的第一个方程除第二个方程,可得xx x f dx xd ),(1= (7-21)解(7-21)式就可得相轨迹方程,作出相迹来。
现代控制理论补充内容(2)——相平面法
增量式简化为 : x =
∂f ( x, x) ∂x
x = x0 x + x = x0
∂f ( x, x) ∂x
x = x0 x = x0
x
20
本例, x + 0.5 x + 2 x + x 2 = 0
f ( x, x) = −(0.5 x + 2 x + x 2 )
⎧x = 0 令: ⎨ ⎩ f ( x, x ) = 0
鞍点ζ=0
2 x − ω0 x = 0
或 b=0, S=0,s=-a
17
3.5
相平面图中的奇点和奇线
x dx f ( x, x ) 0 = = 的点。 (1) 奇点: 亦即满足: = x dx x 0
根据奇点附近的相轨迹变化的不同,奇点可分为: 稳定焦点、不稳定焦点、稳定节点、不稳定节点、中心点和鞍点。
12
具体做法: 从初始点开始,依次求圆心位置:
δ1 =
f ( x1 , x1 , t1 ) + ω 2 x1
ω2
画出一系列圆弧,连接成线,即为系统的相轨迹图。
13
3.4
线性系统的相轨迹
1 线性一阶系统的相轨迹
一阶系统的描述方程:
Tc + c = 0
相轨迹方程:
1 c=− c T
——过原点的直线方程
x1 , x1 , t 都很小,可认为 δ ( x, x, t ) = δ1为常量, f ( x1 , x1 , t1 ) + ω 2 x1 其中, δ1 = 2
于是,系统方程可写为:x + ω
ω
2
x = ω 2δ1
x + ω 2 ( x − δ1 ) = 0
相平面
u为外作用。是个常量
x
f
x,
x
(1)
式中
x
dx
dt
x
d2x dt 2
则
dx dt
x
用第一个方程除 第二个方程
d x dt
f (x, x)
运动状态方程组
d x f (x, x)
dx
x
相轨迹斜率方程
相轨迹方程可用于描绘运动的相轨迹,也是相平面分析的工具。
线性二阶系统的相轨迹
线性二阶系统的自由运动亦可写成
x a x bx 0
b<0时,根的分布如图,两条等倾线既是相轨迹,又将相平面分成 四个区域。只有初始值落在负斜率的等倾线上,运动将趋于原点。 即使这种情况,如受到微小的扰动,将偏离该轨迹,发散至无穷。
原点称为 鞍点。
线性二阶系统的相轨迹
x a x bx 0
当b=0时,系统的特征根为 s1 0
相轨迹的斜率方程为 d x a dx
s2 a
相轨迹是过初始条件的斜率为-a的直线。
用积分法求得相轨迹
x x(0) ax x(0)
a>0,收敛并最终停止在x轴
a<0,发散至无穷。
奇点与普通点
相轨迹上,每一点切线的斜率为:
e)
1 T
(e
KM )
f2 (e,
e)
1 T
(e
KM )
因此
f1(e,e) f2(e,e)
相平面 赵凯华
§4-3 相平面法相平面法是一种直观的几何方法, 它适用于系统的一维运动. 以位置x 、 速度x为坐标建立坐标系, 通常也称此坐标平面为相平面 (广义相平面). 相平面中任一点代表该时刻系统的运动状态, 称为相点. 相点连续变化形成的轨道则描述了系统的运动过程, 称为相轨道 (简称轨线), 这种图形也称相图.一、相轨道方程一维系统的运动微分方程一般可写成),(x x f x= 这时f 中不显含时间t , 这种情况的系统称为自治系统. 下面仅讨论自治系统.为了便于数值计算, 必须把1个二阶常微分方程化为2个一阶方程,==),(y x f y y x 2式相除即得相轨道方程y y x f x y ),(d d =尤其当原方程求解析解有困难时, 若能利用上述方程近似求出相轨道, 就可对系统的运动进行几何的、 定性的研究.二、轨线的作法不管系统是保守的还是耗散的, 运用计算机进行数值计算作相轨线是一种普遍使用的方法.对保守系统, 可利用势能曲线作相图. 这种情况, 相点的运动微分方程可写为−===x V y x f y y x d d ),( 其中V 为单位质量的势能, 系统能量守恒E x V y =+)(212 式中E 为单位质量的总能量, 而T V E =−为单位质量的动能. 于是))((2x V E y x−±== 下面说明如何利用势能曲线作出相轨道. 上图为势能曲线图, 下图为与之对应的相图.在势能曲线的图上作一条高度等于总能E 的水平线,此线与势能曲线的交点确定了质点的运动范围[]21,x x ,x 处的势能)(x V 可从图上求出, 进而求得)(x V E −和相应的两个y 值, 得到对x 轴对称的两个相点. 其他相点可同样得出. 连接所有相点得到与总能E 对应的轨线. 与此势能曲线对应的轨线是一条闭合曲线. 改变总能量的取值, 可得不同的轨线.例题1 求简谐振动的相图.解 这种情况, 相图可以解析地得出, 由于势能函数已知, 能量守恒方程为E kx x m =+222121 可直接得出相轨道方程1222222= + k E x m E x相轨道是闭合的椭圆, 运动是周期性的. 相应于质点在势阱中运动. 一条相轨道是一条等能线.例题2 求线性阻尼振动相图.解 相轨道方程为−−==x y ty y t x 202d d d d ωβ由于系统是耗散的, 能量随时间不断减少, 所以它的相轨道应是不断向内收缩的螺旋形状的曲线, 最后趋近于原点. 用数值计算方法求出的相图如图所示.三、轨线的普遍性质1. 对于自治系统, 轨线不随时间改变, 互不相交. 若相轨道是一条闭合曲线, 则系统做周期运动.2. 轨线的方向即相点沿轨线运动的方向, 由相点位置确定, 若相点处于相平面的上半部, 即相点的纵坐标,0>=xy 则运动方向向右; 若相点处于相平面的下半部, 则运动方向向左. 3.),(y x是相点运动速度矢量v 的两个分量.在相平面上各点作出这个速度矢量, 就构成速度场, 因此可以把相平面想像为流体力学中的流场, 故把相点的运动称为相流.对于保守系统, 由相点的运动微分方程−===x V y x f y y x d d ),( 可知这个速度场的散度为0=∂∂+∂∂=⋅∇=yy x x v v div表明在流动过程中相体积 (对于二维情况, 体积退化为面积) 守恒, 如图所示, 在相同时间内流过的面积 (如abcd 和d c b a ′′′′所围面积) 保持不变.对于耗散系统, 我们以线性阻尼振动为例说明它的相体积是不断减少的,相点运动微分方程为−−==x y ty y t x 202d d d d ωβ 速度场的散度为β2−=∂∂+∂∂=yy x x v div 这个结论是普遍正确的.四、奇点及其附近的轨线在相平面上, 满足0,0==y x的点称为奇点, 对此点有,00d d =x y 即相轨道方向是不确定的.从力学角度看, 奇点即平衡点, 表明系统处于平衡态, 故又称不动点.了解奇点的性质 (类型) 及奇点附近相轨道的情况, 就可以了解系统在平衡点受微扰后的发展情况.对于保守系统, 奇点有3种类型. 奇点的条件除要求速度为零外, 还要求加速度为零, 即要求,0d d =x V 因而奇点必与势能曲线的极大点、 极小点和拐点3种情况对应, 分别形成奇点的3种类型. 常见的是前两种, 根据势能曲线情况容易作出这两种奇点附近的轨线, 如图所示. 与势能极小值相应的奇点称为中心, 从它附近的轨线情况说明质点在平衡位置受微扰后仍在平衡位置附近围绕它做周期运动, 则此平衡为稳定的; 与势能极大值相应的奇点称为鞍点, 从它附近的轨线情况说明质点在平衡位置受微扰后最终将偏离平衡点很远, 则此平衡为不稳定的.利用相图对非线性系统行为进行研究是很重要的, 相图给出轨线形态的类型及其拓扑结构的稳定性[赵凯华. 从单摆到混沌. 现代物理知识, 1993,5(4):14].。
《自动控制原理》 相平面法
(8-24) (8-25) (8-26) (8-27)
c(t) = − b c(t) = kc(t)
+a
(8-28)
其中k为等倾线的斜率。当 a2 − 4b 0时,且 b 0 时,可得满
足k=a的两条特殊的等倾线,其斜率为: ???
k1,2 = 1,2 = s1,2 = − a
a2 2
− 4b
(2)线性二阶系统的相轨迹
c + ac + bc = 0
当b>0时,上述(运动)微分方程又可以表示为
c + 2wnc + wn2c = 0
线性二阶系统的特征根
s1,2 = − a
a2 − 4b 2
相轨迹微分方程为 (相轨迹切线斜率ZX)
dc dc
=
−
ac − c
bc
令
−
ac − bc c
=
,可得等倾线方程为:
初始条件下的运动对应多条相轨迹,形成相轨迹簇,而由一簇相轨
迹所组成的图形称为相平面图。
若已知x和 x 的时间响应曲线如图8-10(b),(c)所示,则可根据 任一时间点的x(t)和 x(t)的值,得到相轨迹上对应的点,并由此获
得一条相轨迹,如图8—10(a)所示。
相轨迹在某些特定情况下,也可以通过积分法,直接由微分方
U+jV 表示根为复数
2
2.00
2
7.46
s2 // jV -2.41 -2.00 0.00 -2.24 -7.46 -3.00 -2.00 -2.24 2.00 0.54
1)b<0。系统特征根
− a + a2 + 4b
s1 =
2
相面八步法:相面的核心技巧(图版解说)
相面八步法:相面的核心技巧(图版解说)一直以来相面都是周易预测学属于实战性很强的一种预测,那么到底如何学会相面,其实这是有很好的规律可循,香港易经联合研究院吴宽之老师近日将相面的八大步骤详细裂解,以飨预测爱好者。
一、发型代表智慧此发型代表你记忆力很强,智力发达,聪明伶俐,智慧超群,对于事物总能以辨证的眼光去看待、分析,领悟力与感受性很强,能解决一些较棘手的问题。
此发型代表你善于处理实际事物,智能一般,不会突出自己,但,你很懂得勤能补拙这个道理,往往会将一些不能解释的问题进行长久的思索,直到解答为止。
此发型代表你感觉敏锐,思虑缜密,冷静沉着兼作风稳健,观察力和独创力很强,富有创意及独特构思,会以不同的角度去考虑问题,思考力惊人,感受很有深度。
此发型代表你考虑事情总是会冷静分析,抓住重点来研究,并且有耐心,甘愿吃苦,进行自我的智能、精神训练,从而达到一定的高度。
是对事物问题契而不舍的典型。
此发型代表你的头脑蛮灵活的,有些小小的奸滑哦,主意很多,但有时要注意,不要用一些歪理来左右你的言行,多多把你的智慧用在思考上吧,这个会比较重要哦。
此发型代表你的智能非常卓越,推理能力特别强,能够注意和考虑到别人不加留心的问题,思想新颖,有超前的审时度势的能力。
对于一些事情,会用层层推理判断,使问题得到较为妥善的解决,并且答案深具圆满性。
此发型代表你思考问题,会终究一个点,进行绕圈,而不能将眼光放开,去思索更长远的事情,这是你的欠缺。
不过,你很懂得凡事都有辨证的原理,所以,对待事物的解决办法,还是颇为可取的。
二、眉距代表胸怀这种代表你为人较聪明,任何事情都能把握,游刃有余,说话直爽,胸怀坦荡,具有包容心,对于一些事情,能够采取宽宏的态度,富有同情心。
经常会路见不平,拔刀相助。
侠义心肠浓厚。
是一个强者。
这种代表凡事都容易操之过急,往往会招来措手不及的失败。
由于肚量不够宽大,会经常把一些小事放在心上,造成精神上的忧患,情绪容易紧张。
正方体11种平面展开图(精心整理)
正方体的11种平面展开图
正方体的平面展开图共有11种(那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算),具体来讲分以下4类。
口诀:需背诵
正方体:中间四个面,上下各一面(6种摆法-141)
中间三个面,一二隔河见(3种摆法-132/231)
中间二个面,楼梯天天见(1种摆法-222)
中间没有面,三三连一线(1种摆法-33)
“田”“凹”应弃之
第一类:“1—4—1”型,其特点是有4个连成一排的正方形,两侧又各有1个正方形,共有6种。
口诀:中间四个面,上下各一面(上下面随便放)
第二类:“1—3—2”型,其特点是有3个连成一排的正方形,这一排正方形的一侧有1个正方形,另一侧有2个正方形(其中只有1个与中间那一排相连),共有3种。
口诀:中间三个面,一二隔河见(二三位置是固定的)
第三类:“2—2—2”型,其特点是有2个连成一排的正方形,其两侧又各有2个连成一排的正方形,只有1种。
口诀:中间二个面,楼梯天天见
第四类:“3—3”型,其特点是有3个连成一排的正方形,其一侧还有3个连成一排的正方形,只有1种。
中间没有面,三三连一线(1种摆法-33)。
非线性系统的分析-相平面1PPT课件
ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
2021
7
说明:等倾线未必都是直线,另外,为保证精 度,等倾线分布要有适当密度,密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
止条件。
2021
43
(1) 具有死区特性的非线性控制系统
2021
44
取
作为状态变量,
因为
,
2021
45
给定参数T=1, K k =1,根据二阶线性系统相
轨迹分析结果,可得奇点类型
区域 I:奇点(-△,0)为稳定焦点,相轨迹为向心
螺旋线(
);
区域 II:奇点(x,0),x∈(-△, △)为稳定焦点,
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ,根据 1 , 2 在复平面
的位置,可以有以下几种情况:
2021
12
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都
以震荡方式无限地“卷向”平衡点,这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以
态,系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
2021
15
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点,随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去,只有4条孤立的相轨迹除外,其中
两条趋于平衡点,另两条从平衡点散出,这时奇点称 为鞍点。
2021
16
7-2相平面法
目前比较常用的图解法有两种:等倾线法和 法。
下面介绍等倾线法。等倾线法的基本思想是采用直线
近似。如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意
一点相轨迹的斜率,则该点附近的相轨迹便可用过这
点的相轨迹切线来近似。
设系统的微分方程式为
dx dx
f (x, x) x
式中dx/dx表示相平面上相轨迹的斜率。若取斜率为
另一种方法是先求出x和对t的函数关系,然后消去t,
从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。
5
[例7-5] 二阶线性系统当 = 0时的微分方程式为
绘制相平面图。
x
2 n
x
0
解:
dx dx
2 n
x
x
对上式积分,便得相轨迹方程
A
x02
/
2 n
x02
x 2 x 2 A2
2 n
x
x
0
x0
t
6
2. 图解法
3)除平衡点( dx/dx=0/0)外,相轨迹与x轴的相 交处切线斜率应为+或,即相轨迹与x轴垂直相交;
4)等倾线法的准确度,取决于等倾线的分布密度。 为保证一定的绘制准确度,一般取等倾线的间隔以 5~10为宜。
5)对于线性系统,等倾线是简单的直线。对于非线 性系统,等倾线不再是简单的直线而是曲线。
1)横坐标与纵坐标轴应选相同的比例尺,以便于根 据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线;
2)在相平面的上半平面,由于x > 0,则x随t增大 而增加,相轨迹的走向应是由左向右;在相平面的下 半平面,由于x < 0,则x随t增大而减小,相轨迹的走
向应是由右向左;总之,相轨迹上的箭头方向总是按 顺时针方向。
《相平面分析》课件
傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换是对信号进行频谱分析的重要工具,它们可以将信号分解成一系列频率成分。
RC、RL、RCL电路的相平面分 析
相平面分析可以应用于分析RC、RL和RCL等电路,帮助理解电路的频率响应、 稳定性和传递函数。
线性时不变系统的相平面分析
相平面分析是研究线性时不变系统的常用方法,通过分析系统的零极点分布 和频率响应,可以了解系统的特性。
相平面分析的未来发展趋势
相平面分析作为一种重要的信号处理和控制系统分析方法,随着科学技术的发展,将继续发展并得到更 广泛的应用。
极性和共轭
复数的极性表示复数的模和角度,共轭用于表示复数的共轭对称性质,在相平面分析中有重要的应用。
大角度相位移
大角度相位移是相平面分析中的一个重要概念,描述了信号在复平面上的相位偏移,可以用于分析系统 的稳定性。
时域和频域之间的转换
相平面分析提供了在时域和频域之间转换的方法,可以将信号从时域表示转 换为频域表示,或者反之。
Karnaugh图和相平面分析的关 系
相平面分析和Karnaugh图是两种不同的分析方法,可以互补使用,帮助理解 逻辑电路和时域系统的行为。
相平面分析的局限性和不足
相平面分析虽然是一种重要的分析工具,但它也有一些局限性,例如无法分析非线性和时变系统,以及 对大规模系统的分析需要较高的计算复杂度。
相平面坐标系概述
相平面坐标系通过使用实部和虚部来表示复数,以一种直观的方式将信号和 系统表示在平面上。
欧拉公式和复参数
欧拉公式是描述复数的重要公式,它将复数表示为指数和三角函数的关系,复参数在相平面分析中起着 重要作用。
相平面上的运算
在相平面上,可以进行复数的加减乘除运算,这些运算在相平面分析中用于 计算信号的频谱和系统的响应。
第7章--相平面法
若输出的一次谐波分量为
y1 (t) A1 cost B1 sint Y1 sin(t 1 )
输入的正弦量为 X sin t
则描述函数的数学表达式如式 (7-75) 所示:
返回子目录
N
Y1 X
e
e e0 e e0
e r c
得到 Te e Ku Tr r
假定
1 1 1
2 KT
2 kKT
54
(1)阶跃输入 r(t)=R
• 系统方程变为
Te e Ke 0
Te e kKe 0
图7-51 阶跃输入下得相轨迹
55
(2)输入信号r(t)=Vt+R
• 其中y(t)与c(t)两个状态变量之间满足导函数关 系
d
•
y(t) c(t) dt
•
• 将相变量定义为满足导函数关系的一组状态变 量。显然,相变量也不唯一
• 相平面法仅适用于研究二阶或一阶系统
2
c
o
a)
c(t)
c
o
t b)
o
c(t)
t
c)
3
• 图c是响应的时域曲线,图b是它的导函数曲 线,图a是以t为参变量,将输出响应特性及其导 函数特性绘在相平面上的曲线--输出响应特性 的“相轨迹”曲线 输出特性上既包含输出量大小的信息,也包含 它的导函数信息,特性上点的切线斜率就是该 点的导数
34
1、 在 c>h的区域
系统方程为
Tc(t) c(t) KM
c(t)
k1
k e(1/T )t 2
KMt
其中 k1 c0 (c0 KM )T k2 (c0 KM )T
相平面法——精选推荐
7.2 相平面法相平面法是一种在时域中求解二阶微分方程的图解法。
它不仅能分析系统的稳定性和自振荡,而且能给出系统运动轨迹的清晰图像。
相平面法一般适用于二阶非线性系统的分析。
7.2.1 相平面的基本概念图7-8 相轨迹291ξ=292293294295296297图7-11 确定相轨迹切线方向的方向场及相平面上的一条相轨迹7.2.3 非线性系统的相平面分析1. 利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系统例7-3 试确定下列方程的奇点及其类型,画出相平面图的大致图形。
(1)0sgn =++x x x (2)0||=+x x解 (1)系统方程可写为系统的奇点Ⅰ:1-=I e x Ⅱ:1=II e x系统特征方程为012=+s ,特征根j s ±=2,1,奇点为中心点。
画出系统的相平面图如图2987-12所示。
x 轴是两部分相轨迹的分界线,称之为“开关线”。
上、下两半平面的相轨迹分别是以各自奇点I e x 和II e x 为中心的圆,两部分相轨迹相互连接成为相轨迹图。
由图可见,系统的自由响应运动最终会收敛到)1,1(-之间。
奇点在)1,1(-之间连成一条线,称之为奇线。
图7-12 相轨迹图 图7-13 相轨迹图(2)系统方程可写为特征方程、特征根和奇点为Ⅰ:012=+s ,j s ±=2,1, 奇点0=eI x (中心点) Ⅱ:012=-s , 12,1±=s , 奇点0=eII x (鞍点)画出系统的相平面图如图7-13所示。
x轴是开关线,左半平面相轨迹由鞍点决定,右半平面相轨迹由中心点确定。
由图可见,系统的自由响应总是会向x 轴负方向发散,系统不稳定。
2. 非线性系统相平面分析大多数非线性控制系统所含有的非线性特性是分段线性的,或者可以用分段线性特性来近似。
用相平面法分析这类系统时,一般采用“分区一衔接”的方法。
首先,根据非线性特性的线性分段情况,用几条分界线(开关线)把相平面分成几个线性区域,在各个线性区域内,各自用一个线性微分方程来描述。
73相平面法2
按前面确定奇点的方法,可知系统在该区有一个奇点 (0,0),奇点的类型为稳定焦点(欠阻尼情况下)。 相轨迹是一簇趋向于原点的螺旋线。
e
a
a
e
18
II区:系统的微分方程式为
Te e KM 0
de e
e
KM Te
等倾线方程为: e KM
e 0 b e
b 1/ T
e 0 b e
21
e
KM
a
a
e
22
e
KM
a
a
开关线
e
KM
23
[例7-9] 图为具有理想继电器特性的非线性系统,试 用相平面法分析
(1) 无局部负反馈时系统的阶跃响应。 (2) 加入局部负反馈后系统的阶跃响应。
b
r
e
e1
x Kc 1 c
0
Ts
s
24
解:(1)无局部负反馈时线性部分的微分方程为
※7.3.4 奇点和奇线
引入相平面图的概念,不单是求取相轨迹, 而是要通过对相平面的研究,确定系统所有可能 的运动状态及性能。因此需要进一步研究相平面 图的基本特征,从而找出相平面图与系统的运动 状态和性能之间的关系。系统的相平面图有以下 两个基本特征。
1
1.奇点
奇点是相平面图上的一类特殊点。所谓奇点,就 是指相轨迹的斜率d x /dx = 0/0为不定值的点,因此 可以有无穷多条相轨迹经过该点。
)
x2
0
Q( x1, x2 ) 0
2
奇点的分类:根据奇点附近相轨迹的特征。由于
此时是研究奇点附近系统的运动状态,因此可以用小 偏差理论,在奇点(x10,x20)附近展开成泰勒级数
第2章相平面分析201-资料
(x,x)
x
(x,x)
0
x
相轨迹对称于原点
f( x ,x ) f( x , x )
2.相平面上的奇点
由相轨迹的斜率方程 d xd x 可f( 知x ,,相x )平x 面上的点
只要不(同x,时x)满足
,则x 该 点0 ,相f轨(x 迹,x 的) 斜0 率是唯一确定
的。
这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。
用xf来(x表)示。
x(t)
x
t
x
方程的解
1.相轨迹:如果我们取 x 和 作x为平面的直角坐标,则
系统在每一时刻的 (x,均x)相应于平面上的一点。当 t 变化时, 这一点在 平面x上将x 绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。
它描述系统的运动过程。
2.相平面: x x平面称为相平面。对于一个系统,初始条件
f(x,x) xf(x,x)
x 给 定 一 个 α值 ,可 由 上 式 求 得 一 条 等 倾 线 ; 给 定 一 组 α值 ,则 可 求 得 一 组 等 倾 线 族 ,它 们 确 定 了 相 平 面 中 相 轨 迹 斜 率 的 分 布 .
设系统方程为: x 2x 2x 0
上式改写为:
x dx 2x 2x 0
一、相轨迹的共同特性
1.相轨迹的对称性
相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。 设二阶系统的方程为:
改写为:
xfx,x0
x = d x = d x d x = x d x , x d x fx ,x
d t d xd t d x d x
两边除以 dx 可x得: dt
dx f x,x----相轨迹的
dx
x 斜率方程
常微分方程中的相平面分析及其应用
常微分方程中的相平面分析及其应用常微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE)是数学中十分重要的一类方程,它描述的是一个未知函数的导数与某些已知函数的关系,常常出现在物理、工程、经济等领域中。
在解决ODE问题的过程中,相平面分析是一种重要的方法,通过画出相平面图,可以直观地理解ODE的行为,为解题提供了有力的工具。
本文将介绍相平面分析的基本思想及其应用。
一、相平面分析的基本思路相平面分析的基本思路是将ODE转化为相平面上的动力学问题。
具体地说,在ODE描述的函数空间中,选择一对函数变量,例如x1和x2,然后将ODE写成如下形式:dx_1/dt = f_1(x_1, x_2, t)dx_2/dt = f_2(x_1, x_2, t)其中f1和f2是已知函数。
将上述方程看作二维平面上的向量场,即使它在三维空间中,我们可以将其中一个变量t看做参数,得到一个二维平面上的向量场。
然后,在相平面上选择初值点,并以此为基础,在这个平面上跟踪ODE解的轨迹。
这些轨迹放在相平面上就构成了相平面分析的基本对象-相轨。
通过分析相轨的性质,可以对ODE的行为进行深入理解。
例如,相轨是否收敛到某一个点,如果是,那么该点就是ODE解的稳定平衡点。
相轨的形状、大小和数量等特征都可以揭示解的行为,这使得相平面分析成为一种非常有用的数学工具。
二、相平面分析在ODE求解中的应用1. 稳定性分析相平面分析最常见的应用之一是稳定性分析。
稳定性是指ODE 解的行为对初值点的选取是否敏感。
换句话说,如果一个ODE的解对初值点的微小扰动非常敏感,那么我们可以说该ODE是不稳定的。
如果初始条件发生微小变化时,ODE解的行为发生了显著改变,解的稳定性就不存在。
相反,如果初始条件变化很小,而ODE解的行为差异很小,我们就说ODE是稳定的。
假设ODE有一个稳定点x*,那么我们需要知道该ODE解是如何接近x*的。
相面坐标系
相面坐标系
相面坐标系是一种用于分析和识别面相的系统。
在中医相面学中,人的面相被认为可以反映出一个人的身体状况、性格特征和运势等信息。
相面坐标系将人的脸部划分成不同的区域,并将每个区域与人体的不同器官或功能联系起来。
相面坐标系通常将人的脸部划分为上、中、下三个区域,每个区域都有不同的含义和对应的器官或功能。
具体的划分方式可以有所差异,以下是一个常见的相面坐标系划分:
1. 上区:包括额头、眉毛和眼睛。
这个区域与人的智力、思维、注意力和视力等相关。
额头可以反映一个人的智力和思考能力,眉毛可以反映一个人的性格特征,眼睛可以反映一个人的精神状态和视力健康。
2. 中区:包括鼻子、脸颊和口鼻部分。
这个区域与人的呼吸系统、消化系统和情感状态等相关。
鼻子可以反映一个人的呼吸和消化功能,脸颊可以反映一个人的血液循环和情感状态,口鼻部分可以反映一个人的嘴唇、牙齿和呼吸道健康。
3. 下区:包括下巴、嘴唇和颈部。
这个区域与人的消化系统、生殖系统和身体能量等相关。
下巴可以反映一个人的消化功能和代谢情况,嘴唇可以反映一个人的口腔健康和性格特征,颈部可以反映一个人的身体能量和免疫系统状况。
相面坐标系的目的是通过观察和分析不同区域的面相
特征,来推测一个人的身体状况和性格特征。
然而,需要注意的是,相面学并非科学证实的医学方法,仅供参考和娱乐,并不能替代正规医学诊断和治疗。
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鼻子面相-面相图解颧鼻要互相配合,有颧无鼻或有鼻而无颧,都是非良相,鼻除了显示中年的运程外,还显示个人的性格,自卑感、自尊心、斗志及金钱的来去。
鼻是主一生的财富与健康,以整个鼻形论,应丰隆润泽、直如截筒、垂如悬胆、不仰不露,兰台、廷尉相辅相应,由山根至准头,彷彿一气贯通,则不论男女除能富贵外,为人必正直、聪明、事业有成,兄弟朋友相处和睦。
鼻虽不宜骨立,但鼻樑无骨,则主意志薄弱,容易受人左右,结果好心也会常常可以作出坏事。
鼻软者心亦软,小成可事。
鼻虽直,但肉薄露骨,鼻樑高耸,则主为人自高自大,六亲疏远,事业反覆。
41 山根山根忌断、陷、缺、破。
山根如有横纹一条,主有一次危险,两条主两次,纹深主危险大,纹浅主危险小。
山根低陷:书云:山根低陷母先亡;其实未必一定母先亡,但低陷则主难有早业,家境穷困及健康差。
山根高涨:直贯印堂,色润,可得名成利就,扬名于社会。
42 精舍 43 光殿这两个部位在山根左右与眼睛相连,主身体健康及夫妻感情,宜含蓄而莹洁;忌狭隘、深险、黑暗、纹破。
男主损妻,女主损夫。
44 年上 45 寿上主个人身体健康及六亲的人济关係,宜挺直,忌露骨起节破歪,年寿位如现黑色,主健康开始坏;年上现青黑色,主受内亲所累,寿上现青黑色,主受外戚所累会破财。
48 准头即鼻头,宜圆大正、丰满有肉、色明黄,则财运亨通。
忌尖垂破露、色焦,主财运极差。
又书云:准头有肉心无毒。
49 兰台 50 廷尉两边鼻翼是财的仓库,宜丰满肉厚;不宜仰露狭小主难有积聚。
鼻翼被法令破,主难有积聚,大洗。
凹鼻鼻形扁而凹,低而无气,准头无肉又露孔,主性弧僻、人缘不好、其寿命也不长难达五十岁。
鹿鼻鼻丰而整,但无鼻樑,准头圆满,颜色鲜润,主为人平和,不逞强好胜、心性仁慈、多情多义,但往往有功无禄。
三湾鼻鼻形于年寿凸出,鼻柱虽大而肉少,主父母缘薄,少年剋父,性格怪异、人缘不佳、自私心重,但为人尚算正直。
凸樑鼻年寿凸起而扩张,主劳碌多收获少,性格倔强,常常误事但心肠算好。
鼻有节山根低,年上凸出,寿上凹陷,鼻头尖而薄,主多灾难、多劳碌、性格怪异,虽非大奸大恶,也非善类。
差鼻即兰廷大小,主为人多灾多难、事业反覆、难有积聚。
鼻不正:主心术不正,虽不存心害人,但亦为自私薄情寡义,多从事偏门行业。
鼻不正主心术不正,虽不存心害人,但亦为自私薄情寡义,多从事偏门行业。
昂鼻鼻孔露,似猪鼻,主辛劳、漏财、家难有积聚,亦主客死异乡。
鼻孔仰露主难有积聚,亦主客死异乡。
鼻头尖虽不害人亦无情。
鼻如尖斜,则心事恶毒,鼻尖而突出起勾如鹰嘴,为最阴狠险恶之人。
尖鼻鼻樑稍直露骨如剑嵴,主一生奔波无成、六亲无助力、为人寡情薄义。
勾鼻鼻尖斜成鹰嘴形,主自私心强、不惜损人利己、聪明狡猾心恶毒,为最阴狠险恶之人,小心提防。
准头与兰廷之间,有黄气或紫气现,主有突发之财,此乃一点黄光一点财。
准头黑气横过两颧入侵命门,主死亡之兆,应于日旬之内。
此乃一点蓝光一点灾。
鼻由山根、年寿、准头一直下来都显得黄光朗耀而又润泽,则吉相多福。
山根黄气上透印堂延至日月角,主有事业扩展或陞迁之喜。
山根黄气浸润于眼角至眉稍,则主有婚事、产子或陞迁之喜。
鼻上有青黑之气或现赤色,主有凶灾或破财。
在山根年寿有青黑之气,主有疾病灾厄, 山根现红色直上印堂主有火灾或官讼,及牢狱之灾。
准头赤色,主有肺病,孕妇则主会小产或难产。
鼻柱有一青气直贯印堂,主将会谋杀伴侣。
颧即是权力,除主一个人在社会上的名誉地位,权力强与弱外,还决定一个人的性格和运气,一般人观察颧之本身要高、耸、肥大就是美好。
其实并不然,颧要与鼻相配,颧柄要高插两鬓,这才是好的颧,若颧高凸或高在接近泪堂部位,那就不好。
颧忌颧柄平,插耳孔之间就更不利,严格说颧无所为大小之分,祇要与面形及鼻相配为宜。
颧要求饱满、圆秀不露骨、不粗尖,要与鼻相称,颧大鼻小不宜,颧小鼻大更不宜,因鼻居中央为中岳嵩山宜正宜高,颧居左右,左为东岳泰山,右为西岳华山,双岳宜朝宜拱,以鼻为主,以颧为辅,互相配合。
两颧饱满又圆秀,颧柄高插入鬓主为人心正志高,权势与名望两得,能服众人,个性坚忍,耐性很强。
两颧过高突出或露骨而尖,或面皮紧如绷鼓主骄傲无理,任性,处事紧张,有多管閒事倾向,贪财多慾。
颧骨过高主骄傲无理、任性、剋夫;有杀夫三颧面之称。
两颧平泻或低陷主无权无勇,无进取心。
颧柄低、小巧者主孤独,好食懒做,女性多堕落。
颧两边出现啡褐色主权力受到考验,权力渐渐被削弱。
破颧指有纹痕痣破,主权力受损及有车祸。
面相图解之眼睛面相眼主35至40岁的流年运,眼运是人生最重要的部位之一,我们日常的生活状态,心情的喜怒哀乐,性格心态,都可由眼睛表现出来。
相眼要黑白分明,睛光朗照,瞳孔端正,神采飞扬,则主大富大贵,遇事逢凶化吉,福寿康宁。
如白多黑少或黄赤脉入睛,黑白溷杂,眼神昏暗无光,定主破败刑妻剋子贫夭。
眼与五脏相通,与肾之关係影响更为密切,如肾气旺盛,两目会精光照人,为活力充沛之象徵,所以两眼实为活力与智慧的寒暑表。
论眼首重为藏神,次为眼形。
眼神代表精力是否旺盛及生活健康的状态,眼睛炯炯有光,主精力旺盛,信念强,能成大事;相反眼神弱,则缺乏活力,信心不足,性格轻率,处事情绪化,感情较易冲动。
眼大有神:主作事负责,黑白分明光润者,主大贵,性情坦率有博爱主义,能言善道,说服力特强。
眼大的女性,心地善良,心性开放,不会隐藏秘密,性格外刚内柔,容易接受甜言蜜语,缺乏耐性,易受情绪支配。
眼大无神:眼大无神,主一世贫、短命。
眼细:眼细而长灵活有神主长寿;男性主为人较踏实,沉默寡言,不善社交,及有美丽的太太。
女性则不易受诱惑,较为密实。
眼细而利为奸险小人;眼细而无神者短命.下三白眼:眼球左右及下方都见白,主自我观念很强,自视很高,为人有义气,劳碌奔波,六亲缘澹,婚姻有阻,女性在生产时有惊忧,易有危险。
上三白眼:眼球左右及上方都见白为上三白,主为人阴险,外表面看来,沉默寡言貌似温顺,但为了本身利益,可以不择手段,目中无人,事业多成多败,容易死于非命。
四白眼:眼球四週现四白色,主头脑很好,可惜偏于邪恶,对人口蜜腹剑,大多品德不定,好酒好色心浮气噪,虽能显达但到底不得善终,多死于非命。
斜视眼:经常斜视的人,心胸狭小,智浅多疑,性情狡猾,自悭不施,损人利己,纵居富贵亦不改悭吝之心。
桃花眼:眼长,眼尾略弯,而经常水汪汪,黑白并不分明,像睡眼惺忪,会闪出光芒十分迷人,为人吃得开,女性对贞操观念差,男性则好色。
面相之嘴巴看法口形基本要求方阔端正,菱角分明,形如角弓弦朝上起,合时欲小张开欲大,势似含环,色泽鲜润如涂硃,纹理明晰秀显,齿欲排而齐,则一生衣食无忧,福禄寿俱全,善于辞令而不溷淆黑白是非。
口唇不论覆盖或拱托,都不能太过,以顺眼为原则。
上唇大而尖凸,覆盖下唇如鹰嘴:主其人智慧高,主观强,在艰难中可成就一番事业。
口唇不论男女,以上唇主情,下唇主慾。
上唇薄主狡诈、无情义;下唇薄主贫困。
上下唇皆薄主福薄、出语尖酸、出言毁谤多。
上下唇皆厚者福厚,出语亦敦厚;但厚不能过厚,否则主多贪多慾的粗俗人。
下唇略厚,能拱托上唇者:主温柔,能承担一切,以女性为好。
樱桃口嘴形小,唇红齿白,咀角微向上;主聪明心性温良,人缘好,女性更佳。
仰月口咀角向上如仰月,唇红齿白上下唇稍薄;主富贵聪明文学好,善于辞令。
覆舟口咀角向下如覆舟,唇色暗如牛肉;主贫苦、奸猾、心术不正、好搬弄是非,贪心狠毒、易犯水险。
皱纹口口角下垂,唇薄而反,皱纹多,颜色赤而暗,主人缘恶劣,劳碌一生,纵然有寿,亦会孤独晚年。
口如撮卧或如缩囊:为标准小人,虚伪无诚,贫贱一生。
吹火口口角下如吹火而不合,齿虽白而外倾不齐,主孤苦,心术不正,终日非短流长,搬弄是非,溷淆黑白,短命之相。
掀口唇:上唇短,唇掀齿露,偏斜,主骨肉相煎,孤独之相。
总之论口以端正,方阔起菱,唇厚色红润,口角要朝,则处事公正而圆滑,福禄寿全。
口要与面形相配,面小而口特大,非善相,前人道口能容拳者出入将相,其实未必,口大而无收,菱角不分明或歪斜不整者,不能说其好,而可称做 (口没遮拦),经常污言秽语,出口伤人,诽谤多言,始终必遭其愆。
口阔大而筋骨粗壮:主野心勃勃,乱闯知进而不知退,事业多成多败及贪慾好色。
口常紧闭的人:意志坚定头脑冷静。
口常张开的人:缺乏意志,处事轻率。
未开言而口唇先动:为人心术不正。
惯常低垂着头,作下巴面相-下巴的相法下巴尖脑根灵活,虚荣心重而不切实际,爱情多不得意。
下巴方方下巴如其他部位,并无大破损,则主个性倔强,老实肯干,意志力强,女性则不论在家庭或工场,都是不修边幅,只知埋头苦干。
如其他部位不佳,则主顽固,行动强硬,皮气粗暴得使人畏惧。
下巴多肉结实,主感情丰富,很恋家,晚年生活幸福,以女性尤佳。
下巴分裂下巴中间凹上,主待人满怀热情,做任何事都努力不懈,苦干到底,而受到异性的倾慕,桃花运特佳,大多拥有两个家庭和两种事业。
绉缩下巴下巴像酸梅一样凹凹凸凸,主性格固执有洁癖,如鼻樑无肉,准头尖则晚景孤清。
双下巴主为人有耐力,气量大,爱情浓厚,有贵人助,晚年幸福快乐。
下巴短下巴斜向入侧面看几乎无,主性格内向,重感情,但有时稍任性,处事极端,处世不能圆滑,缺乏忍耐力,晚年多孤寂。
下巴长主为人正直严肃,有耐力,做事坚持到底,但感情很脆弱,有情有义,肯为朋友牺牲,对家庭很尽责,女性则内柔外刚,人缘好,热心助人。
下巴尖而突出主感情丰富意志坚强,乐于助人对于外人好过家人,实行力强,具有野心,如其他部位配合好,则可能成为社会上响噹噹人物。
女性则留意子宫有问题。
下巴多肉而稍突主活力旺盛,做自己喜欢的事情特别热心,能创做良好成绩,但对家庭反而关心不够。
轻声细语为阴险小人。
面相之嘴巴看法面相脸型图解之脸形面相在宇宙间,万事不离阴阳五行的变化,相学亦不例外,面形长短阔窄都是与五行有关,在灵枢经裡讲,归纳为木、火、土、金、水五种类形,而每一类形又根据五音的大小阴阳属性,以及左右上下等进一步,再分为五类,就成为廿五种类别;而在西洋面相中,则只有三种基本面形,再由三种溷合出十种最经常见的面形,而用十个字形来代表。
面形上大下尖,在西洋面相称为心性质,思想多、聪明、领悟力高、记忆力及智力强,善于捉机会,脑根转得快,理论重于实际,专长于研究,例如科学、法律、医学等,但自信心较弱,做事易变迁,遇有不顺利时容易灰心,不过这种面形的人有强力的适应能力,但于爱情方面比较吃亏,因他付出的爱多于被爱。
甲字面的人要配合,天庭广阔清多浊少、眉骨要高、耳朵要靓,方为有托,则少年运好,晚景亦隹;大忌额上泻入,则为破格。
鼻要大但忌鼻樑起节,因为节为木,鼻为土星,名为木剋土,会因此而暴起暴跌。
上唇端厚,则寿长而聪颖,忌短缩,如咀似吹火,主婚姻不利,事业反覆。
甲字面如五岳不配,则主父母缘薄及劳碌,自小离乡别井。