系统函数零极点∽时域特性和稳定性

系统函数零极点∽时域特性和稳定性
②典型情况
ⅰ) pi =0（一阶）
j
h(t)
0
0t
1 h(t) u(t) s
pi =0 （二阶）
j
h(t)
0
0t
1 s2
h(t)
tu(t)
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
ⅱ) pi<0（实一阶）
j
a
0
h(t)
0t
1 eatu(t) sa
pi<0（实二阶）
j
a
即冲激响应h(t)绝对可积
证明：
r (t )
h(t) e(t)
当
h(t) dt M
充
e(t) M时e ，
分
性
r(t) h( ) e(t )d h( ) e(t ) d
h( ) M ed M e M M r
由BIBO可知系统稳定
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
r(t) e(t) h(t) h( )e(t )d
r(0) h( )e( )d h( ) d
若 h(t) dt无界,则r(0)也无界 对某种有界e(t )
(s
s a)2
2
eat (cost
a
sin t)
1
a2
2
e at
cos(t
)
只影响幅度、相位、不改变波形形式
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
二、H(s)极点与系统稳定性关系
1．稳定性：系统本身特性，与激励无关
时域和S域两方面出发：h(t)或H(s)集中表征了系统的本性， 当然它们也反映了系统是否稳定
系统稳定 h(t) dt有界
必 h(t) dt无界 系统不稳定
要
性 h(t) dt无界 至少对某种有界e(t), r(t)无界
1 h(t) 0 设：e(t) sgn[h(t)] 0 h(t) 0
1 h(t) 0
则 e(t) 1有界，e(t)h(t) h(t)
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
j
eat sint
(s a)2 2
2(s a) [(s a)2 2 ]2
teat
sin t
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
ⅵ) pi，pj共轭右半平面（一阶） pi，pj共轭右半平面（二阶）
j
h(t)
j
0 a 0
t
j
j
h(t)
j
0 a 0
j
t
(s a)2
2
eat
sin t
2(s a) [(s a)2 2 ]2
teat
sin t
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
总结： •极点左半平面→h(t)波形衰减
H (s)
•极点右半平面→h(t)波形增长 •虚轴上一阶极点→h(t)波形等幅振荡或阶跃
•虚轴上二阶或二阶以上极点→h(t)波形增幅振荡
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
3．H(s)零点对h(t)波形影响
[例2]： s a eat cost (s a)2 2
[例1]： ①
H
(s)
s[(s 1)2 (s 1)2 (s2
1] 4)
解：
极点：s = -1 （二阶） s = j2 （一阶） s = -j2（一阶）
j
j2
j1
零点：s = 0 （一阶） s = 1+j1（一阶） s = 1-j1 （一阶） s = ∞ （一阶）
1 0 1
j1
j2
复数极点 和零点成
2．h(t) 与系统稳定性关系
} lim h(t) 0
系统稳定
因果系统 h(t)=0
ltim h(t)
A或等幅振荡
系统临界稳定
(t<0)
t ltim
h(t)
不存在
系统不稳定
因果系统 的稳定性 划分
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
3．H(s)与系统稳定性关系
考察因果系统H(s)
全部极点s左半平面：
j
h(t)
Pi j
0 0
t
Pj j
s2
2
sint
pi，pj共轭虚轴（二阶）
j
h(t)
j
0 0
t
j
2s t sin t (s2 2)2
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
ⅴ) pi，pj共轭左半平面（一阶）
j
h(t)
j
a 0 0
t
j
pi，pj共轭左半平面（二阶）
j
h(t)
j
a 0 0
t
对出现
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
[例1]： ②
H (s)
s(s 2)(s 3) (s 1)2
解： ②
j
极点： s = -1 （二阶）
s = ∞ （一阶）
零点： s = 0 （一阶） 3 2 1 0
s = -2（一阶）
s = -3（一阶）
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2．H(s) 极点与 h(t) 波形特征关系
(s p1)K H(s) |sp1直到 K = n 时才为有限值：n 阶极点
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
④∞处： 分母次数 > 分子次数则为零点，阶次为分母次数减分子次数 分母次数 < 分子次数则为极点，阶次为分子次数减分母次数
注意：零、极点个数相同
⑤零极点图中：×表示极点；○表示零点
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
稳定
有极点s右半平面，或虚轴上二阶以上极点：不稳定
虚轴上极点均为一阶，其它s左半平面：
临界稳定
参见P210，表4-4；P212，表4-5
4．稳定系统的另一定义方法：BIBO方法(包括非因果系统)
e(t) Me r(t) Mr
有界输入 有界输出
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5. 稳定系统(包括非因果系统)充要条件： h(t) dt M
m
①
H (s)
K (s zj )
j 1
n
(s pi )
,
设
mp1
p2 n
pn
i 1
则：H (s)
n i 1
ki s pi
h(t)
n
hi (t)
i 1
n
ki e Pi t
i 1
故： pi e pit
若 pi为k阶极点，则 pi Ki1tk1 Ki2tk2
Ki(k1)t Kik e pit
0
h(t)
0t
(s
1 a)2
teatu(t)
起始增加，最终收敛
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ⅲ) pi>0（实一阶）
j
h(t)
a
0 0 t
1 eatu(t) sa
pi>0（实二阶）
j
h(t)
a
0
0t
(s
1 a)2
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teatu(t)
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ⅳ) pi, pj共轭虚轴（一阶）
§4.3 系统函数零极点∽时域特性和稳定性
一、系统函数H(s)零极点与h(t)波形关系
f(t)与 F(s) 之间存在一定对应关系，可从F(s)的典型 形式透视出f(t)内在性质
1．系统函数零极点概念
①极点：分母多项式之根
②零点：分子多项式之根 ③极点阶次：
lim H (s) ,
s p1
(s
p1)H (s) |s p1 有限值：一阶极点