非稳态导热习题
《传热学》课后习题答案-第四章
t k i，j 1 t k i，j t k i，j 1 t k i , j r r rj rj r 2 r 2 rj r
并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。
4-7、 一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却， 底面可以认为是绝热的。为用数值法确定冷却过程中柱体温 度的变化， 取中心角为 1rad 的区域来研究 （如本题附图所示） 。 已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环境温度， 金属的热扩散率，试列出图中节点（1，1） ， （M,1）(M,n)及 （M,N） 的离散方程式。 在 r 及 z 方向上网格是各自均分的。 解：应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。 节点（1，1） ：
， 离散方程的建立 4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指 出其稳定性条件（ x y) 。 解：常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为
4.3636t 2 2.53t1 1.8336t f
t2
2.53t f 1.8336t f
2t 2t t a x 2 y 2
Bi=0.1,1,10 的三种情况计算下列特征方程的根
n (n 1,2,6) :
n a Fo 2 0.2 并用计算机查明，当 时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计
算中用前六项之和来替代）可能引起 的误差。 解： n Bi 0.1 1.0 10
tan n
第四章
复习题 1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。 2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。 3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似， 为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。 4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数 用差分公式表示来建立。试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方 程的异同与优劣。 5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之． 6．什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？ 7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解 时是否因为初场的假设不合适而造成？
非稳态导热例题_527806118
非稳态导热问题例：一厚46.2mm温度278K的奶油，由冷藏室移至298K环境中，奶油盛于容器中，顶面与环境接触，各侧面及底面均绝热，试计算5小时后，奶油顶面、中心面及底面的温度。
k=0.197w/m.k,C=2300J/kg.K,ρ=998kg/m3, h=8.52w/m2.K例：一直径较大的火箭发动机喷管，壁厚8mm，密度8600kg/m3，k=26w/m.K，C=545J/kg.K，在静态实验中初始温度27°C的管壁与此1800°C的高温燃汽接触，h=2050w/m2.K，若壁面能承受最高温度为1010°C，假设外侧完全绝热，试求火箭发动机能允许运行的时间。
例：直径50mm长1.2m的轴，在炉内加热达到均匀温度427°C，将其一端面投入38°C的冷却剂中淬火，轴表面与冷却剂之间的h为340w/m2K, 若轴的k=26w/m.K，α=0.031m2/h，求出1.25分钟后轴距表面0.01m处的温度（以及端面的中心温度）例：钢锭尺寸长0.5m, 宽0.7m, 高1m，k=40.5w/m.K, α=0.722×10-5m2/s, 求钢锭置入炉温1200°C的加热炉中4小时后最低温度和最高温度之差，其初始温度为20°C，h=348w/m2.K。
例：某材料用热处理法进行改性，如果该材料加工成5mm半径的球体，在炉内加热到400o C，将其从炉内移出进行两步冷却。
第一步移出后在20o C的空气中冷却经历一段时间ta, 使球体的中心温度达到335o C，如果对流换热系数为10w/m2k ；第二步是将第一步冷却后球体放到20o C的水浴中进行冷却，若对流换热系数为6000/m2k。
试计算（1）第一步需要的时间；（2）第二步将中心温度从335o C降至50o C所需要的时间。
,3/30006−1000,/==ρ20==α×10kkgKWmKsmJc.6,66kg/2m/。
非稳态导热习题
第三章 非稳态导热习题例3.1一腾空置于室地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室。
电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。
电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，部温度均布。
通电时其温度为t 0。
试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。
[解] 根据题意，电热器部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。
电热器以辐射换热方式散失的热量为：44r f ()A T T σΦ=- （1）以对流换热方式的热量为：c f ()hA T T Φ=- （2）电热器断电后无热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。
若只考虑电热器的热力学能r c d d TcVρτ-Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为：44f f d ()()d TA T T hA T T cVσρτ-+-=- （4） 初始条件为：τ=0， t =t 0 （5）上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。
例3.2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的热源。
如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。
试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。
[解] 根据题意，保险丝部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。
保险丝表面以对流换热方式散失的热量为：c f ()hA T T Φ=- （1）保险丝的热源为：Q 0=IR 2 （2）式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。
根据能量守恒，散失的热量与热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。
若只考虑保险丝的热力学能c 0d d TQ cVρτ-Φ+= （3）因此，相应的微分方程式为：2f d ()d ThA T T I R cVρτ--=- （4） 初始条件为：τ=0， t =t f （5）上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述。
第四章 非稳态导热(5)14
④ 某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传递的总热量。
5
2）求解方法：主要有分析解法、数值解法、图解法和热电模拟法等。 本章仅介绍分析解法，而且只针对第三类B、C下一维非稳态导热的求解。
二、一维非稳态导热的分析解及诺谟图
工程上常见的非稳态导热问题分以下三种：
一维非稳态导热问题：
无限大平壁 无限长圆柱体
一、概 述
1.1 定义：非稳态导热是指发生在非稳态温度场内的导热过程。
其数学表达式为：t f (x, y, z, )
按照其过程进行的特点，可分为以下二种：
（1）周期性非稳态导热：导热物体内的温度随时间周期性地 变化。
（2）非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体内的温度随时 间不断的 升高或降低。
2
1.2 非稳态导热过程的特点
大平壁非稳态导热分析
由左侧表面导入的热量到达右侧表面之前的一段时间。
② 正常情况阶段。
当左侧表面导入的热量到达右侧表面之后，使右侧壁温不断升高，直到它达
到新的平衡状态的这段时间。
4
B）大平壁两侧被加热过程
一初始温度均匀为t0的无限大平壁，突 然投入到温度为tf的热流体中对称加热。平 壁内发生了非稳态导热过程。平壁中的温
1.3 求解的目的和方法
1） 求解非稳态导热问题主要目的有四个：
① 物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时间，或经某 一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值；
② 物体在非稳态导热过程中温度分布，为求材料热应力和热变形提供必要资料； ③ 物体在非稳态导热过程中的温升速率；
二维非稳态导热问题：短圆柱体、长的方柱体
三维非稳态导热问题：短方柱体、长方体
第四章 非稳态导热(6)14
(b)
36 .8%
可以得出内部热阻可被忽略的非稳 态导热过程具有以下二个特点： （1）物体温度 随时间按指数函数关系下降，如 图所示，开始下降快，随后变化减慢。
0
， t t f 0，即t t f
Tτ
集总参数系统θ -τ曲线
τ
（2）物体温度随周围流体温度变化的快慢与该物体的时间常数Tτ有关。 什么是时间常数？式（b）中 ρcV/（hA） 具有时间的量纲，此外，对于常物 性物体，一旦几何尺寸确定（ V/A 确定）， ρcV/（hA） 的值也就确定了。 cV T 在以上二个意义上，把 ρcV/（hA） 称为时间常数，记为Tτ，即 。 hA
代人（a）式得 cV
Ah(t t f ) V
集总参数系统的微分方程
dt ＝ Ah (t t f ) d
（2）根据能量守恒定律：物体内能（焓）的变化等于物体表面对外散去的热量：
cV
dt ＝Ah (t t f ) d
3
求解微分方程：
引入过余温
初始条件：
t tf
d ＝ Ah ， 上式变成 cV d
o
d
hAo (
cV
hA
o
)(e
hA cV
hA cV
o
1)
Φ的单位—W或kW； Qτ的单位—J或kJ。
cVo (1 e
)
请大家思考：瞬时的传热量Φ和总传热量Qτ的单位是什么？
7
三、集总参数法的适用条件
集总参数法比较简单，但应用它是有条件的，必须满足： Bi
1 R R 2l V BiV Bi 0.05 L 2 2 2Rl A
传热学第四章非稳态导热例题
(V / A)
3
85 K) 3.885 10 39.63 W/(m2· 0.025 / 3
BiV FoV 3.885 10 2.07945
3
535.25
2013-9-10
9
由式(4-6)计算换热量:
hA Q cV（t 0 t f）1 exp( ) cV
a 6
D（t 0 t f）1 e (
3
BiV FoV
)
85 3 2.07945 0.05 （ 60 (1 e 300 ） ) 5 6 2.95 10
=39.6 kJ
返回
2013-9-10 10
【例4-3】一根直径为1m，壁厚40mm 的钢管,初温为-20℃，后将温度为60℃的 热油泵入管中，油与管壁的换热系数为 500 W/(m2· K),管子外表面可近似认为是绝 热的。管壁的物性参数ρ=7823kg/m3, c=434J/(kg·K),λ=63.9 W/(m· K)。
1.882 10 8 60 Fo 2 5.646 2 0.04
a
5
2013-9-10
14
（2） 由于Bi>0.1, 故不能采用集总参
数法，需用线算图求解。
管子外表面， 1 3.195
Bi
查图4-7得
m 0.24 0
管子外表面温度为：
t m m t f 0.24 0 t f 0.24 20 60 60 40.8 （ ）
V 准则中的特征尺寸是用 LV 确定的， A
而不是 R/2 ，所以,是否可采用集总参 数法的判别用BiV<0.1M。
第3章 非稳态导热汇总
半径为R的圆柱，取 l R 半径为R的球体，取 l R
Bi / h 1/ h
物体内部导热热阻 ＝
物体表面对流换热热阻
如果采用取lc=V/A 作为特征长度，则
h(V / A)
BiV 0.1M
体积Biot 数
M是与物体几何形状 有关的无量纲常数
平板 V A
ql
tw1 tw2 1 ln d2
2 m d1
50 20
364.92
1
ln 272
2 3.14 0.5953 200
W/m
1
铁
块
300oC
水20oC
2
第3章 非稳态热传导
3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析法-集中参数法 3.3 典型一维问题非稳态导热的分析解 3.4 半无限大物体的非稳态导热 3.5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
2.数学模型
dτ时间段内，满足能量守恒 Ein E g Eout Es
Ein
hA
t
t
d
E g 0; Eout 0ຫໍສະໝຸດ Es mcdt Vc dt
hAt t d Vc dt
分离变量得
hA d dt
Vc
t t
t 0 t0
控制方程 初始条件
9
3.求解
令θ= t - t，θ称过余温度，则有
瞬时换热量 hAt t hA hA0ehA cV f
导热体表面在0~ 时间段内的总换热量
Q0
d
0
ha
0
hA0e
cV
d
hA0
cV hA
hA
e
0
非稳态传热大作业
alpha1=3/(2600*1150); alpha2=0.2/(600*200); for j=2:50 A1(j,j)=(dr^2)/(alpha1* dt)- dr/r(j)+2; end for j=1:150 A2(j,j+1)=-1; end A1(1,1)=500+3/dr; A2(1,2)=-3/dr; A3=zeros(151,151); for j=1:150 A3(j+1,j)= dr /r(j+1)-1; end for j=52:150 A1(j,j)=( dr ^2)/(alpha2* dt)- dr /r(j)+2; end A1(51,51)=-(3+0.2); A2(51,52)=0.2; A3(51,50)=3; A=A1+A2+A3; A(151,151)=1; A(151,150)=-1; b=zeros(151,1,2500); L=-1*tril(A,-1); U=-1*triu(A,1); D=diag(diag(A)); j=1; x(:,:,1)=1; for n=2:2000 b(1,1,n)=0; %由前一时间循环结果给下一时间的方程组 b 赋值
程序清单（以保温层 d=0.05m 为例）
dr=0.0005; dt=1; M=2600*1150*( dr)^2/ dt; N=600*200*( dr)^2/ dt; for i=1 : 151 r(i)=0.025+(i-1)* dr; end T=ones(151,2500); x=zeros(151,150,2500); A1=eye(151,151); A2=zeros(151,151);
保温层内侧温度提高，其余基本一致。 2） d=0.060 m > d0
课后作业-3.3非稳态导热过程分析
课后作业-3.3 非稳态导热过程分析1. （P67 思考题4）初温为0t 、厚为2δ的大平壁一侧绝热，另一侧：（a ）与温度为1t （01t t >）的流体相接触；（b ）壁面温度突然升高为1t 。
试画出几个时刻大平壁内的温度分布曲线，并比较其异同。
解：如图所示：因为大平壁一侧绝热，故考虑将大平壁沿一侧对称过去，厚度变为4δ。
条件（a ）时，τ=τ1时刻曲线较陡，τ=τ2时刻曲线相对平缓，τ=τ3时刻曲线相对τ=τ2时刻更平缓，τ=τ4时刻曲线已非常平缓。
但需注意，在τ=τ1至τ4时刻，大平壁另一侧温度一直无法到达t1，均在t1以下，τ=τ2、τ3、τ4时刻曲线形状都是超越曲线，而τ=τ1时刻曲线形状为一条超越曲线加一条直线加两者之间的一个间断点。
条件（b ）同理，只不过条件（b ）在τ=τ1至τ4时刻，其另一侧壁面温度都是从t1开始。
最终结果图保留一半也可以。
2.（P68 习题3-5）一厚10mm的大平壁（满足集总参数法求解的条件），初温为300℃，密度为7800kg/m²,比热容为0.47kJ/（kg·℃），导热系数为45W/（m ·K ），一侧有恒定热流q=100W/m ²流入，另一侧与20℃的空气对流换热，表面传热系数为70W/（m ²·K ）。
试求3min 后平壁的温度。
解：由能量守恒定理可知：()∞--=t t hA qA d dt c V τρ ① 单位面积大平壁的体积为：301.0101.0m A S V =⨯=•=则由①得：()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=•∴-⨯⨯-=•⨯⨯⨯71503666771507015007036660201701001047.0780001.03t d dt t t d dt t d dt τττ故 对两边进行积分，有：()τττ36667ln 36667715030071500300-=-∴-=-⎰⎰t tt d t dt 令180=τ，则：975.218=t ℃。
第3章 非稳态热传导答案
第3章思考题1. 试说明集总参数法的物理概念及数学处理的特点答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。
而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。
2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性? 答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数hA cv c ρτ=,形状上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。
3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。
如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。
4. 什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有些什么特点?答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(δ/x )和边界条件(Bi 数)的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。
这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。
5. 有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算所得的结果是错误的.理由是： 这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi 有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。
你是否同意这种看法,说明你的理由。
答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。
这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。
非稳态导热例题
“非稳态导热”例题例题1：一温度为20℃的圆钢，长度为0.3m ，直径为60mm ，在一温度为1250℃的加热炉内被加热。
已知圆钢的导热系数为35 W/(m ∙K)，密度为7800kg/m 3，比热容为0.460J/(kg ∙K)，加热炉长为6m ，圆钢在其中匀速通过，其表面和炉内烟气间的表面传热系数为100 W/(m 2∙K)。
现欲将该圆钢加热到850℃，试求该圆钢在加热炉内的通过速度。
解 特征尺寸A V /为m 0136.0)1060(14.3413.0)1060(14.33.0)1060(14.3414124133322=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+=---d dL L d A V πππ 则毕渥数v Bi 为05.0211.01.0039.0350136.0100)/(v =⨯=<=⨯==M A V h Bi λ 因此可以采用集总参数法求解。
θθρτ0ln hA cV= 即s548.14 1250850125020ln 100)10460.0(78003=--⨯⨯=τ则该圆钢在加热炉内的通过速度为m /s 0109.014.5486===τL v例题2：两块厚度均为30mm 的无限大平板，初始温度为20℃，分别用铜和钢制成。
平板两侧表面的温度突然上升至60℃，计算使两板中心温度均达到56℃时两板所需时间之比。
已知铜和钢的热扩散率分别为610103-⨯m 2/s 和6109.12-⨯m 2/s 。
(125.0==铜钢钢铜a a ττ)例题3：无内热源、常物性的二维导热物体在某一瞬时的温度分布为x y t cos 22=。
试说明该导热物体在x =0，y =1处的温度是随时间增加而逐渐升高，还是逐渐降低？例题4：一初始温度为20℃的钢板，厚度为10cm ，密度为为7800kg/m 3，比热容为460.5 J/(kg ∙K)，导热系数为53.5W/(m ∙K)，放置到温度为1200℃的加热炉中加热，钢板与烟气间的表面传热系数为407 W/(m 2∙K)。
传热学3-7章问答题及答案
传热学3-7章问答题及答案第三章非稳态热传导一、名词解释非稳态导热：物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。
数Bi ：Bi 数是物体内部导热热阻λδ与表面上换热热阻h 1之比的相对值，即：λδh Bi =o F 数：傅里叶准则数2τl a Fo =，非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。
二、解答题和分析题1、数Bi 、o F 数、时间常数c τ的公式及物理意义。
答：数Bi ：λδh Bi =，表示固体内部导热热阻与界面上换热热阻之比。
2τl a Fo =，非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。
hA cVc ρτ=，c τ数值上等于过余温度为初始过余温度的36.8%时所经历的时间。
2、0→Bi 和∞→Bi 各代表什么样的换热条件？有人认为0→Bi 代表了绝热工况，是否正确，为什么？答：1）0→Bi 时，物体表面的换热热阻远大于物体内部导热热阻。
说明换热热阻主要在边界，物体内部导热热阻几乎可以忽略，因而任一时刻物体内部的温度分布趋于均匀，并随时间的推移整体地下降。
可以用集总参数法进行分析求解。
2）∞→Bi 时，物体表面的换热热阻远小于物体内部导热热阻。
在这种情况下，非稳态导热过程刚开始进行的一瞬间，物体的表面温度就等于周围介质的温度。
但是，因为物体内部导热热阻较大，所以物体内部各处的温度相差较大，随着时间的推移，物体内部各点的温度逐渐下降。
在这种情况下，物体的冷却或加热过程的强度只决定于物体的性质和几何尺寸。
3）认为0→Bi 代表绝热工况是不正确的，0→Bi 的工况是指边界热阻相对于内部热阻较大，而绝热工况下边界热阻无限大。
3、厚度为δ2，导热系数为λ，初始温度均匀并为0t 的无限大平板，两侧突然暴露在温度为∞t ，表面换热系数为h 的流体中。
试从热阻的角度分析0→Bi 、∞→Bi 平板内部温度如何变化，并定性画出此时平板内部的温度随时间的变化示意曲线。
答：1）0→Bi 时，平板表面的换热热阻远大于其内部导热热阻。
第三章一维稳态和非稳态导热
.
23
12
分别为：
.436
0
.20
1
2 1
s
0
.
46
1
t
t
q
1400
884
.
2
1116
.
8
℃
2
w
1
1
.
436
1
➢ 将求出的t2 与原假设的t2 相比较，若两者相差甚大，需重新计算。
重设t2=1120℃，计算的方法同上，中间过程略去，可以得到：
➢
s
0
.46
单位面积热阻：（1）导热热阻S/λ;
（2）对流给热热阻1/α
Si
多层：温度分布；热通量；界面温度的求解；
单位面积热阻:（1）导热热阻
i
（2）对流给热热阻1/ α
小
➢
结
对于一维圆筒壁：
单层：温度分布；热流量；
单位长度热阻:（1）导热热阻
1
d
ln 2
2 d 1
1
（2）对流给热热阻 d
多层：温度分布；热流量；界面温度的求解；
di1
1
单位长度热阻:（1）导热热阻
ln
2 d
i
i
（2）对流给热热阻 1
d
➢ 对于有内热源的情况：
温度分布，热通量或热流量均不为常数
热阻分析法的适用范围：一维、稳态、无内热源的情况。
临界绝热层：
2 x
dc
2
内容结构
1 稳态导热
第四章 非稳态导热(5)14
13
注
意
① 图4-4纵坐标为对数坐标，而图4-5和图4-6横坐标为对数坐标。三个图均为半 对数坐标系。 ② 图4-4中为直线关系，只在 Fo 0.2 时才是这样，即当过程进入正规状态阶段， 求解的无穷级数只取第一项（ n 1）即满足精确要求。因此，成简单的指数函数 关系，它们在半对数坐数上为线性关系。否则，第二项以后的余项不能舍去，结果 就不是简单的指数函数关系，线图就不是图4-4的形式。 当 Fo 0.2 时会是什么样？例如：取数据： a 1.489105 m2 s， 100mm,求 得 134 s ，相对时间很短，一般工程上都不会加热或冷却这样短的时间，由图 4-4可见，数据集中在左上角很小的范围内，在整个图上占的份额很小。 如果确实需要计算 Fo 0.2 时，可用式（4－13）计算，即无穷级数解多取几级。 上述分析解的应用范围可以作三点推广：
2 1 2 2 1 2
m / e m 0 0 1 sin 1 cos 1
x 2 sin 1 cos(1 )
a
a
11
通过上述两个线算图分别查出 m ，
，利用 如果已知温度分布 t、x、Bi ，求τ，可以先计算出 ，再由图查出 0 m 1 m 公式 和 反查图得出 Fo 数，求出加热或冷却到此温度 m ，求出 o 0 m o Bi
（1）对无限大平板问题的分析是以平板被加热的情况为例的，上述结果对物体被冷 却的情况同样适用； （2）从无限大平板问题的数学描述式可以看出，分析解也适用于一侧绝热、另一侧 为第三类边界条件的厚为δ 的平板情形； （3） 当固体表面与流体间的表面传热系数趋于无穷大时，固体的表面温度就趋近于流 体温度，因而 Bi 时的上述分析解就是物体表面温度发生突然变化然后保 持不变时的解， 即第一类边界条件的解。
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
非稳态导热习题
第三章 非稳态导热习题例3.1一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。
电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同,均为t f 。
电热器假定为均质的固体,密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布.通电时其温度为t 0。
试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述. ［解] 根据题意，电热器内部温度均布,因此可用集中参数分析法处理。
电热器以辐射换热方式散失的热量为：44r f ()A T T σΦ=- （1）以对流换热方式的热量为：c f ()hA T T Φ=- (2）电热器断电后无内热源,根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。
若只考虑电热器的热力学能r c d d TcVρτ-Φ-Φ= (3） 因此,相应的微分方程式为：44f f d ()()d TA T T hA T T cVσρτ-+-=- （4) 初始条件为：τ=0， t =t 0 （5）上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。
例 3.2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。
如果仅考虑由于对流换热的散热量,保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。
试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律.［解］ 根据题意，保险丝内部温度均布,因此可用集中参数分析法处理. 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为：c f ()hA T T Φ=- （1）保险丝的内热源为：Q 0=IR 2 （2）式中：I -—保险丝通过的电流，(A ）； R -—保险丝的电阻，Ω。
根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。
若只考虑保险丝的热力学能c 0d d TQ cVρτ-Φ+= （3）因此,相应的微分方程式为：2f d ()d ThA T T I R cVρτ--=- （4） 初始条件为：τ=0, t =t f (5)上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述.令2f I Rt t hAθ=--，则上述微分方程改写为d d ρθθτ=-cV hA (6）该微分方程的解为θθτθρ=-=-00exp()exp(BiFo)hAcV(7） 以温度t 表示该解τρ--=---22f 0f (）exp()I R I R hAt t t t hA hA cV（8）由初始条件τ=0， t 0= t f ，该式可写为τρ-=--2f [1exp()]I R hAt t hA cV（9）上式即为该保险丝通电后温度随时间的变化规律，从中可以看出内热源对保险丝的温度变化的作用.例3.3 一块厚10 mm 的纯铝板置于温度为10 ℃的空气中，铝板和空气之间的平均对流换热系数h =10 W/(m 2·K ），且为常数.求该铝板从100 ℃降到20 ℃所需时间及当时的热流密度。
第3章-非稳态导热分析解法1
cV
hA
时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出来
的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，
还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的
形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时 间常数也是不相同。 如果导热体的热容量（ cV ）小、换热条件好 （hA大），那么单位时间所传递的热量大、导热 体的温度变化快，时间常数 ( Vc / h A) 小
6 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 非正规状况阶段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变；
正规状况阶段： Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。
3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件 及边界条件下求解导热微分方程式，是本章主要 任务。
Q Φ ( )d (t0 t ) hAe
0 0
hA Vc
d
＝(t0 t ) cV （ 1 e
hA Vc
） J
物体与环境的对流散热量=物体内能的变化量
Q cV (t 0 t ) cV [t 0 t (t t )]
傅立叶数
V 特征长度 lc A
温度呈指数 分布
exp( Bi, Fo) 0
0
hA ln 0 Vc
t t e 0 t0 t
hA Vc
Bi Fo
应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化 关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的 对数与时间的关系是一条负斜率直线
如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 ？
Bi
hl
第4章 非稳态导热的计算与分析
分析解
分析解为：
无穷级数之和
x, x 2 a Cn exp n 2 cos n 0 n 1
式中
4sin n Cn 2n sin 2n
μn称为特征值，是以下超越方程的根：
n tan n
原因是：由非稳态过程的特点造成的
非稳态过程的特点（以厚为dx的微元平壁为例）
——进入微元平壁的热量一边被吸收（蓄热），一边
被传导
——吸收的结果：不但使进、出平壁的热量不等，而
且导致自身温度升高
——传导的结果：热量能够影响到的区域，平壁温度
都将发生变化
首先，受流体加热的影响，壁面两侧的温度立即发生
引入过余温度θ=t-t∞后的数学模型：
2 a 2 x
0 x , 0
| 0 0 t0 t f
| x 0 0 x
| x h | x x
求解是数学问题，方法很多。典型的分离变量法、
Laplace变换方法等
从平壁放入流体中的那一刻起，壁面
就具有和流体相同的温度
h Bi 1h
随时间的推移，平壁内各点的温度逐 渐升高而最终趋于t∞
这时第三类边界条件可转化为第一类 边界条件
h Bi 1h
当Bi→0时，即物体内部的导热热阻δ/λ远小于表面的对
流热阻1/h，可以忽略物体内部的导热热阻
h
x, x 2 a Cn exp n 2 cos n 0 n 1
4sin n Cn 2n sin 2n
（整理）传热学习题--5.
（整理）传热学习题--5.第1章绪论习题1-1 ⼀⼤平板，⾼3m、宽2m、厚0.02m，导热系数为45 W/(m·K)，两侧表⾯温度分别为t1 = 100℃、t2 = 50℃，试求该平板的热阻、热流量、热流密度。
1-2 ⼀间地下室的混凝⼟地⾯的长和宽分别为11m和8m，厚为0.2m。
在冬季，上下表⾯的标称温度分别为17℃和10℃。
如果混凝⼟的热导率为1.4 W/(m·K)，通过地⾯的热损失率是多少？如果采⽤效率为ηf = 0.90的燃⽓炉对地下室供暖，且天然⽓的价格为C g = $0.01/MJ，每天由热损失造成的费⽤是多少？1-3 空⽓在⼀根内径50mm，长2.5m的管⼦内流动并被加热，已知空⽓平均温度为80℃，管内对流传热的表⾯传热系数为h = 70W/(m2·K)，热流密度为q = 5000W/m2，试求管壁温度及热流量。
1-4 受迫流动的空⽓流过室内加热设备的⼀个对流换热器，产⽣的表⾯传热系数h = 1135.59 W/(m2·K)，换热器表⾯温度可认为是常数，为65.6℃，空⽓温度为18.3℃。
若要求的加热功率为8790W，试求所需换热器的换热⾯积。
1-5 ⼀电炉丝，温度为847℃，长1.5m，直径为2mm，表⾯发射率为0.95。
试计算电炉丝的辐射功率。
1-6 夏天，停放的汽车其表⾯的温度通常平均达40～50℃。
设为45℃，表⾯发射率为0.90，求车⼦顶⾯单位⾯积发射的辐射功率。
1-7 某锅炉炉墙，内层是厚7.5cm、λ = 1.10W/(m·K)的耐⽕砖，外层是厚0.64cm、λ = 39W/(m·K)的钢板，且在每平⽅⽶的炉墙表⾯上有18只直径为1.9cm的螺栓[λ = 39W/(m·K)]。
假定炉墙内、外表⾯温度均匀，内表⾯温度为920K，炉外是300K的空⽓，炉墙外表⾯的表⾯传热系数为68 W/(m2 ·K)，求炉墙的总热阻和热流密度。
公用设备工程师-专业基础(暖通空调、动力)-传热学-2.3非稳态导热
公用设备工程师-专业基础（暖通空调、动力）-传热学-2.3非稳态导热[单选题]1.在非稳态导热过程中，瞬态导热过程根据温度的变化特性可以分为三个不同的阶段，下列说法中不正确的是()（江南博哥）。
[2014年真题]A.在0.2＜Fo＜∞的时间区域内，过余温度的对数值随时间线性变化B.Fo＜0.2的时间区域内，温度变化受初始条件影响最大C.最初的瞬态过程是无规则的，无法用非稳态导热微分方程描述D.如果变化过程中物体的Bi数很小，则可以将物体温度当作空间分布均匀计算正确答案：C参考解析：非稳态的三个阶段中，初始阶段和正规状态阶段是以傅里叶数Fo＝0.2为界限。
A项，在正规状态阶段（0.2＜Fo＜∞），过余温度的对数值随时间按线性规律变化；B项，Fo＜0.2为初始阶段，该阶段内受初始条件影响较大，且各个部分的变化规律不相同；C项，非稳态的导热微分方程在描述非稳态问题时并未有条件限制，即便是最初阶段也是可描述的；D项，毕渥准则数Bi 为导热热阻与对流热阻的比值，当Bi较小时，说明物体的导热热阻接近为零，因此可以将物体温度当作空间分布均匀计算。
[单选题]2.当固体导热过程Bi数趋于无限大时，描述该物体导热性质的正确说法是()。
[2016年真题]A.物体温度可以近似等于流体温度B.物体内部导热能力远大于物体换热能力C.物体内部温度变化速度相对较快D.边界壁面温度等于流体温度正确答案：D参考解析：毕渥准则（Bi＝hδ/λ）表示物体内部导热热阻（δ/λ）与物体表面对流换热热阻（1/h）的比值，固体导热过程Bi数趋于无限大时，导热热阻远远大于对流换热热阻，这意味着表面传热系数趋于无限大，即对流换热的热阻趋于零，但内部导热热阻的大小无法确定，这时物体的表面温度几乎从冷却过程一开始便立即降低到流体的温度，即边界壁面温度等于流体温度，而物体内部的温度变化未可知。
D.对于普通圆柱体L＝R，R为半径正确答案：D参考解析：毕渥准则的公式为：Bi＝hL/λ。
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第三章 非稳态导热习题例3.1一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。
电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。
电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。
通电时其温度为t 0。
试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。
[解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。
电热器以辐射换热方式散失的热量为：44r f ()A T T σΦ=- （1）以对流换热方式的热量为：c f ()hA T T Φ=- （2）电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。
若只考虑电热器的热力学能r c d d TcVρτ-Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为：44f f d ()()d TA T T hA T T cVσρτ-+-=- （4） 初始条件为：τ=0， t =t 0 （5）上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。
例 3.2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。
如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。
试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。
[解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。
保险丝表面以对流换热方式散失的热量为：c f ()hA T T Φ=- （1）保险丝的内热源为：Q 0=IR 2 （2）式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。
根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。
若只考虑保险丝的热力学能c 0d d TQ cVρτ-Φ+= （3）因此，相应的微分方程式为：2f d ()d ThA T T I R cVρτ--=- （4） 初始条件为：τ=0， t =t f （5）上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述。
令2f I Rt t hAθ=--，则上述微分方程改写为d d ρθθτ=-cV hA （6）该微分方程的解为θθτθρ=-=-00exp()exp(BiFo)hAcV（7） 以温度t 表示该解τρ--=---22f 0f (）exp()I R I R hAt t t t hA hA cV（8）由初始条件τ=0， t 0= t f ，该式可写为τρ-=--2f [1exp()]I R hAt t hA cV（9）上式即为该保险丝通电后温度随时间的变化规律，从中可以看出内热源对保险丝的温度变化的作用。
例3.3 一块厚10 mm 的纯铝板置于温度为10 ℃的空气中，铝板和空气之间的平均对流换热系数h =10 W/(m 2·K)，且为常数。
求该铝板从100 ℃降到20 ℃所需时间及当时的热流密度。
[解] 求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi 的数值，确定是否能采用简单的集总参数法。
查取铝的物性参数，密度ρ=2702 kg/m 3，比热容c =903 J/kg ，导热系数λ=237 W/(m·K)。
λ-⨯⨯===⨯⨯4100.01'Bi 2.11102372'hV A A A （1） Bi<0.1, 可用集总参数法计算。
0exp()hAcVθθτρ=-（2） 102'2010(10010)exp()27029030.01'A A τ⨯-=--⨯⨯⨯ （3）τ=2680 s （4）铝板从100 ℃降到20 ℃时，铝板的表面温度，空气温度，铝板和空气之间的平均对流换热系数h 均为已知，因此热流密度可用牛顿冷却公式计算。
q =h ( t- t f )=10×(20-10)=100 W/m 2 （5）例3.4 用球形热电偶接点作动态温度测量时，对热电偶的响应速度有一定要求。
现要求一个初温为t 0的球形热电偶与温度为t f 的被测流体接触后，在1 s 内所指示的过余温度比f 00f95%t t t t θθ-==-。
现有一铜-康铜球形热电偶接点，它与被测流体之间的对流换热表面传热系数h =50 W/(m 2·K)，且为常数。
试求该球形热电偶接点的最大允许半径r 0。
[解] 求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi 。
查取铜的物性参数，密度ρ=8954 kg/m 3，比热容c =384 J/kg ，导热系数λ=398 W/(m·K)；查取康铜的物性参数，密度ρ=8922 kg/m 3，比热容c =410 J/kg ，导热系数λ=22 W/(m·K)。
球形热电偶接点是这两种材料的熔化物，因此取平均值，密度ρ=8938 kg/m 3，比热容c =397 J/kg ，导热系数λ=210 W/(m·K)。
λ==0050Bi 210hr r （1）因半径r 0未知，比渥准则Bi 的数值无法计算。
但可假定Bi<0.1，先用集总参数法计算， 然后进行较核。
0exp()hAcVθθτρ=-（2）ππ-⨯-⨯=-=⨯⨯25030504 4.206100.95exp(1)exp()489383973r r r （3）r 0=8.2×10-4 m (4)校核r 0，λ===0050Bi 0.1210hr r （5）因为比渥准则Bi<<0.1，上述分析计算合理。
讨论：求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi ，一旦Bi<0.1，就可以用简单的集总参数法计算，但是Bi 数值的确定需要先知道定型尺寸的数值。
本题中定型尺寸的数值是所求对象，因此只能先假定Bi<0.1，能用集总参数法计算，计算完后需要根据算出的定型尺寸校核集总参数法的应用条件Bi<0.1是满足的。
例3.5某种电路中所用的保险丝的直径为0.5 mm,长20 mm ，导热系数λ=20 W/(m·K)，热扩散率a =5×10-5 m 2/s,电阻为0.8Ω,熔点为900 ℃。
如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为20 ℃的周围空气之间的平均对流换热系数为10 W/(m 2·K)，且为常数。
试确定该保险丝通过2 A 的电流后多少时间会熔断。
[解] 该保险丝因其导热系数较大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。
瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
πλπ⨯=≈<⨯210/4Bi 0.120hV d l A dl(1)根据解析题3.2,2f [1exp()]I R hA t t hA cVτρ-=-- (2)代入具体数值22520.81090020[1exp()]2010/4510dldld l πτππ-⨯⨯-≈--⨯⨯ (3)880=1.019×104 [1-exp(-0.2τ)] (4) τ=0.4516 s (5)例3.6 将直径为30 mm 、初温为20 ℃的生红肠放入温度为180 ℃的烘箱中烤熟。
假定生红肠的密度ρ=960 kg/m 3，比热容c =5000 J/kg ，导热系数λ=0.9 W/(m·K)，仅考虑由于对流换热的加热量，红肠和烘箱中空气之间的平均对流换热系数为30 W/(m 2·K)，且为常数。
试求生红肠放入烘箱中10 min 时红肠的中心温度。
[解] 红肠可视为细长圆柱体。
瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
πλπ⨯⨯⨯=≈>⨯⨯⨯2300.03/4Bi 0.10.90.03hV l A l(1)因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
λ⨯===300.015Bi 0.50.9hR (2) λτρ⨯===⨯⨯220.9600Fo 0.596050000.015cR (3) 查计算线图（海斯勒图）得m m 01800.5620180t θθ-=≈- (4) 解得生红肠放入烘箱中10 min 时的中心温度 t m =90.4 ℃ (5)例3.7 直径为400 mm 、初温为20 ℃的钢棒放入温度为600 ℃的炉中加热。
钢棒的密度ρ=7833 kg/m 3，比热容c =465 J/kg ，导热系数λ=54 W/(m·K)，仅考虑由于对流换热的加热量，钢棒与炉中气体之间的平均对流换热系数为130 W/(m 2·K)，且为常数。
试求钢棒中心温度达到400 ℃时所需的时间，并确定此时钢棒的表面温度。
[解] 钢棒可视为细长圆柱体。
瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
πλπ⨯⨯⨯=≈>⨯⨯⨯21300.4/40.1540.4hV l Bi A l(1)因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
λ⨯===1300.2Bi 0.481454hR (2) 钢棒中心温度达到400 ℃时，m 04006000.344820600θθ-=≈- (3) 查计算线图（海斯勒图）得Fo 准则的数值为λτττρ-⨯====⨯⨯⨯42254Fo 1.3 3.7061078334650.2cR (4) 解得钢棒中心温度达到400 ℃时所需的时间 τ=3508 s (5)R R m 6000.79400600t θθ-=≈- (6) 解得此时钢棒的表面温度 t R =442 ℃例3.8 截面为1 m×1 m 的耐火砖方形长柱体，初温为20 ℃，与600 ℃的高温烟气接触，仅考虑由于对流换热的加热量，柱体与燃气之间的平均对流换热系数为20 W/(m 2·K)，且为常数。
耐火砖的密度ρ=2000 kg/m 3，比热容c =960 J/kg ，导热系数λ=1.07 W/(m·K)， 试求耐火砖柱体与烟气接触120小时时方柱体的中心温度。
[解] 瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
λ⨯⨯⨯=≈>⨯⨯⨯2011Bi 0.11.0741hV lA l(1) 因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
方形长柱体的导热是二维导热问题，可用两个壁厚相同的无限大平壁的解的乘积求得。
δλ⨯===200.5Bi 9.3461.07h (2) λτρδ⨯===⨯⨯221.07432000Fo 0.96320009600.5c (3) 再查计算线图（海斯勒图）得m0.18θθ≈ (4) 因此，方形长柱体中心的过余温度比m f m m m 0f 006000.180.1820600t t t t t θθθθ--==•=⨯-- (5)最后解得120小时时方形长柱体的中心温度t m =581.2 ℃。