中考数学一模试卷含答案解析中考数学考点

山东省日照市莒县中考数学一模试卷（解析版）
一、选择题（本题共12个小题，1-8题每小题3分，9-12题每小题3分，共40分）
1．的倒数是（）
A．﹣3 B．C．3 D．
2．下列计算正确的是（）
A． += B．x6÷x3=x2C．=2 D．a2（﹣a2）=a4
3．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）
A．2.5×10﹣7B．2.5×10﹣6C．25×10﹣7D．0.25×10﹣5
4．在函数y=中，自变量x的取值范围是（）
A．x＜B．x≤C．x＞D．x≥
5．不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．
D．
6．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是（）
A．B．C．D．
7．如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
8．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）
A． B．
C．D．
9．（4分）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）
A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0
①若|a|=|b|，则a2=b2；②若ma2＞na2，则m＞n；
③垂直于弦的直径平分弦；④对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）
A．6 B．13 C． D．2
12．（4分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；
②b+c+1=0；
③3b+c+6=0；
④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（4，﹣2），则k的值为．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则BD=．
15．（4分）如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC 平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（填序号）
三、解答题（本题共6小题，共64分）请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.
17．（10分）某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有，并补全条形统计图；
（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．
18．（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）
19．（10分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．
21．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=
BG．
22．（12分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B 两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．
（3）如图2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由．
山东省日照市莒县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，1-8题每小题3分，9-12题每小题3分，共40分）
1．的倒数是（）
A．﹣3 B．C．3 D．
【考点】倒数．
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：﹣×（﹣3）=1，
可得﹣的倒数为﹣3．
故选A．
【点评】本题考查了倒数的性质：乘积是1的两数互为倒数，可得出答案，属于基础题．
2．下列计算正确的是（）
A． += B．x6÷x3=x2C．=2 D．a2（﹣a2）=a4
【考点】实数的运算；同底数幂的除法；单项式乘单项式．
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式=x3，错误；
C、原式=2，正确；
D、原式=﹣a4，错误，
故选C
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）
A．2.5×10﹣7B．2.5×10﹣6C．25×10﹣7D．0.25×10﹣5
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．在函数y=中，自变量x的取值范围是（）
A．x＜B．x≤C．x＞D．x≥
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据函数表达式是二次根式时，被开方数非负，可得答案．
【解答】解：在函数y=中，自变量x的取值范围是x≤，
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5．不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，5x﹣2x＞5+1，
合并同类项得，3x＞6，
系数化为1得，x＞2，
在数轴上表示为：
故选A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据一个袋子中装有3个红球和2个黄球，随机从袋子里同时摸出2个球，可以列表得出，注意重复去掉．
【解答】解：∵一个袋子中装有3个红球和2个黄球，随机从袋子里同时摸出2个球，
∴其中2个球的颜色相同的概率是：=．
故选：D．
红1红2红3黄1黄2
红1﹣红1红2红1红3红1黄1红1黄2
红2红2红1﹣红2红3红2黄1红2黄2
红3红3红1红3红2﹣红3黄1红3黄2
黄1黄1红1黄1红2黄1红3﹣黄1黄2
黄2黄2红1黄2红2黄2红3黄2黄1﹣
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列出图表注意重复的（例如红1红1）去掉是解决问题的关键．
7．如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面可看到，左边2个正方形，中间1个正方形，右边1个正方形．
故选D．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
8．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）
A． B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据时间=路程÷速度，以及关键语“骑自行车比步行上学早到30分钟”可得出的等量关系是：小玲上学走的路程÷步行的速度﹣小玲上学走的路程÷骑车的速度=30．
【解答】解：设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度为4x米/分，依题意，得．
故选A．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
9．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
①若|a|=|b|，则a2=b2；②若ma2＞na2，则m＞n；
③垂直于弦的直径平分弦；④对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
故选B．
11．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）
A．6 B．13 C． D．2
【考点】垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】过O作OD⊥BC，由垂径定理可知BD=CD=BC，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的长，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长．
【解答】解：过O作OD⊥BC，
∵BC是⊙O的一条弦，且BC=6，
∴BD=CD=BC=×6=3，
∴OD垂直平分BC，又AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O、D三点共线，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，
∵OA=1，
∴OD=AD﹣OA=3﹣1=2，
在Rt△OBD中，
OB===
故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；
②b+c+1=0；
③3b+c+6=0；
④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c ＜x，继而可求得答案．
【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；
当x=1时，y=1+b+c=1，
故②错误；
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故选B
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．关键是注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（4，﹣2），则k的值为﹣8．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据矩形的性质和已知点A的坐标，求出点C的坐标，代入反比例函数y=，求出k，得到答案．
【解答】解：点A的坐标为（4，﹣2），
根据矩形的性质，点C的坐标为（﹣4，2），
把（﹣4，2）代入y=，得k=﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上的点的坐标特征，根据矩形的性质，求出点C的坐标是解题的关键，注意：函数图象上的点的坐标满足函数解析式．
14．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则BD=．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】利用平行四边形的性质得出△BEF∽△DCF，进而求出DF的长，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∵AE：BE=4：3，且BF=2，
∴=，
则=，
解得：DF=，
故BD=BF+DF=2+=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△BEF∽△DCF是解题关键．
15．如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】连接OA、OD，则阴影部分的面积等于梯形的面积减去三角形的面积．根据题目中的条件不难发现等边三角形AOD、AOB、COD，从而求解．
【解答】解：设圆心为O，连接OA、OD．
∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=30°，
∴∠AOD=2∠ACD=60°，∠OAC=∠ACO=30°．
∴∠BAC=90°，
∴BC是直径，
又∵OA=OD=OB=OC，
则△AOD、△AOB、△COD都是等边三角形．∴AB=AD=CD．
又∵四边形ABCD的周长为10cm，
∴OB=OC=AB=AD=DC=2（cm）．
∴阴影部分的面积=S
梯形﹣S
△ABC
=（2+4）×﹣×4×=3﹣2=．
故答案为．
【点评】此题综合考查了梯形的面积，三角形的面积以及等边三角形的判定和性质．作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是①④（填序号）
【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．
【分析】由条件可得∠APE=30°，则∠PEF=∠BEF=60°，可得EF=2BE，PF=PE，EF=2BE=4EQ，从而可判断出正确的结论．
【解答】解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，
∵AE=AB，
∴BE=PE=2AE，
∴∠APE=30°，
∴∠PEF=∠BEF=60°，
∴∠EFB=∠EFP=30°，
∴EF=2BE，PF=PE，
∴①正确，②不正确；
又∵EF⊥BP，
∴EF=2BE=4EQ，
∴③不正确；
又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，
∴△PBF为等边三角形，
∴④正确；
所以正确的为①④，
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查矩形的性质和轴对称的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识，综合性较强，掌握直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
三、解答题（本题共6小题，共64分）请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.
17．（10分）（2014•吉林）某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有48，并补全条形统计图；
（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据C的人数除以占的百分比，得到抽取作品的总份数；
（2）由总份数减去其他份数，求出B的份数，补全条形统计图即可；
（3）求出A占的百分比，乘以800即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：30÷25%=120（份），
则抽取了120份作品；
（2）等级B的人数为120﹣（36+30+6）=48（份），
补全统计图，如图所示：
故答案为：48；
（3）根据题意得：800×=240（份），
则估计等级为A的作品约有240份．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
18．（10分）（2010•兰州）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已
知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．
（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．
【解答】解：（1）如图，作AD⊥BC于点D．
Rt△ABD中，
AD=ABsin45°=4×=2．
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=4≈5.6．
即新传送带AC的长度约为5.6米；
（2）结论：货物MNQP应挪走．
解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=2．
在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2．
∴CB=CD﹣BD=2﹣2=2（﹣）≈2.1．
∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9＜2，
∴货物MNQP应挪走．
【点评】应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．
19．（10分）（2014•荆州）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；
根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．
（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则，
解得：300≤x≤350．
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；
（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），
整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．
∵x=320在300≤x≤350内，
∴当x=320时，最大值为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．
【点评】本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．
20．（10分）（2011•安顺）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．
【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．
【分析】（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；
（3）连接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=，求得BD=6，则AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=，可求AE，利用勾股定理求DE．【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，即点D是AB的中点．
（2）解：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线；
（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，
∴cosB=cosA=，
∵cosB=，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cosA=，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE=．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形
的运用，关键是作辅助线，将问题转化为直角三角形，等腰三角形解题．
21．（12分）（2013•包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG= BG．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）利用相似三角形的性质求得EF与DF的比值，依据△CEF和△CDF 同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；
（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．
【解答】（1）解：∵=，
∴=．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴=，
∴==，
∴==；
（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==OA，
∴AF=OA．
（3）证明：连接OE．
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．
∴点O是BD的中点．
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE=CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴==，
∴=．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴==．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴==，
∴=．
∴CG=BG．
【点评】本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键．
22．（12分）（2013•呼伦贝尔）已知：在平面直角坐标系中，抛物线
交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．
（3）如图2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据二次函数的对称轴列式求出b的值，即可得到抛物线解析式，然后整理成顶点式形式，再写出顶点坐标即可；
（2）令y=0解关于x 的一元二次方程求出点A 、B 的坐标，过点D 作DE ⊥y 轴于E ，然后根据△PAD 的面积为S=S 梯形AOCE ﹣S △AOP ﹣S △PDE ，列式整理，然后利用一次函数的增减性确定出最小值以及t 值；
（3）过点D 作DF ⊥x 轴于F ，根据点A 、D 的坐标判断出△ADF 是等腰直角三角形，然后求出∠ADF=45°，根据二次函数的对称性可得∠BDF=∠ADF=45°，从而求出∠PDA=90°时点P 为BD 与y 轴的交点，然后求出点P 的坐标，再利用勾股定理列式求出AD 、PD ，再根据两边对应成比例夹角相等两三角形相似判断即可．
【解答】解：（1）对称轴为x=﹣
=﹣2，
解得b=﹣1，
所以，抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣x +3，
∵y=﹣x 2﹣x +3=﹣（x +2）2+4，
∴顶点D 的坐标为（﹣2，4）；
（2）令y=0，则﹣x 2﹣x +3=0，
整理得，x 2+4x ﹣12=0，
解得x 1=﹣6，x 2=2，
∴点A （﹣6，0），B （2，0），
如图1，过点D 作DE ⊥y 轴于E ，
∵0≤t ≤4，
∴△PAD 的面积为S=S 梯形AOED ﹣S △AOP ﹣S △PDE ，
=×（2+6）×4﹣×6t ﹣×2×（4﹣t ），
=﹣2t +12，
∵k=﹣2＜0，
∴S 随t 的增大而减小，
∴t=4时，S 有最小值，最小值为﹣2×4+12=4；
（3）如图2，过点D 作DF ⊥x 轴于F ，
∵A（﹣6，0），D（﹣2，4），
∴AF=﹣2﹣（﹣6）=4，
∴AF=DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠ADF=45°，
由二次函数对称性，∠BDF=∠ADF=45°，
∴∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，
∵OF=OB=2，
∴PO为△BDF的中位线，
∴OP=DF=2，
∴点P的坐标为（0，2），
由勾股定理得，DP==2，
AD=AF=4，
∴==2，
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），OC=3，
∴==2，
∴=，
又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，
∴Rt△ADP∽Rt△AOC．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴，三角形的面积二次函数的性质，相似三角形的判定，综合题，但难度不是很大，（2）利用
梯形和三角形的面积表示出△ADP的面积是解题的关键，（3）难点在于判断出点P为BD与y轴的交点．。