离散系统零极点分析

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判断系统稳定性

摘要现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB 的使用。

根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。

本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。

关键字：离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。

一、设计原理1.设计要求（1）：根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。

（2）：求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。

（3）：求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性（4）：求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图（zp2tf,zplane，impz等）2、系统稳定性、特性分析进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。

采用MATLAB 软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。

诸如zplane、impz、stepz、freqz等。

对系统函数的零极图而言：极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。

当极点处于单位圆内，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。

系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。

由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。

系统函数H（z）的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。

数字信号处理实验离散系统的Z域分析

数字信号处理实验报告实验名称：离散系统的Z 域分析学号：姓名：评语：成绩：一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。

2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。

3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。

二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：∑∞-∞=-=n nzn x Z X )()(。

在MA TLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。

其命令格式为： syms n;f=(1/2)^n+(1/3)^n; ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )*h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z )则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n nzn h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若∞<∑∞-∞=n n h |)(|，则系统稳定。

由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。

因为∑∞-∞=-=n nzn h z H )()(，若z =1时H (z )收敛，即∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。

因此因果稳定系统应满足的条件为：1,||<∞≤<ααz ，即系统函数H (z )的所有极点全部落在z 平面的单位圆之内。

3、MA TLAB 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法MATLAB 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。

信号、系统分析与控制第9章系统函数的零极点

2. 离散系统函数的零极点
M
离散系统函数的多项式形式为：
H (z)
B(z) A(z)
bj z j
j0
N
ai z i
b0 a0
b1z 1 ... bm z m a1z 1 ... an z n
（9.1.2）
将系统函数进行因式分解，可采用根的形式表示多项式，即 i0
M
H (z)
Y (z)
➢ 说明系统正弦稳态特性。
➢ 研究系统的稳定性。从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率，进而了解系统冲激响应的模式，也就是说可以知道系统的冲激响应是指数型、衰减振荡型、等幅振荡型、还是几者的组合，从而可以了解系统的
响应特性及系统是否稳定。
1. 连续系统的零极点
系统函数一般以多项式形式出现，分子多项式和分母多项式都可以分解成线性因子的乘积，即连续系统函数：
➢ 可预测系统的时域特性。确定系统函数H(s)、H(z)。 ➢ 可以用函数 [r,p,k]=residuez（num,den）完成部分分式展开计算系统函数的留数、极点和增益； ➢ 可以用函数sos=zp2sos（z,p,k）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
➢ 描述系统的频响特性。从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性，从而可以分析系统的正弦稳态响应特性。使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应。
2. 使用多项式的roots()函数分别求出多项式和的根，获得系统函数的极点、零点。
3. 用用zero(sys)和pole(sys)函数直接计算零极点，sys表示系统传递函数。用法如下：
z = zero(sys)：返回 LTI模型 sys的零点z 的列向量。
[z,gain] = zero(sys)：同时返回增益gain。

绘制离散系统零极点图

绘制离散系统零极点图：zplane()滤波器绘制离散系统零极点图：zplane()zplane(Z,P) 以单位圆为基准绘制零极点图，在图中以'o'表示零点，以'x'表示极点，如果存在重零极点，则在它们的右上方显示其数目。

如果零极点是用矩阵来表示，在不同行内的零极点用不同的颜色来表示。

zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，则函数将首先调用root函数以求出它们的零极点。

[H1, H2, H3]=zplane(Z,P) 函数返回图形对象的句柄。

其中，H1返回的是零点线的句柄；H2返回的是极点线的句柄；H3返回的是轴和单位圆线条句柄。

如果有重零极点，它还包括显示在其右上方的文本句柄。

例：设计一个数字椭圆带阻滤波器，具体要求是：通带截止频率是wp1=1500Hz，wp2=2500Hz，阻带截止频率是ws1=1000Hz，ws2=3000Hz，在通带内的最大衰减为0.5dB，在阻带内的最小衰减为60dB程序设计如下：wp1=1500; wp2=2500; ws1=1000; ws2=3000; Fs=10000Hz;rp=0.5; rs=60;wp=[wp1,wp2]; ws=[ws1,ws2];[n,wn]=ellipord(wp/(Fs/2), ws/(Fs/2), rp, rs);[num,den]=ellip(n, rp, rs, wn, 'stop');[H, W]=freqz(num, den);figure;plot(W*Fs/(2*pi), abs(H)); grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');figure;impz(num, den);figure;grpdelay(num, den);figure;zplane(num, den);FREQZ 是计算数字滤波器的频率响应的函数[H,W] = FREQZ(B,A,N) returns the N-point complex frequency responsevector H and the N-point frequency vector W inradians/sample ofthe filter:函数的输出：a.滤波器的频率响应H（N点） b.频率向量W(N点，且单位为弧度)其中，滤波器形式如下：given numerator and denominator coefficients in vectors B andA. Thefrequency response is evaluated at N points equally spacedaround theupper half of the unit circle. If N isn't specified, it defaultsto 512.滤波器的系数：分子为B，分母为A频率向量W，是均匀分布在滤波器的上半区，即：0：pi，这些点上的频率响应都将通过此函数计算出来。

实验Z变换、零极点分析

1. 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换；一、实验原理及实例分析（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。

【实例1】利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。

解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为% 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。

【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=的Z 反变换。

解（1）Z 变换的MATLAB 程序% Z 变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify()化简得到 :-z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序% Z 反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果为f =a^n*n（二）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H = （3-1）如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2）那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。

第七节离散系统的稳定性分析

[ s , s ] 为主频段，其他称为次频段。
22 可以看出主频段的面积影射成单位圆内，
而且任一次频段包围面积也影射为同一单位圆，说明Z与S平面间的影射不是一一对应，S中一点对应Z面中一点，但Z中一点对应S平面中多个点。
例一：
轧钢机压下位置控制系统速度， T u 控制系
统等效时间常数，T u 100ms , 采样周期取为
系统稳定性。
一稳定条件及S，E平面对应关系
Z eTS eT ( j )
j 2
eT e jT eT e s ,s采样频率, 则，Z eT , T
连续系统中，闭环传递函数极点均位于s平面
的左半平面( 0)时，系统稳定，由此可以对
应出Z，S平面稳定区域之间的映射关系。
S平面
0 系统稳定
T=100ms,开环增益K=10
U（S）
K
S (T u S 1)
Y（S）
分析系统的稳定性
开环脉冲传递函数
G（Z）
Z
K
S（T u
S
1 ）
KZ
1
Tu
S T u S 1
K
Z Z 1
Z
Z
e
T
T
u
T
KZ（1 e T u）
T
(z 1)(z e T u )
0.632KZ (Z 1)(Z 0.368)
概念介绍（反映系统动态品质）一.等频线（等线）在S平面上，等频线是一条平行于实轴的直
线，频率恒定
Z eTS eT *e jT
J s
S2 S 4
z
S
4
s
T
2
对应到Z平面上，映射成了从原点出发向外辐射的一条直线，与实轴夹角T 2

离散信号与系统的时域和频域分析

h(0) h(1) ... h(n 1) 0 h(n) 1
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
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本章说明

与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系统的零状态响应可以用卷积和来求取。时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算

④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺度变换注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。

离散时间系统与差分方程

即 1≤∣Z|≤∞ H（z）的全部极点必在单位圆以内。
三、差分方程与系统函数线性时不变离散系统也可用差分方程表示，
考虑N阶差分方程
N
M
bi y(n i) ai x(n i)
i0
i0
两两边取z变换：
N
M
bi z iY (z) ai z i X (z)
i0
i0
于是
M
H (z)
Y (z) X (z)
分母其向基量本最原短理是，，出当现单极位小圆值上，的频响ejω在点这在附极近点可d能i出附现近峰时，值峰的，值频越且响尖极将锐点出，现di当∞越，靠di这近处相单在当位单于圆位在圆，该上极频时小率值，处越极出小小现，值无频为耗响零（出，Q现相=的应∞）谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。
T{ax [n]}= a2x2[n] 除了a=0,1情况，T{ax [n]} aT{x [n]}。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。
2. 时不变系统
如果 T[x(n)]=y(n)，则 T[x(n-n0)]=y(n-n0) （ n0为任意整数）即系统的特性不随时间而变化。
线性时不变系统简称为：LTI
x (n) TT[[·.] ]
y(n)
离散时间系统
1. 线性系统（满足迭加原理的系统）
若系统的输入为x1（n）和x2（n）时，输出分别为y1（n）和y2（n），即 y1（n）=T[x1（n）]， y2（n）=T[x2（n）]
如果系统输入为ax1（n）+bx2（n）时，输出为ay1（n）+by2（n），其中a， b为任意常数，则该系统为线性系统。所以，线性系统的条件为

《信号与系统》讲义教案第6章离散信号与系统的Z域分析

第 6 章离散信号与系统的Z 域分析6.0 引言与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z 变换是离散时间傅立叶变换的推广。

Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。

当然， Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。

6.1 双边 Z 变换6.1.1双边Z变换的定义前面讨论过，单位脉冲响应为h[n] 的离散时间 LTI 系统对复指数输入z n的响应y[n]为y[ n]H ( z) z n(6.1)其中H ( z)h[ n] z n(6.2)n式 (6. 2) 就称为 h[n] 的双边 Z 变换。

当 z= e j时， Z 变换就转变为傅立叶变换。

因此一个离散时间信号的双边Z 变换定义为：X ( z)x[ n]z n(6.3)n式中 z 是一个复变量。

而x[n]与它的双边z 变换之间的关系可以记做zx[n]X (z)6.1.2双边Z变换的收敛域x[n] 的双边 Z 变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的Z 变换都存在；另一方面即使某信号的Z 变换存在，但并非Z 平面上的所有点都能使X(z)收敛。

那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。

只有当式 (6.3) 的级数收敛，X (z) 才存在。

X ( z) 存在或级数收敛的充分条件是x[n]z n(6.4)n在 x[ n] 给定的条件下，式 (6.4)级数是否收敛取决于 z 的取值。

在 z 复平面上，使式 (6.4)级数收敛的 z取值区域就是 X(z)的收敛域。

6.1.3零极点图如果X(z) 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：N ( z)(z z i )X ( z)i(6.5)M(zD ( z)z p )p则由其全部的零极点即可表示出X ( z) ，最多相差一个常数因子。

在Z 平面上表示出全部的零极点，即构成X ( z) 的几何表示——零极点图。

北京理工大学信号与系统实验报告6离散时间系统的z域分析

北京理工大学信号与系统实验报告6-离散时间系统的z域分析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：实验6 离散时间系统的z 域分析（综合型实验）一、实验目的1）掌握z 变换及其反变换的定义,并掌握ＭAT ＬＡＢ实现方法。

2）学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。

3）掌握系统零极点的定义,加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。

二、实验原理与方法 1. z 变换序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)znn X x +∞-=-∞=∑ (1）Z 反变换定义为11(n)(z)z 2n rx X dz jπ-=⎰(2）MA ＴＬA Ｂ中可采用符号数学工具箱z ｔrans 函数和ｉz ｔｒans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztran ｓ（Ｆ）求符号表达式Ｆ的z 变换。

Ｆ=iztra ｎｓ（Z)求符号表达式Z 的ｚ反变换 2. 离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应ｈ(n)的z 变换(z)(n)znn H h +∞-=-∞=∑ (３）此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到(z)(z)/X(z)H Y = (4)由(4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为101101...(z)...MM NN b b z b z H a a z a z----+++=+++ (5） 3. 离散时间系统的零极点分析ＭＡTLAB 中可采用roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。

此外还可采用MATL ＡB 中zpl ａne 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图,zp ｌane 函数的调用格式为：zplane(b,a) ｂ、a 为系统函数分子分母多项式的系数向量(行向量) zplane （z,p) z 、ｐ为零极点序列(列向量) 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化,还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性; 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。

离散系统的系统函数

Y z 3 z 1Y z 2 z 2Y z X z 1 z 1
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ，激励
已知离散系统的差分方程为：
Y z 1 z 1 z z 1 z H z 1 2 X z 1 3 z 2 z z 1z 2 z 2 求系统的零状态响应 2 z z z Y z H z X z z 2 z 2 z 2
列差分方程
wk 1
x( k ) 0.3w( k 1) w( k ) w( k ) 4w( k 1) y( k )
分别取z变换 X ( z ) 0.3 z 1W ( z ) W ( z ) 1 W ( z ) 4 z W (z) Y (z)
i

h(i ) z
i
y (k ) z k H ( z )
f (t ) e
0
y (t ) H ( s0 )e
0
系统响应是一个是常数（可能是复数）乘以输入，则： k 系统的特征函数 f ( k ) z0
H ( z0 )
系统的特征值
X
例题7
f (k ) z
k 0
y (k ) H ( z 0 ) z
z域复变量域s域复变量关系： z e sT z re j s j re j ＝e ( j )T eT e jT r eT T
第
11 页
X
第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系 s平面极点位置
虚轴上原点s=0 左半平面
收敛域含虚轴
12 页
z平面极点位置

实验四离散时间信号与系统分析

实验四离散时间信号与系统分析实验四离散时间信号与系统分析一、实验目的1、理解离散信号及系统的时频域分析方法2、掌握Matlab进行信号的卷积、z变换及逆z变换的方法。

3、掌握Matlab进行离散系统时频域的分析方法二、实验时数：2学时三、实验相关知识（一）离散信号的卷积利用函数(,)可以计算离散信号的卷积和，c conv a b即c(n)=a(n)*b(n)，向量c长度是a，b长度之和减1。

若a(n)对应的n的取值范围为：[n1, n2]；b(n)对应的n的取值范围为：[n3, n4]，则c(n)=a(n)*b(n)对应的n的取值范围为：[n1+n3, n2+n4]。

例4-1：已知两序列：x(k)={1,2,3,4,5;k=-1,0,1,2,3},y(k)={1,1,1;k=-1,0,1}，计算x(k)*y(k)，并画出卷积结果。

解：利用conv()函数进行离散信号的卷积，注意卷积信号的k 值范围k_x = -1:3;x=[1,2,3,4,5];k_y = -1:1;y=[1,1,1];z=conv(x,y);k_z= k_x(1)+k_y(1):k_x(end)+k_y(end); stem(k_z,z);（二）离散信号的逆z 变换离散序列的z 变换通常是z 的有理函数，可表示为有理分式的形式，因此可以现将X(z)展开成一些简单而常用的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的逆变换，把各逆变换相加即可得到X(z)的逆变换x(n)。

设离散信号的z 变换式如下，120121212()()1()m m n n b b z b z b z num z X z a z a z a z den z ------++++==++++在Matlab 中进行部分分式展开的函数为residuez ()，其调用形式如下：[r,p,k] = residuez(num,den)其中num=[b0, b1, …, bm]表示X(z)有理分式的分子多项式为12012m m b b z b z b z ---++++；den=[a0, a1, …, am]表示X(z)有理分式的分母多项式为12012m m b b z b z b z ---++++，注意分子分母多项式均为按z -1的降幂排列的多项式，缺项应补零。

六、离散LTI系统的零极点分析

（2）、画出该系统的零极点图；
（3）、绘制系统的幅度响应曲线，并根据幅度响应曲线判断系统的滤波特性；
（4）、若将差分方程改写为，谈论该系统的滤波特性。
解：系统函数：
（1）（2）（3）MATLAB代码：
b=[1,0.9];a=[1,-0.9];
figure(1);subplot(2,1,1);zplane(b,a);
B=[1,-0.9];a=[1,0.9];%结果6-6和6-7
实验数据结果及分析
6-1
6-2
6-3
6-4

6-6
6-7
结果分析：1、从6-4和6-5可以看出该系统具有低通特性，属于低通滤波器且具有非线性相位响应。
2、从6-6和6-7可以看出该系统具有高通特性，属于高通滤波器且具有非线性相位响应。
求：
1、系统函数，并画出零极点分布图；
2、单位冲激响应；
3、系统的频率响应，并在上画出它的幅度和相位。
解（1）对差分方程进行Z变换可以求得系统函数
收敛域：；
极点：；
零点：。
b=[1,0,-1];a=[1,0,-0.81];%分子分母系数
zplane(b,a);%结果6-1
（2）
b=[1,0,-1];a=[1,0,-0.81];
xlabel('n');ylabel('h(n)');%结果6-2
>> [H,W]=freqz(b,a);%求系统频率响应
>> figure(2);subplot(2,1,1);
>> plot(W/pi,abs(H));%绘制幅度响应曲线
>> title('幅度响应曲线');grid on;

第8章 z变换离散时间系统的z变换分析

1 z Z[u( n)] u( n)z z -1 1 z z 1 n 0 n 0
-n -n
收敛域为 z >1
3. 斜变序列
间接求解方法已知两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0

！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表）作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:

离散系统的转移函数_零、极点分布和模拟

二、实验项目名称：离散系统的转移函数，零、极点分布和模拟三、实验原理：离散系统的时域方程为∑∑==-=-Mm m Nk km n x b k n y a][][其变换域分析方法如下：系统的频率响应为 ωωωωωωωjN N j jM M j j j j ea e a a eb e b b e A e B e H ----++++++==......)()()(1010 Z 域 )()()(][][][][][z H z X z Y m n h m x n h n x n y m =⇔-=*=∑∞-∞=系统的转移函数为 NN MM z a z a a z b z b b z A z B z H ----++++++==......)()()(110110 分解因式 ∏∏∑∑=-=-=-=---==Ni i Mi i N i i kMi ik z z Kz a zb z H 11110)1()1()(λξ ，其中i ξ和i λ称为零、极点。

在MATLAB 中，可以用函数[z,p,K]=tf2zp （num,den ）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane （z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num ，den ）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。

四、实验目的：1、加深对离散系统转移函数、零极点概念的理解；2、根据系统转移函数求系统零极点分布。

五、实验内容：实验内容（一）、使用实验仿真系统(略) 实验内容（二）、MATLAB 仿真六、实验器材（设备、元器件）：计算机、MATLAB 软件。

七、实验步骤：对系统系统2181.09.011)(--+-=zz z H1、编程实现系统的参数输入，绘出幅度频率响应曲线和零、极点分布图。

2、根据系统的零极点计算系统频率响应的幅值和相位。

定义omega=[0:511]*pi/256和unitcirc=exp(j*omega)得到在单位圆上512个等分点，在这些点上将要对频率响应)(jw e H 求值。

§8.8 离散系统的系统函数

极点位置与h 极点位置与h(n)形状的关系
jImz
−1
O
+1
Rez
z～s平面的映射关系比较
s平面极点位置虚轴上原点时左半平面右半平面 h(t)特点等幅极点位置单位圆上 z平面 h(n)特点等幅
1 u(t ) ↔ s 衰减
增幅
θ =0 z =1 单位圆内
单位圆外
z u(n) ↔ z −1 减幅
2)从时域判断： 2)从时域判断：从时域判断
h(n) = (0.5) + (0.5) + (0.5)
−1 −2 −3
∞
1 1 1 + 2 + 3 +⋯+ ∞ +⋯= 0.5 0.5 0.5
所以
n=−∞
∑h(n) = ∞
不稳定
−1 n
3)从z域判断：H(z) = ∑ (0.5) 3)从域判断：
n=−∞
返回
已知离散系统的差分方程为：例8-8-1 已知离散系统的差分方程为： y(n)+ 3y(n-1)+ 2y(n-2)= x(n) +x(n-1),激励 3y 2y +x 1),激励 x(n)=(-2)nu(n),求系统函数H(z)及零状态响应yzs(n)。 )=(),求系统函数求系统函数H 及零状态响应y 解：在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换在零状态条件下，对差分方程两边取单边z
返回
例8-8-3
LTI系统 )=u LTI系统h(n)=u(n)，判断因果性，稳定性。系统h 判断因果性，稳定性。
解： 1）从时域判断
1, h(n) = u(n) = 0,
n=−∞
∑h(n) = ∞

《数字信号处理》实验指导书

的相角, Ai 就是极点 pi 到单位圆上的点 e jω 的矢量长度(距离),而θ i 就是该矢量的相角,因此有:
M
∏ B e j(ψ1 +ψ 2 +⋅⋅⋅⋅+ψ M ) j
H (e jω ) =
j =1 N
= H (e jω ) e jϕ (ω )
∏ A e j(θ1+θ2 +⋅⋅⋅⋅+θ N ) i
(1) 设有直流信号 g(t)=1,现对它进行均匀取样，形成序列 g(n)=1。试讨论若对该序列分别作加窗、补零，信号频谱结构有何变化。四、实验过程及结果（含程序）
12
13
14
15
16
实验三 IIR 数字滤波器的设计
一、实验目的 (1)掌握双线性变换法及脉冲相应不变法设计 IIR 数字滤波器的具体设计方法及其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、高通和带通 IIR 数字滤波器的计算机编程。 (2)观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。 (3)熟悉 Butterworth 滤波器、Chebyshev 滤波器和椭圆滤波器的频率特性
《数字信号处理》
实验指导书
班级：学号：姓名：苏州科技学院电子教研室
实验一信号、系统及系统响应
一、实验目的
(1) 熟悉 MATLAB 平台的使用，掌握离散信号、离散系统的 MATLAB 实现。 (2)掌握根据系统函数绘制系统零极点分布图的基本原理和方法。 (3)理解离散系统频率特性分析的基本原理，掌握根据系统函数零极点分布来分析离散系统频率响应的几何矢量法。
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变换类型低通
Байду номын сангаас

《信号与系统(第2版)》配套课件离散时间信号与系统的复频域分析1

z 1，求x[k]
解：将X(z)化为z的负幂，可得
X
(
z
)
1
2 0.5z
0.5z 1 1 0.5
z
2
A 1 z 1
B 1 0.5z1
A
(1
z 1)
X
(z)
z 1
2 0.5z1 1 0.5z1
z1 1
B
(1 0.5z1) X
(z)
z 0.5
2 0.5z1 1 z 1
z0.5 1
将X(z)进行z反变换，可得
]}
1
1 a
z
1
,
za
e j0k u[k ]
Z
1 1 e j0 z1 ,
z 1
利用Euler公式和线性特性，可得
Z cos(0k)u[k]=Z e j0ku[k] / 2 Z e j0ku[k] / 2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ 系统函数H(z)的另一种定义零状态响应的频域表示
yzs[k] x[k]* h[k]
利用z变换的卷积特性
Yzs (z) X (z)H (z)
H (z) Yzs (z) X (z)
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ H(z) 的物理意义
x[k]
h[k]
1
1 z1 cos(0 ) 2z1 cos(0 )
z
2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
解c：os( 0k )u[k ]

零极点匹配离散化报告

void Init_Timer1(void);//产生50ms延时
void main(void)
{
float uk_2=0.0;
float uk_1=0.0;
float uk=0.0;
float ek_2=0.0;
float ek_1=0.0;
float ek=0.0;
float uk_3=0.0;
= =0.408±j0.5313， =0.6065
有三个无穷远处的零点，可映射为
D（s） =D(z) 1= 得 k=0.031
D(z)=
2.MATLAB语句及响应曲线
2.1有两个无穷远处零点的零极点匹配方法
（A）MATLANB程序如下
>> num=[1];
>> den=[1,1.8,1.8,1];
>> sys=tf(num,den)
2.4.阶跃响应曲线比较
（A）有两个无穷远零点的情况
（B）.有三个无穷远零点的情况
分析：由图像可知，两种方法稳态值均趋于1，即采用零极点匹配法可以保证D（s）稳定，则D(z)一定稳定。但采用两个无穷远处零极点匹配方法所得到的阶跃响应曲线有超调且调节时间长。而采用三个无穷远零极点匹配方法所得到的阶跃响应曲线无超调且调节时间短。
4.单片机程序流程图……………………………………………………12
5.KEIL程序…………………………………………………………......13
五.设计心得体会…………………………………………………………...15
六.参考文献…………………………………………………………………16
一.设计目的
1、了解控制系统设计的一般方法、步骤。
2、掌握利用MATLAB对控制理论内容进行分析和研究的技能。