高考名校数学(一模)百卷压轴题精选
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当 为增函数；
当 为减函数，
可知 有极大值为 …………………………..4分
（Ⅱ）欲使 在 上恒成立，只需 在 上恒成立，
（ⅲ）当 时，∵ ， ，∴ ，∴ .
∴ .
取 ，若存在 ，当来自百度文库时， ，则 .
∴ 矛盾.故不存在 ，当 时， .不满足条件.
综上所述：只有 时满足条件，故 .…………14′
5.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（文）22.】（本小题满分12分） 已知点A是抛物线y2＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝ ｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．
（Ⅱ）由 和 得 ……………………6分
……10分
………………………11分
当 或 时有 ，所以当 时有
同理可得：当 时有 ，所以当 时有 ………………………13分
综上：当 时有 ；当 时有 ………………………14分
1.【皖东十校09届第一次联考试卷数学（理）22】已知椭圆 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切.
（II）设 得x2+4k－2=0.
设Q（x1,y1）、R（x2,y2），则
, .消去x2，得 .
解得
4.【湖北省2009届高三八校联考第二次（理）21.】（本小题满分14分）已知数列 中， ， ，其前 项和 满足 .令 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求证： （ ）；
（Ⅲ）令 （ ），求同时满足下列两个条件的所有 的值：①对于任意正整数 ，都有 ；②对于任意的 ，均存在 ，使得 时， .
2.【江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷】（本小题满分16分）函数 其中 为常数，且函数 和 的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
（1）、求函数 的解析式
（2）、若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围。
【解析】：（1） ------2
的图像与坐标轴的交点为 ， 的图像与坐标轴的交点为
由题意得 即 ，------3
（I）求椭圆 的方程；
（II）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程；
（III）设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 求 的取值范围.
【解析】：（Ⅰ）∵
∵直线 相切，
∴ ∴ …………3分
∵椭圆C1的方程是 ………………6分
（2）由 ，得 ，显然直线 ， 的斜率都存在且都不为0.
设 的方程为 ，则 的方程为 .
由 得 ，同理可得 .……………8分
则
= .（当且仅当 时取等号）
所以 的最小值是8.……………………………………12分
6.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（理）22.】（本小题满分12分）
已知数列 满足
【解】（Ⅰ）由题意知 即 ……1′
∴
……2′
检验知 、 时，结论也成立，故 .…………3′
（Ⅱ）由于
故
.…………6′
（Ⅲ）（ⅰ）当 时，由（Ⅱ）知： ，即条件①满足；又 ，
∴ .
取 等于不超过 的最大整数，则当 时， .…9′
（ⅱ）当 时，∵ ， ，∴ ，∴ .
∴ .
由（ⅰ）知存在 ，当 时， ，
故存在 ，当 时， ，不满足条件.…12′
（1）求p的值；
（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦
的中点分别为G，H.求｜GH｜的最小值．
【解析】：
（Ⅰ）设 ，
因为抛物线的焦点 ，
则 .……………………………1分
，………2分
，而点A在抛物线上，
.……………………………………4分
又 故所求抛物线的方程为 .6分
又
------4
（2）由题意
当 时， -------6
令
------7
令 ------9
当 时，
单调递增。
------10
由 在 上恒成立，
得 ------12
当 时， ------13
可得
单调递增。------14
由 在 上恒成立，得 ------15
综上，可知 ------16
3.【湖南省长沙一中2008-2009学年高三第八次月考数学（文科）21．】（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），点P在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E，点M满足
（3）由（2）知 ，
所以 .……………………8分
此时 =
= ，……………………10分
=
> .……………………12分
7.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】（本题满分12分）【理科】已知函数
（I）求 的极值；
（II）若 的取值范围；
（III）已知
【解析】：（Ⅰ） 令 得 ……………2分
（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴动点M到定直线 的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线………………6分
∴点M的轨迹C2的方程为 …………9分
（Ⅲ）Q（0，0），设
∴
∵
∴
∵ ，化简得
∴ ………………11分
∴
当且仅当 时等号成立…………13分
∵
∴当 的取值范围是 ……14分
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点F（0， ），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且 求实数 的取值范围.
【解析】：（I）依题意，设P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）.
当t=0时，点M与点E重合，则M=（0，1）；
当t≠0时，线段OP的垂直平分线方程为：
显然，点（0，1）适合上式.故点M的轨迹方程为x2=－4(y－1)(－2≤x≤2)
2009年高考名校百卷压轴精选
数学（一模）专辑
AAA.【青岛市2009年高三教学统一质量检测（理）22．】（本小题满分14分）已知等比数列 的前 项和为
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ， 为数列 的前 项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论．
【解析】：（Ⅰ）由 得: 时， …2分
是等比数列， ，得 ……4分
（1）求 ；
（2）已知存在实数 ，使 为公差为 的等差数列，求 的值；
（3）记 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【解析】：22．解：（1） ，由数列 的递推公式得
， ， .……………………………………………………3分
（2）
=
= = .……………………5分
数列 为公差是 的等差数列.
由题意，令 ，得 .……………………7分
当 为减函数，
可知 有极大值为 …………………………..4分
（Ⅱ）欲使 在 上恒成立，只需 在 上恒成立，
（ⅲ）当 时，∵ ， ，∴ ，∴ .
∴ .
取 ，若存在 ，当来自百度文库时， ，则 .
∴ 矛盾.故不存在 ，当 时， .不满足条件.
综上所述：只有 时满足条件，故 .…………14′
5.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（文）22.】（本小题满分12分） 已知点A是抛物线y2＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝ ｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．
（Ⅱ）由 和 得 ……………………6分
……10分
………………………11分
当 或 时有 ，所以当 时有
同理可得：当 时有 ，所以当 时有 ………………………13分
综上：当 时有 ；当 时有 ………………………14分
1.【皖东十校09届第一次联考试卷数学（理）22】已知椭圆 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切.
（II）设 得x2+4k－2=0.
设Q（x1,y1）、R（x2,y2），则
, .消去x2，得 .
解得
4.【湖北省2009届高三八校联考第二次（理）21.】（本小题满分14分）已知数列 中， ， ，其前 项和 满足 .令 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求证： （ ）；
（Ⅲ）令 （ ），求同时满足下列两个条件的所有 的值：①对于任意正整数 ，都有 ；②对于任意的 ，均存在 ，使得 时， .
2.【江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷】（本小题满分16分）函数 其中 为常数，且函数 和 的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
（1）、求函数 的解析式
（2）、若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围。
【解析】：（1） ------2
的图像与坐标轴的交点为 ， 的图像与坐标轴的交点为
由题意得 即 ，------3
（I）求椭圆 的方程；
（II）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程；
（III）设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 求 的取值范围.
【解析】：（Ⅰ）∵
∵直线 相切，
∴ ∴ …………3分
∵椭圆C1的方程是 ………………6分
（2）由 ，得 ，显然直线 ， 的斜率都存在且都不为0.
设 的方程为 ，则 的方程为 .
由 得 ，同理可得 .……………8分
则
= .（当且仅当 时取等号）
所以 的最小值是8.……………………………………12分
6.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（理）22.】（本小题满分12分）
已知数列 满足
【解】（Ⅰ）由题意知 即 ……1′
∴
……2′
检验知 、 时，结论也成立，故 .…………3′
（Ⅱ）由于
故
.…………6′
（Ⅲ）（ⅰ）当 时，由（Ⅱ）知： ，即条件①满足；又 ，
∴ .
取 等于不超过 的最大整数，则当 时， .…9′
（ⅱ）当 时，∵ ， ，∴ ，∴ .
∴ .
由（ⅰ）知存在 ，当 时， ，
故存在 ，当 时， ，不满足条件.…12′
（1）求p的值；
（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦
的中点分别为G，H.求｜GH｜的最小值．
【解析】：
（Ⅰ）设 ，
因为抛物线的焦点 ，
则 .……………………………1分
，………2分
，而点A在抛物线上，
.……………………………………4分
又 故所求抛物线的方程为 .6分
又
------4
（2）由题意
当 时， -------6
令
------7
令 ------9
当 时，
单调递增。
------10
由 在 上恒成立，
得 ------12
当 时， ------13
可得
单调递增。------14
由 在 上恒成立，得 ------15
综上，可知 ------16
3.【湖南省长沙一中2008-2009学年高三第八次月考数学（文科）21．】（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），点P在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E，点M满足
（3）由（2）知 ，
所以 .……………………8分
此时 =
= ，……………………10分
=
> .……………………12分
7.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】（本题满分12分）【理科】已知函数
（I）求 的极值；
（II）若 的取值范围；
（III）已知
【解析】：（Ⅰ） 令 得 ……………2分
（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴动点M到定直线 的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线………………6分
∴点M的轨迹C2的方程为 …………9分
（Ⅲ）Q（0，0），设
∴
∵
∴
∵ ，化简得
∴ ………………11分
∴
当且仅当 时等号成立…………13分
∵
∴当 的取值范围是 ……14分
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点F（0， ），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且 求实数 的取值范围.
【解析】：（I）依题意，设P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）.
当t=0时，点M与点E重合，则M=（0，1）；
当t≠0时，线段OP的垂直平分线方程为：
显然，点（0，1）适合上式.故点M的轨迹方程为x2=－4(y－1)(－2≤x≤2)
2009年高考名校百卷压轴精选
数学（一模）专辑
AAA.【青岛市2009年高三教学统一质量检测（理）22．】（本小题满分14分）已知等比数列 的前 项和为
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ， 为数列 的前 项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论．
【解析】：（Ⅰ）由 得: 时， …2分
是等比数列， ，得 ……4分
（1）求 ；
（2）已知存在实数 ，使 为公差为 的等差数列，求 的值；
（3）记 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【解析】：22．解：（1） ，由数列 的递推公式得
， ， .……………………………………………………3分
（2）
=
= = .……………………5分
数列 为公差是 的等差数列.
由题意，令 ，得 .……………………7分