作业1数学建模,姜启源版
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
姜启源数学建模资料
姜启源数学建模资料简单的优化模型3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型生猪的出售时机森林救火最优价格3.5 血管分支3.6 消费者均衡3.7 冰山运输<i>姜启源数学建模资料</i>静态优化模型现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数不是函数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法<i>姜启源数学建模资料</i>问题3.1存贮模型配件厂为装配线生产若干种产品，配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费件生产准备费已知某产品日需求量元每日每件1元试安排该产品的生产计划，每日每件元。
试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
),每次产量多少一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
不只是回答问题，而且要建立生产周期、要不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
求需求量、准备费、贮存费之间的关系。
<i>姜启源数学建模资料</i>问题分析与思考日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件元。
件准备费日需求元贮存费每日每件1元每天生产一次，每次每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费件无贮存费，准备费5000元。
元每天费用5000元元每天费用10天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次1000件，贮存费件贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计元，准备费元总计9500元。
元平均每天费用950元元平均每天费用50天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次5000件，贮存费件贮存费4900+4800+…+100 =*****元，准备费元准备费5000元，总计元总计*****元。
姜启源 数学模型第五版-第1章
1.3
问题
建模示例之一 包饺子中的数学
通常，1kg馅, 1kg面, 包100个饺子. 今天，馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完.
应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)？
分析
直观认识——“大饺子包的馅多”! 但是：“用的面皮也多”!
需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.
C
C´ B´ B A´
O
A
x
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型建立
地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 椅子旋转900, 对 角线AC和BD互换 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0 g(0)=0，f(0) > 0， f(/2)=0, g(/2)>0.
不平的地面上的椅子， 通常三只脚着地—— 放不稳！ 挪动几下，使四只脚着地——椅子放稳！
讨论椅子能放稳的条件.
椅子能在不平的地面上放稳吗
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
模型建立
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性. 用表示椅子位置. 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数. 四个距离 (四只脚) 对称性 两个距离
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤 模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.
数学模型(姜启源 第三版第一章)
1、举出两三个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型等。
2、从下面不大明确的叙述中确定要研究的问题，要考虑哪些有重要影响的变量：（1）一家商场要建一个新的停车场，如何规划照明设施；（2）一农民要在一块土地上作出农作物的种植规划；（3）一制造商要确定某种产品的产量及定格；（4）卫生部门要确定一种新药对某种疾病的疗效；（5）一滑雪场要进行山坡滑道和上山缆车的规划。
3、怎样解决下面的实际问题。
包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、实验以及建立什么样的数学模型等。
（1）估计一个人体内血液的总量；（2）为保险公司制定人寿保险金计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）；（3）估计一批日关灯管的寿命；（4）确定火箭发射至最高点所需的时间；（5）决定十字路口黄灯亮的时间长度；（6）为汽车租凭公司制订车辆维修、更新和出租计划；（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划。
4、在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余不变。
试构造模型并了解。
5、模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除了需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当下人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河的方案，并使渡河次数尽量地最少。
6、利用1.5节表1和表3给出的1790—2000年美国实际人口资源建立下列模型：（1）分段的指数增长模型。
将时间分为若干段，分别确定增长率r ；（2）阻滞增长模型。
换一种方法确定固有增长率r 和最大容量m x 。
7、说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表为0()()1mr t t x x t e --=+，其中是人口增长出现拐点的时刻，并说明0t 与，r ，m x 的关系。
8、假定人口的增长服从这样的规律：t 时刻的人口为()x t ，到t t +∆时间内人口的增量与()m x x t 成正比（其中m x 为最大容量）。
数学模型课后答案姜启源
数学模型课后答案姜启源【篇一：姜启源《数模》习题选解】方案模型构成：以阈值0,1分别标记“不在”和“在”，记第k次渡河前此岸的人阈值为xk，猫阈值为yk，鸡阈值为zk，米阈值为wk，将四维向量sk=(xk,yk,zk,wk)定义为状态，xk,yk,zk,wk=0,1。
安全渡河条件下的状态集合为允许状态集合，记作s。
以穷举法得到s：s={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),( 0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)} 记第k次渡船上四个对象（人、猫、鸡、米）的阈值分别为ak,bk,ck,dk，并将四维向量ek=(ak,bk,ck,dk)定义为决策。
允许决策集合记作e={(a,b,c,d)|0≤b+c+d≤1，a=1，b,c,d=0,1}因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以，状态sk随决策ek变化的规律是sk+1=sk+(-1)kek该式称状态转移律，该问题就转换成多步决策模型：求决策∈?? ??=1,2,?,?? ，使状态∈??按照转移律，由初始状态s1=(1,1,1,1)经有限步n到达状态sn+1=(0,0,0,0)。
模型求解：本解答试尝用图解法，由于无法利用平面来表达四维坐标系，所以采取其投影即三维空间的方法来构建模型。
把人的阈值xk抽离出来，分别标记0系坐标系（即当xk=0时，(yk,zk,wk)的空间坐标），和1系坐标系，可允许状态点如下标示（红色点）：由于a=1是恒成立的，所以，决策是0系坐标系和1系坐标系的点集间的连接，而非任意坐标系内部的连接。
如图1所示，两正方体中心重合，且对应顶点的连线通过中心，称为二合正方体（四维空间不具有包性，即a/b两正方体并没有包含的关系）。
二合正方体的一个顶点为（a,b），称为共顶点，即二合正方体共有8个共顶点。
数学模型姜启源第四版答案
数学模型姜启源第四版答案【篇一：姜启源数学模型课后答案(3版)】t>第二章(1)（2008年9月16日）1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法；（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑n=10的分配方案，3p1?235,p2?333,p3?432, ?pi?1000.i?1方法一（按比例分配）q1?p1n3?2.35,q2?p2n3?3.33, q3?p3n3?4.32?i?1pi?i?1pii?1pi分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：n1?2,n2?3, n3?4第10个席位：计算q值为 q1?23522?3?9204.17, q2?33323?4?9240.75, q3?43224?5?9331.2q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5方法三（d’hondt方法）此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）.pinipinipini是每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近.中选较大者，可使对所有的i,尽量接再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ?vdt?2?k?(r?wkn)dntn22) ?t?2?rkvn??wkv2n.2第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v、s、?的关系.解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0，其量纲表达式为: [p]=ml2t?3, [v]=lt量纲矩阵为：?2?1????3(p)10?1(v)200(s)?3?(l)?1(m)? ?0?(t)(??1,[s]=l2,[?]=ml?3,这里l,m,t是基本量纲.a=齐次线性方程组为：?2y1?y2?2y3?3y4?0??0 ?y1?y4??3y?y?012?它的基本解为y?(?1,3,1,1)由量纲pi定理得 ??p?1v3s1?1，?p??v3s1?1 ，其中?是无量纲常数. 16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=lm0t-1，[?]=l-3mt0，[?]=mlt-2（lt-1l-1）-1l-2=mll-2t-2t=l-1mt-1，[g]=lm0t-2,其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为?1?0?a=???1(v)?310(?)?11?1(?)1?(l)?0(m)? ?2?(t)?(g)齐次线性方程组ay=0 ，即? y1-3y2-y3?y4?0??0 ?y2?y3?-y-y-2y?034?1的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲pi定理得 ??v?*?3?1?g. ?v???g?，其中?是无量纲常数.16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[?]=lmt ，[g]=lmt 其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为?1?0a=????1(v)100(?)?310(?)?11?1(?)1?(l)?0(m)? ?2?(t)?(g)-1-3-2-1-1-1-2-2-2-1-1000-2齐次线性方程组ay=0 即 ?y1?y2?3y3?y4?y5?0?y3?y4?0 ???y1?y4?2y5?0?的基本解为??y1?(1,???y2?(0,??)2 1,?1,1,?)22231,0,0,?1得到两个相互独立的无量纲量 ??1?v??1/2g?1/2??3/2?1?1/2??g??2??即 v??g?1,?3/2?g1/2??1??2. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2)3/2?1?1? ??g?(??g1/2??1) , 其中?是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为f(t,l,m,g,k)?0其量纲表达式为：[t]?lmt,[l]?lmt,[m]?lmt,[g]?lmt?2,[k]?[f][v]?1?mlt?2(lt?1)?1?lmt0?1，其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为?0?0a=???110001010?20?(l)?1(m)? ??1?(t)(t)(l)(m)(g)(k)齐次线性方程组y2?y4?0??y3?y5?0 ??y?2y?y?045?1的基本解为11?y?(1,?,0,,0)?122 ?11?y2?(0,,?1,?,1)22?得到两个相互独立的无量纲量?tl?1/2g1/2??1?1/2?1?1/2k??2?lmg∴t?lg?1, ?1??(?2), ?2?klmg1/21/2klmg1/21/2∴t?lg() ，其中?是未定函数 .考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为l?gkl?1/21/2t,t；l,l;m,m. 又t??(m?g)当无量纲量?l?l时，就有t?t?l?g?gl?l?l.《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．【篇二：数学建模陈东彦版课后答案】t>2.9-3.7 3.6-5.144.1-7.14.4-7.35.9-11.1 5.1-9.1 6.5-4.7 6.10-4.14第1章建立数学模型1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。
数学模型姜启源答案
数学模型姜启源答案【篇一：姜启源课后习题】xt>第1章建立数学模型1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。
（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河？1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。
问怎样过河？1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？1.6 某城市的logistic模型为dn11dt?25n?25?106n2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。
设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。
当t??时发生什么情况。
1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t的人口为x(t)，最大允许人口为xm，t到t??t时间内人口数量与xm?x(t)成正比。
试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。
1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。
水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。
如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？第2章初等模型2.1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。
数学模型第四版课后答案姜启源版
《数学模型》作业答案第二章(1)（2012年12月21日）1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，,432 ,333 ,235321===p p p ∑==31.1000i ip方法一（按比例分配） ,35.23111==∑=i ipNp q ,33.33122==∑=i ipNp q 32.43133==∑=i ipNp q分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4 ,3 ,2321===n n n第10个席位：计算Q 值为,17.92043223521=⨯=Q ,75.92404333322=⨯=Q 2.93315443223=⨯=Q3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.iin p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i ii n p尽量接近.再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得⎰⎰+=ntdn wkn r k vdt 0)(2π)22 2n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n vk w n v rk t ππ+=∴《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：kr rT c T c T C ++=2)(212221r c Tc dT dC+-= 令0=dTdC， 解得 r c c T 21*2= 由rT Q = ， 得212c rc rT Q ==**与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),( 2223322221222TkQ rT Q c r c rT Q c T c T C--+--=∂∂Tk rT Q c c rT Qc Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00QCTC， 得到驻点：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c krc c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：贮存费为 ∑⎰=→∆⋅-==∆i Ti i t TT r k c dt t g c t g c 1022022)()()(limξ又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =0 , ∴ 贮存费变为 kTT r k r c 2)(2⋅-=于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTr k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=k r k r c Tc dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC令, 得)(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )(221r k r c kc T -=*rc c ，Tr k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况.∞→≈*，Tr k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的. 总费用函数()xc b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b kc b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t TT t <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,20,21又 t q t q β+=0)(.于是总利润为[][]⎰⎰--+--=22221121)()()()(),(TTT dt bp a t q p dt bp a t q p p p=22)(022)(20222011T Tt t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+---)(2)822(12011bp a TT T q T p b p -+---=∂∂β )(2)8322(22022bp a TT t q T p b p -+---=∂∂β 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为⎰⎰+-=-+-=20221210)(2)()(TTT p p bTaT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(m ax 2022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=t s . 021)(2Q p p bTaT =+-利用拉格朗日乘数法，解得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=880201TbT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）;每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++=令0=dTdC， 解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小. 又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100kk T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k)(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克,B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝702l925002+-=TdT dC以及x=0,y=0组成的凸四边形区域直线l ：20x+30y=c 在可行域内平行移动.易知：当l 过1l 与2l 的交点时，S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩⎨⎧==510y x此时 m ax S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为211020 m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,13522445212121这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211=+x x l1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.2ll1x1l2x易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+1202410032y x y x 解得⎩⎨⎧==2020y x .m ax S ＝320220⨯+⨯＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σσ1)(,10=s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至.∞s（2）.)()(,10∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ解：传染病的SIR 模型（14）可写成⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i s dtds s i dt diλσμ)1(.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dtdsi s dt ds λ.)(∞s t s 单调减少至故（1）.s s(t) .s(t) .100≤∴单调减少由若σs;)(,0 .01,10单调增加时当t i dtdis s s ∴-σσ.)(,0.01,1单调减少时当t i dtdis s ∴-σσ .0)(lim .0)18(t ==∞→∞t i i 即式知又由书上.)( .0,1m i t i dtdis 达到最大值时当∴==σ（2）().0 0.1-s ,1,10 dtdit s s σσσ从而则若()().0.0lim ==∴∞∞→i t i t i t 即单调减少且4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即 第五章2（2008年11月14日）6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为()(),,0t x t f 中心室药量为()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e VDt C V D C t f -===解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vkk t e Vkk t C t k kt kt,10 ,10(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010tk eD k t f -=()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=---010101001 ,,01k k te V kD k k e e k k V D k t C kt t k kt3种情况下的血药浓度曲线如下：第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ求./21Q Q Q 和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.解)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯-⨯---e e e e ba vaw Q v bl a vl β ()10/10==l M w 其中，()()97628571.0502002.008.0212===⨯----ee Q Q vl b β(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-vbl a e b a v aw Q '103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--vbl a v ble e b a v aw Q 1'21'04 .256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.043111'1'≈--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--e e e e e e e e e e e e e e e e Q Q v abl v bl v abl v bl v bl a v bl v bl a vbl 44.235,84.29543≈≈ ＱQ4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a A ab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxr ay dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即《数学模型》作业解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h Nxrx x F --=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由()0=x F ，得0)1(=--h Nxrx ． 即()102=+-h rx x Nr )4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， (1)的解为：2412,1N rNhN x -±=①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点；②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为20N x =. Nrxr N rx N x r x F 2)1()('-=--=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x F --= ，即0 dtdx ．∴0x 不稳定；③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：2411N rNhN x --=， 2412N rNh N x -+=易知：21N x <， 22N x > ，0)(1'>x F ，0)(2'<x F ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.(2)最大持续产量的数学模型为⎩⎨⎧=0)(..max x F t s h 即 )1(max Nxrx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =， 但2*0N x =这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x >，且尽量接近2N ，但不能等于2N ． 2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()xNrx t x ln '=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x ．解：()t x 变化规律的数学模型为()Ex xNrx dt t dx -=ln 记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴r ENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.②最大持续产量的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h 由前面的结果可得 rE ENeh -=r Er Ee r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0． 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*0x .解：10．)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即02=+-h rx x Nr ----（1）Ex()x f)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点； ② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定； ③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.20．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max Nx rx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N.《数学模型》第七章作业（2008年12月4日）1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）2． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++)()2(111k k k k k y h x x x f y 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到⎪⎩⎪⎨⎧>-=->-+-=-+++)2( 0, )()1( 0),2(0010101 ββααy y x x x x x y y k k k k k 由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β （1）代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ 0012222 x x x x x k k k αβαβαβ+=++∴++对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时，则有特征根在单位圆外，设8<αβ，则248)()4(2222,1αβαβαβαβλ=+-+= 2 12,1<⇔<∴αβλ即平衡稳定的条件为2 <αβ与207P 的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=->-+-=--+++)5( 0 , )2()4( 0),2(01010101ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6），得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=-++++)2()2()(20101203x x x x x x x x k k k k k ααβ 001234424 x x x x x x k k k k αβαβαβαβ+=+++∴+++对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23=+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且42 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++424321133221321αβλλλαβλλλλλλαβλλλ 对（7）作变换：,12αβμλ-=则,03=++q p μμ其中 )6128(41 ),122(412233322αββαβαβααβ+-=-=q p 用卡丹公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--+++-=+--+++-=+--+++-=33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2p q q w p q q w p q q w p q q w pq q p q q μμμ 其中,231i w +-=求出321,,μμμ，从而得到321,,λλλ，于是得到所有特征根1<λ的条件.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00 ααx x y y k k --=- ----------------------（1）0,)2(0101 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2）从上述两式中消去k y 可得,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ 8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3）（1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．《数学模型》作业解答第八章（2008年12月9日）1． 证明8.1节层次分析模型中定义的n 阶一致阵A 有下列性质： （1） A 的秩为1，唯一非零特征根为n ； （2） A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A 满足ik jk ij a a a =⋅，n k j i ,,2,1,, =于是对于任意两列j i ,，有ij jkika a a =，()n k ,,2,1 =.即i 列与j 列对应分量成比例. 从而对A 作初等行变换可得：∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−00000011211 n b b b A 初等行变换B 这里0≠B .()1=∴B 秩，从而秩()1=A再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P ，使B PA =，于是∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--0000001121111 n c c c BP PAP C 易知C 的特征根为0,,0,11 c （只有一个非零特征根）.又A ～C ，A ∴与C 有相同的特征根，从而A 的非零特征根为11c ，又 对于任意矩阵有()n a a a A Tr nn n =+++=+++==+++111221121 λλλ.故A 的唯一非零特征根为n .（2）对于A 的任一列向量()Tnk k k a a a ,,,21 ，()n k ,,2,1 =有()()T nk k k nk k k n j nkn j k n j k n j jk nj n j jk j n j jk j Tnk k k a a a n na na na a a a a a a a a a a a a A ,,,,,,2121112111121121 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑======A ∴的任一列向量()Tnk k k a a a ,,,21 都是对应于n 的特征向量.7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton 图.其一个有向Hamilton 圈为332541→→→→→.所以此竞赛图是双向连通的.32154→→→→13542→→→→42135→→→→→→→41325→等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0011110100000010110001010A令()Te 1,1,1,1,1=，各级得分向量为()()TAe S 3,2,1,2,21==， ()()()TAS S 5,4,2,3,412==，()()()TAS S 9,7,4,6,723== ， ()()()TAS S 17,13,7,11,1334==由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.注：给5位网球选手排名次也可由计算A 的最大特征根λ和对应特征向量S 得到：8393.1=λ，()TS 2769.0,2137.0,1162.0,1794.0,2137.0=数学模型作业（12月16日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层准则层方案层2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n 阶正负反阵A 为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：1--=n nCI λ．n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为：A 的最大特征根λ=n ．第九章（2008年12月18日）1．在1.9节传送带效率模型中,设工人数n 固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．解：两种情况的钩子数均为m 2．第一种办法是m 2个位置，单钩放置m 2个钩子；第二种办法是m 个位置，成对放置m 2个钩子．① 由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=nm n m D 21112 当mn2较小，1 n 时，有()m n m n n m n m D 41181211122--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≈E D -=1 ， mnE 4≈② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m 个钩对．任一只钩对被一名工人接触到的概率是m1； 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m11-；记mq m p 11,1-==．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空的概率为nq ，其空钩的数为m 2；任一钩对上只挂上１件产品的概率为1-n npq ，其空钩数为m ．所以一个周期内通过的m 2个钩子中，空钩的平均数为 ()1122--+=⋅+⋅n n n nnpq q m npqm q m于是带走产品的平均数是 ()122-+-n n npqq m m ， 未带走产品的平均数是 ()()122-+--n n npq q m m n ）∴此时传送带效率公式为()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=--1111112222'n n n n m m n m n m n npq q m m D ③ 近似效率公式：由于 ()()()321621121111m n n n m n n m n m n----+-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()()2112211111mn n m n m n --+--≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ∴ ()()26211'm n n D ---≈当1 n 时，并令'1'D E -=，则 226'mn E ≈ ④ 两种办法的比较：由上知：mnE 4≈，226'm n E ≈∴ mn E E 32/'=，当n m 时，132 m n， ∴ E E '．所以第二种办法比第一种办法好．《数学模型》作业解答第九章（2008年12月23日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r 是一随机变量，其概率分布如下表：试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)？ 解：设每天订购n 百份纸，则收益函数为⎩⎨⎧≤--+=n r n nr r n r r f 7))(4(7)( 收益的期望值为G(n) =∑=-n r r P n r 0)()411(+∑∞+=1)(7n r r P n现分别求出 n =5,4,3,2,1,0时的收益期望值. G(0)=0；G(1)=4-×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (05.08⨯-25.0141.03⨯+⨯+))1.015.035.0(14++⨯+8.11=; G(3)=(05.012⨯-35.02125.0101.01⨯+⨯+⨯-))1.015.0(21+⨯+4.14= G(4)=(05.016⨯-15.02835.01725.061.05⨯+⨯+⨯+⨯-)1.028⨯+15.13=G(5)=05.020⨯-1.03515.02435.01325.021.09⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 25.10= 当报童每天订300份时，收益的期望值最大.数模复习资料第一章1. 原型与模型原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型, 按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.模型⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧数学模型如地图、电路图符号模型如某一操作思维模型抽象模型如某一试验装置物理模型如玩具、照片等直观模型形象模型2. 数学模型对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型. 例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式22dt xd mF =来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口()t N 随时间t 自由增长过程的微分方程()()t rN dtt dN =. 3. 数学建模所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.数学建模过程流程图为：4.数学建模的步骤依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用 5.数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：a. 按模型的应用领域分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧再生资源利用模型水资源模型城镇规划模型生态模型环境模型（污染模型）交通模型人口模型b. 按建模的数学方法分类数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧规划论模型概率模型组合数学模型图论模型微分方程模型几何模型初等数学模型c. 按建模目的来分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧控制模型决策模型优化模型预报模型分析模型描述模型d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验e.n 阶正互反正A 是一致阵的充要条件为A 的最大特征值为nf.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB 与CD 的对称轴为x 轴，用中心点的转角θ表示椅子的位置.将相邻两脚A 、B 与地面距离之和记为)(θf ;C 、D 与地面距离之和记为)(θg .并旋转0180.于是，设,0)0(,0)0(=g f 就得到()()0,0=ππf g .数学模型：设()()θθg f 、是[]π2,0上θ的非负连续函数.若[]πθ2,0∈∀,有。
2000年全国数学建模C题
第31卷第1期2001年1月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l131 N o11 Jan.2001 5 模型的评价(略)参考文献:[1] 姜启源1数学模型(第二版)1北京:高等教育出版社,19931[2] 同济大学数学教研室1高等数学(第四版)1北京:高等教育出版社,19961[3] 武汉测绘学院控制测量教研室等1控制测量学(下册)1北京:测绘出版社,19951[4] 孔祥元,梅是义1控制测量学1北京:测绘出版社,19951[5] 杨 珏,梅是义1控制测量学1北京:测绘出版社,19951The mathematical M odels of Fly i ng over the North Pole ZHON G Y in2hua, L I L i2jun, ZHAN G Q in(L ianyungang Co llege of Chem ical T echno logy,L ianyungang 222001)Abstract: T h is paper in tends to exp lain the p rob lem of saving fligh t ti m e by fou r hou rs, w h ich is converted in to the p rob lem of the fligh t distance in a con stan t flying speed.U nder these conditi on s,tw o m athem atical models are estab lished.(1)In the spherical model,the direct relati on betw een the fligh t distance and the latitude and longitude are clarified by app lying the know ledge of geom etry.Fo r the model of revo lving elli p so id,the Bessel T heo ry is app lied to w o rk ou t the app rox i m ate fo rm u la,by w h ich the fligh t ti m e is calcu lated fo r saving41041 hou rs.(2)A si m p le cu rve is con structed,w h ich is adop ted as the app rox i m ate fligh t distance.By the app licati on of in tegrati on,2fo rm u lae,app rox i m ate and accu rate,are estab lished so the fligh t ti m e save410535and410531hou rs,respectively.T he calcu lati on resu lts exp lain the p rob lem of fligh t ti m e.飞 越 北 极何永强, 陆新根, 沈重欢指导老师: 数模组(浙江万里学院,宁波 315101)编者按: 若将地球视作旋转椭球,飞机的航线应为长、短半轴分别为6388和6367千米的椭圆旋转而得的旋转椭球面上过给定两点的短程线即测地线.本文应用微分几何知识,给出了测地线满足的微分方程,并借助数学软件求得多数航线段的长度.该方法有一定的特点,是可取的.我们选取了论文的这一部分内容,予以发表.若使计算更加精确,应将地理纬度转化为归化纬度(详见本期《飞越北极的数学计算模型》一文).摘要: 本文对“飞机从北京出发、飞越北极直达底特律的所需时间,可比原航线节省多少时间”的问题进行讨论,并将航线选择归结为寻求曲面上的最短弧.应用“曲面上最短弧为测地线”的事实进行了讨论.模型(一)假设地球是球体,我们可通过单位向量的点乘与夹角的关系,加以解决;对于模型(二)设地球是旋转椭球体,我们利用微分几何学中测地线方程加以解决,并且把球面的纬度转化为旋转椭球面纬度.对于4组较特殊的点,纬度几乎相等或相近,或者两者之间的经度差过大时,用测地线计算比较困难,我们用椭圆弧(长)代替测地线长,结合数学软件M athem atica 的数值积分功能,可求得测地线长.1 问题的重述(略)2 模型一(略)3 模型二311 假设(1)地球为旋转椭球体;(2)为简化模型,设赤道半径+飞行高度为单位长度1;(3)所给纬度为理想球面上的纬度;(4)从北京到底特律中途不需加油.312 参数说明a :为子午线半径与飞行高度之和跟赤道半径与飞行高度之和的比值(a =6367 6388);Η:为经度数值,单位为度;Υ:为纬度数值,单位为度;L :为弧长,单位为公里.313 模型解答首先,飞机的航线一定是曲面上两点(站)之间的最短曲线,那么航线的问题可以归结为求测地线及其弧长的问题.根据[1]中定理2114,“在曲面上两点间的最短曲线C 必为测地线”,用参数曲面方程来表示旋转椭球体可表示为[详见[2]P 169]:r ο=(ΛCo s Η,ΛSin Η,f (Λ))其中Λ=1 1+tg 2Υ a 2,(因为tg Υ=f (u ) u =a 1-u 2 u ,因为都是北纬,tg Υ取正数值).因为椭圆上的标准式为:u21+f 2(u )a2=1,f 2(u )=(1-u 2)a 2,故: f ′(u ) =au 1-u 2,于是,曲面的第一基本形式为:I =[1+f ′2(u )]d u 2+u 2d Η2[详见书[2]P 169例题或该书第三章第三节]其中E =1+f ′2(u );F =0(正交);G =u 2.若在曲面上有一条曲线C ,它的方程是关于参数t 的函数:u =u (t );Η=Η(t );(t 0≤t ≤t 1)则它的弧长公式就为:1111期何永强等:飞越北极L=∫t1t0E(u(t),Η(t))d u d t2+G(u(t),Η(t))dΗd t212d t 令u=tΗ=Η(u),则dΗd t=dΗd u;L=∫u u01+f′2(u)+u2dΗd u212d u=∫u u01+(au)21-u2+u2dΗd u212d u(1) 根据[2]P170公式(10),测地线满足下面方程:dΗd u =c1+(f′(u))2u u2-c2=c1+(au)21-u2u u2-c2(c:为常数)(2)把(2)代入(1)式得L m in=∫u u01+(au)21-u2+c21+(au)21-u2u2-c212d u(3) 现在,我们先来确定常数c.由(2)式得Η=c1+∫u u0c1+(f′(u))2u u2-c2d u 取u=u0,c1=Η0,所以Η=Η0+∫u u0c1+(f′(u))2u u2-c2d u=Η0+∫u u0c1+(au)21-u2u u2-c2d u其中u=1 1+tg2Υ a2(Υ是纬度).特别当u=u1时,Η=Η1,于是有方程Η1=Η0+∫u1u0c1+(au)2 1-u2u u2-c2d u 因为,各点的Η、Υ的值是确定.于是,可以通过M athem atica数学软件中的F indRoo t 命令输入式,可得以下数据:常数 C 单位椭球时的弧长L′弧长L(单位:公里)北京→A10.371057L′1=0.174480L1=1114.58A1→A20.786575L′2=0.275349L2=1758.93A2→A30.600374L′3=0.723465L3=4621.49A3→A40.350192L′4=0.209363L4=1337.41A4→A50.417523L′5=0.100230L5=640.27A5→A60.304690L′6=0.084212L6=537.946A6→A70.314597L′7=0.101895L7=650.903A7→A80.489572L′8=0.0778326L8=497.195因为其余四组:A8→A9,A9→A10,A10→底特律,北京→底特律之间的纬度相等或相近,或者两者之间的经度差过大,经过计算验证,上述方法对此四组数据无法处理,所以在计算此四组数据时,由于测地线计算的困难,我们考虑经过两点、以球心为中心的椭圆,并以两211数 学 的 实 践 与 认 识31卷点间的椭圆弧(长)代替测地线(长).椭圆弧长设球面上两点(向量)A =(x ,y ,z ),B =(x 3,y 3,z 3),则连接它们的大圆圆弧的方程为r ο(t )=t A ψ+(1-t )B ψ t A ψ+(1-t )B ψ (0≤t ≤1)即r ο(t )=tx +(1-t )x3t A ψ+(1-t )B ψ ,ty +(1-t )y3t A ψ+(1-t )B ψ ,tz +(1-t )z3t A ψ+(1-t )B ψ 曲线C 的弧长公式为L ′=∫1x ′(t )2+y ′(t )2+z ′(t )2 下面的映射将球面变成旋转椭球面,(x ,y ,z ) →(x ,y ,az ).如图,球面上点的纬度7和变换后旋转椭球面上点的纬度Υ满足7=arctg (tg Υ a ),而经度不变.由球面曲线的弧长公式,可得旋转椭球的弧长公式为L =∫1x ′(t )2+y ′(t )2+(az ′(t ))2d t 利用M athem atica 软件的数值积分功能,可得单位弧长L ′弧长L (单位:公里)A 8 A 9L ′9=0.0356*******L 9=227.695A 9 A 10L ′10=0.4397685785L 10=2809.24A 10 底特律L ′11=0.05091055547L11=325.217北京 底特律L ′=1.669532606L =10665.0 综上所述,可得从北京飞经十站到底特律的距离为:S =611i =1L i =1452019(公里),因此可得节约时间为:31935小时.314 模型二的总结由计算可知,模型二所得结果比模型一更为合理,所节约时间更多,更符合实际情况.如考虑中途停靠加油,所节约时间将不止此数.参考文献:[1] 方德值.微分几何基础,科学出版社,1984.[2] 陈维桓.微分几何初步.北京大学出版社,1999.[3] 陈省身,陈维桓.微分几何讲义.北京大学出版社,1999.[4] M artin M ,杨正清、李世杰、黄锦能译.微分几何的理论和习题.上海科学技术出版社,1989.Fly over the Arctic C irellH E Yong 2qiang , LU X in 2gen , SH EN Chong 2huan(Zhejiang W an li U n iversity ,N ingbo 315101)3111期何永强等:飞越北极第31卷第1期2001年1月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l131 N o11 Jan.2001 Abstract: A s to the p rob lem of the ti m e needed fo r an airp lane to start from Beijing,fly overarctic po le,and reach D etro it,th is article discu sses how m uch ti m e can be saved in the modelsthat estab lished in the article in comparison w ith the o riginal fligh t rou te.A nd it summ arizesselecti on of the fligh t rou te fo r search ing the sho rtest arc in the su rface.D iscu ssi on is based onthe fact that the sho rtest arc on su rface is geodesic.M odel1is on the assump ti on that theEarth is a sphere.It can be so lved by the relati on betw een inner2p roduct and included angle oftw o un it vecto rs.M odel2is on the assump ti on that the Earth is a revo lving elli p so id.It can beso lved by the geodesic equati on in differen tial geom etry,w h ich tu rn s latitude of the Earth in tothat of elli p so id.Fo r the4pairs of special po in ts,their latitudes o r longitudes are too clo se tocalcu late geodesic,so w e rep lace geodesic w ith elli p se arc,and u se softw are M athem atica toob tain the length.航程计算的数学模型谭永基(复旦大学,上海 400433)摘要: 本文对飞机航线飞行距离计算的数学模型进行了概述,并对2000年全国大学生数学建模竞赛的C题答卷进行了评述.假定飞机保持飞行高度10千米作匀速飞行,忽略起飞、降落和地球自转和公转的影响, C题可以归结为求飞越通过指定各点的球面或旋转椭球面上的短程线(或测地线)的航线与飞越直接连结北京上空10千米至底特律上空10千米的经过北极圈的新航线的时间差.又由于假设飞机作时速为980千米 小时的匀速飞行,问题又可归结为求相应的航程差.1 地球为球体的情形取直角坐标系如下:以球心为原点,z轴指向北极,x轴通过赤道上经度为0°和180°的两点,正向指向0°,y轴垂直于x轴和z轴,构成右手坐标系.在半径r=6381(千米)的球面上建立球面坐标系(Υ,Η),由于航线在北半球,我们取Υ和北纬度一致,Η和东经度一致.因此航线上某处的地理坐标为(f,l),可用以下方法得到对应的球面坐标(Υ,Η):Υ=f×Π 180Η°=l,l为东经360-l,l为西经Η=Η°×Π 180应有。
数学建模姜启源统计回归模型
区间 [7.8230，8.7636]
yˆ 8.3272 (百万支)
yˆ 0 ˆ1x1 ˆ2x2 ˆ3x22 ˆ4x1x2
区间 [7.8953，8.7592]
yˆ 略有增加
预测区间长度更短
两模型yˆ 与x1,x2关系的比较
Stats~ 检验统计量
R2,F, p
R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
结果分析 y 0 1x1 2 x2 3x22
参数
0 1 2 3
参数估计值 17.3244 1.3070 -3.6956 0.3486
置信区间 [5.7282 28.9206] [0.6829 1.9311 ] [-7.4989 0.1077 ] [0.0379 0.6594 ]
若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握 知道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上
模型改进 y 0 1x1 2 x2 3x22
x1和x2对y 的影响独立
参数
0 1
参数估计值 17.3244 1.3070
置信区间 [5.7282 28.9206] [0.6829 1.9311 ]
• 对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价
销售 周期
1 2 29 30
本公司价 格(元) 3.85 3.75 3.80 3.70
数学建模的基本方法 机理分析 测试分析
数学模型姜启源初等模型
空艇重w0(kg)
种类 1 2 3 4 平均 (米) (米) l/b 浆手数n
单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 0.293 27.0 16.3
双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 0.356 27.4 13.6 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 0.574 21.0 18.1 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 0.610 30.0 14.7
“2秒准则”应修正为 “t 秒准
车速（英里/小则时”） 0~10
10~40 40~60
t（秒）
1
2
3
60~80 4
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2.5 划艇比赛的成绩
问
对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立
题 数学模型揭示这种关系。
赛艇 2000米成绩 t (分) 艇长l 艇宽b
车速 (英里/小时) (英尺/秒)
20
29.3
30
44.0
40
58.7
50
73.3
60
88.0
70
102.7
80
117.3
实际刹车距离 （英尺） 42（44） 73.5（78） 116（124） 173（186） 248（268） 343（372） 464（506）
计算刹车距离 （英尺） 39.0 76.6 126.2 187.8 261.4 347.1 444.8
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右轮转速不是常数
模型假设 • 录像带的运动速度是常数 v ； • 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； • 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； • 空右轮盘半径记作 r ； • 时间 t=0 时读数 n=0 .
《数学模型》(第五版)-姜启源-第2章
初等模型
• 研究对象的机理比较简单
• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的
可以利用初等数学方法来构造和求解模型
如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果
差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
第
二
章
初
等
模
型
双层玻璃窗的功效
划艇比赛的成绩
实物交换
汽车刹车距离与道路通行能力
外
T2
墙
T1 Ta
Ta Tb k Tb T2
Q1 k1
k2
1
d
d
l
T1 T2
k1
l
Q1 k1
, sh , h
d ( s 2)
k2
d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2
T1 T2
Q1 k1
Q2 k1
d ( s 2)
2d
室
内
T1
2d
Q2
Q1
1
l
, h
Q2 8h 1
d
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
减少97%的热量损失.
结果分析
Q1/Q2
0.06
0.03
0.02
O
2
4
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系
数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
vm
vm=vf/2 ~最大流量时的速度
0
km
kj
密度k
0
数学模型作业(1-2周)(姜启源第三版)
对长方形椅子在地面上可放稳的证明问题背景问题来自于书本1.3案例一，椅子由正方形一般化为矩形。
建模准备1. 椅子旋转方式：椅子四脚构成矩形ABCD ，以垂直于平面ABCD ，且经过对角线AC ，BD 交点O 的直线为旋转轴；且旋转仅在平面ABCD 上进行；2. (),()f g θθ意义同前；模型假设与1.3案例一相同。
模型建立与求解()f θ与()g θ均为连续函数。
且由于任何时刻均有三脚着地，即()f θ与()g θ至少有一个为零，故()()0f g θθ•=恒成立。
不失一般性，假设在初始时刻AC 着地，即(0)0f =。
因此，对角线BD 只要沿旋转轴旋转AOB ∠即可保证BD 着地，不失一般性，可假设此时旋转角为2πα+，(0)2πα<<（如图1），此时()02g πα+=，()02f πα+≥。
因此证明归结为证明以下数学命题：已知(),()f g θθ为连续函数，对任意(0,)θπ∈，有()()0f g θθ•=；且(0)0f =，(0)0g ≥，()02g πα+=，()02f πα+≥，(0,)2πα∈，0θ∃,s.t.00()()0f g θθ==.证明：构造函数()()()F f g θθθ=-，易知()F θ连续而(0)(0)(0)0F f g =-≤且()()()0222F f g πππααα+=+-+≥ 由连续函数介值性定理，0(0,)2πθα∃∈+，0..()0s t F θ= 且00000()()0()()()0f g F f g θθθθθ•=⎧⎨=-=⎩00()()0f g θθ⇒==进一步研究还有一种简便证明如下：按照上述旋转规则，椅子四脚在一个圆周上运动（如图二），假设椅子的D 脚一直不着地，则ABC 三脚运动至D 脚位置也会不着地，这与假设三矛盾，因此在圆周上必有一位置使得椅子四脚同时着地。
（图一，图二均在背面）人猫鸡米渡河问题研究问题重述人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
数学模型姜启源课件第一章
数学模型姜启源课件第一章1. 引言数学模型是数学和实际问题之间的桥梁，通过建立合适的数学模型，我们可以更好地理解和解决实际问题。
本课程旨在介绍数学模型的基本原理和方法，帮助学生学习如何应用数学模型来解决实际问题。
在本章中，我们将首先介绍数学模型的基本概念和分类。
然后，我们将讨论数学模型的建立过程和解决方法。
最后，我们将通过几个具体案例来说明数学模型在实际问题中的应用。
2. 数学模型的概念和分类2.1 数学模型的定义数学模型是利用数学语言和符号来描述和分析实际问题的工具。
它可以是一个公式、一个方程、一个图表或者更复杂的数学结构。
数学模型能够将实际问题的复杂性简化，并提供一种定量的方法来研究问题。
2.2 数学模型的分类数学模型可以根据其特征和用途进行分类。
常见的数学模型分类包括：•线性模型：模型中的变量和参数之间的关系为线性关系。
•非线性模型：模型中的变量和参数之间的关系为非线性关系。
•离散模型：模型中的变量和参数取有限个或可数个值。
•连续模型：模型中的变量和参数可以取任意实数值。
•动态模型：模型中的变量和参数随时间变化。
•静态模型：模型中的变量和参数不随时间变化。
3. 数学模型的建立过程3.1 问题的描述数学模型的建立首先需要明确问题的目标和约束条件。
问题描述应该清晰明确，包含必要的数据和信息。
3.2 变量的选择通过分析问题，确定和描述影响问题的因素。
这些因素可以成为模型中的变量，用来表示问题的不同方面和特征。
3.3 建立数学关系根据变量的选择，建立模型中各变量之间的数学关系。
这些关系可以通过物理定律、统计分析或者经验公式来确定。
3.4 模型的求解利用数学工具和方法，对建立的数学模型进行求解，得到问题的解析解或数值解。
求解过程中需要考虑求解方法的合理性和稳定性。
4. 数学模型的求解方法4.1 解析解法解析解法是指通过数学推导和计算，得到数学模型的解析表达式。
这种方法可以提供问题的准确解，但通常只适用于简单的数学模型。
数学建模课件(姜启源)第一章 建立数学模型
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
1.4
•机理分析
数学建模的方法和步骤
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0
t
x (t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
模型求解
• 穷举法 ~ 编程上机
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
y 3 2 1 0 1 2 3 x
• 图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
数学建模第二版姜启源
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
常用的计算公式 k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) x0 dt
x(t t ) x(t ) rt x(t )
数学 建模
建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、检验等）
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的，
根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
19世纪后人口数据
人口增长率r不是常数(逐渐下降)
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
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实验一动力系统一、实验目的与要求掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势。
通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型。
1、用Excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证；2、用Excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析；3、用Excel求解动态系统模型并估计均衡点；4、用Excel分析多元动态系统模型。
二、实验内容Example 1.1 P9 研究课题第一题随着汽油价格的上涨，今年你希望买一辆新的（混合动力）汽车。
你把选择范围缩小到以下几种车型：2007Toyota Camry混合动力汽车2007Saturn混合动力汽车2007Honda Civic混合动力汽车2007Nissan Altima 混合动力汽车2007Mercury Mariner混合动力汽车。
每年公司都向你提供如下的“优惠价”。
你有能力支付多达60个月的大约500美元的月还款。
采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车。
混合动力汽车“优惠价”（美元）预付款（美元）利率和贷款持续时间Saturn 22045 1000 年利率5.95%，60个月Honda Civic24350 1500年利率5.5%，60个月Toyota Camry26200 750年利率6.25%%，60个月Mariner27515 1500年利率6%%，60个月Altima24900 1000年利率5.9%%，60个月解答如下，对五家公司分别建立动力系统模型：Saturn:Δb n=b n+1-b n=0.0595b n-6000b n+1= b n+0.0595b n-6000b0=21045Honda Civic:Δb n=b n+1-b n=0.055b n-6000b n+1= b n+0.055b n-6000b0=22850Toyota Camry: Δb n=b n+1-b n=0.0625b n-6000b n+1= b n+0.0625b n-6000b0=25450Mariner:Δb n=b n+1-b n=0.06b n-6000b n+1= b n+0.06b n-6000b0=26015Altima: Δb n =b n+1-b n =0.059b n -6000b n+1= b n +0.059b n -6000 b 0=23900Excel 操作步骤：1．打开excel 表格，输入如下表格:：2．用智能标识把月份从0拉到5：3.在B 5 输入= B 4+0.0595B 4-6000，回车后下拉即可可到序列B=(16297.18, 11266.86, 5937.238,…)。
同理在D,F,H,J 行输入，得到如下表格：4． 在插入→图表→XY 散点图，选中数据格就可得出下表： （1）选中A1到B9的数据，建立散点图，得到Saturn 表：Saturn-10000-500005000100001500020000250000123456月份余额Saturn 余额（2）选中C1到D9的数据，建立散点图，得到Honda Civic 表：Honda Civic-500005000100001500020000250000123456月份余额Honda Civic 余额（3）选中E1到F9的数据，建立散点图，得到Toyota Camry 表Toyota Camry0500010000150002000025000300000123456月份余额Toyota Camry 余额（4）选中G1到H9的数据，建立散点图，得到Mariner 表Mariner0500010000150002000025000300000123456月份余额Mariner 余额（5）选中I1到J9的数据，建立散点图，得到Altima 表Altima-50000500010000150002000025000300000123456月份余额Altima 余额由图可知：Saturn 表的线最早与X 轴相交，故我们可以得出应当购买Saturn 公司的汽车。
Example 1.2 P16 习题第二题下列数据表示从1790到2000年的美国人口数据 Yearpopulation Year Population Year Population 1790 3,929,000 1870 38,558,000 1940 131,669,000 1800 5,308,000 1880 50,156,000 1950 150,697,000 1810 7,240,000 1890 62,948,000 1960 179,323,000 1820 9,638,000 1900 75,995,000 1970 203,212,000 1830 12,866,000 1910 91,972,000 1980 226,505,000 1840 17,069,000 1920 105,711,000 1999 248,710,000 1850 23,192,000 1930122,755,0002000281,416,000186031,443,000求出能够相当好地拟合该数据的动力模型，通过画出模型的预测值和数据值来测试你的模型。
解答如下：首先均差计算公式可得下列差分表divided difference table均差Year Observed population∆2∆3∆4∆1790392,9001800530,800 13,79018107,240,000 670,920 32856.518209,638,000 239,800 -21556-1813.75183012,866,000 322,800 4150856.866766.76542 184017,069,000 420,300 487524.16667-20.8175 185023,192,000 612,300 9600157.5 3.333333 186031,443,000 825,100 1064034.66667-3.07083 187038,558,000 711,500 -5680-544-14.4667 188050,156,000 1,159,800 22415936.537.0125 189062,948,000 1,279,200 5970-548.167-37.1167 190075,995,000 1,304,700 1275-156.59.791667 191091,972,000 1,597,700 14650445.833315.05833 1920105,711,000 1,373,900 -11190-861.333-32.6792 1930122,755,000 1,704,400 16525923.833344.62917 1940131,669,000 891,400 -40650-1905.83-70.7417 1950150,697,000 1,902,800 505703040.667123.6625 1960179,323,000 2,862,600 47990-86-78.1667 1970203,212,000 2,388,900 -23685-2389.17-57.5792 1980226,505,000 2,329,300 -2980690.166776.98333 1990248,709,873 2,220,487 -5440.64-82.0212-19.3047 2000281,416,000 3,270,613 52506.271931.56450.33962根据excel中“工具→数据分析→回归”，可得如下图像50,000,000100,000,000150,000,000200,000,000250,000,000300,000,0000510152025系列1多项式 (系列1)模型：y = 670127x 2 - 3E+06x + 8E+06Example 1.4 P50 第四题假定斑点猫头鹰的主要食物来源是单一的食饵：老鼠。
生态学家希望预测在一个鸟兽类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平。
令 M n 表示 n 年后老鼠的种群量， On 表示 n 年后斑点猫头鹰的种群量。
生态学家提出了下列模型： Mn+1=1.2Mn-0.01OnMn On+1 =0.7On+0.002OnMn生态学家想知道在栖息地两个种群能否共存以及结果是否对起始种群量敏感。
(a) 比较上面模型中系数的正负号和例 3 中猫头鹰-模型中系数的正负号。
依次解释正在建模的捕食者——食饵关系中四个系数 1.2、-0.01、0.7 和 0.002 的正负号的意义。
(b) 对下列表中初始种群数量进行检验并预测其长期行为：猫头鹰 老鼠 猫头鹰 老鼠 情况 A 150 200 情况 C 100 200 情况 B 150150300情况 D1020(c) 现在利用给定的起始值对不同的系数的值做实验，然后再试不同的起始值。
长期行为是怎样的你的实验结果是否表明模型对系数是敏感的是否对起始值敏感？解答如下：（a）1.2和0.7分别是老鼠和猫头鹰增长率，都是正常数。
猫头鹰的存在是为了降低老鼠的增长率，反之亦然。
OnMn为两种生物竞争的激烈程度。
-0.001的负号表示随着竞争激烈程度的增加，老鼠的数目不断减少。
0.002的正号表示随着竞争激烈程度的增加，猫头鹰的数目不断增加。
（b）平衡点：如果把（M,O）成为平衡点，那么必须同时有M=Mn+1=Mn和O= On+1= On,把它们带入模型给出0=M*(0.2-0.001*O)0=0*(-0.3+0.002*M)平衡点的意义:第一个方程表明如果M=0或O=200，那么老鼠的种群量没有变化。
第二个方程表明如果O=0或M=150，那么斑点猫头鹰的种群量没有变化。
如下图（1）所示在（M,O）=(0,0)和（M,O）=(150,200)处于平衡点，因为两个种群的种群量在这两个点都没有变化。
Excel操作步骤：1.打开excel表格，输入如下表格:2．用智能标识把天数从2拉到30：3.在B4输入=0.7*B3+0.002*B3*C3回车后下拉即可可到序B=(200,200,200…)。
在C4输入=1.2*C3-0.001*B3*C3回车后下拉即可可到序B=(150,150,150…)。
得到如下表格：4．在插入→图表→XY散点图，选中数据格就可得出下表：选中A1到C32的数据，建立散点图，得到平衡表：平衡0501001502002505101520253035天数生物的数目猫头鹰老鼠（图1）图1：如果老鼠的种群量从150开始而猫头鹰的种群量从200开始，那么这两个种群都停留在它们的起始值处。