非线性度变换的描述函数法分析
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非线性环节的描述函数
在满足上述条件下，应用傅里叶级数，可得出其描述函数。
描述函数的推导
输入为： X (t) X sint
非线性环节传递函数的傅立叶级数的形式为：
y(t)
A0 2
Ai cost
i 1
Bi
sint
A0 2
Yi sint
i 1
i
式中系数为：
Ai
1
2
y(t) costdt,i 0,1.....
0
对于非线性控制系统的描述函数分析方法，常用的是负倒
描述函数：
1
1
e jN ( X )
N(X) | N(X)|
2.典型非线性环节的描述函数
1.饱和非线性的输入输出特性如左图，在正弦信号下的输 出波形如右图。
根据傅立叶级数，由y(x)是奇函数，有A1=0
B1 1
2 y(t) sin t 4
2k
arc
sin(
a
)
a
1
a
2
X X X
1 轨迹
N(X )
2k arcsin a a
1
a
2
2
X X X
非线性特性
描述函数N(X)表达式
k
2
arcs in(1
2a ) X
2(1
2a ) X
a X
(1
a X
)
j
4ka (
X
a X
1)
1 轨迹
N(X )
sin 1 a
X
代入上式有：
Y1
B1
kX 2
s in 1
a X
a X
1
a
2
X
描述函数的推导
输入为： X (t) X sint
非线性环节传递函数的傅立叶级数的形式为：
y(t)
A0 2
Ai cost
i 1
Bi
sint
A0 2
Yi sint
i 1
i
式中系数为：
Ai
1
2
y(t) costdt,i 0,1.....
0
对于非线性控制系统的描述函数分析方法，常用的是负倒
描述函数：
1
1
e jN ( X )
N(X) | N(X)|
2.典型非线性环节的描述函数
1.饱和非线性的输入输出特性如左图，在正弦信号下的输 出波形如右图。
根据傅立叶级数，由y(x)是奇函数，有A1=0
B1 1
2 y(t) sin t 4
2k
arc
sin(
a
)
a
1
a
2
X X X
1 轨迹
N(X )
2k arcsin a a
1
a
2
2
X X X
非线性特性
描述函数N(X)表达式
k
2
arcs in(1
2a ) X
2(1
2a ) X
a X
(1
a X
)
j
4ka (
X
a X
1)
1 轨迹
N(X )
sin 1 a
X
代入上式有：
Y1
B1
kX 2
s in 1
a X
a X
1
a
2
X
第二节 描述函数法
第二节 描述函数法
18
作业：7-1(b)
2020/10/18
第二节 描述函数法
19
(A )
2020/10/18
第二节 描述函数法
16
2) 非线性环节的串联 当两个非线性环节串联，其总的描述函数不等于两个非
线性环节描述函数乘积。
非线性环节串联
必须首先求出这两个非线性环节串联后的等效非线性特性， 然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。 例7-2 求下图所示两个非线性环节串联总的描述函数N(A)。
一、描述函数的概念
针对一任意非线性系统，设输入x(t)=Asinωt,输出波形为
y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n 1
2020/10/18
第二节 描述函数法
2
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt)
N ( A) N1( A) N2( A)
2020/10/18
第二节 描述函数法
12
3、组合非线性特性的描述函数
当非线性系统中含有两个或两个以上线性环节时： 一般不能按照线性环节的串并联方法求总的描述函数； 应按非线性的并联、串联方法计算。
1）非线性特性的并联 设系统中有两个并联的非线性环节，其非线性特性都是
A
AA A A A
2020/10/18
第二节 描述函数法
9
⑦ 非线性增益I 非线性特性
描述函数
N ( A)
k2
2
(k1
k2 )[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
描述函数法
系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时， 其输出出现切顶，变成与输入同频率的 周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加， 其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章 控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非 线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙 等非线性现象。所谓线性系统只是在一定 的工作范围内，非线性的影响很小，以致 可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统， 可采用第二章所述的线性化方程解决非线 性问题；但也有一定数量的非线性问题不 能这样处理，只能采用 其他的方法。
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
非线性系统的描述函数分析
12
（3）
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
0
a点对应自持振荡
G( j)
b
1
a
A N ( A)
-20 -200°
-160°
-120°
-80°
13
（4）
b、d点对应Biblioteka 定自持振荡dB20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
0
-20
-200°
a
cb
d
点轨迹线 1 ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
自持振荡。
4
Im
1 N ( A)
A
0
G( j)
非线性系统稳定 不产生自持振荡
Re
角频率 增大方向 振幅 A 增大方向
5
（2） 如果线性部分频率特性 G( j) 由 0 向
变化时，非线性系统负倒描述特性 1
N ( A)
始终位于曲线 G( j) 的右侧，即曲线 G( j)包围临界
9
注释
自持振荡的振幅
A0
是两条曲线交点处函数
1 N ( A)
的自变元 A 的值；
自持振荡的角频率 0 是两条曲线交点处函数 G( j)
的自变元 的值。
对应于自持振荡（极限环）的交点！
10
Nichols图中的非线性系统稳定性判据
（1）
dB
20 lg 1 40 N ( A) 20
20lg G( j)
即系统存在一个振幅为 A0、角频率为0 的等幅振荡，
或者说非线性系统的自持振荡。
这相当于线性系统开环频率特性 G( j) 通过其
描述函数法讲解
0
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
第四节 用描述函数法分析非线性系统2003
第四节 用描述函数法分析非线性系统
内容提要 ✓1. 系统的典型结构及前提条件 ✓2. 非线性系统的稳定分析 ✓3. 自振荡分析 ✓4. 非线性系统方框图的简化
1. 系统的典型结构及前提条件
➢ 典型结构
r(t)=0
x
y
c(t)
N
G(s)
非线性系统的分析： 稳定性
自振荡
奈奎斯特判据在非线性
频率特性在非线性系统
当G(j)曲线通过(-0.5, j0)
点时,求kmax
Re[G(
j )]
1
0.05
0.3K
2 0.0004
4
50
0.5
得
kmax 7.5
当K=7.5时，-1/N(x)与G(jω)相交于b1(-0.5, j0) 点，若取K＜7.5，则两曲线不再相交，此时系统 是稳定的，不会产生自振荡。
4. 非线性系统方框图的简化
-1/N(X)
30
1(0 22)
4524j(4524)
求G( j)与1/N(X)曲线的交点。
G( j)
令ImG( j) =0，得 =1.414 (rad/s)
Re [G( j)] =1.414= 1.66 1 X 1.66
N(X) 4
X=2.1
Im 0 Re
13
【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。
-1 c
Re
0
若复平面中-1/N(x)曲线与G(j)曲线有交点， 则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地 存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡 的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之 前的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在， 能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不 能稳定地存在，必然转移到其他运动状态。
内容提要 ✓1. 系统的典型结构及前提条件 ✓2. 非线性系统的稳定分析 ✓3. 自振荡分析 ✓4. 非线性系统方框图的简化
1. 系统的典型结构及前提条件
➢ 典型结构
r(t)=0
x
y
c(t)
N
G(s)
非线性系统的分析： 稳定性
自振荡
奈奎斯特判据在非线性
频率特性在非线性系统
当G(j)曲线通过(-0.5, j0)
点时,求kmax
Re[G(
j )]
1
0.05
0.3K
2 0.0004
4
50
0.5
得
kmax 7.5
当K=7.5时，-1/N(x)与G(jω)相交于b1(-0.5, j0) 点，若取K＜7.5，则两曲线不再相交，此时系统 是稳定的，不会产生自振荡。
4. 非线性系统方框图的简化
-1/N(X)
30
1(0 22)
4524j(4524)
求G( j)与1/N(X)曲线的交点。
G( j)
令ImG( j) =0，得 =1.414 (rad/s)
Re [G( j)] =1.414= 1.66 1 X 1.66
N(X) 4
X=2.1
Im 0 Re
13
【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。
-1 c
Re
0
若复平面中-1/N(x)曲线与G(j)曲线有交点， 则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地 存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡 的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之 前的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在， 能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不 能稳定地存在，必然转移到其他运动状态。
自控理论 8-4用描述函数法分析非线性系统
或 1 G ( jω ) = − N(X ) (8 − 27)
(8-26)
非线性特性的负倒描述函数
对于某一个特定的X 对于某一个特定的 0及ω0，式(8-26)或 或 成立， 式(8-27)成立，这相当于线性系统中 G(jω) = -1 成立 ω 的情况，会产生等幅的周期性振荡。式中1/N(X)为描述函数的负倒特性 ， 它相当于线性 为描述函数的负倒特性， 为描述函数的负倒特性 系统的临界点（ ， ） 系统的临界点（-1，j0）。
−
1 N(X )
Re
G ( jω )
− 0.3 K Re[G ( jω )] = 1 + 0.05ω 2 + 0.0004ω 4
− K (1 − 0.02ω 2 ) Im[G ( jω )] = ω (1 + 0.05ω 2 + 0.0004ω 4 )
令 Im[G(jω)]=0，得 Im[G(jω)]=0
因此， 因此，可以认为能够通过线性部分又反馈到非线性 环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果， 环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果， 恰与前面的假定相吻合。因此， 恰与前面的假定相吻合。因此，自振荡时可认为系 统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。 统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。 在上述的条件下， 在上述的条件下，可以用非线性环节的描述函 数近似表示非线性环节的特性， 数近似表示非线性环节的特性，线性环节的特性可 用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图8用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图 25所示。 所示。 所示
扰动使 X ↑→ a移到c → 进入稳定区 X ↓→ 回到a点 a点 : 扰动使X ↓→ a移到d → 进入不稳定区 ↑→回到a点 X
(8-26)
非线性特性的负倒描述函数
对于某一个特定的X 对于某一个特定的 0及ω0，式(8-26)或 或 成立， 式(8-27)成立，这相当于线性系统中 G(jω) = -1 成立 ω 的情况，会产生等幅的周期性振荡。式中1/N(X)为描述函数的负倒特性 ， 它相当于线性 为描述函数的负倒特性， 为描述函数的负倒特性 系统的临界点（ ， ） 系统的临界点（-1，j0）。
−
1 N(X )
Re
G ( jω )
− 0.3 K Re[G ( jω )] = 1 + 0.05ω 2 + 0.0004ω 4
− K (1 − 0.02ω 2 ) Im[G ( jω )] = ω (1 + 0.05ω 2 + 0.0004ω 4 )
令 Im[G(jω)]=0，得 Im[G(jω)]=0
因此， 因此，可以认为能够通过线性部分又反馈到非线性 环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果， 环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果， 恰与前面的假定相吻合。因此， 恰与前面的假定相吻合。因此，自振荡时可认为系 统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。 统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。 在上述的条件下， 在上述的条件下，可以用非线性环节的描述函 数近似表示非线性环节的特性， 数近似表示非线性环节的特性，线性环节的特性可 用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图8用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图 25所示。 所示。 所示
扰动使 X ↑→ a移到c → 进入稳定区 X ↓→ 回到a点 a点 : 扰动使X ↓→ a移到d → 进入不稳定区 ↑→回到a点 X
非线性环节的描述函数分析
上式相等的条件与下式等价：
| G( j)N ( X ) | 1 N ( X ) G( j)
由上页式
| G( j)N ( X ) | 1 N ( X ) G( j)
可以得到： 1+G(jω)N(X)=0
可写成： G( j) 1
N(X)
上式即为非线性系统产生自持振荡的条件，由此可以 得到非线性系统的乃奎斯特判据。
根据自持振荡产生的条件，得到临界增益K：
K 1 N(X) 4
2
1
1
1
2
2
2
1.非线性系统的稳定性判据
当非线性系统产生自持振荡时，它仅与系统的结构和 参数有关，而与输入信号和初始条件无关。令r(t)=0,且 G(s)为最小相位系统，则当系统产生自持振荡时，假如 在非线性环节的输入端的信号e(t)=Xsin(ωt)，则在其输 出端的信号为：
u1(t) | N(X ) | X sin(t N(X ))
P1和P3是稳定的自持振荡，P2是不稳定的振荡。 P1处 振幅大，频率低， P3 处振幅小，频率高。
例题9-7
一个具有非线性元件串联的非线性控制系统如下图，分 析当K=π时系统产生自持振荡的频率和幅值，并研究产 生自持振荡时的临界增益K。
解：首先对非线性串联环节的等效特性进行分析。
当|e|<1，e1=0,u=0. 当e>1,e1=2,u=k(e-1)=1
G0( j)
K
j(( j)2 ( j) 1)
2
K
(1 2 )2
K 12 j3 12
当K = π时，在交点处，
1 N(X) 4
X
1
1 1 2
X
求得：X 8 4 3 （取“+” 号）此时ω=1
| G( j)N ( X ) | 1 N ( X ) G( j)
由上页式
| G( j)N ( X ) | 1 N ( X ) G( j)
可以得到： 1+G(jω)N(X)=0
可写成： G( j) 1
N(X)
上式即为非线性系统产生自持振荡的条件，由此可以 得到非线性系统的乃奎斯特判据。
根据自持振荡产生的条件，得到临界增益K：
K 1 N(X) 4
2
1
1
1
2
2
2
1.非线性系统的稳定性判据
当非线性系统产生自持振荡时，它仅与系统的结构和 参数有关，而与输入信号和初始条件无关。令r(t)=0,且 G(s)为最小相位系统，则当系统产生自持振荡时，假如 在非线性环节的输入端的信号e(t)=Xsin(ωt)，则在其输 出端的信号为：
u1(t) | N(X ) | X sin(t N(X ))
P1和P3是稳定的自持振荡，P2是不稳定的振荡。 P1处 振幅大，频率低， P3 处振幅小，频率高。
例题9-7
一个具有非线性元件串联的非线性控制系统如下图，分 析当K=π时系统产生自持振荡的频率和幅值，并研究产 生自持振荡时的临界增益K。
解：首先对非线性串联环节的等效特性进行分析。
当|e|<1，e1=0,u=0. 当e>1,e1=2,u=k(e-1)=1
G0( j)
K
j(( j)2 ( j) 1)
2
K
(1 2 )2
K 12 j3 12
当K = π时，在交点处，
1 N(X) 4
X
1
1 1 2
X
求得：X 8 4 3 （取“+” 号）此时ω=1
非线性的分析方法
非线性的分析方法
非线性分析方法指的是对非线性系统进行分析和研究的方法。
在非线性系统中，输出与输入之间的关系不是通过简单的线性函数表达，而是通过复杂的非线性函数来描述。
常见的非线性分析方法包括：
1. 相图（Phase Portrait）分析：通过画出系统状态的相轨迹来分析系统的稳定性和周期性。
2. 极限环（Limit Cycle）分析：寻找和分析系统中存在的极限环，用于描述系统的周期性行为。
3. 哈密顿系统（Hamiltonian System）分析：通过引入哈密顿量和广义动量来描述非线性系统的运动。
4. 哈特曼系统分析：将非线性系统转化为哈特曼系统，并利用哈特曼系统的性质进行分析。
5. 建模与仿真：利用数学建模和仿真技术对非线性系统进行分析和研究。
6. 级数展开法：将非线性系统的输出进行级数展开，通过保留几个重要的项来
近似描述系统的行为。
7. 非线性控制方法：包括反馈线性化、滑模控制、自适应控制等方法，用于设计和实现对非线性系统的控制。
非线性分析方法在物理学、化学、生物学等领域的研究中得到广泛应用，有助于深入理解和掌握非线性系统的行为。
第8章-非线性系统分析
假若平衡点在坐标原点时得：
令：
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分，得
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动（01） 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解：令
求得奇点（0，0），（-2，0）。
即
由
（1）奇点（0，0） 线性化方程为
特征根
令：
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分，得
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动（01） 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解：令
求得奇点（0，0），（-2，0）。
即
由
（1）奇点（0，0） 线性化方程为
特征根
描述函数法
§ 描述函数法
描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提 出的, 它是线性系统频域法在非线性系统中的推广， 是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具 有良好的低通特性并且非线性较弱。描述函数法的 优点是能用于高阶系统。描述函数法本质上是一种 谐波线性化方法，其基本思想是：当系统满足一定 的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用 下的输出可用一次谐波分量来近似。
n 1
A0 Yn sin( nt n )
n 1
式中
Yn
2 2 An Bn
An n arctan( ) Bn An Bn
1
1
2
0 2
y (t ) cos ntd (t ) y (t ) sin ntd (t )
0
如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0， 这时输出的基波分量是：
1
2 Mh ( m 1) A
2 B1 y ( t ) sin td ( t ) 0 2 2 M sin td (t )
1
2 2 2M mh h 1 1 ) A A N ( A) ( A1 jB1 ) / A 2 2 2M mh h 2 Mh 1 ( m 1) 1 ) j 2 A A A A
（2）极限环的稳定性
正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一 个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数 来分析。参见附图11
附图11
极限环的稳定性
图中 A 、 B 两点都出现极限环，先看 A 点：如果 因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到
描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提 出的, 它是线性系统频域法在非线性系统中的推广， 是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具 有良好的低通特性并且非线性较弱。描述函数法的 优点是能用于高阶系统。描述函数法本质上是一种 谐波线性化方法，其基本思想是：当系统满足一定 的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用 下的输出可用一次谐波分量来近似。
n 1
A0 Yn sin( nt n )
n 1
式中
Yn
2 2 An Bn
An n arctan( ) Bn An Bn
1
1
2
0 2
y (t ) cos ntd (t ) y (t ) sin ntd (t )
0
如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0， 这时输出的基波分量是：
1
2 Mh ( m 1) A
2 B1 y ( t ) sin td ( t ) 0 2 2 M sin td (t )
1
2 2 2M mh h 1 1 ) A A N ( A) ( A1 jB1 ) / A 2 2 2M mh h 2 Mh 1 ( m 1) 1 ) j 2 A A A A
（2）极限环的稳定性
正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一 个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数 来分析。参见附图11
附图11
极限环的稳定性
图中 A 、 B 两点都出现极限环，先看 A 点：如果 因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到
数学专业的非线性分析
数学专业的非线性分析为了更好地理解和研究数学中的非线性问题，数学专业中有一门重要的学科——非线性分析。
非线性分析是对非线性系统和过程进行深入研究的数学方法和工具集合。
本文将介绍非线性分析的基本概念、方法和应用领域。
一、非线性分析的基本概念非线性分析是研究非线性系统的数学方法，非线性系统指的是输入和输出之间不满足线性关系的系统。
与线性系统不同，非线性系统的性质更加复杂，常常包含了许多非线性现象，如混沌现象、周期解、稳定性等。
非线性分析研究的对象包括非线性微分方程、非线性递推关系、非线性差分方程等。
通过建立相应的数学模型，可以揭示非线性系统的行为规律，并进行定性和定量的分析。
二、非线性分析的方法非线性分析的方法主要包括解析解法和数值解法。
解析解法是通过求解非线性方程或方程组的精确解来研究非线性系统的性质。
常见的方法有变量分离法、积分因子法、积分曲线法等。
这些方法在一些简单的非线性问题中往往可以得到清晰的结论和解析解，但对于复杂的问题往往难以求解。
数值解法是利用计算机进行数值模拟和计算，通过数值实验来研究非线性系统的行为。
常用的数值方法有Euler方法、Runge-Kutta方法、有限差分法等。
通过数值模拟可以获得非线性系统的定性和定量的信息，并绘制相图、吸引子等图像，有助于揭示非线性系统的内在规律。
三、非线性分析的应用领域非线性分析在数学和工程领域有着广泛的应用。
在数学领域，非线性分析是建立数学模型、研究数学问题的重要方法。
例如，在动力系统中，非线性分析可以揭示系统的稳定性、周期解、混沌现象等。
在工程领域，非线性分析对于设计和优化复杂系统具有重要意义。
例如，在电力系统中，非线性分析可以研究系统的稳定性和可靠性，提高系统的抗干扰能力。
在控制系统中，非线性分析可以帮助设计控制器，实现系统的自适应和鲁棒控制。
四、非线性分析所面临的挑战和发展趋势尽管非线性分析在许多领域都取得了令人瞩目的成果，但仍然存在一些挑战和问题。
西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_03_描述函数法_1描述函数
A3
[例1] 故：该非线性元件的描述函数为
N ( A) B1 jA1 1 3 A2 A 2 16
y
6
3
123 x
N ( A)
4 2
12345 A
二、应用描述函数法的基本假设条件
基本条件： 非线性环节正弦输入的响应输出高次谐波可忽略
基本条件成立的条件：
A 经结构图等效变换，非线性系统可简化成如下典型结构
在线性环节和非线性环节两种情况下的输出。
1、描述函数定义
设其输入为正弦函数，即：x(t) Asint
则其输出 y(t) 为非正弦周期函数，
对非正弦周期函数 y(t) ，可以展开成傅立叶级数：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) A0 Yn sin(nt n )
1
arcsin
h A
,
2
arcsin mh , A
y(t) 为奇对称函数，但非奇函数，有 A0 0
因其在一个周期内对称：
A1
2
2 M costdt 2Mh (m 1)
1
A
2
B1
2
M
sintdt
2M
Hale Waihona Puke 11 mh2
A
1
h
2
A
五、典型非线性特性的描述函数
死区滞环继电非线性环节特性的描述函数
)2
1
五、典型非线性特性的描述函数
死区(不灵敏区)特性的描述函数
负倒特性
1 N ( A)
2K
2
sin1(
a ) A
a A
1
(
a A
)2
1
当 A a时
第七章 非线性系统分析
2.死区非线性（不灵敏区特性）
输出 -a k 0 a 输入
0 y( t ) k x(t ) a sgn x(t ) x( t ) a x( t ) a
死区又叫不灵敏区，系统
中的死区是由测量元件的死 区、放大器的死区以及执行 机构的死区所造成的。
死区特性对系统性能的影响：
1 N ( A)
?
(-1,j0)
设：系统开环的线性部分G(j)稳定
① G(j)不包围负倒描述 函数 闭环系统稳定
② G(j)包围负倒描述函 数 闭环系统不稳定
③ G(j) 与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极限环振荡) 稳定 ？不稳定？ 振幅（A）？ 频率()？
偏离到1点工作时， 偏离到２点工作时， 不被G（jω）包围， 被G（jω）包围， 系统不稳定，故振 系统稳定，故振幅 收敛衰减． 幅发散．
j
稳定条件： X≤Xa
1 N
a
X 0
X
负倒描述函数由 外向内穿入时， 系统条件稳定。
振幅增大 振幅减小 系统趋向 不稳定 0 稳定
G ( j )
偏离到２点工作时， 偏离到１点工作时， 系统不稳定 不被G（jω）包围， 被G（jω）包围， 系统不稳定，故振 系统稳定，故振幅 有自持振荡 收敛衰减． 幅发散．
0
输入
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
死区特性对系统性能的影响：
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量， 动态特性变坏自持振荡。
齿轮传动中的间隙
间隙非线性特性
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也 是控制系统中的一种常见的非线性因素。
非线性系统的特点
１、系统的稳定性 系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关， 而且与初始状态有关。 ２、系统的自持振荡 产生某一固定振幅和频率的振荡。 ３、频率法不适用于非线性系统 非线性系统中，系统对正弦输入的响应并 非正弦。 ４、叠加原理不能应用与非线性系统
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( a) 稳定系统
第 33 卷
( a) 稳定系统
( b) 稳定系统
( b) 不稳定系统 图 3 最 小相位系统分析 Fig. 3 Analysis of minimum phase system
2. 2 非最小相位系统对象的分析 在非最小相位的线性系统中, 奈奎斯特稳定判
据可表述为: 若其开环特征方程式中有 p 个根在S 平面的右半平面内, 其闭环系统稳定的充要条件是 G ( j ) 的轨迹在 从- # 变到+ # 范围内反时针 方向包围(- 1, j 0) 点 p 次. 为叙述方便, 定义有效 穿越原点的概念: 若曲线穿越原点且其轨迹反时针 方向包围原点 在负实轴上的一任意小邻域( - ∀, j 0) ( ∀ 为一任意小的正数) , 则称该曲线有效穿越 原点. 在非最小相位系统的非线性度变换系统中, 其稳定判据可作如下描述: 若系统的奈奎斯特曲线 在 的(- # , + # ) 区间上反时针包围或有效穿 越原点( 即每有效穿越原点一次计为包围一次) 共 n 次且 n = p , 与负实轴的最右边交点为(- a, j 0) , 那么在误差 | err | ∃ 0, a1/ 段系统是稳定 的. 如图 4 分别示出了非最小相位系统的稳定、不 稳定的几种情况.
1.
1
将式( 2) 代入 式 ( 3) , 得 A 1 =
0, B1 =
4! X !
!
!/ 2
∀ sin + 1 t d t , 并令 0
∀ k =
4 !
!
!/ 2
sin + 1
0
td t,
在 0 < < 1 时, 4/ !> k > 1( 在后续分析中近似
取为 1) , 则 B 1 = k ! X , 1 = 0, 即
(j
)=
N (X ) ! G(j ) 1+ N ( X) ! G(j
),
其特征方程为 1 + N ( X ) ! G ( j ) = 0, 即
G( j
) =-
N
1 (X
)
.
( 4)
因为描述函数本身是一种频率响应法, 故系统可以
根据式( 4) 采用奈奎斯特稳定判据进行分析. 令
Q( X ) = - 1/ N (X ), 在 S 平面作出 0 < < 1 时的 Q ( X ) 曲线如图 2. 该曲线与 S 平面的负实轴重合. 虚线表示 X 的变 化趋势; 在 0 < X < + # 过程中, Q ( X ) 呈向(- 1, j 0) 点靠近的趋势.
非线性的合理引入有利于提高控制器的控制 性能, 改善控制品质, 甚至对非线性的被控对象也 可能产生很强的适应性[ 1] . 文献[ 2] 提出了一种基 于非线性跟踪微分器和非线性组合的非线性 PID 控制方式, 取得了较好的控制效果. 文献[ 3] 在此基 础上发展了一种基于误差的幂指数变换的非线性 度变换方法, 该法对于缩小控制系统的调整时间、 抑制系统超调和增强系统的抗扰动性能有很好的 效 果. 本 文 在 此 基 础 上 采 用 描 述 函 数 法 和奈奎斯特理论对其稳定性作出了进一步探讨,
Abstract: P resent s t he analysis of t he propert y of t he describing function t o im prove t he quality of t he cont rol syst em in many applicat ions by using t he nonlinear norm t ransform of exponent index of the errors, and the use of Nyquist t heory to evaluate t he st ability of the nonlinear syst em w ith nonlinear norm t ransform added, and point s out that t he nonlinear norm transform can not only m ake some unst able systems st able eff ect ively, but also im prove t he qualit y of the cont rol syst em generally and therefore just ifies t he validit y of nonlinear norm t ransform on some unst able systems providing t he basis for t he design of nonlinear norm t ransform. Key words: nonlinear norm t ransform; describing funct ion; Nyquist curves
Y 1 = k ! X ! rad0,
则非线性度变换的描述函数为
N ( X ) = k ! X - 1 ! rad0,
即非线性度变换只改变信号的增益, 不影响信号的
相位.
2 非线性度变换的描述函数法稳定 性分析
取 G ( j ) 为被控对象的频率响应特性, 描述 函数 N ( X ) 作为一个复变量的放大系数处理, 则 系统的闭环频率特性为
( 2) 原控制系统为不稳定系统, 奈奎斯特曲线
第1期
朱发国, 等: 非线性度变换的描述函数法分析
! 103 !
在 ∃ (- # , + # ) 范围内反时针方向包围(- 1,
j 0) 小于 p 次, 但反时针包围或有效穿越原点 p 次,
与负实轴最右侧( 不含原点) 的交点为(- a, j 0) , 在 非线性度变换的作用下系统在误差 | err | < a1/ 范
描述函数法是一种把在线性系统中的频率响 应法推广到非线性系统中的一种行之有效的方法; 特别是在非线性系统的稳定性分析领域中, 描述函 数法起到了很大的作用. 非线性元件的描述函数定 义为
N(X) =
Y X
1
rad
1,
式中: N ( X ) 为非线性元件的描述函数式, X 为输
入信号的幅值, Y 1 为输出信号一次谐波的幅值, 1
控对象输出信号, er r 为系统实际误差信号, er r 为 非线性度变换后的虚拟误差信号. 非线性度变换是
指系统实际误差信号在进入常规调节器以前, 先进
行幂指数为 ( 0 <
1) 的转换, 形成虚拟误差
信号进行控制的过程, 即
er r = sign( er r ) !| err | ,
( 1)
式中: 幂指数 表征了系统误差进行非线性变换
由傅立叶级数展开式, 其基波分量可表示为
y 1 = A 1 ! cos t + B1 ! sin t =
Y 1 ! sin( t + 1) ,
( 3)
∀ 式中: A 1 =
1 !
!
2!
y ( t ) ! cos
0
td
t,
∀ B 1 =
1 !
!
2!
y ( t ) ! sin
0
td
t,
1=
tg- 1
A B
第1期
朱发国, 等: 非线性度变换的描述函数法分析
! 101 !
的程度; 称其为非线性度, 同时把引入非线性度变
换的控制方式称为非线性度控制. 容易理解, 在取
值范围( 0 <
1) 内, 越小, 误差信号进行的非
线性度变换越强. 当 = 0 时, 控制方式为一非线性度变换的 Q ( X ) 轨迹 Fig . 2 T race of Q ( X ) no nlinear nor m tr ansform
2. 1 最小相位系统对象的分析 传递函数在复平面右半平面上没有开环零点
和极点的系统称为最小相位系统. 在线性系统中最 小相位系统稳定的条件是奈奎斯特曲线 G ( j ) 不 包围(- 1, j 0) 点, 在用描述函数表示的非线性系 统中, 由于描述函数的 Q( X ) 曲线与线性系统中 的点(- 1, j 0) 相对应, 所以非线性系统中最小相 位系统的稳定条件是系统的奈奎斯特曲线 G ( j ) 不包围 Q ( X ) . 结合图 2, 总结出非线性度变换系 统的稳定特性有以下特点:
为 输出 信 号 一 次 谐 波 相 量 和 输 入 信 号 的相 角
差[ 4] . 下面推论非线性度变换( 0 < < 1) 的描述
函数式.
假设 非 线性 度 变 换 的 输 入函 数 为 x ( t ) =
X sin t , ( X > 0) , 则非线性度变 换后的输出函
数为
y ( t ) = sign( sin t ) ! X !| sin t | . ( 2)
( 1) 若系统的奈奎斯特曲线不穿越复平 面 S 的左半平面, 非线性度变换不 影响原系统的 稳定 性, 即系统仍保持稳定, 如图 3( a) .
! 102 !
哈尔滨工业大学学报
( 2) 若系统的奈奎斯特曲线穿越复平面 S 的 左半平面, (- a, j 0) 为奈奎斯特曲线与 S 平面负 实轴的交点( 如含多个交点取最左端的交点) , 非线 性度变换系统为不稳定系统, 但随非线性度变换的 输入误差信号的增大, 非线性度变换的 Q ( X ) 轨 迹将进入 S 平面的左端稳定区域, 因此交点(- a, j 0) 必为稳定的极限环点, 即系统的发散极限为 | er r | = a, 如图 3( b) .
第 33 卷 第 1 期 2 0 01年 2月
哈尔 滨 工 业 大 学 学 报 JOURNAL OF HARBIN INST IT UT E OF T ECHNOL OGY