第二章 导热基本定律及稳态导热

t = f (x, y,τ )
t = f (x, y, z)
t = f (x, y, z,τ )
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刘彦丰
传热学 Heat Transfer 2、温度分布的图示法
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传热学 Heat Transfer 2、温度分布的图示法
等温线
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传热学 Heat Transfer
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传热学 Heat Transfer
4. 已知一单层圆筒壁的内、外半径分别为 r1、r2， 导热系数λ为常量，无内热源，内、外壁面维持均 匀恒定的温度tw1，tw2 。
tw1
tw2
r1 r2
r
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传热学 Heat Transfer
2-3 一维稳态导热
稳态导热 ∂t ∂τ = 0 温度不随时间而变化。
国标（92年）规定：凡平均温度不高于350℃时 导热系数不大于0.12 W/（m·K）的材料可作为保温 材料。
常用的保温材料： 复合硅酸盐制品、硅酸铝制品、硅酸镁（绝热
涂料）、岩棉、玻璃棉、聚氨酯泡沫、聚乙烯泡沫 等。
应注意的是：以上这些材料的导热系数随温度 、含水率、密度而变化的。
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三、导热系数
1、导热系数的定义
λ
=
−
q grad
t
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单 位时间内单位面积的热量。导热系数是物性参数， 它与物质结构和状态密切相关，例如物质的种类、 材料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几 何形状无关。它反映了物质微观粒子传递热量的特
性。
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传热学 Heat Transfer 2、导热系数的相对大小和典型数据
一、温度分布的描述和表示
像重力场、速度场等一样，物体中的温度分布 称为温度场。
1、温度分布的文字描述和数学表示，如：在直
角坐标系中 稳态温度场
t = f (x)
一维温度场 t = f (x,τ )
t = f (x, y, z)
非稳态温度场
t = f (x, y, z,τ )
二维温度场 三维温度场
t = f (x, y)
沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
Φz
− Φz+dz
=
∂ ∂z
λ
∂t ∂z
dxdydz
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传热学 Heat Transfer 导入与导出净热量:
Φc
=
[
∂ ∂x
(λ
∂t ∂x
)
+
∂ ∂y
(λ
∂t ∂y
)
+
∂ ∂z
(λ
∂t ∂z
)]dxdydz
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV = Φ& dxdydz
使得微分方程获得某一特定问题的解的附加条 件，称为定界条件。对于非稳态导热问题，需要描 述初始时刻温度分布的初始条件，以及给出物体边 界上温度或换热的边界条件。稳态导热问题仅有边 界条件。
导热问题的完整数学描述：
导热微分方程 + 定解条件
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传热学 Heat Transfer 常见的边界条件有三类
+
∂ 2t ∂z 2
=
0
4. 一维稳态含内热源导热：
∂ ∂x
(λ
∂t ∂x
)
+
Φ&
=
0
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传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, Φ, z）
x = r cosφ; y = r sinφ; z = z
ρc ∂t ∂τ
=
1 r
∂ ∂r
(λr
传热学 Heat Transfer
第二章 导热基本定律及稳态导热
工程应用的两个基本目的：
• 能准确地预测所研究系统中的温度分布； • 能准确地计算所研究问题中传递的热流。
要解决的问题：
温度分布如何描述和表示？ 温度分布和导热的热流存在什么关系？ 如何得到导热体内部的温度分布？
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传热学 Heat Transfer
=
t2 − t1
δ
t2
将两个积分常数代入原通解，可 0 δ x
得平壁内的温度分布如下
t
=
t1
−
t1
− t2
δ
x
线性分布
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传热学 Heat Transfer
利用傅立叶导热定律可得通过平壁的热流量
q
=
−λ
dt dx
=
λ
t1
− t2
δ
W/m 2
Φ
=
−λA
dt dx
=
λA t1 − t2 δ
本章内容简介
2-1 导热基本定律
回答问题1和2
2-2 导热微分方程式及定解条件 回答问题3
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体
的导热（一维稳态导热）
2-4 通过肋片的导热分析
具体的稳 态导热问
2-5 具有内热源的导热及多维导热 题
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传热学 Heat Transfer
2-1 导热基本定律
牛顿冷却定律：
qw = h(tw − t f )
qw
傅里叶定律：
qw = −λ(∂t / ∂n)
例：右图中
0
x =δ,
−
λ
∂t ∂x
x=δ
= h(tw
−tf )
h tf
δx
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传热学 Heat Transfer 课上作业：列出下列问题的的数学描述：
1. 一块厚度为δ 的平板，两侧的温度分别为tw1和
热力学第一定律+傅里叶定律
方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析，
依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间
的关系式。
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传热学 Heat Transfer
一、导热微分方程的推导
1.物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热
以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。
λ金属 > λ非金属; λ固相 > λ液相 > λ气相
在常温（20℃）条件下
纯铜：λ = 399 W (m ⋅ K)
碳钢：λ = 36.7 W/(m ⋅ K) 水：λ = 0.599 W (m ⋅ K)
空气：λ = 0.0259 W (m ⋅ K)
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3、保温材料
传热学 Heat Transfer
2.假设条件
(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知；
(3) 内热源均匀分布，强度为 Φ& [W/m3]；
(4)导热体与外界没有功的交换。
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传热学 Heat Transfer 3.建立坐标系，取分析对象（微元体）
在直角坐标系中进行分析。
dz
z
3、意义
传热学 Heat Transfer
已知物体内部的温度分布后，则由该定律求得各 点的热流密度或热流量。
例1：已知右图平板中的温度分布可以表示成如下
的形式：
t = c1x2 + c2
其中C1、C2 和平板的导热系数为常
数，计算在通过 x = 0 截面处的
热流密度为多少？
0
x
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传热学 Heat Transfer
5. 导热微分方程的基本形式
ρc ∂t ∂τ
=
∂ ∂x
(λ
∂t ∂x
)
+
∂ ∂y
(λ
∂t ∂y
)
+
∂ ∂z
(λ
∂t ∂z
)
+
Φ&
非稳态项
三个坐标方向净导入的热量 内热源项
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传热学 Heat Transfer
二、一些具体情况下的简化
1.若导热系数也为常数
∂t
∂τ
=
a
∂2t ∂x2
+
∂2t ∂y 2
二、导热基本定律(傅立叶定律)
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验 研究基础上，发现导热基本规律 —— 傅里叶定律.
法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官 员。曾于1798-1801追随 拿破仑去埃及。后期致力 于传热理论，1807年提交 了234页的论文，但直到 1822年才出版。
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复合硅酸盐
玻璃棉
聚氨酯泡沫
岩棉
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泡沫石棉
耐火材料
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2-2 导热微分方程式及定解条件
作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的 数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。
t = f (x, y, z,τ )
理论：导热微分方程式建立的基础是：
dx
= Φx
+
∂∂Φx& - λ
∂t ∂x
dxdydz
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传热学 Heat Transfer 沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx
− Φx+dx
=
∂ ∂x
λ
∂t ∂x
dxdydz