矩阵与它伴随矩阵的关系1

矩阵与它伴随矩阵的关系

摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵

1伴随矩阵的定义 设()

n

n ij

a A ⨯=,则它的伴随矩阵()n n ij

b A ⨯=*

,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式.

2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则*

11A A

A =-. 2.3 ()()T

T

A A **

=.

证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1

*

-=T T T A A A =()

T

A A 1-

另一方面， ()()T

T

A A A 1*

-==()

T

A A 1-

由上两式推出 ()()

T

T

A A **

=.

2.4 ()()

1

**

1

--=A A .

证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A

A A A 1

1

11*

1=

=---- 又由 E A A A A A A =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*

*11 故 *A 也可逆，且()A A

A 1

1

*=

- 从而 ()()

1

**

1

--=A A .

2.5 ()*1*

A a aA n -= (a 为实数).

证 设()n n ij a A ⨯=，再设 ()()n n ij b aA ⨯=*

，

那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1*

A a aA n -=.

2.6 1

*-=n A

A ()2≥n .

证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 1

1*

--==n n

A

A A A

当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A

所以.0*=A 从而也有 1

*

-=n A A

所以对任意n 阶方阵,A 都有.1

*-=n A

A

2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A

则秩0*=A .

证 当秩,0≠⇒=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n

A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=⇒-=A n A 0*==I A AA

从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A

从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A

当秩2-=n A ⇒0*=A 所以秩0*=A

同理秩2-

A A

A n 2

*

*

-=.

证 当秩n A =时，A A ,0≠可逆，用1-A 左乘（1）式两边可得

1*-=A A A （1） 在（1）式中用A 换*A 得

()()

A A A A A

A A A n n 21

1

*

**

*1---=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛== （2） 当秩1-≤n A 时，则秩0,1*=≤A A 从而秩()

A A

A n 2

*

*

0-== （3）

综合（2）（3）两式，即证()

A A

A n 2

*

*

-=.

2.9 若B A ,为n 阶可逆矩阵，则()***

A B AB =.

证 当()()n B r A r ==时，由

()()**111

*

A B A A B B AB AB AB ===---

当()1-

0A B AB ==

即 ()***

A B AB =

当(),1-=n A r 则存在初等矩阵,,,,11t s Q Q P P 使得 t s Q Q A P P A 111=

这里().0,11-=n E diag A 直接验算可知，若P 是任意初等矩阵，C 是任意方阵，

则 ()()*1*

1***

,CA C A P C PC ==

于是()()[]*

1121*

B Q Q A P P P AB t s =

()*

1*

112P B Q Q A P P t s =

=

()*1**

11P P B Q Q A s t =

()*1**1*

1P P A B Q Q s t =

=

*1**1*1**P P A Q Q B s t =