相似三角形-等积式-比例式工作单讲解学习

M

H F D C

A 相似三角形的判定——等积式、比例式证明技巧导学单

一、 预备知识：

1、“双垂直”指：“Rt △ABC 中，∠BCA=900，CD ⊥AB 于D ”，

结论： （1）△ADC ∽△CDB ∽△ACB （2）由△ADC ∽△CDB 得CD 2

=AD ·BD （3）由△ADC ∽△ACB 得AC 2=AD ·AB （4）由△CDB ∽△ACB 得BC 2

=BD ·AB

（5）由面积得AC ·BC=AB ·CD （6）勾股定理 …… 二、等积式、比例式证明的一般技巧

相关题：如图，M 是平行四边形ABCD 的对角线BD 上的一点，射线AM 交BC 于F,交DC 的延长线于点H 。求证：AM 2=M F ·MH

思路：根据基本图形寻找“中间比” （一）遇到等积式（或比例式）时，直接利用“左看、右看、上看、下看”，看是否能找到相似三角形。

1、已知：如图，△ABC 中，DA 平分∠BAC=,CD=CE 。求证：AB ·AE=AC ·AD 。

策略1：先把等积式转化为比例式；再观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形；最后找这两个三角形相似所需的条件.

A

E

D C B

（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似。如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。

2．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB 的延长线于F。求证：。

策略2：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果.

（三）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，也没有等线段代换或等比代换.

3、如图，⊿ABC中,AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB交BP延长线于F,求证：BP2=PE·PF.

F

策略3：

若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，也没有等线段代换或等比代换.则需要添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。