矩阵与它伴随矩阵的关系1
伴随矩阵运算法则
伴随矩阵运算法则
（最新版）
目录
1.伴随矩阵的定义与性质
2.伴随矩阵的运算法则
3.伴随矩阵的应用
4.总结
正文
一、伴随矩阵的定义与性质
伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与逆矩阵有着密切的关系。
伴随矩阵的定义是：一个方形矩阵 A 的伴随矩阵，是由矩阵 A 的代数余子式构成的一个矩阵。
伴随矩阵的性质包括：
1.伴随矩阵是一个方阵，其行数和列数与原矩阵相同。
2.伴随矩阵的元素是原矩阵的代数余子式，即伴随矩阵第 i 行第 j 列的元素是原矩阵的第 j 行第 i 列的代数余子式。
3.伴随矩阵的转置等于原矩阵的代数余子式的转置。
二、伴随矩阵的运算法则
伴随矩阵的运算法则主要包括以下几点：
1.伴随矩阵的加法：两个矩阵的伴随矩阵相加，对应位置的元素是两个矩阵对应位置的代数余子式之和。
2.伴随矩阵的数乘：一个矩阵的伴随矩阵与一个标量的乘积，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式乘以该标量。
3.伴随矩阵的乘法：两个矩阵的伴随矩阵相乘，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式的乘积。
三、伴随矩阵的应用
伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，主要包括：
1.求解线性方程组：当矩阵 A 可逆时，可以用伴随矩阵表示矩阵 A 的逆矩阵，从而求解线性方程组。
2.矩阵的行列式：矩阵的行列式等于其伴随矩阵的行列式，可以利用伴随矩阵求矩阵的行列式。
3.矩阵的秩：伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩，可以利用伴随矩阵求矩阵的秩。
四、总结
伴随矩阵是线性代数中的一个基本概念，它与逆矩阵、行列式等有着密切的关系。
伴随矩阵的性质
伴随矩阵的性质1. 什么是伴随矩阵在线性代数中, 对于一个n阶方阵A, 定义其伴随矩阵(adjugate matrix)为矩阵A的伴随矩阵是一个与A的行列式相差一个符号的转置矩阵, 记作adj(A)。
伴随矩阵在求解矩阵方程, 计算逆矩阵, 求解线性方程组等问题中具有重要的应用。
2. 伴随矩阵的性质伴随矩阵具有以下性质：2.1 行列式的关系伴随矩阵和原始矩阵的行列式之间有以下关系：det(adj(A)) = det(A)^(n-1)其中A是一个n阶方阵。
2.2 逆矩阵的关系如果A是一个可逆矩阵, 则其伴随矩阵与其逆矩阵满足以下关系：adj(A) = (1 / det(A)) * A^(-1)其中A是一个可逆矩阵。
2.3 转置矩阵的关系两个方阵的伴随矩阵的转置矩阵之间存在以下关系：(adj(A))^T = adj(A^T)其中A是一个方阵。
2.4 伴随矩阵的乘积对于任意两个方阵A和B, 它们的伴随矩阵的乘积满足以下关系：adj(AB) = adj(B) adj(A)2.5 伴随矩阵和幂对于一个方阵A和正整数k, 其伴随矩阵的k次幂满足以下关系：(adj(A))^k = adj(A^k)3. 伴随矩阵的应用伴随矩阵在求解矩阵方程, 计算逆矩阵, 求解线性方程组等问题中具有重要的应用。
3.1 矩阵方程的求解对于一个给定的矩阵方程Ax = b, 其中A是一个可逆矩阵, b 是一个列向量, 则可以通过伴随矩阵来求解方程的解x。
具体的求解方法为：x = A^(-1) * b = (1/det(A)) * adj(A) * b3.2 逆矩阵的计算对于一个可逆矩阵A, 可以利用伴随矩阵来计算其逆矩阵。
具体的计算方法为：A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)3.3 线性方程组的求解对于一个线性方程组Ax = b, 其中A是一个系数矩阵, x和b 都是列向量, 可以利用伴随矩阵来求解方程组的解。
具体的求解方法为：x = A^(-1) * b = (1/det(A)) * adj(A) * b4. 总结伴随矩阵是一个与原始矩阵相关的重要概念, 具有许多重要的性质和应用。
最新矩阵与伴随矩阵的关系
方阵A 与其伴随矩阵*A 的关系摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵*A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。
它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。
1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯nn n n n n nn ij a a a a a a a a a a A 212221212111.令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯nn nnn n nn ij A A A A A A A A A A A 212221212111*,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称*A 为A 的伴随矩阵.2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明.2.1*AA =A A *=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A AA =-,即1*det -=AA A [1].证明：因为⎩⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jnin j i j i 若若 ⎩⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni ji j i 若若所以*AA =A A *=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A Adet 000det 000det =AI det .当A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得⎪⎭⎫ ⎝⎛*det 1A A A =A A A ⎪⎭⎫⎝⎛*det 1=I 即*1det 1A AA =-.证毕. 2.2()*T A =()TA *.(显然)2.3 若A 可逆，则()*1-A=()1*-A .(显然)2.4 设A 为n 阶方阵()2≥n ，则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110*[2]. 引理1.若()2≥⨯n nn 矩阵A ,B 满足0=AB ,则()()n B r A r ≤+.证明 因为0=AB ,所以B 的列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r=,则0det ≠A .由克拉默法则知,方程只有零解,从而0=B ,进而()0=B r ;若()n r A r <=,则方程组的基础解系中含rn -个向量,于是()rn B r -≤,因此有()()n B r A r ≤+.证毕. 下面证明2.4. ⑴当()1-<n A r时, A 的每一个1-n 阶代数余子式都为零.所以*A 为零阵,所以()0*=A r .⑵当()1-=n A r时，0det =A ,*AA =AI det =0.由引理1知,()A r+()n A r ≤*.因为()1-=n A r 则()()11*=--≤n n A r ,知A 至少有一个1-n 阶子式不为零.即 *A 至少有一行不全为零. 所以()1*≥A r .因为()1*≤A r ,从而()1*=A r .⑶ 当()n A r =时，A 可逆，由1知，*A 也可逆.所以()n A r =*.证毕.2.5 ()1*det det -=n A A .① 当A 可逆时，1*det -=AA A .所以()1*det det det -=A A A n ()1det -=n A .② 当A 不可逆时，()1-≤n A r ，0det =A .1) 当2≥n时()1-<n A r ，由2.4知()0*=A r .所以0det *=A .()1-=n A r ，()n A r <=1*，0det *=A .则()0det det 1*==-n A A2) 当1=n 时，0det =A ,即0=A ，0det *=A ，则()0det det 1*==-n A A .证毕. 2.6 当A 可逆时,若0λ为A 的特征值,则det λA是*A 的特征值.当()1-<n A r 时，*A 的特征值为零，并是n 重的. 引理2. 设A 可逆,若0λ为A 的特征值,则1λ是1-A 的特征值.证明: 若00=λ,则由00=-A E λ得到()01=-=-A A n ,于是0=A ,这与A 可逆矛盾,所以00≠λ.同时由00=-A E λ还有()()11010011110------=--=-=-=A E A E E A A E A nnnλλλλλ.因此0110=--A E λ,即 01λ是1-A 的特征值.引理证毕. 下面证明2.6.不妨设*A 的特征值为*λ.则由AE AA det *=有1*1***0---=-=-=AE AAAA E A E nλλλ.0≠A ,这说明A*λ是1-A 的特征值.由引理2知,*1λλ=A,所以0*λλA=,即λA是*A 的特征值.若()0*=A r ,(即()1-<n A r)时,0*=A,所以*A 的特征值0*=λ且是n 重的.2.7 若A 为可逆矩阵,则*A 也是可逆矩阵.证明:由2.1即可得到此结论.2.8 若A 为对称矩阵,则*A 也是对称矩阵. 2.9 ()***A B AB =.证明:当A ,B 均可逆时, 1*det -=AA A ,1*det -=BB B ,所以()*111**))(det()det(AB AB AB A B AB A B ===---.当A ,B不都可逆时,则当x 足够大时,存在x 使得n xI A +, nxI B +均可逆,此时有()***)()())((n n n n xI A xI B xI B xI A ++=++,这是关于x 的恒等式,即x 取零时,该等式也成立,即()***A B AB =.证毕.2.10 若A 为正交矩阵,则*A 也是正交矩阵. 证明:若A 为正交矩阵,则I A A AA TT==且1det ±=A ,由2.2知()()****T TAA A A=.再由2.9知()()()I I A A A A A ATTT====******,所以*A也是正交矩阵.证毕. 2.11 ()A AAn 2**-=,其中A 是n 阶方阵()2>n .证明:因为E A A A AA ==**,所以 1) 当0≠A 时,1*-=A A A .则 ()()()111*1**----⋅==A A A A A A A()A A A AA A A AA A n nn21111111------===2) 当0=A 时,由2.4知()1≤A r . 当2>n 时,)()0**=A r ,故()A AA n 2**-=.当2=n 时,令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a A ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a c b d A *, ()A A A d c b a A n 2**-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 证毕.通过以上的证明,说明了n 阶矩阵A 与其伴随矩阵*A 有很多联系和继承性,理解和掌握这些联系和继承性对我们以后高等代数课程的学习有着重要的意义.全等三角形提高练习1. 如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。
矩阵与伴随矩阵的关系
方阵A 与其伴随矩阵*A 的关系摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵*A 的定义，讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关系，例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明在高等代数课程中我们学习了矩阵,伴随矩阵。
它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。
1.伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯nn n n n n nn ij a a a a a a a a a a A 212221212111．令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯nn nnn n nn ij A A A A A A A A A A A 212221212111*,其中ij A 是ija 的代数余子式.则称*A 为A 的伴随矩阵.２．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明.２.1*AA ＝A A *=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A AA =-，即1*det -=AA A [1]．证明:因为⎩⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jnin j i j i 若若 ⎩⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni ji j i 若若所以*AA =A A *＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A Adet 000det 000det =AI det .当A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得⎪⎭⎫ ⎝⎛*det 1A A A =A A A ⎪⎭⎫⎝⎛*det 1=I 即*1det 1A AA =-．证毕.2.2 ()*T A =()TA *.(显然) 2.3 若A 可逆,则()*1-A =()1*-A .（显然)2.4 设A 为n 阶方阵()2≥n ,则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110*[2]. 引理1．若()2≥⨯n n n 矩阵A ,B 满足0=AB ,则()()n B r A r ≤+．证明 因为0=AB ,所以B 的列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r =,则0det ≠A .由克拉默法则知,方程只有零解,从而0=B ,进而()0=B r ；若()n r A r <=,则方程组的基础解系中含rn -个向量,于是()rn B r -≤，因此有()()n B r A r ≤+.证毕.下面证明2.４． ⑴当()1-<n A r时, A 的每一个1-n 阶代数余子式都为零.所以*A 为零阵,所以()0*=A r .⑵当()1-=n A r时，0det =A ，*AA =AI det =0.由引理１知,()A r +()n A r ≤*.因为()1-=n A r则()()11*=--≤n n A r,知A 至少有一个1-n 阶子式不为零.即 *A 至少有一行不全为零. 所以()1*≥A r .因为()1*≤A r ，从而()1*=A r ．⑶ 当()n A r =时,A 可逆，由1知，*A 也可逆．所以()n A r =*.证毕.２.5 ()1*det det -=n A A .① 当A 可逆时,1*det -=AA A ．所以()1*det det det -=A A A n()1det -=n A .② 当A 不可逆时,()1-≤n A r ,0det =A ．1) 当2≥n时()1-<n A r ,由2.4知()0*=A r ．所以0det *=A .()1-=n A r ，()n A r <=1*，0det *=A .则()0det det 1*==-n A A2) 当1=n 时,0det =A ,即0=A ，0det *=A ，则()0det det 1*==-n A A .证毕. 2.６ 当A 可逆时,若0λ为A 的特征值，则det λA是*A 的特征值.当()1-<n A r 时,*A 的特征值为零,并是n 重的.引理２. 设A 可逆,若0λ为A 的特征值,则1λ是1-A 的特征值.证明: 若00=λ，则由00=-A E λ得到()01=-=-A A n ,于是0=A ，这与A 可逆矛盾,所以00≠λ.同时由00=-A E λ还有()()11010011110------=--=-=-=A E A E E A A E A nnnλλλλλ．因此0110=--A E λ，即 01λ是1-A 的特征值.引理证毕. 下面证明2.6.不妨设*A 的特征值为*λ.则由AE AA det *=有1*1***0---=-=-=AE AAAA E A E nλλλ.0≠A ，这说明A*λ是1-A 的特征值．由引理2知，*1λλ=A,所以0*λλA=,即λA是*A 的特征值.若()0*=A r ,（即()1-<n A r）时,0*=A,所以*A 的特征值0*=λ且是n 重的.2.７ 若A 为可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵．证明:由２.1即可得到此结论. ２.8 若A 为对称矩阵，则*A 也是对称矩阵.2.9 ()***A B AB =.证明： 当A ,B 均可逆时, 1*det -=AA A ,1*det -=BB B ,所以()*111**))(det()det(AB AB AB A B AB A B ===---.当A ，B不都可逆时,则当x 足够大时,存在x 使得n xI A +, n xI B +均可逆，此时有()***)()())((n n n n xI A xI B xI B xI A ++=++,这是关于x 的恒等式,即x 取零时，该等式也成立,即()***A B AB =.证毕.2．1０ 若A 为正交矩阵,则*A 也是正交矩阵． 证明: 若A 为正交矩阵,则I A A AA T T ==且1det ±=A ,由２.2知()()****T TA A A A =．再由2．9知()()()I I A A A A A ATTT====******,所以*A也是正交矩阵.证毕. ２.11 ()A AAn 2**-=,其中A 是n 阶方阵()2>n ．证明:因为E A A A AA ==**,所以 1) 当0≠A 时,1*-=A A A .则 ()()()111*1**----⋅==A A A A A A Aﻩ()A A A AA A A AA A n nn21111111------===2) 当0=A 时,由２.4知()1≤A r ． 当2>n 时,)()0**=A r ,故()A AA n 2**-=.当2=n 时，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a A ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a c b d A *, ()A A A d c b a A n 2**-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 证毕.通过以上的证明,说明了n阶矩阵A与其伴随矩阵*A有很多联系和继承性,理解和掌握这些联系和继承性对我们以后高等代数课程的学习有着重要的意义．。
矩阵与它伴随矩阵的关系1
矩阵与它伴随矩阵的关系摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等.关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵1伴随矩阵的定义设,则它的伴随矩阵,其中 ()n n ij a A ⨯=()nn ij b A ⨯=*ji ij A b =为中的代数余子式.(),,,3,2,1,n j i =ij A A ij a 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系2.1 .I A A A AA ==**2.2 若A 非奇异，则.*11A AA =-2.3 .()()TTA A **=证 当可逆时，，且也可逆.A 1*-=A A A T A 故 =()()1*-=TT T A A A ()TA A 1-另一方面， =()()TTA A A 1*-=()T A A 1-由上两式推出 .()()TTA A **=2.4 .()()1**1--=A A 证 当可逆时，，且也可逆.A 1*-=A A A 1-A 故 ()()A AA A A 1111*1==----又由 E A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11故 也可逆，且*A ()A AA 11*=-从而 .()()1**1--=A A 2.5 (为实数).()*1*A a aA n -=a 证 设，再设 ，()nn ij a A ⨯=()()n n ij b aA ⨯=*那么为行列式中划去第行和第列的代数余子式阶行列式，ij b aA j i 1-n 其中每行提出公因子后，可得a ji n ij A ab 1-=()n j i ,2,1,=由此即证.()*1*A a aA n -= 2.6 .1*-=n AA ()2≥n 证当可逆时，由于 两边取行列式A ,1*-=A A A 得 11*--==n nAA A A 当不可逆时，这时秩A ,0=A 1*≤A 所以从而也有 .0*=A 1*-=n AA 所以对任意阶方阵都有n ,A .1*-=n AA 2.7 当秩时，则秩.当秩时则秩.，当秩n A =n A =*1-=n A 1*=A 2-≤n A 则秩.0*=A 证 当秩那么由上面的（1）式有,0≠⇒=A n A 0*≠==nA I A AA 所以 即秩,0*≠A nA =* 当秩 ,01=⇒-=A n A 0*==I A AA 从而秩 又因秩所以至少有一个代数余子式,1*≤A ,1-=n A ,0≠ij A 从而秩于是秩,1*≥A ,1*=A 当秩所以秩2-=n A ⇒0*=A 0*=A 同理秩时,秩.2-<n A 0*=A 2.8 .()A AA n 2**-=证 当秩时，可逆，用左乘（1）式两边可得n A =A A ,0≠1-A （1）1*-=A A A 在（1）式中用换得A *A（2）()()A A A A AA A A n n 211****1---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==当秩时，则秩1-≤n A 0,1*=≤A A 从而秩 （3）()A AA n 2**0-== 综合（2）（3）两式，即证.()A AA n 2**-=2.9 若为阶可逆矩阵，则.B A ,n ()***A B AB = 证 当时，由()()n B r A r == ()()**111*A B A A B B AB AB AB ===--- 当时，显然有()1-<n A r ()***0A B AB == 即 ()***A B AB = 当则存在初等矩阵使得(),1-=n A r ,,,,11t s Q Q P P ts Q Q A P P A 111= 这里直接验算可知，若是任意初等矩阵，C 是任意方().0,11-=n E diag A P 阵，则()()*1*1***,CA C A P C PC == 于是()()[]*1121*B Q Q A P P P AB t s = ()*1*112P B Q Q A P P t s == ()*1**11P P B Q Q A s t = ()*1**1*1P P A B Q Q s t ==*1**1*1**P P A Q Q B s t = 但是 *1**1*1*P P A Q Q s t()*1**1*1P P A Q Q s t = ()*1*1*11P P Q Q A P s t s -== ()*111t s Q Q A P P = *A = 于是()***A B AB =2.10 设是阶正定矩阵，则是正定矩阵.A *A 证 因为是阶正定矩阵，则，A n A A T =且的特征值又=，A ()n i i 2,1,0=>λ()()**T TA A =*A故为对称矩阵，且的特征值为*A *A ()n i Ai,,2,1,0 =>λ故为正定矩阵.2.11 若是正交矩阵，则是正交矩阵.A *A 证 因为是正交矩阵，则,12=A IA A T =于是()()()()()II AA AA A A A A A A A TTTT=====------1111211**故也是正交矩阵.*A 2.12 若矩阵与B 合同，且都可逆，则与合同.A B A ,*A *B 证 设存在可逆矩阵 （4）,P B AP P T = 又都可逆，对（4）取逆，则有B A ,()1111----=B P A P T即 （5）11--=B C A C T 其中()TP C 1-= 再对(4)取行列式有 （6）B A P =2则由（1）（5）（6）知 ()()11--=⋅⋅B B C P A A C P T即 **B Q A Q T =其中是可逆矩阵C P Q = 故 与合同*A *B 2.13 若矩阵与B 相似，且都可逆,则与相似.A B A ,*A *B 证 设存在可逆矩阵 ,P BAP P =-1 由 ，I B BB =* 有 1*-=B B B ()111---=APP AP P P A P A 11--=P A A P 11--=PA P *1-= 所以与相似.*A *B 2.14 若与相似，则与有相同的特征多项式，特征根，行列式，迹，*A *B *A *B 秩.2．15若与相似，且，都可逆，则与B 不一定相似. （与B 分*A *B *A *B A A 别为与的原矩阵）*A *B 证 因为与的秩都是，所以与都有个原矩阵（*A *B n *A *B 1-n ，，其中分别是，(),1*-=A A i α()1*-=B B iβ1,2,1-=n i i i βα,*A 的所有次方根.）*B 1-n 设秩且有原矩阵，由2.2知n A =*A ()1*-=A A A 由2.6知 即 .1*-=n AA 1*-=n A A 设的所有次方根，则有*A 1-n 121,,-n ααα (),1*-=A A i α1,2,1-=n i 同理B 也得证.所以与B 不一定相似.A 参考文献:[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007,6.[2]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社,2001,6(7).[3]刘学生.线性代数分析[M].北京：高等教育出版社，2005,1(10).[4]卢刚.线性代数(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003，7(1).The Relationship of Matrix and Adjoint MatrixZhang Ri lian 20091103344College of Mathematics Science, Mathematics and Applied Mathematics ，Class 2009Advisor Xiang HuaAbstract :This article gives a definition of adjoint matrix and summarizes some of its properties, adjoint matrix inverse, determinant, transpose, rank. And the relationship of matrix and the adjoint matrix, Two sufficient conditions for the adjoint matrix of similar.Key words : adjoint matrix, determinant, transpose, rank, similar matrix, positivelydefinite matrix。
关于伴随矩阵性质的探讨
关于伴随矩阵性质的探讨伴随矩阵，也称作伴随矩阵、伴随阵或伴随矩阵，是在线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论和线性代数中，对于任意一个n阶矩阵A，我们可以定义它的伴随矩阵Adj(A)，也表示为A*。
伴随矩阵的定义是：对于一个n阶矩阵A，它的伴随矩阵Adj(A)是一个n阶矩阵，它的每一个元素都等于A的代数余子式的代数余子式时，这个元素的行号与列号之和为偶数次时，其代数余子式乘以(-1)。
如果行号与列号之和为奇数次时，元素值不变。
伴随矩阵在许多应用中起着重要的作用，它有许多重要性质值得探讨。
1. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方乘以n-1的阶乘。
即det(A*) = det(A)^(n-1) * (n-1)!2. 如果一个矩阵A可逆，那么它的伴随矩阵也是可逆的，且(Adj(A))^-1 = (A^-1)*，其中A^-1表示A的逆矩阵。
3.如果一个矩阵A的伴随矩阵是可逆的，那么A也是可逆的。
这可以通过用伴随矩阵左乘A的逆矩阵来证明。
4.如果一个矩阵A是一个方阵，且它的伴随矩阵与A可交换（即A*·A=A·A*），那么A是一个可逆矩阵。
5.如果两个矩阵A和B的乘积等于一个单位矩阵I，那么它们的伴随矩阵也满足(A·B)*=B*·A*。
这个性质对于求解线性方程组等问题非常有用。
6.伴随矩阵的积与转置的关系：(A·B)*=B*·A*。
这个性质说明了两个矩阵相乘后的伴随矩阵等于倒序相乘后的伴随矩阵，即A和B的伴随矩阵相乘的结果等于B的伴随矩阵和A的伴随矩阵相乘的结果。
7. 伴随矩阵的伴随矩阵等于原矩阵的(n-2)次方乘以(n-2)的阶乘。
即(Adj(A)) = (Adj(Adj(A))) = A^(n-2) * (n-2)!通过以上性质的探讨，我们可以看到伴随矩阵在矩阵的求逆、线性方程组的求解等问题中起着重要的作用。
它可以帮助我们简化计算过程，快速得到结果。
伴随矩阵与伴随变换的定义与性质
伴随矩阵与伴随变换的定义与性质伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与伴随变换有着密切的关系。
本文将介绍伴随矩阵和伴随变换的定义与性质，并探讨它们在矩阵理论与线性变换中的应用。
一、伴随矩阵的定义给定一个n阶矩阵A=(a_ij)。
我们定义A的伴随矩阵Adj(A)为A的代数余子式矩阵的转置矩阵，即Adj(A) = (C_ij)T，其中C_ij是A的代数余子式。
二、伴随变换的定义根据伴随矩阵的定义，我们可以引入伴随变换的概念。
给定一个n 维向量空间V上的线性变换T，我们定义其伴随变换为V上的另一个线性变换T*，其中对于任意向量v∈V，有(T*v, u) = (v, T*u)，这里(u, v)表示内积。
三、伴随矩阵的性质1. 伴随矩阵的秩与原矩阵的秩相等。
证明：设A为一个n阶矩阵，rank(A)=r。
对于任意的n阶矩阵B，有rank(B)≥ rank(A)。
因此，我们只需证明rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。
首先，矩阵A的伴随矩阵的任意一列都可以由A的列向量线性表示，因此rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。
其次，由于A的伴随矩阵的每一行都由A的行向量线性表示，因此rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。
综上所述，rank(Adj(A)) ≤ rank(A)，即rank(Adj(A)) = rank(A)。
2. 伴随矩阵的秩与伴随变换的秩相等。
证明：对于伴随矩阵Adj(A)，我们可以定义一个新的线性变换T_1，其矩阵表示为Adj(A)。
根据伴随矩阵的定义，我们可以得到T_1为T的伴随变换。
根据伴随变换的定义，我们知道rank(T_1) = rank(T)。
同时，根据伴随矩阵的性质1，我们知道rank(Adj(A)) = rank(A)。
因此，我们有rank(T_1) = rank(Adj(A)) = rank(A)。
3. 伴随变换的伴随变换是原变换自身。
证明：设T为V上的一个线性变换，其伴随变换为T*。
伴随矩阵运算法则
伴随矩阵运算法则摘要：一、伴随矩阵的定义二、伴随矩阵的性质三、伴随矩阵的运算法则四、伴随矩阵的应用正文：伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、逆矩阵等密切相关。
伴随矩阵的运算法则可以帮助我们更好地理解这些概念，并在解决实际问题时发挥重要作用。
首先，我们需要了解伴随矩阵的定义。
伴随矩阵是一个与原矩阵相似的矩阵，它的元素是原矩阵的代数余子式。
具体来说，设A 是一个n 阶方阵，P 是A 的一个n 阶子矩阵，那么A 的伴随矩阵|A|P 是一个n 阶方阵，它的元素是P 的代数余子式。
伴随矩阵有许多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解矩阵的性质。
例如，伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，这意味着伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩。
另外，伴随矩阵的迹等于原矩阵的迹，这意味着伴随矩阵的主对角线元素之和等于原矩阵的主对角线元素之和。
伴随矩阵的运算法则包括矩阵乘法、矩阵加法、数乘等。
这些运算法则可以帮助我们在解决实际问题时更方便地使用伴随矩阵。
例如，如果我们想要计算一个矩阵的行列式，我们可以使用伴随矩阵的行列式公式来计算。
另外，如果我们想要计算一个矩阵的逆矩阵，我们可以使用伴随矩阵的逆矩阵公式来计算。
伴随矩阵在许多领域都有广泛的应用，例如线性方程组、二次型、特征值、特征向量等。
在解决这些问题时，伴随矩阵可以提供一种更简洁、更高效的计算方法。
例如，在解决线性方程组时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算方程组的解。
在解决二次型问题时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算二次型的标准型。
在解决特征值、特征向量问题时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算特征值、特征向量。
总之，伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、逆矩阵等密切相关。
伴随矩阵的原理及应用
伴随矩阵的原理及应用1. 伴随矩阵的定义伴随矩阵是指对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，也称为A的伴随矩阵或共轭矩阵。
伴随矩阵的大小与A的大小相同，但其中的每个元素都是A对应位置元素的代数余子式。
2. 伴随矩阵的计算方法伴随矩阵的计算方法有多种，其中比较常用的方法是利用矩阵的代数余子式进行计算。
具体的步骤如下： 1. 对于矩阵A中的每一个元素a[i][j]，计算其代数余子式M[i][j]； 2. 计算伴随矩阵中每个元素的值，即adj(A) = transpose(M)。
3. 伴随矩阵的性质伴随矩阵具有以下性质： - A与其伴随矩阵adj(A)相乘，得到的结果是行列式的倍数，即A * adj(A) = det(A) * I，其中I为单位矩阵； - 当矩阵A可逆时，其伴随矩阵adj(A)也可逆，并且(adj(A))^-1 = (1/det(A)) * adj(A)； - 若A为对称矩阵，则其伴随矩阵也是对称矩阵。
4. 伴随矩阵的应用伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：4.1 矩阵求逆伴随矩阵在矩阵求逆中起到关键的作用。
当矩阵A可逆时，可以利用伴随矩阵进行求逆运算。
具体步骤如下： 1. 计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)； 2. 计算矩阵A 的行列式det(A)； 3. 若det(A)不等于0，则矩阵A可逆，A的逆矩阵A^-1 =(1/det(A)) * adj(A)。
4.2 线性方程组的求解伴随矩阵在求解线性方程组中也有应用。
对于线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数项向量，可以利用伴随矩阵求解。
具体步骤如下： 1. 计算系数矩阵A的伴随矩阵adj(A)； 2. 计算系数矩阵A的行列式det(A)；3. 若det(A)不等于0，则方程组有唯一解，解为x = (1/det(A)) * adj(A) * b。
4.3 线性代数中的变换伴随矩阵在线性代数中也用于描述某些变换。
矩阵与它伴随矩阵的关系1
矩阵与它伴随矩阵的关系摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵1伴随矩阵的定义 设()nn ija A ⨯=,则它的伴随矩阵()n n ijb A ⨯=*,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式.2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则*11A AA =-. 2.3 ()()TTA A **=.证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1*-=T T T A A A =()TA A 1-另一方面， ()()TTA A A 1*-==()TA A 1-由上两式推出 ()()TTA A **=.2.4 ()()1**1--=A A .证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A AA A A 1111*1==---- 又由 E A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11 故 *A 也可逆，且()A AA 11*=- 从而 ()()1**1--=A A .2.5 ()*1*A a aA n -= (a 为实数).证 设()n n ij a A ⨯=，再设 ()()n n ij b aA ⨯=*，那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1*A a aA n -=.2.6 1*-=n AA ()2≥n .证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 11*--==n nAA A A当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A所以.0*=A 从而也有 1*-=n A A所以对任意n 阶方阵,A 都有.1*-=n AA2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A则秩0*=A .证 当秩,0≠⇒=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==nA I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=⇒-=A n A 0*==I A AA从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A当秩2-=n A ⇒0*=A 所以秩0*=A同理秩2-<n A 时,秩0*=A . 2.8 ()A AA n 2**-=.证 当秩n A =时，A A ,0≠可逆，用1-A 左乘（1）式两边可得1*-=A A A （1） 在（1）式中用A 换*A 得()()A A A A AA A A n n 211****1---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛== （2） 当秩1-≤n A 时，则秩0,1*=≤A A 从而秩()A AA n 2**0-== （3）综合（2）（3）两式，即证()A AA n 2**-=.2.9 若B A ,为n 阶可逆矩阵，则()***A B AB =.证 当()()n B r A r ==时，由()()**111*A B A A B B AB AB AB ===---当()1-<n A r 时，显然有()***0A B AB ==即 ()***A B AB =当(),1-=n A r 则存在初等矩阵,,,,11t s Q Q P P 使得 t s Q Q A P P A 111=这里().0,11-=n E diag A 直接验算可知，若P 是任意初等矩阵，C 是任意方阵，则 ()()*1*1***,CA C A P C PC ==于是()()[]*1121*B Q Q A P P P AB t s =()*1*112P B Q Q A P P t s ==()*1**11P P B Q Q A s t =()*1**1*1P P A B Q Q s t ==*1**1*1**P P A Q Q B s t =但是 *1**1*1*P P A Q Q s t()*1**1*1P P A Q Q s t =()*1*1*11P P Q Q A P s t s -==()*111t s Q Q A P P =*A = 于是 ()***A B AB =2.10 设A 是阶正定矩阵，则*A 是正定矩阵. 证 因为A 是n 阶正定矩阵，则A A T =，且A 的特征值()n i i 2,1,0=>λ又()()**T TA A ==*A ，故*A 为对称矩阵，且*A 的特征值为()n i Ai,,2,1,0 =>λ故为正定矩阵.2.11 若A 是正交矩阵，则*A 是正交矩阵. 证 因为是正交矩阵，则,12=A I A A T =于是()()()()()I I AA A A A A A A A A A TTTT=====------1111211**故*A 也是正交矩阵.2.12 若矩阵A 与B 合同，且B A ,都可逆，则*A 与*B 合同.证 设存在可逆矩阵,P B AP P T = （4） 又B A ,都可逆，对（4）取逆，则有()1111----=B P A P T即 11--=B C A C T （5） 其中 ()TP C 1-=再对(4)取行列式有B A P =2（6） 则由（1）（5）（6）知 ()()11--=⋅⋅B B C P A A C P T即 **B Q A Q T = 其中C P Q =是可逆矩阵 故 *A 与*B 合同2.13 若矩阵A 与B 相似，且B A ,都可逆,则*A 与*B 相似. 证 设存在可逆矩阵,P B AP P =-1 由 I B BB =* ，有1*-=B B B ()111---=AP P AP P P A P A 11--=P A A P 11--=P A P *1-=所以*A 与*B 相似.2.14 若*A 与*B 相似，则*A 与*B 有相同的特征多项式，特征根，行列式，迹，秩.2．15若*A 与*B 相似，且*A ，*B 都可逆，则A 与B 不一定相似. （A 与B 分别为*A 与*B 的原矩阵）证 因为*A 与*B 的秩都是n ，所以*A 与*B 都有1-n 个原矩阵（(),1*-=A A i α()1*-=B B i β，1,2,1-=n i ，其中i i βα,分别是*A ，*B 的所有1-n 次方根.）设秩n A =*且有原矩阵A ，由2.2知()1*-=A A A由2.6知 .1*-=n AA 即 1*-=n A A设*A 的所有1-n 次方根121,,-n ααα ，则有(),1*-=A A i α1,2,1-=n i同理B 也得证.所以A 与B 不一定相似.参考文献:[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007,6.[2]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社,2001,6(7). [3]刘学生.线性代数分析[M].北京：高等教育出版社，2005,1(10). [4]卢刚.线性代数(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003，7(1).The Relationship of Matrix and Adjoint MatrixZhang Ri lian 20091103344College of Mathematics Science, Mathematics and Applied Mathematics，Class 2009Advisor Xiang HuaAbstract:This article gives a definition of adjoint matrix and summarizes some of its properties, adjoint matrix inverse, determinant, transpose, rank. And the relationship of matrix and the adjoint matrix, Two sufficient conditions for the adjoint matrix of similar.Key words: adjoint matrix,determinant, transpose, rank, similar matrix, positively definite matrix。
伴随矩阵和原矩阵的行列式的关系
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伴随矩阵行列式的值和原矩阵的关系
伴随矩阵行列式的值和原矩阵的关系嘿，大家好，今天咱们聊聊一个看似有点复杂，但其实挺有意思的话题，那就是伴随矩阵和它的行列式之间的关系。
听起来像是数学课上老师的口吻，但别担心，咱们用轻松幽默的方式来搞定它。
准备好了吗？走起！什么是伴随矩阵呢？可以这么理解，伴随矩阵就像是一位忠诚的跟班，时刻跟随着原矩阵。
在数学的世界里，伴随矩阵是通过原矩阵的元素，经过一系列神奇的变换得到的。
就像你在厨房里做菜，原材料经过你的巧手变成美味的佳肴。
伴随矩阵的每个元素，都是通过原矩阵的行列式、余子式这些“秘方”调配而成的。
说白了，伴随矩阵是原矩阵的“影子”，也许不是那么显眼，但没有它，很多事情就难以进行。
咱们得聊聊行列式，听起来有点高大上，但其实它就是用来衡量矩阵特性的小工具。
它就像是一个“评委”，在给矩阵打分，看看它的“表现实力”。
行列式为零，意味着这个矩阵“没戏”，线性相关，一团糟；而不为零的矩阵，哇塞，那可是充满了无限可能，潜力无穷。
就像一颗璀璨的钻石，闪闪发光，值得你珍藏。
然后，咱们可以再深入一点。
伴随矩阵的行列式是如何与原矩阵的行列式产生微妙联系的呢？这里有个简单的公式：伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的 (n1) 次方，这里的 n 是矩阵的阶数。
听起来有点复杂，其实意思简单得很。
假设你的原矩阵是一条大鱼，行列式就是它的“体重”。
伴随矩阵就像是这条鱼的“鱼鳞”，表面看起来不那么重，但加起来，嘿，反而成了一种强大的力量。
再来个形象点的比喻吧。
想象你在打篮球，原矩阵就是你的运球能力，行列式则是你在场上的表现。
伴随矩阵就好比你的队友，虽然看起来只是辅助，但在关键时刻能够决定比赛的胜负。
当你运球技术好，队友跟得上，你们的配合简直天衣无缝，得分如探囊取物。
而如果你运球不利，队友们也没办法发挥，那可就惨了。
所以说，伴随矩阵和原矩阵的关系就像是相辅相成，缺一不可。
再说说实际应用，伴随矩阵在求逆的时候可是个大帮手。
大家都知道，求矩阵的逆可不是一件简单的事情，但有了伴随矩阵，那就像给你开了一扇窗，让光线洒进来。
伴随矩阵和原矩阵行列式的关系
伴随矩阵和原矩阵行列式的关系一、前言矩阵是线性代数中的重要概念，伴随矩阵作为一种特殊的矩阵，与原矩阵行列式有着密切的关系。
本文将从以下几个方面详细探讨伴随矩阵和原矩阵行列式的关系。
二、伴随矩阵的定义伴随矩阵是指一个n×n的方阵A，它的每个元素都是A的代数余子式，并且在计算每个代数余子式时，都需要将其所在行和列去掉后再计算。
伴随矩阵常用符号为adj(A)。
三、伴随矩阵和原矩阵行列式的关系1. 行列式定义在介绍伴随矩阵和原矩阵行列式之间的关系之前，我们先来回顾一下行列式的定义。
对于一个n×n的方阵A，它所对应的行列式记作det(A)，其定义如下：当n=1时，det(A)=a11；当n>1时，det(A)=∑(-1)i+jaijMij，其中i表示第i行，j表示第j列，Mij表示元素aij所在位置上除去第i行和第j列后所剩下的n-1阶行列式，即Mij=det(Aij)，其中Aij表示由A中除去第i行和第j列所得到的n-1阶子矩阵。
2. 伴随矩阵与原矩阵行列式的关系根据伴随矩阵的定义可知，对于一个n×n的方阵A，其伴随矩阵adj(A)也是一个n×n的方阵。
我们可以证明，当A可逆时，有以下公式成立：A^-1 = (1/det(A))adj(A)其中det(A)表示A的行列式。
这个公式表明了伴随矩阵和原矩阵行列式之间的关系。
具体来说，当原矩阵A可逆时，它的逆矩阵等于它的伴随矩阵除以其行列式。
四、证明为了证明上述公式成立，我们需要先证明以下两个引理：引理一：对于任意一个n×n的方阵A和它的伴随矩阵adj(A)，有det(A)×adj(A) = adj(A)×det(A) = A^T其中A^T表示A的转置矩阵。
引理二：若A可逆，则有det(A)≠0接下来我们分别证明上述两个引理。
1. 引理一证明我们先来证明det(A)×adj(A) = A^T。
伴随矩阵和原矩阵行列式的关系
伴随矩阵和原矩阵行列式的关系一、什么是伴随矩阵和行列式？1. 伴随矩阵伴随矩阵，也称作伴随阵或伴随矩阵，是一个和原矩阵具有特定关系的矩阵。
对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作Adj(A)，也可以表示为A*。
2. 行列式行列式是一个与矩阵相关的标量值。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
二、伴随矩阵和原矩阵行列式的关系伴随矩阵和原矩阵行列式之间存在着一定的关系。
下面我们将详细探讨这个关系。
1. 行列式的定义首先，我们来回顾一下行列式的定义。
对于一个2阶方阵A = [a11, a12; a21,a22]，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 - a12 * a21对于一个3阶方阵A = [a11, a12, a13; a21, a22, a23; a31, a32, a33]，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a12 * a21 * a33 - a11 * a23 * a32可以看出，在计算行列式的过程中，我们需要同时根据行和列的位置来确定每一项的符号。
2. 伴随矩阵的定义接下来，我们来定义伴随矩阵。
对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵Adj(A)的定义如下：Adj(A) = [C11, C12, …, C1n; C21, C22, …, C2n; …, Cn1, Cn2, …, Cnn]其中，Cij表示原矩阵A中元素aij的代数余子式。
代数余子式指的是在原矩阵的每个元素的位置上，划去所在行和所在列，剩下的n-1阶矩阵的行列式值。
3. 伴随矩阵和行列式的关系有了伴随矩阵的定义，我们可以得到一个结论：原矩阵A的行列式和其伴随矩阵的转置矩阵的乘积等于行列式的n次方。
即：det(A) * A* = A* * A = |A| * I其中，I表示单位矩阵。
伴随矩阵的行列式和原矩阵的关系证明
伴随矩阵的行列式和原矩阵的关系证明设A为一个n阶方阵，并假设其伴随矩阵为Adj(A)，那么根据伴随矩阵的定义，我们可以知道Adj(A)满足以下性质：1. Adj(A)与A的行列数相同；2. Adj(A)的第i行第j列元素等于A的第j列第i行元素的代数余子式，即Adj(A)的第i行第j列元素等于A的第j列第i行元素的代数余子式；3. Adj(A)的每一行元素分别等于A的每一列元素的代数余子式组成；4. 若A为可逆矩阵，则其伴随矩阵Adj(A)也是可逆矩阵，且有逆矩阵的关系：A^{-1} = \frac{1}{\text{det(A)}} \cdot \text{Adj}(A)。
我们要证明的是行列式与伴随矩阵之间的关系。
即要证明行列式的值等于伴随矩阵的每一行（或列）元素与A的对应行（或列）元素的乘积之和。
下面对该假设进行证明：设A的行列数为n，那么可以表示为A=(a_{ij})_{n\times n}，其中a_{ij}表示A的第i行第j列元素。
根据伴随矩阵的第3条性质，我们可以知道Adj(A)的第i行元素和第j列元素的乘积之和即为A的第j列元素与Adj(A)的第i行元素的代数余子式之和。
即有：Adj(A)_{ij} \cdot a_{ji} = \sum_{k=1}^n (-1)^{i+j} \cdot\text{det}(A_{kj}) \cdot a_{ji}，其中A_{kj}表示A去掉第k行第j列后的(n-1)阶子矩阵。
这里我们将等式的左边进行改写，得到：Adj(A)_{ij} \cdot a_{ji} = (-1)^{i+j}\cdot a_{ij} \cdot \text{det}(A_{ij})。
然后，我们对该等式进行求和：\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n Adj(A)_{ij} \cdot a_{ji} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \text{det}(A_{ij})。
逆矩阵与伴随矩阵的关系
逆矩阵与伴随矩阵的关系引言在线性代数中，矩阵是一个非常基础且重要的概念。
在矩阵的运算中，逆矩阵和伴随矩阵都扮演着重要的角色。
逆矩阵是矩阵中一个比较特殊的概念，它与原矩阵的乘积为单位矩阵，它的存在性及相关性质也受到广泛的关注。
伴随矩阵是一个与原矩阵有特定关联的矩阵，它具有一些独特的性质和应用。
本文将探讨逆矩阵与伴随矩阵的关系，包括它们的定义、性质以及它们之间的关联。
逆矩阵的定义在线性代数中，一个n x n的矩阵A称为可逆矩阵，如果存在一个n x n的矩阵B，满足以下条件： AB = BA = I 其中I表示n x n的单位矩阵。
如果矩阵A存在逆矩阵B，那么矩阵B也被称为矩阵A的逆矩阵。
逆矩阵的性质逆矩阵具有一些重要的性质，下面将介绍其中几个。
唯一性如果一个矩阵A存在逆矩阵B，那么B是唯一的。
换句话说，如果一个矩阵有逆矩阵，那么这个逆矩阵是唯一的。
乘法交换律如果矩阵A可逆，那么对于任意一个矩阵B，AB可逆且(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹。
逆矩阵的逆矩阵如果矩阵A可逆，那么它的逆矩阵B也是可逆的，且(B⁻¹)⁻¹ = A。
矩阵的转置如果一个矩阵A可逆，那么它的转置矩阵也可逆，且(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ。
伴随矩阵的定义在矩阵A中，将A的第i行第j列的元素的代数余子式（Algebraic Cofactor）记作A_ij，然后将这些代数余子式按一定顺序排列成一个新的n x n矩阵，这个新的矩阵被称为矩阵A的伴随矩阵（Adjoint Matrix），记作adj(A)。
伴随矩阵的性质伴随矩阵也有一些独特的性质，下面将介绍其中几个。
伴随矩阵与原矩阵的乘积如果一个矩阵A可逆，那么它的伴随矩阵adj(A)与A的乘积为： A × adj(A) = adj(A) × A = |A| I 其中|A|表示矩阵A的行列式。
伴随矩阵的转置矩阵A的伴随矩阵adj(A)的转置等于矩阵A的余子式矩阵。
矩阵的逆和伴随矩阵公式
矩阵的逆和伴随矩阵公式1. 引言嘿，大家好！今天咱们要聊聊一个看似高大上的话题——矩阵的逆和伴随矩阵。
这听起来可能有点晦涩，但其实，就像喝水一样简单。
你知道吗？在这个数学的世界里，矩阵就像是我们生活中的一面镜子，反射出各种复杂的关系和结构。
咱们从基本概念开始，逐步深入，就像攀登一座小山，风景逐渐美好起来！2. 矩阵的逆2.1 什么是逆矩阵？好吧，首先咱们得弄明白什么是逆矩阵。
简单来说，逆矩阵就像是一个“反派角色”，它能把原来的矩阵“抵消”掉。
比如说，如果有一个矩阵A，它的逆矩阵记作A⁻¹，那么当你把A和A⁻¹相乘时，得到的结果就是单位矩阵I，就像“1”这个数字的魔力。
想象一下，就像你吃了一碗麻辣火锅，过后来一杯酸奶，正好中和了辣味，好爽！2.2 如何计算逆矩阵？那么，逆矩阵怎么计算呢？别急，咱慢慢来。
首先，只有方阵（行数等于列数）才能有逆矩阵，条件可得多了。
接着，你可以用行列式来判断，行列式不为零时，矩阵才有逆。
计算方法有很多，最常见的就是用伴随矩阵。
记住，伴随矩阵就是把每个元素换成其余元素的“余子式”的转置，这一说法听上去复杂，但一旦搞懂，就如同“开窍”一样，豁然开朗。
3. 伴随矩阵3.1 伴随矩阵的定义伴随矩阵，这个词听起来是不是有点像“伴侣”？没错，伴随矩阵确实是与逆矩阵形影不离的好伙伴。
它帮助我们轻松找到逆矩阵的道路。
简单来说，伴随矩阵就是由原矩阵的每个元素的余子式构成的一个新矩阵，最后要转置。
听上去有点像做菜，先准备食材，再经过烹饪，最后上桌，色香味俱全！3.2 如何求解伴随矩阵？那么，怎么求伴随矩阵呢？第一步，你得找到每个元素的余子式，想象一下，把每个元素的“周围朋友”都找出来。
第二步，把这些余子式排列成新的矩阵。
最后，记得转置一下，换个位置，搭配得更加和谐。
这整个过程就像组团出游，找对了队友，大家一起欢乐出发，最终风景无限好！4. 实际应用4.1 逆矩阵和伴随矩阵的应用知道了逆矩阵和伴随矩阵的计算方式，那它们到底用来干嘛呢？在现实生活中，特别是在计算机科学、工程、经济学等领域，逆矩阵就像是万能钥匙，可以帮助我们解决各种线性方程组的问题。
矩阵伴随的公式
矩阵伴随的公式
摘要：
一、矩阵伴随的定义与性质
- 伴随矩阵的概念
- 伴随矩阵的性质
二、矩阵伴随的计算方法
- 伴随矩阵的计算公式
- 伴随矩阵与矩阵其他性质的关系
三、矩阵伴随在实际应用中的作用
- 矩阵求解问题
- 矩阵对角化问题
正文：
矩阵伴随是线性代数中一个非常重要的概念，它与矩阵的性质有着紧密的联系。
伴随矩阵可以看作是矩阵的一个“伴随”性质，它可以用来描述矩阵的某些特性，如矩阵的秩、行列式、逆矩阵等。
一、矩阵伴随的定义与性质
伴随矩阵的概念最早可以追溯到19 世纪，它是一个与给定矩阵相关的矩阵，具有如下性质：
- 伴随矩阵是一个方阵，其行数和列数与原矩阵相同；
- 伴随矩阵的元素是原矩阵元素的代数余子式；
- 伴随矩阵具有某些与原矩阵相同的性质，如行列式、秩、逆矩阵等。
伴随矩阵的性质是矩阵理论中的重要内容，它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质，进而解决一些实际问题。
二、矩阵伴随的计算方法
伴随矩阵的计算公式是：
A = |A|A
其中，|A|是矩阵A 的行列式，A是矩阵A 的逆矩阵。
伴随矩阵与矩阵的其他性质也有密切关系，例如，一个矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的秩，而伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩。
三、矩阵伴随在实际应用中的作用
伴随矩阵在实际应用中有着广泛的应用，例如：
- 在求解线性方程组时，伴随矩阵可以用来检验方程组的解是否正确；
- 在矩阵对角化问题中，伴随矩阵可以用来求解对角矩阵；
- 在计算机图形学中，伴随矩阵可以用来计算图形的旋转矩阵等。
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矩阵与它伴随矩阵的关系摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵1伴随矩阵的定义 设()nn ija A ⨯=,则它的伴随矩阵()n n ijb A ⨯=*,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式.2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则*11A AA =-. 2.3 ()()TTA A **=.证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1*-=T T T A A A =()TA A 1-另一方面， ()()TTA A A 1*-==()TA A 1-由上两式推出 ()()TTA A **=.2.4 ()()1**1--=A A .证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A AA A A 1111*1==---- 又由 E A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11 故 *A 也可逆，且()A AA 11*=- 从而 ()()1**1--=A A .2.5 ()*1*A a aA n -= (a 为实数).证 设()n n ij a A ⨯=，再设 ()()n n ij b aA ⨯=*，那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1*A a aA n -=.2.6 1*-=n AA ()2≥n .证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 11*--==n nAA A A当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A所以.0*=A 从而也有 1*-=n A A所以对任意n 阶方阵,A 都有.1*-=n AA2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A则秩0*=A .证 当秩,0≠⇒=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==nA I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=⇒-=A n A 0*==I A AA从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A当秩2-=n A ⇒0*=A 所以秩0*=A同理秩2-<n A 时,秩0*=A . 2.8 ()A AA n 2**-=.证 当秩n A =时，A A ,0≠可逆，用1-A 左乘（1）式两边可得1*-=A A A （1） 在（1）式中用A 换*A 得()()A A A A AA A A n n 211****1---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛== （2） 当秩1-≤n A 时，则秩0,1*=≤A A 从而秩()A AA n 2**0-== （3）综合（2）（3）两式，即证()A AA n 2**-=.2.9 若B A ,为n 阶可逆矩阵，则()***A B AB =.证 当()()n B r A r ==时，由()()**111*A B A A B B AB AB AB ===---当()1-<n A r 时，显然有()***0A B AB ==即 ()***A B AB =当(),1-=n A r 则存在初等矩阵,,,,11t s Q Q P P 使得 t s Q Q A P P A 111=这里().0,11-=n E diag A 直接验算可知，若P 是任意初等矩阵，C 是任意方阵，则 ()()*1*1***,CA C A P C PC ==于是()()[]*1121*B Q Q A P P P AB t s =()*1*112P B Q Q A P P t s ==()*1**11P P B Q Q A s t =()*1**1*1P P A B Q Q s t ==*1**1*1**P P A Q Q B s t =但是 *1**1*1*P P A Q Q s t()*1**1*1P P A Q Q s t =()*1*1*11P P Q Q A P s t s -==()*111t s Q Q A P P =*A = 于是 ()***A B AB =2.10 设A 是阶正定矩阵，则*A 是正定矩阵. 证 因为A 是n 阶正定矩阵，则A A T =，且A 的特征值()n i i 2,1,0=>λ又()()**T TA A ==*A ，故*A 为对称矩阵，且*A 的特征值为()n i Ai,,2,1,0 =>λ故为正定矩阵.2.11 若A 是正交矩阵，则*A 是正交矩阵. 证 因为是正交矩阵，则,12=A I A A T =于是()()()()()I I AA A A A A A A A A A TTTT=====------1111211**故*A 也是正交矩阵.2.12 若矩阵A 与B 合同，且B A ,都可逆，则*A 与*B 合同.证 设存在可逆矩阵,P B AP P T = （4） 又B A ,都可逆，对（4）取逆，则有()1111----=B P A P T即 11--=B C A C T （5） 其中 ()TP C 1-=再对(4)取行列式有B A P =2（6） 则由（1）（5）（6）知 ()()11--=⋅⋅B B C P A A C P T即 **B Q A Q T = 其中C P Q =是可逆矩阵 故 *A 与*B 合同2.13 若矩阵A 与B 相似，且B A ,都可逆,则*A 与*B 相似. 证 设存在可逆矩阵,P B AP P =-1 由 I B BB =* ，有1*-=B B B ()111---=AP P AP P P A P A 11--=P A A P 11--=P A P *1-=所以*A 与*B 相似.2.14 若*A 与*B 相似，则*A 与*B 有相同的特征多项式，特征根，行列式，迹，秩.2．15若*A 与*B 相似，且*A ，*B 都可逆，则A 与B 不一定相似. （A 与B 分别为*A 与*B 的原矩阵）证 因为*A 与*B 的秩都是n ，所以*A 与*B 都有1-n 个原矩阵（(),1*-=A A i α()1*-=B B i β，1,2,1-=n i ，其中i i βα,分别是*A ，*B 的所有1-n 次方根.）设秩n A =*且有原矩阵A ，由2.2知()1*-=A A A由2.6知 .1*-=n AA 即 1*-=n A A设*A 的所有1-n 次方根121,,-n ααα ，则有(),1*-=A A i α1,2,1-=n i同理B 也得证.所以A 与B 不一定相似.参考文献:[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007,6.[2]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社,2001,6(7). [3]刘学生.线性代数分析[M].北京：高等教育出版社，2005,1(10). [4]卢刚.线性代数(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003，7(1).The Relationship of Matrix and Adjoint MatrixZhang Ri lian 20091103344College of Mathematics Science, Mathematics and Applied Mathematics，Class 2009Advisor Xiang HuaAbstract:This article gives a definition of adjoint matrix and summarizes some of its properties, adjoint matrix inverse, determinant, transpose, rank. And the relationship of matrix and the adjoint matrix, Two sufficient conditions for the adjoint matrix of similar.Key words: adjoint matrix,determinant, transpose, rank, similar matrix, positively definite matrix。