人教版高中数学必修四《 弧度制》导学案
人教版高中数学必修4-1.1《_弧度制》教学设计
《弧度制》教学设计一、教学目标：（一）核心素养通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系.（二）教学目标1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题（三）学习重点1．理解弧度“是什么”；2．熟练弧度和角度之间“如何化”；3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”；（四）学习难点1．理解弧度“是什么”；2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第6页至第11页．（2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？2．预习自测=____________（1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB【答案】1rad．（2）2π rad =（）A．180°B．200°C．270°D．360°【答案】D．（3）把50°化为弧度制（）A．50B．5 18πC．18 5πD．9000π【答案】B．（4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π(二)课堂设计1．知识回顾（1）角的概念的推广；（2）终边相同的角的表示2．问题探究探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；●活动结合实例，引入弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.。
最新人教A版数学必修四导学案：1.1.2弧度制
1.
2.已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.
3．如果弓形的弧所对的圆心角为 ，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是____cm2.
4．已知扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为8 cm，则扇形的面积为_________cm2.
3.记住公式 （ 为以角 作为圆心角时所对圆弧的长， 为圆半径）。
二：课前预习
我们把周角的 规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．
1．弧度角的定义：
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为 ．
练习：圆的半径为 ，圆弧长为 、 、 的弧所对的圆心角分别为多少？
说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么 弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度的推广及角的弧度数的计算：
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角 的弧度数的绝对值是 ，（其中 是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径）。
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为 ．
练习：圆的半径为 ，圆弧长为 、 、 的弧所对的圆心角分别为多少？
说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么 弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度的推广及角的弧度数的计算：
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角 的弧度数的绝对值是 ，（其中 是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径）。
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
人教A版数学四1.1.2弧度制导学案
1.1.2弧度制【使用说明及学法指导】先精读一遍教材P6 P9，用红笔进行勾画；再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答，时间不超过40分钟；2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的得问题准备课上讨论质疑；4.必须记住的内容：○1理解1弧度的角、弧度制的定义、换算.熟记特殊角的弧度数；○2角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的。
【学习目标】1.自主学习，合作探究，学会○1理解1弧度的角、弧度制的定义、换算.熟记特殊角的弧度数 。
2.激情投入，享受学习成功的快乐。
【合作探究】： 1．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的 角是如何定义的？规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度 叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180rn l π=2．探究30°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧 长l ，再计算弧长与半径的比 。
结论：圆心角不变，则比值 。
学习新课：1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：1.平角、周角的弧度数 。
2.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是03.角α的弧度数的绝对值rl =α（l 为弧长，r 为半径）4.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：其中R 是半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇形面积.. ()1l Rα=()2122S R α=()132S lR =2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360︒= rad ∴180︒= rad∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad1 把'3067化成弧度2 把rad π53化成度3用弧度制表示： 终边分别在x 轴、y 轴、坐标轴上的角的集合4．用弧度制表示：第二象限角的集合5.教材P9练习1---6（做在课本上） 课外作业1. 选出终边相同的角的选项( )A.πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ） B.－3π和322πC.－97π和911πD. 9122320ππ和2.若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或 第三象限角的集合为 .5.7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角 为 .6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度 数为 .8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B .9. 教材P9习题1.1A 组4--10（做在课本上） 【我的疑惑】【课堂小结】 1.知识方面：2.数学思想方面：。
【B版】人教课标版高中数学必修四《弧度制和弧度制与角度制的换算》导学案-新版
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式=l rα（l 为以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
学习过程（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定r 角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二） 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。
练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是44l r r rπαπ-=-=-=-． （三）角度与弧度的换算3602rad π= 180r a dπ=1rad 0.01745rad 180π=≈ 1801rad 5718'π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭1 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是：<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整例1、把下列各角从度化为弧度：(1)252 （2）1115' (3)30 (4)6730'变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度：（1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）43π- （3）310π（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：l r α=⋅扇形面积公式：12S lr =．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
高中人教版数学必修4《弧度制》精品导学案(含答案)
1.1.2 弧度制课前预习学案一、预习目标：1.了解弧度制的表示方法；2.知道弧长公式和扇形面积公式.二、预习内容初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：1、角的弧度制是如何引入的？2、为什么要引入弧度制？好处是什么？3、弧度是如何定义的？4、角度制与弧度制的区别与联系?三、提出疑惑1、平角、周角的弧度数？2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？课内探究学案一、学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||lα=（l为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆r半径）；4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。
三、学习过程（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。
<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号表示，读作。
r的弧所对的圆心角分练习：圆的半径为r，圆弧长为2r、3r、2别为多少？<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r的园的圆心角α所对的弧长为l,那么，角α的弧度数的绝对值是：，α的正负由决定。
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l rr rπαπ-=-=-=-． （三）角度与弧度的换算3602π=rad 180π=rad 1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是：例1、把下列各角从度化为弧度：(1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067︒变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—34π （3）103π（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式弧长公式：||l r α=⋅因为||l rα=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=⋅．扇形面积公式：．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
人教B版高一数学(必修4)导学案：1.1.2弧度制和弧度制和角度制的换算(无答案)
2.集合 等于（）
A.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB. C. D.
3.已知扇形AOB的面积为4，圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长为（）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 8
4. 弧度化为角度是，是第象限的角。
B组：
1. 1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积。
教学反思
落实是成功的保证！
2. 转化为弧度数为（）
A. B. C. D.
3.圆的半径是 ，则 的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是（）
A. B. C. D.
4. 7弧度的角是第象限的角，与7弧度的角的终边相同的最小正角为。
积极思考勤于动手天才来自勤奋！
课后巩固作业
A组：
1.在面积不等的圆内，1弧度的圆心角所对的（）
A.弧长相等B.弦长相等
引申（1）把 化成弧度，（2）把 化成度。
探究二把下列各角化成0到 的角加上 的形式，并指出它们是哪个现象的角： 。
引申把下列各角的度数化成弧度数，并写成0到 的角加上 的形式
（1） ；（2） ；（3） 。
认真听讲是学习高效的捷径！
探究三 （1）已知扇形的周长为 ，面积为 ，求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知一扇形的圆心角是 ，半径等于 ，求扇形的面积；
2.长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作。
3.弧度制与角度制的换算
，
4.特殊角的度数与弧度制的对应关系
度
弧度
5. 分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数。
（1）弧度数公式： ，
（2）弧长公式： ，
（3）扇形面积公式：
教师是学生学习的引导者学生是学习的主人！
最新人教版高中数学必修4第一章《弧度制和弧度制与角度制的换算》示范教案
示范教案整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位进行度量，并且一度的角等于周角的1360，记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式，使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的．进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点．有条件的学校可进行计算机练习，学习电子表格和Scilab中的公式计算功能．以后学生可使用这一功能检查自己的计算结果.三维目标1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．通过弧度制的学习，培养学生理性思维的良好习惯．2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．推进新课新知探究提出问题(1)在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？(2)我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便，那么角的度量是否也能用不同单位制呢？活动：教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即lr＝1.图1讨论结果： (1)1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．(2)能，用弧度制． 提出问题 (1)作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连结圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？(2)如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？活动：教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．教师要强调，为了让学生习惯使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制．讨论结果：(1)完全重合，因为都是1弧度的角．(2)α＝l r ；将角度化为弧度：360°＝2π rad ，1°＝π180 rad ≈0.017 45 rad ；将弧度化为角度：2π rad ＝360°，1 rad ＝(180π)°≈57.30°＝57°18′.弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad ＝(180απ)°，n°＝n π180(rad)．在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．提出问题 (1)引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？(2)填写下列的表格，找出某种规律． 的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向r 1 2r －2 －π 0 180°360°(3)你能写出把角度值n 换算为弧度值的一个算法吗？活动：设置这个表格的意图是让学生对一些特殊角填表，然后概括出一般情况．教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提示．检查完毕后，教师做个总结．由上表可知，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数的绝对值是lα.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师指出，角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应．在理解以上的对应关系时，应该注意角度制是60进位制，遇到35°6′这样的角，应该把它化为10进制的数值35.1°，但是弧度数不存在这个问题，因为弧度数是十进制的实数．这是角度制与弧度制的一个重要区别．值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两种单位不能混用，绝对不能出现k·360°＋π3或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k ∈Z )的形式．如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．图2讨论结果：(1)与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k ∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR ，S ＝12αR 2，S ＝12lR.(2)的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 π 180° 2πr 逆时针方向 2π 360° r 逆时针方向 1 57.3° 2r 顺时针方向 －2 －114.6° πr 顺时针方向 －π －180° 0 未旋转 0 0° πr 逆时针方向 π 180° 2πr逆时针方向2π360°(3)把角度值n 换算为弧度值的一个“算法”如下：①给变量n 和圆周率π的近似值赋值；②如果角度值n 是以“度、分、秒”形式给出，先把n 化为以“度”为单位的10进制表示；③计算π180(把1°换算为弧度值)，得出的结果赋给变量a ；④计算na ，赋值给变量α. α就是这个角的弧度值． 应用示例思路1例 1下列命题中，真命题是( ) A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 活动：本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，熟练掌握定义．根据弧度制的定义，对照各项，可知D 为真命题．变式训练例 2(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001)； (2)把112°30′化成弧度(用π表示)．解：(1)按照上面写出的算法步骤，依次计算： ①n ＝112°30′，π＝3.141 6； ②n ＝1123060＝112.5；③a ＝π180≈0.017 5；④α＝na ＝1.968 75. 因此α≈1.969 rad.(2)112°30′＝(2252)°＝2252×π180＝5π8.例 3将下列用弧度制表示的角化为2kπ＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，并指出它们所在的象限：(1)－15π4；(2)32π3；(3)－20；(4)－2 3. 活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是：{β|β＝kπ，k ∈Z }，{β|β＝π2＋kπ，k ∈Z }．第一、二、三、四象限角的集合分别为：{β|2kπ<β<2kπ＋π2，k ∈Z }，{β|2kπ＋π2<β<2kπ＋π，k ∈Z }，{β|2kπ＋π<β<2kπ＋3π2，k ∈Z }，{β|2kπ＋3π2<β<2kπ＋2π，k ∈Z }．解：(1)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(2)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－23≈－3.464，是第二象限角．点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2kπ＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k ×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π2，π，3π2比较大小，估计出角所在的象限.(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解：(1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9<2π，∴－1 480°＝2(－5)π＋16π9.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－20π9.例 4如图3，(1)扇 形AOB 中，所对的圆心角是60°，半径为50米，求A B 的长l(精确到0.1米)．图3(2)利用弧度制推导扇形面积公式：S ＝12lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径．活动：本例目的是让学生在教师的指导下以扇形为背景，进一步理解弧度制的优越性．可先让学生多做相应的随堂练习，在黑板上当场演练，教师给予批改指导，对易出错的地方特别强调．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生的练习操作中一一纠正，这对以后学习大有好处．解：(1)如图3，因为60°＝π3，所以l ＝α·r ＝π3×50≈1.05×50＝52.5.答：的长约为52.5米．(2)如图4，因为圆心角为1 rad 的扇形的面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角的大小为l r rad ，所以它的面积S ＝l r ·r 22＝12lr ，即S ＝12lr.图4例 5已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．活动：这道应用题考查了函数思想．教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤，函数法求最值所包括的五个基本环节：(1)选取自变量；(2)建立目标函数；(3)指出函数的定义域；(4)求函数的最值；(5)作出相应结论．其中自变量的选取不唯一，建立目标函数结合有关公式进行，函数定义域要根据题意确定，有些函数是结构确定求最值的方法，并确保在定义域内能取到最值．解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S.由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r.∴S ＝12l·r ＝12(a －2r)·r ＝－r 2＋a 2r ＝－(r －a 4)2＋a 216.∵r>0，l ＝a －2r>0，∴0<r<a 2.∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a 2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积取最大值a 216.由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算．作业课本本节练习A 组 3,4；练习B 组 3,4,5.设计感想 本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．备课资料一、密位制度量角度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的16 000所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所以1°＝6 000密位360≈16.7密位，1密位＝360°6 000＝0.06°＝3.6′≈216″. 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．二、备用习题1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A.π3B.π6 C ．1 D ．π 2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍3．下列表示的为终边相同的角的是( )A ．kπ＋π4与2kπ＋π4(k ∈Z ) B.kπ2与kπ＋π2(k ∈Z )C ．kπ－2π3与kπ＋π3(k ∈Z ) D ．(2k ＋1)π与3kπ(k ∈Z )4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________.5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形的中心角的弧度数．6．若α∈(－π2，0)，β∈(0，π2)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．7．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图5所示)．图58．(1)角α，β的终边关于直线y ＝x 对称，写出α与β的关系式； (2)角α，β的终边关于直线y ＝－x 对称，写出α与β的关系式． 参考答案：1．A 2.B 3.C 4.π3，2π3，π，4π3，5π35．解：设扇形所在圆的半径为R ，扇形的中心角为α，依题意有 αR ＋2R ＝6，且12αR 2＝2，∴R ＝1，α＝4或R ＝2，α＝1. ∴α＝4或1.6．解：－π2<α＋β<π2，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x 轴的非负半轴上．－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y 轴的非正半轴上． 7．解：(1){θ|2kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k ∈Z }；(2){θ|2kπ－3π4<θ<2kπ＋3π4，k ∈Z }； (3){θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k ∈Z }∪{θ|2kπ＋7π6<θ<2kπ＋3π2，k ∈Z }＝{θ|nπ＋π6<θ<nπ＋π2，n ∈Z }．8．解：(1)β＝π2－α＋2kπ，k ∈Z ；(2)β＝3π2－α＋2kπ，k ∈Z .三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，π30(rad)，π1 800(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．例题 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x 弧度，则分针转过了2π＋x 弧度，而时针走1弧度相当于经过6π h ＝360π min ，分针走1弧度相当于经过30π min ，故有360πx ＝30π(2π＋x)，得x ＝2π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)． 乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)． 点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．。
高中数学1.1.2弧度制导学案新人教A版必修4
§1.1.2 弧度制1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数.2.了解角的集合与实数集R之间可以成立起一一对应关系.3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.69在初中，咱们常常利用量角器量取角的大小，那么角的大小的气宇单位为何？二、新课导学※探索新知问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的概念是什么？问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是如何的？问题5：角的集合与实数集R之间成立了________对应关系。
问题6：用弧度别离写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导 进程。
回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。
※ 典型例题例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方式） （1）53π（2） （3）252º （4）11º15¹变式训练：①填表②若6-=α，则α为第几象限角？③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合___ ____.用弧度制表示终边在第四象限的角的集合__ _____.例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.变式训练 (2)：A=()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=Z k k x x k,21ππ, B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,22ππ则A 、B 之间的关系为 .※ 动手试试一、将下列弧度转化为角度：（1）12π= °；（2）－87π= ° ′； （3）613π= °；二、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ； （2）－105°= rad ； （3）37°30′= rad ；3、已知集合M =｛x ∣x = 2π⋅k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2ππ±⋅k , k ∈Z ｝，则 （ ）A ．集合M 是集合N 的真子集B ．集合N 是集合M 的真子集C ．M = ND ．集合M 与集合N 之间没有包括关系4、圆的半径变成原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变 C ．扇形的面积增大到原来的2倍 D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍三、小结反思角度制与弧度制是气宇角的两种制度。
新人教A版必修四1.2《弧度制》word导学案
§1．1．2 弧度制导学案主编：段小文审核：彭小武班级姓名【学习目标】了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算。
【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习1、写出终边在下列位置的角的集合。
（1）x轴：；（2）y轴：。
复习2、角度制规定，将一个圆周分成份，每一份叫做度，故一周等于度，平角等于度，直角等于度。
（二）自主研讨：（预习教材P6-P9）探究一：弧度制定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，这种度量角的单位制称为。
新知：①正角的弧度数是数，负角的弧度数是数，零角的弧度数是。
②角α的弧度数的绝对值lrα=（l为弧长，r为半径）反思：① 1rad等于度，②1︒等于弧度。
试试：完成特殊角的度数与弧度数的对应表：二、合作探究1、按要求解答下列各题：（1）把3730'︒化成弧度，（2）把35radπ化成度。
2、用弧度制表示：（1）终边在x轴上的角的集合，（2）终边在y轴上的角的集合。
3、利用弧度制证明扇形面积公式：（1）12S lR=，（2）212S Rα=。
三、交流展示1、把2230'︒化成弧度表示是（ ） A. 4π B. 8π C. 16π D. 32π 2、下午正2点时，时针和分针的夹角为（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π 3、半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 rad 。
4、54π化为度表示是 。
四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1、时钟经过一小时，时针转过了( ) A. 6πrad B.－6π rad C. 12πrad D.－12πrad2、若α＝－3，则角α的终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、半径为πcm ，中心角为120o的弧长为（ ） A ．cm 3π B ．cm 32π C ．cm 32π D ．cm 322π 4、若扇形的圆心角α＝2，弧长l ＝3π，则该扇形的面积S ＝（ ）A. 3πB. 32π C. 6π D. 6 B 组：1、已知集合M =｛x ∣x = 2π⋅k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2ππ±⋅k , k ∈Z ｝，则（ ） A ．集合M 是集合N 的真子集 B ．集合N 是集合M 的真子集C ．M = ND ．集合M 与集合N 之间没有包含关系2、如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）A ．｛α∣120°<α<330°｝B ．｛α∣k ·360°－30°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z ｝C ．｛α∣k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋330°，k ∈Z ｝D ．｛α∣k ·180°＋120°≤α≤k ·180°＋330°，k ∈Z ｝3、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
高中数学必修四1.1.2弧度制学案新人教A版必修4
度制．
2．弄清 1 弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．
3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的
联系与区别 .
1． 1 弧度的角：把长度等于
的弧所对的圆心角叫做
读作
．
2．弧度制：用
作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
3．角的弧度数的规定：
最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为 θ，半径为 r ，弧长为 l ，面积为 S，
1 ∴ S＝ 2lr
＝
1 2×
(40
－
2r
)
r
＝
20r
－
r
2＝－
(
r
－
10)
2＋ 100.
∴当半径 r ＝ 10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为 100 cm 2，
l 40－2×10 此时 θ ＝r ＝ 10 rad ＝2 rad.
l 径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l ，那么，角 α 的弧度数的绝对值是 | α | ＝ r . 这里， α
的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
问题 4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整
.
角度化弧度
弧度化角度
360°＝ rad
2π rad ＝
180°＝ rad
180
12
180 π °即可化为角度．
225
225 π 5π
所以， (1)112 °30′＝ 112.5 °＝ 2 °＝ 2 × 180＝ 8 .
7π 7π 180 (2) － 12 ＝－ 12 × π °＝－ 105°．
小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记
最新人教版高中数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》导学案
高中数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》导学案【学习目标】1、 通过课前预习，学生掌握角度和弧度的概念，熟悉弧度与角度的互化，熟悉弧长和扇形的面积公式；2、 通过课堂探究，熟练掌握运用任意角三角函数的定义进行化简和求值。
【重、难点】三角函数的定义及应用是考察的重难点。
1．－870°的终边在第几象限 ( )A ．一B ．二C ．三D ．四【知识点链接】 第一象限角的集合可以表示为{α| },第二象限角的集合可以表示为{α| },第三象限角的集合可以表示为{α| },第四象限角的集合可以表示为{α| }.2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是 ( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4【知识点链接】若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|＝ }(或{β|β＝ })．3．若sin α<0且tan α>0，则α是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【知识点链接】四个象限的符号可用口诀来表示：4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．【知识点链接】(1)角度与弧度的换算：①1°＝ rad ；②1 rad ＝ .(2)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝r α，则扇形的面积为S ＝ .＝ .5.=34cos π . 【知识点链接】sin(α＋k ²2π)＝ cos(α＋k ²2π)＝ tan(α＋k ²2π)＝【知识脉络】角的概念→角度与弧度的转化→扇形半径和面积公式【考点一】角的集合的表示[例1] (1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合．变式：若角β的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°范围内，终边与角β3的终边相同的角为________．小结：(1)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合， 然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角.【考点二】三角函数的定义[例2]已知角α的终边经过点P(m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于 ( ) A ．－114 B.114 C ．－4 D ．4变式：角θ的终边上有一点(a ，a)，a ∈R 且a≠0，则sin θ的值是 ( ) A.22 B ．－ 22 C.22或－22D ．1变式：已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝ ( ) A. 3 B ．± 3 C.33 D ．±33小结：定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P 的坐标；(2)已知角α的终边所在的直线方程；分别思考如何来求解？【考点三】 扇形的弧长、面积公式及其应用[例3](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？变式：已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是 ( )A.23B.32C.23πD.32π变式：圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2小结：1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2.记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．1.若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( )A ．2kπ＋β(k∈Z)B ．2kπ－β(k∈Z)C ．kπ＋β(k∈Z)D ．kπ－β(k∈Z)2.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1C ．4D ．83.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]4. 在直角坐标系中，O 是原点，A(3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．5. 若β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________.【课外延申】已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．。
人教A版高中数学必修4导学案设计：1.1.2弧度制(无答案)
第一章§1.1.2弧度制学习目标：1. 了解1弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数2. 掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度和弧度的换算3.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系4.掌握弧度制下的弧长公式，扇形面积公式5.会用弧度制解决某些实际问题预习导航：要求：在上课前认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注1．弧度（1）长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做，记作。
用弧度为单位来度量角的单位制，叫做。
（2）正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是，角α的弧，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。
2．角度与弧度的换算360°= ，=πrad 。
1°= rad，1rad = 。
3．扇形的弧长与面积公式（1）在弧度制下，弧长公式为，扇形面积公式为。
（2）在弧度制下，弧长公式为，扇形面积公式为。
探究问题（一）弧度的概念:思考1：在平面几何中，1°的角是怎么定义的？思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对应的圆弧长如何计算？思考3：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad，读作1弧度。
那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.如果将半径为r的圆的一条半径OA，绕圆心顺时针旋转到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？思考5：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值如何计算？探究问题二角度与弧度的换算思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1弧度等于多少度？思考3：根据度与弧度的换算关系，完成下表（2）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.()1l R α=()2122S R α=()132S l R=课堂小结：1.这节课学到了什么2.各小组表现如何课下作业：说明（1）今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad 的角. 例2： 利用弧度制证明下列关于扇形公式: 课本P10 习题1.1 A 组：6，7，8，9，10.练习： 1、在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？ 终边在坐标轴上的角如何表示？。
高中数学 弧度制学案 新人教A版必修4
数学必修4学案第一章 1.1.2 弧度制
一、学习目标：
1、知识与技能：从明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义.
2、过程与方法：学生经历熟练掌握角度制与弧度制的换算.
3、情感态度与价值观：学生经历数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.
二、重点与难点：
重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化。
难点：用弧度制定义的理解。
三、课前学习：
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？从中能发现什么？
四、课中学习：
对课前的学习，进一步分析：
1、复习角度制的定义：
2、正确理解弧度制定义的含义。
3、掌握角度制与弧度制的互换方法。
4、分析例题1，总结方法
5、总结弧度制的作用：
8、第9页，练习1-6,
五、课后反思
对这一节的收获是什么？有什么问题期待解决？
六、作业设计：
P10习题A组4-10。
人教版高中数学必修4学案 弧度制
1.1.2 弧度制[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[知识链接]1．初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答 规定周角的1360做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？ 答 l ＝n πR 180，S ＝n πR 2360.[预习导引] 1．弧度制 (1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． (2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0. (3)角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr .2．角度制与弧度制的换算 (1)设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则要点一 角度制与弧度制的换算 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．跟踪演练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 要点二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．规律方法 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角． 解 (1)∵180°＝π rad ，∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0.故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°. 要点三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的公式有两个：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数． 跟踪演练3 若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2 D ．80 cm 2答案 B解析 ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2).1．时针经过一小时，时针转过了( )A.π6 rad B ．－π6 rad C.π12 rad D ．－π12 rad 答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析 设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，α＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1.3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为 ． 答案 12＋π360，12－π360解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360. 4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是 ．答案 －34π解析 －114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π.∴θ＝－34π.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 度数与弧度数的换算借助“计算器《中学数学用表》”进行，一些特殊角的度数与弧度数的对应值必须记牢．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.一、基础达标1．－300°化为弧度是( )A ．－43πB ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C5．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是 ． 答案 (－32π，－π)∪(12π，2]解析 ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－32π＜α＜－π，当k ＝0时，π2＜α≤2，当k 为其他整数时，满足条件的角α不存在．6．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的 ． 答案 34解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．二、能力提升8．若扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ， 则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.9．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }， 集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝ .答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ， 从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152cm 时，面积最大，最大为2254 cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ. 解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与创新13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3 (cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6 ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
人教新课标版数学高一必修4导学案 弧度制
1．1.2弧度制导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？思考2长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？1．角度制和弧度制2.角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？1．角度与弧度的互化2.知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？【合作探究】类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.类型二 利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】1.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad2．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或44．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________． 5．将－1 485°化成2k π＋α，(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________．【小结作业】小结：作业：本节限时练。
《弧度制》课件与导学案
角度与弧度的换算 一般地，只需根据
两边同除以180
两边同除以π 就可以进行角度和弧度的换算了.
弧度数=角度数×
角度数=弧度数×
【1】把67°30′化成弧度.
【解】因为67°30′=
，所以
67°30′=
【2】把1.5π化成角度. 【解】1.5π=
【注意】角度中含有分 (‘)秒(‘’)时，化成 弧度制之前，要先化成 度(°).
类型一：弧度与角度的互化
典例示范
【例 1】 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解：(1)20°＝21080π＝π9. (2)－15°＝－11580π＝－1π2. (3)172π＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
(2)∵与 α 终边相同的角可写为 2kπ＋149π，k∈Z 的形式，而 γ 与 α 的终边相同，
∴γ＝2kπ＋194π，k∈Z. 又 γ∈－π2，π2， ∴－π2<2kπ＋194π<π2，k∈Z， 解得 k＝－1，∴γ＝－2π＋194π＝－49π.
用弧度制表示角应注意的问题： (1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应 用，必要时，需进行角度与弧度的换算，注意单位一定要统一，角 度数与弧度数不能混用．
则有：
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还 将进一步看到弧度制带来的便利.
【1】把下列角度化成弧度.
（1）22°30′
（2）-210°
【解】（1）22°30′=
（3）1200°
（2）-210°=
（3）1200°=
【2】把下列弧度化成角度. 【解】
高中数学人教版必修4任意角和弧度制导学案
高中数学人教版必修4任意角和弧度制导学案§1．1 任意角和弧度制§1．1．1 任意角【学习目标】理解任意角、象限角的概念，并会用集合来表示终边相同的角。
【知识梳理】1、角可以看成平面内一条绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
2、按逆时针方向旋转形成的角叫做，按顺时针方向旋转形成的角叫做。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个，它的和重合。
这样，我们就把角的概念推广到了，包括、和。
3、我们常在内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的与重合，角的与重合。
那么，角的落在第几象限，我们就说这个角是。
如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角。
4、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个，，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。
【小试身手】5、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°6、－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°8、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．【基础训练】9、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A．｛α∣90°<α<180°｝B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C11、下列结论正确的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα12、若α是第四象限的角，则α- 180是 ．(89上海)A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角13、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．14、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．15、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．16、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1） 210-； （2）731484'-．17、下列说法中，正确的是（ ）A ．第一象限的角是锐角B ．锐角是第一象限的角C ．小于90°的角是锐角D ．0°到90°的角是第一象限的角【举一反三、能力拓展】18、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）（1） （2） （3）19、已知角α是第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
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§1.1.2 弧度制
1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数.
2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系.
3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.
一、课前准备
（预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？
二、新课导学
※探索新知
问题1：什么叫角度制？
问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？
问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？
问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？
问题5：角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系。
问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.
问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。
回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。
※ 典型例题
例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法） （1）
5
3π
（2）3.5 （3）252º （4）11º15¹
变式训练：①填表
②若6-=α，则α为第几象限角？ ③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集
合
___ ____.
用弧度制表示终边在第四象限的角的集合
__ _____.
例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积
变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.
变式训练 (2)：A=()⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈⋅
-+=Z k k x x k
,21π
π, B=⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
∈+=Z k k x x ,22π
π则A 、B 之间的关系为 .
※ 动手试试
1、将下列弧度转化为角度： （1）
12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）6
13π
= °； 2、将下列角度转化为弧度：
（1）36°= rad ； （2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 3、已知集合M =｛x ∣x = 2
π
⋅
k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2
π
π±
⋅k , k ∈Z ｝，则 （ ）
A ．集合M 是集合N 的真子集
B ．集合N 是集合M 的真子集
C ．M = N
D ．集合M 与集合N 之间没有包含关系
4、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变 C ．扇形的面积增大到原来的2倍 D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍
三、小结反思
角度制与弧度制是度量角的两种制度。
在进行角度与弧度的换算时关键要抓住180º=π rad 这一关系式，熟练掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1、把411π
-
表示成)(2z k k ∈+πθ的形式，使||θ最小的θ为（ ） A 、43π- B 、4
π C 、43π D 、4π-
2、角α的终边落在区间（－3π,－5
2 π）内,则角α所在象限是 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、已知扇形的周长是cm 6，面积为2
2cm ，则扇形弧度数是（ ） A 、1 B 、4 C 、1或4 D 、2或4 4、将下列各角的弧度数化为角度数：
（1）=-
6
7π 度；（2）=-
38π
______度； （3）1．4 = 度； （4）=3
2
度.
5、若圆的半径是cm 6，则
15的圆心角所对的弧长是 ；所对扇形的面积是__ .
6、已知集合A=⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+
≤≤+Z k k x k x ,23
π
ππ
π,B={}
042≥-x x ，求B A .
7、已知一个扇形周长为(0)C C >，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？
8、如图，已知一长为dm 3，宽为dm 1的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成
30的角，问点A 走过的路程及走过的弧度所在扇形的总面积？。