正态分布及3σ原则培训资料

合集下载

正态分布及3σ原则

可靠性工程
在可靠性工程中，3σ原则用于评估产品的可靠性。通过计算产品的寿命分布和可靠性指标，可以预测产品在给定时间内的失效概率。
3σ原则的局限性
01
假设限制
3σ原则基于正态分布的假设，而实际数据分布可能并不完全符合正态
分布。因此，在应用3σ原则时需要谨慎考虑数据的分布情况。
02 03
异常值处理
投资组合再平衡
基于正态分布的假设，投资者可以通过定期重新平衡投资组合来降低非系统风险，确保投资组合与目标风险水平保持一致。
05
正态分布与其他统计学的关
系
与中心极限定理的关系
1
中心极限定理：在大量独立随机变量的平均值接近正态分布，不论这些随机变量的分布形状如何，这一结论都成立。
2
正态分布是中心极限定理的一种表现形式，当独立随机变量的数量足够大时，它们的平均值的分布趋近于正态分布。
正态分布及3σ原则
• 正态分布的介绍 • 正态分布的3σ原则 • 正态分布在质量管理中的应用 • 正态分布在金融领域的应用 • 正态分布与其他统计学的关系
目录
01
正态分布的介绍
正态分布的定义
01
正态分布是一种概率分布，描述了许多自然现象的随机变量（或一组随机变量）的概率分布形态。
02
它具有钟形曲线，其中平均值（μ）和标准差（σ）是两个关键参数，决定了分布的形状和范围。
3
中心极限定理是概率论和统计学中的一个基本原理，在许多领域都有广泛的应用，如金融、生物、医学等。
与大数定律的关系
01
大数定律：在独立随机试验中，随着试验次数的增加，某一事件发生的频率趋于该事件发生的概率。
02
正态分布与大数定律密切相关，因为在大数定律的作用下，大量独立随机变量的平均值会呈现出正态分布的特征。

正态分布3σ 概率

正态分布3σ概率正态分布是一种普遍存在的统计数学模型，因其广泛的应用而闻名。

正态分布是十维空间中最常用的一种分布，它可以用来描述连续随机变量的分布情况，例如理论数学上的概率统计学这一门课程。

在统计学中，正态分布是一种普遍分布，描述大量数据集中变量分布的典型模型。

这篇文章将解释3σ正态分布概率模型的原理，以及它在实际应用中的结论。

正态分布的研究始于18世纪，由卡尔斯鲁厄首先提出，后来又被法国数学家拉普拉斯扩展，最终被拉普拉斯以及卡尔斯鲁厄的名字放在一起命名为正态分布。

正态分布的概念是，在一个总体中，每一个变量的观测值都可以看作一个来自一个指定的总体平均值的正态分布。

例如，如果你要对一个总体人口的“身高”进行统计，那么就可以使用正态分布模型，它能够正确描述这个总体身高的分布情况。

3σ正态分布概率是指满足正态分布的条件下，数据集或者总体的每一个样本的概率。

换句话说，3σ正态分布概率就是一个数据集中每个样本分布的概率值。

具体而言，3σ正态分布概率是指将样本总体水平划分为三部分：两个百分之34.13的数据位于均值和方差之间，即两个百分之34.13的样本分布在均值±1个标准差之间；这种情况就是一般所说的3σ正态分布概率。

3σ正态分布概率在实际应用中有着重要的作用。

由于正态分布模型可以比较准确的描述数据集中不同变量的分布特征，因此在各种技术统计分析中，正态分布概率模型经常被用于估算某一参数的最终结果。

例如，假如有一个总体，每个变量的观测值都可以看作一个来自总体平均值的正态分布，那么在预测这个总体未来的变量分布时，就可以使用3σ正态分布的概率模型，来获得该总体未来的结果。

此外，在股市交易中，3σ正态分布概率也可以被用于确定目标行动点，以及预测股票的未来行情。

此外，3σ正态分布概率还可以被用于投资组合分析，以准确度量投资组合胜率，以及投资组合的风险等方面。

总之，3σ正态分布概率是普遍存在的统计学模型，它可以用来描述连续随机变量的分布情况，例如理论数学上的概率统计学这一门课程。

正态分布及3σ原则

该组数据的基本参数
• N=100 • μ=165.1 • σ=1.895
该组数据的直方图
某组随机数据的直方图
正态 25
均值 165.1 标准差 1.895 N 100
20
频率
15
10
5
0 160 162 164 数值 166 168
该组数据的正态分布曲线
• 绿色范围为(159.415,170.785], 即(μ+3σ,μ-3σ] • 由上图可以看出数据在该范围内的概率为 99.73%,在该范围外的概率仅为0.27%
正态分布
• 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态分布曲线性质
1. 当x<μ时，曲线上升;当x>μ时，曲线下降。当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线 2. 正态曲线关于直线x=μ对称。 3. σ越大，正态曲线越扁平;σ越小，正态曲线越尖陡。 4. 在正态曲线下方和x轴上方范围内区域面积为1。
某厂家某品种收率指标
• • • • • • • • •
197.57 189.38 193.01 186.16 191.61 178.47 192.58 194.50 190.36 195.09 194.61 190.14 192.16 190.95 182.81 182.72 194.80 184.68 188.64 192.41 190.45 187.05 194.65 189.30 188.00 180.67 192.39 193.33 190.10 189.13 195.20 190.35 193.71 181.24 191.61 194.12 190.57 191.88 189.93 195.48 188.71 187.50 175.99 193.18 191.50 196.95 182.29 191.74 192.30 180.14 194.54 178.12 193.07 197.38 188.97 193.96 189.10 187.36 176.61 198.54 187.38 186.08 186.83 190.95 194.41 190.00 190.39 188.54 190.75 190.52 177.91 192.46 186.38 192.53 193.55

3sigma法则

3sigma法则“3sigma法则”是指以正态分布为基础，将正负三个标准差的范围作为异常可接受范围的经验规律。

其原理是在平均值的基础上，检测数值偏差的大小，以确定是否异常或需要改进。

该法则被广泛应用于质量管理、统计分析、决策制定等领域，在实践中具有很高的可操作性和科学性。

下面将详细介绍“3sigma法则”及其应用。

一、正态分布正态分布是统计学中最常用、最重要的概率分布之一，其具有下列特点：（1）分布中心位置（均值）和分布的分散程度（标准差）能唯一地描述分布的整体特征；（2）分布呈钟形，左右两端的概率接近于零；（3）68%的数据在均值正负一个标准差范围内，而95%的数据在均值正负两个标准差范围内，99.7%的数据在均值正负三个标准差范围内。

正态分布可用于模拟各种自然现象和社会现象的分布规律，是科学研究和工程设计中不可或缺的工具。

二、“3sigma法则”原理在正态分布的基础上，偏差标准差的大小可用来判断数据是否异常或需要改进。

对于任何一个统计数据，我们可以通过计算均值和标准差，来确定它所处的正态分布区间。

通常，平均值和标准差被用于描述数据集的总体趋势和分散程度，其中平均值为“中心线”，而正负一个、两个、三个标准差为“控制线”。

根据“3sigma法则”，如果数据的偏差在均值正负三个标准差之间，即落在“控制线”内，那么可以视为正常范围内的波动。

如果数据的偏差超出这个范围，即落在“控制线”外，就应该对该数据进行进一步的分析和处理，以排除异常或改进不良。

三、“3sigma法则”应用“3sigma法则”被广泛应用于质量管理、统计分析、决策制定等领域。

在质量管理方面，可以用它来检测产品的缺陷率、流程的稳定性等；在统计分析方面，可以用它来判断数据的可信度、预测未来趋势等；在决策制定方面，可以用它来评估风险、制定控制策略等。

例如，某公司生产的手机芯片在出厂前需要经过严格的检测。

每天生产的芯片数量达到上万个，如何有效地筛选出问题芯片呢？这时就可运用“3sigma法则”来实时监控芯片的生产过程和质量状态。

正态分布3西格玛原则

正态分布3西格玛原则
正态分布 3 西格玛原则是一种质量管理统计方法，用于确定过程或产品的质量水平。

它基于正态分布的概念，正态分布是一种连续概率分布，其中大部分数据集中在平均值附近，而较少的数据分布在平均值的两侧。

在正态分布中，3 西格玛原则指的是在平均值加减 3 倍标准差的范围内包含了大约99.7%的数据。

换句话说，如果一个过程或产品的特征符合正态分布，并且其平均值和标准差已知，那么在平均值加减 3 倍标准差的范围内的质量水平可以被认为是可接受的。

3 西格玛原则的应用包括以下几个方面：
1. 质量控制：通过监测过程或产品的特征，并将其与 3 西格玛原则进行比较，可以确定是否需要采取纠正措施来改进质量。

2. 过程能力评估：通过计算过程的西格玛水平，可以评估过程的稳定性和一致性。

3. 设计优化：在设计新的过程或产品时，可以使用 3 西格玛原则来确定关键参数的目标值和容差范围，以确保最终产品的质量。

需要注意的是，3 西格玛原则是基于正态分布的假设，因此在实际应用中需要考虑数据是否符合正态分布。

如果数据不符合正态分布，则可能需要使用其他的统计方法来评估质量水平。

解释正态分布的3西格玛原则

解释正态分布的3西格玛原则正态分布的3西格玛原则是指在正态分布中，大约有68%的观测值在均值的一个标准差范围内，大约有95%的观测值在均值的两个标准差范围内，大约有99.7%的观测值在均值的三个标准差范围内。

这个原则是统计学中非常重要的概念，因为它提供了一种测量数据与均值之间的偏离程度的方法，同时也提供了一种估计数据落在不同范围内的概率分布的方法。

下面将详细解释这三个西格玛原则。

首先，正态分布的3西格玛原则意味着大约有68%的观测值在均值的一个标准差范围内。

换句话说，如果一个数据集服从正态分布，并且它的均值为μ，标准差为σ，那么有约68%的观测值会在区间[μ-σ,μ+σ]内。

这意味着大部分的数据点都集中在均值附近，且相对离散程度较小。

其次，正态分布的3西格玛原则还表明大约有95%的观测值在均值的两个标准差范围内。

即有95%的观测值会在区间[μ-2σ,μ+2σ]内。

相较于一个标准差范围，这个范围更宽，因此更多的数据点会包含在内。

这是因为正态分布是对称的，尾部的几率相对较低，观测值主要分布在均值附近的区域。

最后，正态分布的3西格玛原则还指出大约有99.7%的观测值在均值的三个标准差范围内。

即有99.7%的观测值会在区间[μ-3σ,μ+3σ]内。

这个范围相对更宽，包含了更多的数据点。

只有0.3%的观测值会在这个范围之外。

这个范围可以用来检测极端值或异常值。

通过应用这三个西格玛原则，我们可以对数据进行更深入的分析和解释。

例如，我们可以根据一个数据集的均值和标准差，预测数据点的分布情况。

如果一个数据点远离均值超过3个标准差，那么我们可以认为它是一个异常值或者是一种异常情况。

这种判断可以在很多领域中应用，如质量控制、金融风险评估等。

需要注意的是，虽然正态分布的3西格玛原则在实际应用中非常有用，但并不意味着所有的数据都严格遵循这个原则。

有些数据集可能不服从正态分布，或者因为其他原因而违反了这个原则。

因此，在分析数据时，我们应该综合考虑其他因素，并结合具体问题来判断数据的分布情况和异常值。

3原则正态分布

3原则正态分布
一、正态分布
正态分布是指随机变量的分布，其样本容量的某个标准差为一个常数。

在实际生活中，很多随机事件的分布都是正态分布。

正态分布是基于对数正态分布的均值为0和标准差为1的概率分布。

它是一个平面曲线，其曲线与某轴平行，y轴为正数。

二、正态分布的特点
1.正态分布的样本容量的某个标准差为一个常数。

2.正态分布的曲线与某轴平行，y轴为正数。

3.正态分布的概率规律为P(某)＝E(某)·(1−E(某))/2，其中E(某)
为均值。

4.正态分布的概率密度函数为f(某)＝12某(1−某2)。

三、正态分布的应用
1.正态分布的均值为0和标准差为1，因此正态分布的数据集中，大
多数数值都分布在中间区间内，极端值很少出现。

2.正态分布的曲线与某轴平行，因此它可以用来描述随机变量的分布。

3.正态分布的概率规律为P(某)＝E(某)·(1−E(某))/2，其中E(某)
为均值。

因此，正态分布可以用来描述随机变量的均值与标准差。

4.正态分布的概率密度函数为f(某)＝12某(1−某2)，因此正态分布
可以用来描述随机变量的分布。

正态分布及3σ原则

精选课件
9
该组数据的基本参数
• N=75 • μ=1.897 • σ=0.05117
精选课件
10
该组数据的直方图
频率
某品种收率指标的直方图
正态
20
均值
1.897
标准差 0.05117
N
75
15
10
5
0 1.75
1.80
1.85
1.90
收率
1.95
2.00
精选课件
11
该组数据的正态分布曲线
精选课件
正态分布
• 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
精选课件
1
正态分布曲线性质
பைடு நூலகம்
1. 当x<μ时，曲线上升;当x>μ时，曲线下降。当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线
即(μ+3σ,μ-3σ]
• 由上图可以看出数据在该范围内的概率为 99.73%,在该范围外的概率仅为0.27%
精选课件
8
某厂家某品种收率指标
197.57 194.61 190.45 195.20 195.48 192.30 187.36 190.39 • 189.38 190.14 187.05 190.35 188.71 180.14 176.61 188.54 • 193.01 192.16 194.65 193.71 187.50 194.54 198.54 190.75 • 186.16 190.95 189.30 181.24 175.99 178.12 187.38 190.52 • 191.61 182.81 188.00 191.61 193.18 193.07 186.08 177.91 • 178.47 182.72 180.67 194.12 191.50 197.38 186.83 192.46 • 192.58 194.80 192.39 190.57 196.95 188.97 190.95 186.38 • 194.50 184.68 193.33 191.88 182.29 193.96 194.41 192.53 • 190.36 188.64 190.10 189.93 191.74 189.10 190.00 193.55 • 195.09 192.41 189.13

正态分布及3σ原则

正态分布及3σ原则正态分布是一种在统计学和概率论中广泛应用的概率分布。

它通常用来描述自然界和社会现象中出现的很多随机变量，例如人的身高、体重、智力分数等。

正态分布也被称为高斯分布，以数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名。

正态分布的概率密度函数的形状呈钟形曲线，中心点对称，两边的概率逐渐减小。

具体而言，正态分布的概率密度函数可以用以下的公式表示：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)² / (2σ²))其中，f(x)表示x的概率密度，μ为均值，σ为标准差，exp表示自然指数。

正态分布的均值μ决定了钟形曲线的中心位置，标准差σ决定了曲线的宽度。

均值越大，钟形曲线越向右偏；标准差越大，曲线越宽，反之则曲线越窄。

在正态分布中，有着3个标准差范围内的概率占据了整个分布的大约68%。

具体而言，对于一个服从正态分布的随机变量，大约68%的观测值会落在均值μ的一个标准差σ的范围内。

3σ原则是基于正态分布性质的一个重要原则。

根据3σ原则，大约95%的观测值会落在均值μ的3个标准差σ范围内，约有68%的观测值会落在1个标准差范围内。

3σ原则在质量管理、统计分析等领域得到了广泛应用。

通过计算实际观测值与均值之间的差异，可以判断该观测值是否落在合理范围内。

如果一个观测值偏离均值超过了3个标准差范围，就可以认为它是一个异常值或离群值。

举个例子来说明3σ原则的应用。

假设一些城市的平均体温是37摄氏度，标准差是0.5摄氏度。

根据3σ原则，大约95%的人的体温会落在36摄氏度到38摄氏度之间。

如果一些人的体温超过了38摄氏度+3*0.5摄氏度=39.5摄氏度，就可以认为该人体温异常。

除了质量管理，3σ原则还可以应用于金融风险管理、品牌管理等领域。

通过分析数据的正态分布情况，可以快速定位和解决潜在问题，提高决策的准确性和效率。

正态分布及其3σ原则在数据分析和统计学中具有重要的意义。

3 sigma原则

3 Sigma原则1. 简介3 Sigma原则，也被称为3σ原则，是一种质量管理方法，用于评估和控制过程的稳定性和可靠性。

它基于统计学中的标准差概念，可以帮助组织识别和减少过程中的变异性，从而提高产品或服务的质量水平。

3 Sigma原则最早由美国质量专家Walter Shewhart在20世纪20年代提出，并在20世纪50年代由日本著名质量管理专家Kaoru Ishikawa进一步发展和推广。

如今，它已成为许多组织在质量管理中常用的工具之一。

2. 标准差与正态分布要理解3 Sigma原则，首先需要了解标准差和正态分布的概念。

2.1 标准差标准差是衡量数据集合内部变异性或离散程度的统计指标。

它表示观测值与平均值之间的偏离程度。

标准差越大，数据集合内部的变异性就越大；标准差越小，则表示数据集合内部的变异性越小。

2.2 正态分布正态分布是统计学中最为常见的一种分布形式，也被称为钟形曲线。

它具有以下特点： - 均值、中位数和众数相等； - 曲线对称于均值； - 标准差越小，曲线越瘦高；标准差越大，曲线越矮胖。

正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，许多随机变量都可以近似地服从正态分布。

因此，在质量管理中，我们常常使用正态分布来描述过程的变异性。

3. 3 Sigma原则的应用3 Sigma原则基于标准差和正态分布的概念，通过设定一条上限和下限来评估过程的稳定性。

这条上下限通常是根据过程的历史数据计算得出的。

3.1 过程能力指数过程能力指数是衡量一个过程是否稳定并满足要求的指标。

在3 Sigma原则中，最常用的过程能力指数是Cp和Cpk。

Cp表示过程能力指数，它衡量了一个过程在规格范围内所能容纳的变异性。

Cp大于1表示该过程具备良好的稳定性；Cp小于1则意味着过程的变异性超出了规格范围。

Cpk表示过程潜在能力指数，它考虑了过程的中心位置偏移。

Cpk大于1表示该过程在规格范围内具备良好的稳定性和中心位置偏移控制；Cpk小于1则意味着过程的变异性超出了规格范围，并且中心位置也存在偏移。

正态分布的3σ准则

正态分布的3σ准则正态分布的3σ准则（3-sigma rule）也称为“3倍标准差法则”或“68-95-99.7规则”，它是对正态分布概率密度函数曲线的一种解释和应用。

正态分布是一种常见的概率分布，也被称为高斯分布，它具有许多重要性质和应用。

在正态分布中，数据集的大部分值会聚集在均值附近，并且其分布随着离均值距离的增加而逐渐变得稀疏。

正态分布的3σ准则描述了正态分布中一组数据的密度分布情况。

在正态分布中，约68%的数据位于均值的正负1个标准差范围内，约95%的数据位于均值的正负2个标准差范围内，而约99.7%的数据位于均值的正负3个标准差范围内。

以下将详细介绍正态分布的3σ准则的含义和应用。

1.均值和标准差首先，了解正态分布的均值和标准差是理解3σ准则的基础。

在正态分布中，均值表示数据的中心位置，标准差表示数据的离散程度。

均值一般用μ表示，标准差用σ表示。

均值决定了曲线的位置，而标准差决定了曲线的形状。

2.3σ准则规则1：约68%的数据在均值的正负1个标准差范围内。

规则2：约95%的数据在均值的正负2个标准差范围内。

规则3：约99.7%的数据在均值的正负3个标准差范围内。

这三个规则可以形象地表示为正态分布曲线和区间的关系。

其中，规则1表示均值±σ的范围内约有68%的数据，规则2表示均值±2σ的范围内约有95%的数据，规则3表示均值±3σ的范围内约有99.7%的数据。

3.应用举例（1）过程控制：在制造业中，如果一些过程的输出数据符合正态分布，可以利用3σ准则来监控过程的稳定性。

如果意外事件发生，导致数据超出3σ范围，可能意味着过程发生了异常，需要进行调整或修复。

（2）质量管理：在质量管理中，可以利用3σ准则来判断产品或服务的质量水平。

如果数据超出3σ范围，可能意味着质量不符合要求，需要采取相应的质量改进措施。

（3）市场分析：在市场研究中，可以利用3σ准则来分析市场数据的分布情况。

正态分布3σ 原则

正态分布3σ原则
1正态分布3σ原则
正态分布3σ原则是指极端值（离群值）是按照一定概率发生的。

它遵循三项原理，即：
1.大约有68％的数据在平均值的1σ之内，即（平均值±
1σ）；
2.大约有95％的数据在平均值的2σ之内，即（平均值±
2σ）；
3.大约有99％的数据在平均值的3σ之内，即（平均值±
3σ）。

如此，数据分别在平均值的3σ以内外区域分为四部分，从而使得数据有所控制，以便有助于对数据进行研究分析，比如统计学检验，校正数据等。

2应用
正态分布3σ原则也可用于制定一些准则，例如：
1.检测机械容许误差的工程设计和数学计算，将有效控制误差率不大于3σ，以确保其在实际运行中的精度；
2.生产商品的质量控制，也可以采用正态分布的3σ原则，确保商品的质量出货标准；
3.对生产能力的要求，如可靠性，耐用性和安全性做出限制，以保证它们达到足够的水平，而不会偏离正态分布3σ标准。

3结论
正态分布3σ原则是一种有效的检测数据，制定准则的方法。

它可以有效控制极端值的出现，将数据的变化范围控制在一定的范围之内，从而确保数据在研究或分析统计时能达到一定的准确性和合理性，为科学研究提供了便利。

但是此外，要有意识控制原有数据和极端值，并以此为依据进行研究，否则会造成不确定结论或者错误结论。

正态分布3σ原则

正态分布3σ原则正态分布3σ原则是指在正态分布中，约68%的数据落在均值的正负1倍标准差范围内，约95%的数据落在均值的正负2倍标准差范围内，约99.7%的数据落在均值的正负3倍标准差范围内。

下面将逐步详细解释正态分布3σ原则。

首先，正态分布是一种概率分布，也称为高斯分布或钟形曲线。

它具有以下特点：均值μ表示分布的中心，标准差σ度量了数据离散程度的大小。

正态分布3σ原则可以通过图形直观地展示。

在正态分布的概率密度函数曲线上，均值μ处的概率最大，并且随着距离均值增加，概率逐渐减小。

标准差σ代表了曲线的宽度，标准差越大，曲线越宽。

因此，在均值的正负1倍标准差范围内的数据占据了整个曲线的约68%的面积，这是正态分布3σ原则中的第一条规则。

具体来说，假设正态分布的均值为μ，标准差为σ，那么在μ-σ和μ+σ之间的数据占据了约68%的概率。

这意味着，对于一个样本数据集合，约68%的数据会落在均值的正负1倍标准差范围内。

第二条规则是，约95%的数据落在均值的正负2倍标准差范围内。

也就是说，在μ-2σ和μ+2σ之间的数据占据了整个曲线的约95%的面积。

这条规则相比第一条更加宽松，意味着更多的数据会分布在离均值较远的区域。

最后，第三条规则是，约99.7%的数据落在均值的正负3倍标准差范围内。

也就是说，在μ-3σ和μ+3σ之间的数据占据了整个曲线的约99.7%的面积。

这条规则进一步放宽了范围，只有极少数的数据会分布在离均值非常远的区域。

正态分布3σ原则的应用非常广泛。

通过了解正态分布的特性，我们可以根据数据集的均值和标准差来估计数据的分布情况。

这对于数据分析和预测非常有用。

例如，在统计学中，我们可以利用3σ原则来检测异常值。

如果一个数据点超过了均值的正负3倍标准差的范围，我们可以认为它是异常值。

此外，在质量管理中，3σ原则也被用来描述过程的变异性。

如果一个过程的输出数据符合正态分布，并且落在均值的正负3倍标准差范围内，我们可以认为该过程是稳定的，变异性较小。

解释正态分布的3西格玛原则

解释正态分布的3西格玛原则正态分布是一种重要的概率分布，也被称为高斯分布或钟形曲线。

在正态分布中，数据集呈现出一种维持对称分布的特征，大多数数据落在均值附近，随着距离均值的增加，数据的出现频率逐渐降低。

正态分布的3西格玛原则，也被称为“68-95-99.7”原则，是对正态分布的一种统计规律性质的描述。

根据这个原则，大约68%的数据落在均值的±1个标准差内，大约95%的数据落在均值的±2个标准差内，大约99.7%的数据落在均值的±3个标准差内。

这个原则对于理解正态分布的性质，分析数据的异常情况等方面具有重要的指导意义。

首先，正态分布的3西格玛原则告诉我们，大多数数据会集中在均值附近。

正态分布的特点是在均值处达到峰值，然后逐渐减小。

根据3西格玛原则，我们可以预期有约68%的数据会落在均值的±1个标准差内。

这意味着当我们使用正态分布来描述数据时，可以将均值作为一种“典型值”来使用，通常具有较高的概率出现。

其次，根据3西格玛原则，大约95%的数据会落在均值的±2个标准差内。

这意味着在正态分布中，数据集在均值附近的范围内具有相对较高的集中度。

而当数据偏离均值越远时，数据的出现频率逐渐降低。

这个规律对于理解数据的变异性和异常情况非常重要。

通常情况下，超过2个标准差以外的数据会被认为是异常值或者是不寻常的情况。

最后，根据3西格玛原则，大约99.7%的数据会落在均值的±3个标准差内。

这意味着在正态分布中，大多数数据都集中在距离均值较近的范围内。

这个原则对于处理异常情况、识别稀有事件等等具有重要的应用价值。

如果数据距离均值超过3个标准差，那么这样的情况就几乎是不可能发生的。

总之，正态分布的3西格玛原则是对正态分布特性的一种描述。

根据这个原则，大约68%、95%和99.7%的数据分别会落在均值的±1、±2和±3个标准差范围内。

正态分布3sigma原则

正态分布3sigma原则正态分布指的是在一组数据中，大部分数据呈现出以均值为中心逐渐递减的分布形态。

通常情况下，数据中的大部分数据会分布在平均值左右的两个标准差之间，而极少数的数据会分布在平均值的三个标准差以外，这就是3sigma原则。

3sigma原则是指在一个正态分布的数据中，大部分数据（约68%）会分布在平均值左右的一至两个标准差之间。

而95.4%的数据会分布在平均值左右的三个标准差之内。

这样的一种分布规律，被称为"正态分布的68-95-99.7规则"，也就是说，对于任何一组符合正态分布规律的数据，大约有68%的数据会分布在均值左右的一至两个标准差之间，95%的数据会分布在均值左右的三个标准差以内，99.7%的数据会分布在均值左右的六个标准差之内。

3sigma原则的重要性在于帮助人们对一组数据进行初步的分析和判断。

如果某个数据点超过了3个标准差，那么就可以认为这个数据点是异常值，有可能是实验中的误差或者出现了系统性的问题；在另外一方面，如果我们想要发现某个隐藏的特征，就可以通过寻找比3sigma更极端的数据点，从中找出不寻常的地方，进而进行更加深入的研究。

3sigma原则被广泛应用到各种领域，比如金融、医疗、环境科学等等。

在工程与质量控制领域，3sigma原则往往被用来判断一个生产过程是否稳定。

比如，在汽车工厂里，通过对前几百辆车进行检测，就可以知道一个生产流水线是否能够制造出符合标准的新车；在医疗领域，研究人员可以通过对一个健康人群的数据进行采集并分析，来评估预防性医疗干预的效果。

总之，3sigma原则提供的是一种基于正态分布的分析和判断方法，可以帮助人们更好地理解一组数据。

在日常生活中，我们也可以通过这种方法来寻找我们周围的变化和规律。

成都市2022届高二下期新课讲义(九)《正态分布》新课讲义

成都市2022届高二下期新课讲义（九）《正态分布》新课讲义思维导图正态总体在三个特殊区间内取值的概率值若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974. 上述结果可用图表示如下：3σ原则：由P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997知，正态变量X 在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率为0.3%.于是若X ～N (μ，σ2)，则正态变量X 的取值几乎都在距x ＝μ三倍标准差之内，即在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，这就是正态分布的3σ原则. 典型例题一、正态曲线的定义与性质例1.将一条正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的正态曲线C 2，下列说法中不正确的是 A .曲线C 2仍然是正态曲线 B .曲线C 1和曲线C 2的最高点的纵坐标相等C .以曲线C 2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的期望大2图D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2变式.关于正态曲线性质的叙述: 其中正确的是.①曲线关于直线x=μ对称，整条曲线在x轴上方; ②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数;③曲线在x=μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低;④曲线的对称位置由μ确定;曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”.变式.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A.μ1<μ2，σ1<σ2B.μ1<μ2，σ1>σ2C.μ1>μ2，σ1<σ2D.μ1>μ2，σ1>σ2二、计算服从正态分布的随机变量的概率例2.求正态总体N(1，4)在(－∞，3)内取值的概率.变式.设X~N(1，22)，试求:(1)P(－1<X≤3);(2)P(3<X≤5);(3)P(X≥5).变式.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2三、正态分布的应用例3.设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.变式.(16杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率.课后训练2（正态分布）：可能使用的结论：若2(,)XN μσ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P1.（15湖南理）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（） A.2386 B.2718 C.3413 D.47722．(17双流)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N （﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（） A ．1193 B ．1359 C ．3413 D ．27183.设随机变量X ～N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1).(1)求c 的值；(2)求P (－4<x <8).4.（15山东理）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%5.（12全国理15）某个部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布()21000,50N ，且各个部件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .6. (17宜宾)若随机变量ξ服从正态分布)1(2σ，N ，且8.0)2(=<ξP ，则)10(<<ξP 的值为__________．7.已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.84，则P (X ≤0)＝________.8.（17乐山三诊）已知三个正态分布密度函数()()ii x iex σμπσϕ21221--=（R x ∈,3,2,1=i ）的图象如图所示，则A.321321,σσσμμμ>==<B.321321,σσσμμμ=<<=C.321321,σσσμμμ<==>D.321321,σσσμμμ<==<9、甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布),(),,(222211δμδμN N ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数99.12=δB. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小C. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均左右D. 甲类水果的平均质量kg 4.01=μ10.（14全国Ⅰ）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .附：150≈12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.甲0.80.41.99乙xy O11.（17新课标Ⅰ理）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=，0.0080.09≈．12. 质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中a 的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为21S ，22S ，试比较21S ，22S 的大小（只要求写出答案）；（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z 服从正态分布),(2σμN ．其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差22S ，设X 表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求X 的数学期望．注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得9.1175.1422≈=S②若Z ),(~2σμN ，则6826.0)(=+<<-σμσμZ P ，9544.0)22(=+<<-σμσμZ P ．。