关于超越方程的解法
初等超越方程
.
例3 解方程 9x 6x 2 4x .
二、对数方程 定义4.3.2 在对数符号里含有未知量的 方程叫做对数方程. 形如 loga x b (a 0, a 0) 方程叫做最简对数方程. 1. 最简对数方程的解 对任何 b R 方程 loga x b (a 0, a 0) b 总有唯一解 x a . 2. 对数方程的初等解法 解对数方程时不仅要用到同解变形，而 且要用到非同解变形. 所以在求解时应注意 有无增根和失根. 常用变形有如下几种：
则方程变形为
sin( x ) c a b
2 2
.
当
c a2 b2
1 时，方程有解.
(7) 运用三角函数的有界性 例12 解方程
x x sin x cos 2sin x cos x 1 sin 2cos x 0. 4 4
(1) 根据对数定义,方程 loga c f ( x ) a . 可同解变形为
f ( x) c (a 0, a 1)
(2) 方程 loga f ( x) loga g (x)(a 0, a 1) 可以变 形为 f ( x) g ( x). (定义域扩大，应验根) (3) 运用对数基本恒等式、对数运算法则 和换底公式进行变形. (应注意验根) (4) 对一个等式的两边取对数. (等式两边 必须都取正值) (5) 方程 f loga g( x) 0(a 0, a 1) 与方程 组
三、三角方程 定义4.3.3 含有未知数的三角函数的方程 叫三角方程. 特殊地，形如 sin x a,cos x a, tan x a, cot x a 的方程叫做最简三角方程. 求解三角方程的关键，就是运用各种恒等 变形，把原方程化为最简三角方程.
x的x次方=a 超越方程的解法
看到这个超越方程x x = a, (a>1),有的同学可能脑袋都大了：底数和指数都是未知数，怎么解呀?其实，按照下面讲的迭代法，可以很容易的求得达到很高精确度的近似解：[说明：为编程方便，采用了与FORTRAN77一致的写法：1200 写为1.2E3,自然对数写为 log,...]两边取自然对数， x*log(x) = log(a) ,移项，x = log(a)/log(x) ,这不是很标准的迭代形式吗。
编程如下。
** xxa.for x**x=a >1,xo=ba,x,x1,yreal*8read(*,*) a,bx=bN=11 x1=xx=log(a)/log(x)y=ABS(x1-x)N=N+1IF(N.LE.1000.AND.y.GT.1.0d-8) GO TO 1WRITE(*,2) N,x,y2 format(1x,'N',I4,1x,'x=',d17.12,1x,'y',d12.7)end新建一个.txt 文件，把程序复制粘贴到里面，保存，关闭文件，改名为.for 文件，就可以在FORTRAN77中运行了；输入a,b(b是设定的初值)，按回车键，在1s内可以得到计算结果如下：1.0d6,9.0d0N 31 x=.706579673132D+01 y.8924538D-081.0d13,1.0d1N 24 x=.120329080082D+02 y.6295263D-08误差小于1d-8.说明：1] real*8代表双精度计算，理论上可以达到1.0d-15 的精度，这在一般情况就足够了。
2] 整数N的引入是为了防止迭代过程不收敛时运算无休止的进行进入死胡同。
3] x1这个变量是必须引入的，它代表了运算以前的x；4] "b" 代表初值，其选取要求不高。
4] 程序中"="的含意与通常数学公式不同，是"赋值"的意思，这一点初学者常常误会，需要认真领会。
关于超越方程的解法
令，则方程①可化为
或
即或
由于，代入上式，得原方程的解
3.2.5运用降次公式
把已知的高次方程化为低次方程然后求解
例12：解方程
解：原方程可化为
即
由，得①
由，得②
注意到解集②是解集①的真子集，不必重复。所以原方程的解是。
3.2.6换元法
例13：解方程
解：令，则原方程化
，即
所以
即。所以
3.2.7运用三角函数的有界性
参考文献
[1]李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995：219～231
[2]余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究（下册）[M].高等教育出版社，1988.2：195～203
[3]张尊宙，张广祥.中学代数研究[M].高等教育出版社，2006. 6：207～218
[4]林国泰.初等代数研究教程[M].北京：高等教育出版社，2001.3：290～294
解：
或
例4：解方程（类型）
解：以除原方程的两边，得
令代入上式，得
解得，其中不满足的条件，舍去。
所以
二、对数方程
定义5：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。特殊地，形如的方程叫做最简对数方程。
2.1最简对数方程的解法
对于任何，方程总有唯一解。
2.2对数方程的初等解法
解对数方程时不仅要用到同解变形，而且要运用非同解变形，所以在求出根后，一般应验根，以发现有无增根，失根，常用变形有以下几种：
[5]曹才翰，沈伯英.初等代数教程[M].北京师范大学出版社，1991.4：404～419
[6]薛金星.数学基础知识手册（高中）[M].人民教育出版社，2003.7：74～97
超越方程解法
超越方程解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：超越方程解法是数学领域中一个重要而复杂的问题，涉及到超越函数和代数方程的结合。
超越函数是指不满足任何有理方程的函数，例如指数函数、对数函数、三角函数等。
超越方程是指含有超越函数的方程，通常无法用有限次的代数运算解出其根。
解决超越方程需要运用一系列的数学方法和技巧，进行推导和化简，找到其解的近似值或特殊形式。
在数学中，解方程是一项基本的任务，从一次方程到高次方程，数学家们都提出了各种解法，例如直接代入法、配方法、求根公式等。
超越方程的解法却不那么直接和简单。
因为超越函数的性质决定了它们不会在有限的有理运算下得到解，因此需要运用更加复杂的方法来解决超越方程。
下面我们将介绍几种常用的超越方程解法。
一种常见的超越方程解法是利用级数展开法。
级数展开是将一个函数表示成无穷级数的形式，通过截断级数来近似表示原函数。
对于一些复杂的超越函数，可以通过级数展开来简化计算和解析。
当我们遇到指数函数或对数函数的方程时，可以尝试使用泰勒级数或泰勒-麦克劳林级数来将函数近似成一个无穷级数，然后通过截断级数来求解方程的近似解。
另一种常见的超越方程解法是利用变换和化简。
有些超越方程看似复杂，但通过适当的变换和化简可以得到简单的形式，从而更容易求解。
通过代换、换元、分式分解等方式，可以将原方程转化成更简单的形式，进而找到其解。
在这个过程中，需要灵活运用各种代数技巧，将原方程变形成更易处理的形式。
还有一些特殊的超越方程解法，例如利用积分和微分方程的方法。
有些超越方程可以转化成微分方程的形式，通过求解微分方程来得到原方程的解。
这种方法通常适用于一些特殊的超越方程，需要一定的数学知识和技能。
超越方程解法是一个复杂而又有趣的数学问题，需要数学家们不断探索和研究。
通过不断的实践和思考，我们可以运用各种数学方法和技巧来解决超越方程，挖掘其中的数学奥秘。
希望通过本文的介绍，读者能对超越方程解法有更深入的了解，并对数学问题更加感兴趣和热爱。
例析超越方程参数范围的普适解法
作为初等数 学 与高 等数学 的纽 带 ， 函数 与导数 始 终
一
是 高考的热点 ， 近年来 多次作 为压轴题 出现 ， 且 往往含有 参数 ， 并需要求解 其范 围． 但 对 于许 多 函数 ， 求 导后 导 函 数形 式往往呈 现超越 式 ， 导 致导 数零 点求 不 出 、 判不定， 从而使解题过 程 陷入 困境． 笔者 试 图结合 例题 分析 来 探
．－－－— —
５４ － － — － — —
２ ０ １ ７ 年 ９ 月 第 ２ ５ 期
／ ）＝ ｇ （ ） 一ｈ （ ）＝ ＋， 眦一 ｅ ＋１ ，
数理化 解 题 研 究
０ 调递增 ， 所 以当 ＝ 。 时 （ ） …＝ Ｘ 。 ） ．
＾
ｍ 的取 值 范 围．
解析
方 法一 ： 问题 等价于 ［ ｇ （ ｘ ） 一ｈ （ ｘ ） ］ ＞０ ， 令
作者简介 ： 吕涤（ １ ９ ９ ９ ． ２一） ， 女 ，南京农 业大学植物保护 学院植物保护 专业 ， 在校生 张毅凡（ １ ９ ９ ８ ． ８一） ，男，浙江省嵊 州中学， 在校 生．
ｑ ＋２ ｑ ＋３ ｇ ＋・ ・ ＋ｎ ｑ ＝ｑ （ １＋２ ｇ＋３ ｇ ＋… ＋
令ｎ ＝１ ｊｃ ＝ １
一
口
， 将ｃ ＝
Ｉ 一 口
代入 （ ） 式，
．
解
＝
ｎ ｑ ） ， １ ＋ ３ ｑ ＋ ５ ｑ ＋ …＋ （ ２ ｎ 一 １ ） ｑ ‘差（ ２ ｋ 一 １ ） ｇ
观察法解决超越方程或不等式
观察法解绝超越方程或不等式1， 函数e 1()ln ,A ,)y ()P Q 11f x x f x e e ==--过点（作的两条切线切点分别为，，求直线PQ 的方程解：设切线与()ln f x x =相切于点0,0()x y ，PQ 方程y kx b =+易得方程0011ln 10e x e x -+-=整理得 00011ln x e x e x --=观察易得001x x e ==或进而求得11,11k b e e==-- 2，1()2ln f x x x x=--的零点为x=1 易证1()2ln f x x x x =--在(0,)+∞上单调递增 2， 解不等式22ln 0e x x -<解：构造函数2()2ln f x e x x =-，观察可知0f =，且易证())f x ∞上单调递减，所以解集为)∞3，121()ln , g(x)=ln m e f x mx x x x x-+=--+ 若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >，求m 得取值范围 解，令22()()()2ln 2ln m e m e F x f x g x mx x mx x x x x+=-=--=--- m 《0，x 在[]1,e 上时，很容易观察()0F x <，故此时不存在0xm 〉0时22(1)2()F ()m x e x x x ++-='易观察()0F x >，()F x 在[]1,e 单调递增，max ()()0F x F e ∴=>解得241e m e >- 4，已知函数()()xf x mx n e -=+在x=1处取得极值1e - （Ⅰ）求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调区间（Ⅱ）当(,x a ∈+∞）时，(2)()2(),f x a f a f x -+>求a 得取值范围解：（Ⅰ）略，()x f x xe -=（Ⅱ）观察出22x a a x -+=则不等式可化为[]21)(2)()22x a a f f x a f a -+<-+（而这说明()f x 在(,a +∞）上是下凸的，有下凸函数的性质知x x f ≥≥∴≥可解得2,a 2''()0,5，已知函数()1,R f x x a x a =-+-∈（Ⅰ）当a=3时，解不等式()4f x ≤ （Ⅱ）当(2,1),()21x f x x a ∈->--，求a 得取值范围解：（Ⅰ）{}x 4x≤≤⎥0 （Ⅱ）观察出2x-a-1=x-a+x-1则1()(1)x a x x a x -+->-+-有含绝对值不等式的性质可知()(1)0,2x a x a x a --<∴<∴≤-。
代数方程和超越方程
代数方程和超越方程一、代数方程。
（一）定义。
代数方程是指由多项式组成的方程。
多项式是由变量（通常用字母表示，如x、y 等）和系数通过有限次的加、减、乘运算得到的表达式。
例如，一元一次方程ax + b = 0（a≠0），其中a和b是常数，x是变量；一元二次方程ax^2+bx + c = 0（a≠0）等都是代数方程。
（二）求解方法。
1. 一元一次方程。
- 对于方程ax + b = 0（a≠0），求解的步骤是：首先将常数项b移到等号右边，得到ax=-b，然后两边同时除以a，解得x =-(b)/(a)。
例如方程2x+3 = 0，移项得到2x=-3，解得x =-(3)/(2)。
2. 一元二次方程。
- 对于方程ax^2+bx + c = 0（a≠0），可以使用求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}来求解。
- 当b^2-4ac>0时，方程有两个不同的实数根；当b^2-4ac = 0时，方程有一个实数根（两个相同的根）；当b^2-4ac<0时，方程有两个共轭复数根。
例如方程x^2-2x - 3 = 0，其中a = 1，b=-2，c=-3，b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-3)=16>0，根据求根公式x=(2±√(16))/(2)=(2±4)/(2)，解得x_1 = 3，x_2=-1。
3. 多元一次方程组。
- 可以使用消元法来求解。
例如对于方程组2x + 3y=8 x - 2y=-3- 可以将第二个方程x - 2y=-3变形为x=2y - 3，然后将其代入第一个方程2(2y - 3)+3y = 8，展开得到4y-6 + 3y=8，即7y=14，解得y = 2。
- 再把y = 2代入x = 2y-3，得到x=1。
二、超越方程。
（一）定义。
超越方程是指包含超越函数的方程。
超越函数是指那些不满足多项式方程关系的函数，例如三角函数（sin x、cos x等）、指数函数（e^x）、对数函数（ln x）等。
超越方程反解难,巧妙构造变简单 高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)
【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如0109623=-+-x x x ，22ln 22+-=-x x x x 方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况求解．【典例指引】例1．已知函数()ln f x ax x x =+在2x e -=处取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）设()()()22ln F x x x x f x =+--，其导函数为()F x '，若()F x 的图象交x 轴于两点()()12,0,,0C x D x 且12x x <，设线段CD 的中点为(),0N s ，试问s 是否为()0F x '=的根？说明理由．【思路引导】（1）先求导数，再根据()20f e -'=，解得1a =，最后列表验证（2）即研究1202x x F +⎛⎫=⎪⎝⎭'是否成立，因为121212412x x F x x x x +⎛⎫=+--⎪+⎭'⎝，利用21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=得()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-，所以()121212122ln ln 42x x x x F x x x x -+⎛⎫=- ⎪-+⎭'⎝=0，转化为()21ln 01t t t --=+．其中12x t x =，最后利用导数研究函数()()21ln 1t u t t t -=-+单调性，确定方程解的情况（2）由（1）知函数()22ln F x x x x =--．∵函数()F x 图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0C x D x ，（12x x <），∴21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=．两式相减得()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-()221F x x x-'=-．学*()1212121212122ln ln 4412x x x x F x x x x x x x x -+⎛⎫=+--=-⎪+-+⎝⎭'．下解()1212122ln ln 40x x x x x x --=-+．即()1212122ln 0x x x x x x --=+．令12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<，即()21ln 01t t t --=+．令()()21ln 1t u t t t -=-+，()()()()22211411t u t t t t t -=-=+'+．又01t <<，∴()0u t '>，∴()u t 在()0,1上是増函数，则()()10u t u <=，从而知()1212122ln ln 40x x x x x x --+<+-，故1202x x F +⎛⎫< ⎪⎝⎭'，即()0F s '=不成立．故s 不是()0F x '=的根．学*例2．设函数()21ln 2f x x ax bx =--（1）当3,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）令()()21(03)2a F x f x ax bx x x =+++<≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（3）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）先求导数()'f x 然后在函数的定义域内解不等式()'0f x >和()()'0,'0f x f x 的区间为单调增区间，()'0f x <的区间为单调减区间；（2）先构造函数()F x 再由以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，知导函数12k ≤恒成立，再转化为200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭求解；（3）先把握()f x mx =有唯一实数解，转化为ln 1xm x=+有唯一实数解，再利用单调函数求解．【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间．例3．已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出，分两种情况讨论，分别令得增区间，令得减区间；（2），令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）依题意，，令，则，学*令，则，即在上单调递增．又，，存在唯一的，使得．当，在单调递增；当，在单调递减．，，，且当时，，又，，．学*故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为．【新题展示】1．【2019山西祁县中学上学期期末】已知函数,．若（1）求实数的值；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（2）得到xlnx k，令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解析】所以当时，，即的值域为．所以使方程有实数解的的取值范围．2．【2019浙江台州上学期期末】设函数，R．（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值；（Ⅲ）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求出函数在处的导数后可得切线方程．（Ⅱ）参变分离后求函数的最小值可得的最大值．（Ⅲ）因为，故无零根，参变分离后考虑的图像与直线总有两个不同的交点，从而得到实数的取值范围．【解析】（Ⅰ），.且，所以在处的切线方程为.所以.（其中）所以的最大值为.（ⅰ）当时，即时，则，即在，单调递增，且当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.此时对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.（ⅱ）当时，有两个非负根，，所以在，，单调递增，单调递减，所以当时有4个交点，或有3个交点，均与题意不合，舍去.（ⅲ）当时，则有两个异号的零点，，不妨设，则在，单调递增；在，单调递减.当时，的取值范围为，当时，的取值范围为，所以当时，对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.所以有，，得.由，得，即.所以，，.故.所以.所以当或时，原方程对任意实数均有且只有两个解.3．【2019浙江杭州高级中学上学期期中】已知函数.（1）若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围.（2）求证：当时，.【思路引导】（1）关于的方程在内有两个不同的实数根等价于，x与y=a有两个不同的交点；（2）要证当时，即证【解析】（2）证明：，由得在上单调递增，又,根据零点存在定理可知，存在，使得当时，，f（x）在上单调递减；当时，，f（x）在上单调递增；故.由，得到，即，，故，其中，令，，由，得到在上单调递减，故，即，综上：有当时，.【同步训练】1．已知函数()21e2xf x t x -=--（R t ∈），且()f x 的导数为()f x '．（Ⅰ）若()()2F x f x x =+是定义域内的增函数，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）若方程()()222f x f x x x +=--'有3个不同的实数根，求实数t 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需()0f x '≥，即()()2121e 2x t x g x ≤-=恒成立，求出()min g x 即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于227e 2x t x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，研究函数()227e 2x h x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调性，结合图象可得结果．令()0h x '=，解得3x =-或1x =．列表得：x (),3-∞-3-()3,1-1()1,+∞()h x '+0-0+()h x 增极大值减[来源:]极小值增由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值65e 2-；当1x =时，()h x 取得极小值23e 2-．又当3x <-时，2702x x +->，2e 0x >，此时()0h x >．学*因此当3x <-时，()650,e 2h x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当31x -<<时，()2635e ,e 22h x -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；当1x >时，()23e ,2h x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，因此实数t 的取值范围是650,e 2-⎛⎫ ⎪⎝⎭．2．已知函数()322ln 3f x ax x =--的图象的一条切线为x 轴．（1）求实数a 的值；（2）令()()()g x f x f x =+'，若存在不相等的两个实数12,x x 满足()()12g x g x =，求证：121x x <．【思路引导】（1）对函数求导，由题可设切点坐标为()0,0x ，由原函数和切线的斜率为0可得方程组，解方程组得a 值；（2）由题知()32211ln 3g x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系，判断()g x 的单调性，再构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用导数判断出()G x 的单调性，最后可令1201x x <<<，利用()G x 单调性可得结论．()()(),1{,01h x x g x h x x ≥=-<<且()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()10g =，当1x >时，101x<<，学*记()()()()()1111G x g x g h x h f x f x f f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦''，记函数()y f x ='的导函数为()y f x =''，则()()()221111G x f x f x f f x x x x ⎛''''''⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎝'⎭⎭3．已知函数()()ln f x a x x =+（0a ≠），()2g x x =．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线恰好也是()g x 图象的切线．①求实数a 的值；②若方程()f x mx =在区间1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）当01a <<时，求证：对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立．【思路引导】（1）①首先求函数()f x 的图象在1x =处的切线，()1'1f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()'12f a =，又因为切点为()1,a ，所以切线方程为2y ax a =-，于是问题转化为直线2y ax a =-与函数()g x 图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程ln x x mx +=在区间1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有唯一实数解，参变量分离得ln 1x m x =+，设()ln 1x t x x =+，1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，研究()t x 的单调性、极值，转化为直线y m =与()y t x =有且只有一个交点，（2）当01a <<时，()f x 在[]1,2上单调递增，()2g x x =在[]1,2上单调递增，设1212x x ≤<≤，则()()12f x f x <，()()12g x g x <，于是问题转化为()()()()2211f x g x f x g x -<-，构造函数()()()F x f x g x =-，通过函数()F x 在[]1,2上单调递减，可以求出a的取值范围．∵()21ln 'x t x x -=，∴1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭，()'0t x >，函数单调递增，(),e +∞，()'0t x <，函数单调递减，∵11t e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11t e e=+，且(),x e ∈+∞时，()1t x >，∴[]11,11m e e ⎧⎫∈-⋃+⎨⎬⎩⎭；证明：（2）不妨设1212x x ≤<≤，则()()12f x f x <，()()12g x g x <，∴()()()()1212f x f x g x g x -<-可化为()()()()2121f x f x g x g x -<-∴()()()()2211f x g x f x g x -<-设()()()F x f x g x =-，即()()2ln F x a x x x =+-，∴()F x 在[]1,2上单调递减，∴()22'02ax a x F x +-=≤恒成立，即221x a x ≤+在[]1,2上恒成立，∵22221111124x x x =-≥+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴1a ≤，从而，当01a <<时，命题成立．4．已知函数()()ln , 2.718f x x x e == ．（1）设()()()2216g x f x x e x =+-++，①记()g x 的导函数为()g x '，求()g e '；②若方程()0g x a -=有两个不同实根，求实数a 的取值范围；（2）若在[]1,e 上存在一点0x 使()()20011m f x x ->+成立，求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）①对()g x 进行求导，将e 代入可得()g e '的值；②对()g x 进行二次求导，判断()g x '的单调性得其符号，从而可得()g x 的单调性，结合图象的大致形状可得a 的取值范围；（2）将题意转化为00001ln 0mx m x x x +-+<，令()1ln m h x x m x x x =+-+，题意等价于()h x 在[]1,e 上的最小值小于0，对()h x进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值．（2）由题可得()2000ln 11m x x x ->+，∴000011ln m x x x x ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭，∴00001ln 0mx m x x x +-+<，令()1ln mh x x m x x x=+-+，则()h x 在[]1,e 上的最小值小于0，又()()()()211x x m h x x='+-+，1，当1m e +≥时，即1m e ≥-，()h x 在[]1,e 上递减，所以()0h e <，解得211e m e +>-；2，当11m +≤即0m ≤，()h x 在[]1,e 递增，∴()10h <解得2m <-；3，当11m e <+<，即01m e <<-，此时要求()10h m +<又()0ln 11m <+<，所以()0ln 1m m m <+<，所以()()12ln 12h m m m m +=+-+>此时()10h m +<不成立，综上2m <-或211e m e +>-．学*点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与0的关系得到函数的单调区间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别．5．已知函数()()233x f x x x e =-+⋅．（1）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,(2)t t ->-上为单调函数；（2）若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程()()0f x z x R -=∈在[]2,t -上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围．【思路引导】（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据[]2,t -为某个单调区间的子集得t 的取值范围，（2）结合三次函数图像确定t 的取值范围：当2t ≥,且t N ∈时，方程()0f x z -=在[]2,t -上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数z 的满足的条件：()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-，最后解不等式可得实数z 的取值范围．只需满足()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-即可．因为()()()()22132,03,1,2f f f e f e e-====，且()()()2230f t f e f ≥=>=，因而()()()()()2102f f f f f t -<<<≤，所以()()10f z f <<，即3e z <<，学*综上所述，当2t ≥,且t N ∈时，满足题意，此时实数z 的取值范围是(),3e ．6．已知函数()()21ln ,f x x ax g x x b x =+=++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线．（1）求a 的值；（2）对任意的11,x e ⎡⎤∈⎣⎦，都存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（3）已知方程()f x cx =有两个根1212,()x x x x <，若()1220g x x c ++=，求证:0b <．【思路引导】（1）对函数()f x 求导，()2112'2ax f x ax x x+=+=，设直线12y =-与函数()f x 相切与点()20000,ln (0)x x ax x +>，根据导数的几何意义可得，200200210{12ax x lnx ax +=+=-，解得01{12x a ==-，求出12a =-；（2）对任意的1[1,x ∈e ，都存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，只需要()1f x 的值域是()2g x 值域的子集，利用导数的方法分别求()1f x 、()2g x 的值域，即可求出b 的取值范围；（3）根据题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得，212121ln ln 2x x x x c x x -+=--，所以()()1211221121122212ln ln 2ln 1x x x x x b x x x x x x x x x ---=--=++，令12xt x =，则()0,1t ∈，则()2112ln 1t b x x t t --=-+，令()()12ln ,0,11th t t t t-=-∈+，对()h t 求导，判断()h t 的单调，证明0b <．(2)由（1）得()21ln 2f x x x =-，所以()211'x f x x x x -=-=，当(1x ∈，时，()0f x <，所以()f x在⎡⎣上单调递减，所以当(1x ∈，时，()min f x f=122e=-，()()()222min1111,'12x f x f g x x x -+==-=-+=，当[]1,4x ∈时，()'0g x >，所以()g x 在[]1,4上单调递增，所以当[]1,4x ∈时，()()()()min max 1712,44g x g b g x g b ==+==+，依题意得11,222e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦172,4b b ⎡⎤⊆++⎢⎥⎣⎦，所以1222{17142eb b +≤-+≥-，解得193422e b -≤≤--．(3)依题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得()()()222121211ln ln 2x x x x c x x ---=-，所以212121ln ln 2x x x x c x x -+=--，方程()1220g x x c ++=可转化为7．已知函数（为自然对数的底数，），，．（1）若，，求在上的最大值的表达式；（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．【思路引导】(1)先求函数导数，根据定义域以及取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围；(3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数．试题解析：(1)时，,；①当时，，在上为增函数，此时，②当时，，在上为增函数，故在上为增函数，此时③当时，，在上为增函数，在上为减函数，若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，此时若，即时，在上为增函数，则此时，综上所述：（2），，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上恰有两个相异实根，，实数的取值范围是，8．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．【思路引导】(1)先求函数导数,再求导函数零点,根据定义域舍去,对进行讨论,时，，单调增区间为．时,有增有减;(2)函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小,设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小．(3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知．不妨设，则，．两式相减得，即．所以．因为，点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．21。
利用导数讨论超越方程根的问题
通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为 这二类方程根的问题），我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单
调区间，依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与 x 轴的交点情况，挖 掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标。
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判断其单调性，然后画出草图数形结合，根据图象与 x 轴的交点情况，挖掘出隐含条
件即可得解。
解：方程可化为 x a 1 ln x 12 0
y
令 f x x a 1 ln x 12 x 0 , 2
则 f ' x 1 2 x 1
x 1 x 1
利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题
湖北省仙桃市第八中学 杜好军
导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如
x3 6x2 9x 10 0 ，x2 2ln x x 2 x +2 方程的根的问题时，我们利用导数这一工
具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并 求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐
y
f x极大值 = f 1 = 6 0
01
3
x
故 f x 的极大值在 x 轴的下方，如图 1，即 f x
的图象与 x 轴只有一个交点，原方程只有一个实根。 选C 。
（图 1）
例 2、已知函数 f x x3 3bx2 2b3在 , 0 上是增函数，在 0, 2 上是减函数，若
f x 16 恰有一解，求实数 b 的取值范围。
分析：此题给出函数的单调区间，求参数 b 的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它
mathcad解超越方程
mathcad解超越方程摘要：1.介绍Mathcad2.什么是超越方程3.Mathcad 解超越方程的方法4.举例说明如何用Mathcad 解超越方程5.总结正文：一、介绍MathcadMathcad 是一种用于数学建模和求解的软件，广泛应用于工程、科学和教育领域。
它可以处理各种类型的数学问题，包括代数、微积分、线性代数、概率论和统计学等。
Mathcad 提供了丰富的数学函数和工具，使得用户可以方便地构建和求解数学模型。
二、什么是超越方程超越方程是指不能用常规代数方法求解的方程。
这类方程通常包含无法用有理函数表示的函数，如对数、指数、三角函数等。
超越方程在实际问题中广泛存在，例如求解物体在重力场中的运动轨迹、计算流体力学中的速度场等。
三、Mathcad 解超越方程的方法Mathcad 可以通过符号计算和数值计算的方法求解超越方程。
符号计算可以处理含有符号的代数表达式，而数值计算则可以对实数和复数进行计算。
Mathcad 提供了一组专用的超越方程求解工具，如Mathematics 工具包中的函数。
四、举例说明如何用Mathcad 解超越方程假设我们要求解如下超越方程：y"" + y = sin(x)首先，打开Mathcad 软件，新建一个文档。
然后，从工具栏中选择“Mathematics”工具包，点击“Equations”按钮，添加方程。
在弹出的对话框中，输入方程y"" + y = sin(x)，并设置求解范围和求解方法。
接下来，点击“Solve”按钮求解方程。
Mathcad 将自动计算出方程的通解和特解。
最后，我们可以将解绘制成图形，以便于观察和分析。
五、总结Mathcad 作为一种强大的数学建模和求解软件，能够有效地处理超越方程这类复杂的数学问题。
解超越方程的电子表格法
电子表格法是一种遵循某种计算步骤的数学方法，可用来解决超越方程。
超越方程有线性方程、非线性方程和微分方程，它们都可以用电
子表格法来解决。
电子表格法可以帮助学生在一张电子表格中求解复
杂的数学问题。
电子表格法步骤很简单：首先，选择一个空的电子表格应用程序，并
将所有的数据填入表格中。
接下来，考虑方程的最高次幂，并创建尽
可能多的列，以及一列用于求解方程的结果。
接下来，开始构建方程，并根据原始方程式填入数据。
然后，对所有变量应用求和功能，计算
出所有相关变量的和。
最后，利用电子表格提供的求解软件，得出最
终结果。
电子表格法相比传统数学方法，具有极大的优势：它能够快速解决复
杂的数学问题。
也可以比较容易的更改数据，可以根据用户的假设而
变化，从而得出更好的解决方案。
此外，它还能够根据设置的变量自
动更新结果，省去了重复计算的麻烦。
因此，电子表格法是一种有效的解决超越方程的数学方法。
它能够让
学生以比较简便的方式解决复杂的数学问题，从而提高了学生在解决
数学问题上的能力，也增强了他们对数学问题动态变化性的理解。
超越方程
相信大家都可以看出，經過20次的二分法後， 相信大家都可以看出，經過20次的二分法後， 誤差值已經縮小至0.000008了！ 誤差值已經縮小至0.000008了！ 因此，大家只要不斷地用二分法來求解， 便可以求到一個比一個接近10的值了。 便可以求到一個比一個接近10的值了。
求解X 求解Xx=10
算到這裏，相信大家不難看出，經過二分 法後，原來=4的 已接近10至9.88，原來=27 法後，原來=4的L已接近10至9.88，原來=27 的R也逐漸迫近10。大家可以想像，假如人 也逐漸迫近10。大家可以想像，假如人 的一生都在利用二分法來求解X =10，你想 的一生都在利用二分法來求解Xx=10，你想 不想像到最後算出來的L 不想像到最後算出來的L與R是多接近10啊！ 是多接近10啊！ 當然，即使怎麼算，也不能求出X 當然，即使怎麼算，也不能求出Xx 的解析解，但是，我們卻可以找出它的接 近解。
求解X 求解Xx=10
因為2. 約等於9.88<10，因此設2.5為 因為2. 52.5約等於9.88<10，因此設2.5為L， 代入L<x<R即2.5<x<3;繼續使用二分法公式 代入L<x<R即2.5<x<3;繼續使用二分法公式 求出M=2.75,因為2.75 約等於16>10，因此 求出M=2.75,因為2.752.75約等於16>10，因此 設2.75為R，即2.5<x<2.75; 2.75為 ，即2.5<x<2.75; 再利用二分法公式求出M=2.625，因為 再利用二分法公式求出M=2.625，因為 2.6252.625約等於12>10，因此設2.625為R，即 約等於12>10，因此設2.625為 2.5<x<2.625。 2.5<x<2.625。
对于含有指数式或对数式的超越方程组
对于含有指数式或对数式的超越方程组，通常采用将不同底的指数式或对数式化为相同的底，或者在等式两端取同底对数，以便得到关于未知元的某个代数方程组.例如求解方程组y x y x x y x 333442log log )(log ),4(log log log -=+-+=时，可将方程 )4(log log log 442x y x -+=化为 )4(log log 42x y x -=，然后再利用对数换底公式得到)4(log log 222x y x -=，于是原方程组变形为)4(log log 222x y x -=，y x y x 33log )(log =+， 从而有代数方程组)4(2x y x -=，y x y x =+. 又如，求解方程组9=xy ，9lg 25lg lg 222=+y x 时，可对第一个方程的两端取对数，得3lg 2lg lg =+y x .因为第二个方程可表示为3lg 10lg lg 222=+y x .所以设v y u x ==lg ,lg ，于是得方程组 3lg 10,3lg 2222=+=+v u v u由上例可以看出，在解超越方程组时，可以利用换元的方法，将问题归结为代数方程组的求解.例7 解方程y x x y b a y x ==,)1,1,0,0(≠≠>>b a b a .解 根据指数式的定义，x 与y 都限于正实数.如果1>a 而1<b ，或1<a 而1>b ，那么不论x 与y 取什么数值，都不能满足原方程组中的第二个方程，因此，在这种情形下，原方程组无解.设1>a ，并且1>b ，（或1<a ，并且1>b ）以任意一个大于（或小于）1的正数为底，对原方程组中的两个方程的两端，分别取对数，得,log log y x x y = （1）,log log b y a x = (2)（为表达简便，未写出对数的底）.由方程（2），得ba x y log log =，代入方程（1），得 0log log log log =-yb x a因为a log 与b log 的符号取决于对数的底的选择，根据a 与b 的取值，总可以使a log 与b log 都取正数，所以，对方程（2）的两端，可再一次取相同底的对数，得a b y x log log log log log log -=-.设y v x u log ,log ==，于是有方程组ab v u bv au log log log log ,0log log -=-=- 当0log log ≠-a b 时，可解得ab a b b u log log )log log log (log log --= a b b ab log log log )log log log(-=, 从而有 a b bab x log log log )log log (-= 同理可解得 a b b a b v log log log )log log log(-=从而有 a b bab y log log log )log log (-= 如果0log log =-a b ，那么a b =，因此，y x =.这表明原方程组有无限多组解：满足原方程组的x 与y 以一切相等的正实数为值.由三角方程组成的方程组，或由三角方程与代数方程组成的方程组称为三角方程组。
超越方程的解法
超越方程的解法
随着互联网技术的发展，越来越多的人都被它所吸引，也被它“一网打尽”的
特性震撼了。
在我们的学习和生活实践中，我们也正在积极应用它，以求解决各种各样的方程。
这些方程被称为超越方程，因为它们不仅仅是数学上的理论，而是跨越时代的实践。
为了解决超越方程，互联网给我们带来了一种前所未有的解决方法——“聚合
类似性网络”。
该技术可以准确地定位与指定问题有关的数据，依靠分析技术和机器学习算法，从大量数据中提取必要的结果，使问题获得得准确解决，从而节省更多时间。
此外，互联网还给我们带来了多元化解决问题的能力。
它基于社交媒体和搜索
引擎，能够整合相关专家、社区、数据库和其他资源，从而吸引解决问题的专业知识和经验。
这种多元化的解决途径不仅能大大提高解决方案的准确性，而且能够有效地激发问题多方平衡力量，充分借助各方精力，形成一个只求真、不求利的过程，从而更加有效地获取有用的答案。
总之，互联网給我們帶來了一種前所未有的解決方法——“聚合類似性網絡”
和多元的解決策略，極大地提高了解決超越方程的效率，並且也能有效地激發多方力量，并形成一個只求真而不求利的过程，有效地獲取有用的答案，從而大大改善我們不斷建立更有效的学习和生活环境。
超越方程式
超越方程式超越方程式（Beyond the Equation）是指在数学领域中，超越方程式是一类无法用有限次代数运算得到解的方程式。
通常，超越方程式中既包括代数方程式的解，也包括无法用有限次代数运算得到的解。
在数学的发展历程中，代数方程式的解法一直是数学家们关注的焦点之一。
传统的代数方程式解法主要基于有限次代数运算，比如加减乘除和开方等，而超越方程式的解法则不再局限于这些有限次运算。
超越方程式的研究起源于18世纪，当时数学家发现一些方程式的解无法用代数形式表示，例如著名的“圆周率π的平方等于2”（π²=2）。
这类方程式的解属于无理数，无法用有限次代数运算得到。
超越方程式的解法主要依靠数学分析和函数论的方法，例如级数展开、微分方程和积分等。
通过这些方法，数学家们可以近似地计算超越方程式的解，或者得到解的特殊性质。
超越方程式在科学和工程领域中有着广泛的应用。
例如，当我们研究物理现象或者设计工程模型时，经常会遇到一些复杂的方程式，这些方程式往往无法用代数形式解析求解，只能通过数值计算或者近似解法来求解。
超越方程式的解法为我们提供了一种有效的工具，可以更好地理解和描述现实世界中的复杂问题。
在数学的研究中，超越方程式也具有重要的理论意义。
超越方程式的研究不仅推动了数学分析和函数论的发展，还为其他数学领域提供了有力的工具和方法。
例如，超越方程式的解法对于代数数论和几何学的研究具有重要的影响。
除了超越方程式，数学中还存在其他类型的方程式，例如代数方程式、函数方程式和微分方程等。
每种类型的方程式都有其独特的解法和性质。
超越方程式作为数学中的一种重要类型，具有广泛的研究价值和应用前景。
超越方程式是一类无法用有限次代数运算得到解的方程式。
它的研究不仅推动了数学的发展和应用，还为我们理解和解决现实世界中的复杂问题提供了有力的工具和方法。
通过超越方程式的研究，我们可以更好地认识数学的无限性和丰富性，同时也拓展了数学的边界和应用领域。
专题2.15 超越方程反解难,巧妙构造变简单(原卷版)
专题15超越方程反解难，巧妙构造变简单【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变.数的多项式或开方表示的函数，与超越,方程相对的是代数方程.超越方程的求解无法利用代数几何来进行.大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解.在探求诸如/_6/+91-10=0,炉-2InX=X-26+2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决.此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域.2、求导数，得单调区间和极值点.3、画出函数草图.4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与X轴.的交点情况求解.【典例指引】例1.已知函数/(x)=αι+x1nx在X=C”处取得极小值.(1)求.实数。
的值；(2)设尸(X)=f+(χ-2)1nx-7(x),其导函数为，F"),若Fa)的图象交X轴于两点C(X,0),0(/,0)且不<9，设线段C。
的中点为N(S,0),试问S是否为F(X)=O的根.？说明理由.例2.设函数/(x)=InX-5αχ2-加.(1)当α=3,b=2时，求函数/(x)的单调区间；(2)一令尸(X)=/(x)+；Or、版+N(o<χ≤3),其图象上任意一点尸伍,打)处切线的斜率攵≤g恒成立，求实数Q的取值范围.(3)当。
=0/=一1时，方程/(x)=mr在区间［1,/］内有唯一实数解，求实数m的取值范围.例3.已知函嗷f(χ)=axe'(a≠0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若关于X的不等式f(x)<|1nx+x-4|的解集中有且只有两个整数，求实数a的取值范围.【新题展示】1【2019山西祁县中学上学期期末】已知函数f(x)=-2χ+±+a∣nχ,aWR.若f[i)=033x(1)求实数a的值；(2)若关于X的方程∕f(χ)+-χ3―χ+1=kx有实数解，求实数k的取值范围.332.12019浙江台州上学期期末】设函数f(x)=1√½3,X e R4(I)求函数f(x应X=I处的切线方程；(II)若对任意的实数X,不等式f(x)≥a-2x恒成立，求实数a的最大值；(In)设mwθ,若对任意的实数k,关于X的方程f(x)=kx+m有且只有两个不同的实根，求实数m的取值范围.3.12019浙江杭州高级中学上学期期中】已知函数f(χ)=χ2eXTnx∙(1)若关于X的方程f(χ)=χ2eX-ax在(1,3)内有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.(2)求证：当x>0时，f(x)>1.【同步训练】1.已知.函数〃制=62、7一3(r∈R),且"X)的导数为r(x).(J)若尸(X)=/(x)+f是定义域内的增函数，求实数f的取值范围；(II)若方程/(x)+r(x)=2-2xτ2有3个不同的实数根，求实数f的取值范围.2 22 .已知函数/(力=以2_山一§的图象的一条切线为X轴.(1)求实数Q的值；e(2)令.g(X)=I/(χ)+∕'(x)∣,若存在不相等的两个实数满足g(x∣)=g(X2),求证：x∖x2<1•3 .已知函数/(x)=α(x+1nx)(«≠O),=X2.(1)若〃力的图象在X=1处的切线恰好也是g(x)图象的切线.①求实数。
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与②
是不同解的。方程②是方程①的结果，方程②的解是
③
可见方程②不仅含有方程①的解（当时③的值），而且含有许多不是方程①的解（时③的值），即含有方程①的增解。
因此，在解反三角方程时必须注意根的检验。
例17：解方程
解：设，，则
从而有
因为，所以
即，于是有
由此解得
经检验，为原方程的解，为增根。
例18：解方程
例14：解方程
解：原方程化为
即①
因为，所以要使方程①成立，必须
因为，所以
因此原方程的解是
3.3三角方程的解集的等效性
在解三角方程时，由于解法不同或所取特殊解的代表值具有不同表达式，一般地说，只要解法正确，在别除增解，补回失解之后，同一方程的不同形式的解集应该是等效的。
判别解集等效性有两种常用方法
3.3.1推理法：
解：原方程即
①
由上述讨论知，原方程变形为方程①只可能曾根，不可能失根，所以先解方程①。
因为
即
由此得
经检验，是原方程的根，是增根
总结
上面对求初等超越方程解法的一些方法和技巧作了一些归纳和整理，希望读者在解题过程中进一步探索规律总结方法，从而迅速，准确的解决不同类型的方程，不断提高解初等超越方程的能力。
定义4：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程，特殊地，形如的方程叫做最简指数方程。
1.1最简指数方程的解法
当时，方程有唯一解；当时，方程无解。
1.2指数方程的解法
解指数方程的主要工具下面的几种同解变形：
(1)方程与方程同解；
(2)方程与方程同解；
(3)方程且与方程同解。（因为）
(4)方程与方程同解；
①
令，则方程①可化为
或
即或
由于，代入上式，得原方程的解
3.2.5运用降次公式
把已知的高次方程化为低次方程然后求解
例12：解方程
解：原方程可化为
即
由，得①
由பைடு நூலகம்得②
注意到解集②是解集①的真子集，不必重复。所以原方程的解是。
3.2.6换元法
例13：解方程
解：令，则原方程化
，即
所以
即。所以
3.2.7运用三角函数的有界性
[5]曹才翰，沈伯英.初等代数教程[M].北京师范大学出版社，1991.4：404～419
[6]薛金星.数学基础知识手册（高中）[M].人民教育出版社，2003.7：74～97
[7]高级中学课本.代数（上册）[M].北京：人民教育出版社，1992.4：60～66
三角方程的常用解法有以下几种:
3.2.1用同名三角函数的相等关系
根据最简三角方程的通解公式，有以下命题成立：
如果其中是的函数，以上诸式仍然成立。
例8：解方程
解：由原方程可得
当时，可解得
当时，可解得
3.2.2解方程化积，倍角公式等进行因式分解
例9：解方程
解：原方程即
①
分别解
原方程的解
以上解题过程都是用的恒等变形，定义域无变化，故无增解，失解，如果在方程①两边同除以，将会失解。
定义1：不是代数函数的函数称为超越函数。
定义2：指数函数、对数函数、无理数的幂函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等超越函数。
定义3：最简超越方程是指形如的方程，其中是基本初等超越函数，是常数。解最简超越方程是求一切使基本初等函数的值等于已知常数的变数值。
下面介绍基本初等超越方程的解法
一、指数方程
(4)对一个等式的两边取对数。（等式两边必须都取正值）
(5)方程与方程组
同解.（即换元法）
注：解对数方程时哪些类型符合同解变形，哪些类型不符合同解变形。
例5：解方程（类型）
解：
4 =4
=1
=3
例6：解方程
解：运用换底公式将原方程化为（类型）
令，则有，即
由，得
由，得
经检验，和都是原方程的根。
例7：解方程
解：方程的定义域是对方程两边取常用对数，得
类型
令则可化为解得
由
由
经检验，两根都是原方程的根。
三、三角方程
定义6：含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，特殊地，形如：，的方程叫做最简三角方程。
3.1最简三角方程的通解公式
的解集是
当时无解。
的解集是
当时无解。
的解集是
的解集是
3.2三角方程的解法
凡是可以用初等方法求解的三角方程，一般总可以通过三角式的恒等变形和代数方程将原方程划归为一个或几个最简三角方程。然后写出它的解，由于三角函数的丰富内涵，三角恒等变形的千变方化，因而三角方程的解法也是灵活多样的。
通过推理，证明同一方程的表达式不同的两个解集是相等的。
例15：解方程
解法1：，故
解法2：根据三倍角公式，原方程即
原方程的解集为
解集和是等效的，即它们是相等的集合，证明如下：
（其中）
3.3.2实验法：
先找出两个解集的代表值增减的公共周期，然后算出两解集在区间内的具体数值，看它们是否一致。
例16：解方程
3.2.3化为关于和齐次方程
这种方程的一般形式为
①如，则以除方程的两端，于是得到与原方程同解得方程：
这是关于的代数方程，由此求得的值，使得到以正切函数表示的最简三角方程。
②如果，但，则方程可化为如下形式：
由此可得，或
这后一个方程可按①得方法求解。
例10：解方程
解：
①
方程两边同除以（暂设），得
即②
由，得
(5)方程（其中）与方程组同解。（即换元法）
例1：解方程（类型或）
解：
例2：解方程（类型）
解：原方程可变形为
于是有
由此解得
例3：解方程（类型）
解：
或
例4：解方程（类型）
解：以除原方程的两边，得
令代入上式，得
解得，其中不满足的条件，舍去。
所以
二、对数方程
定义5：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。特殊地，形如的方程叫做最简对数方程。
参考文献
[1]李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995：219～231
[2]余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究（下册）[M].高等教育出版社，1988.2：195～203
[3]张尊宙，张广祥.中学代数研究[M].高等教育出版社，2006. 6：207～218
[4]林国泰.初等代数研究教程[M].北京：高等教育出版社，2001.3：290～294
由，得
解题过程中，在方程①到②这一步可能失根。因此，须将的解代入原方程检验，显然不适合（如果适合，则须补日此失根）。
因此原方程的解是
3.2.4引入辅助角的方法
对于形如（为非零实数）的三角方程，可在方程两边都除以，然后令，（即），则方程变形为
当时，方程有解。否则这方程无解。
例11：解方程
解：将原方程变形为
2.1最简对数方程的解法
对于任何，方程总有唯一解。
2.2对数方程的初等解法
解对数方程时不仅要用到同解变形，而且要运用非同解变形，所以在求出根后，一般应验根，以发现有无增根，失根，常用变形有以下几种：
(1)根据对数定义。方程可同解变形为
(2)方程可以变形为，（定义域扩大，应验根）。
(3)运用对数基本恒等式，对数运算法则和换底公式进行变形，（应注意，验根）。
解法1：
解集是
解法2：
解集是
当值每增加1时，和中所含的五个子集的代表值分别增加
它们的最小公倍数是，即公共周期。
算出和的值在0到间的特殊的值：
的值
的值
可见和的这两组取值相同，因此和是等效的。
四、反三角方程
定义7：反三角函数符号后面含有未知数的方程叫做反三角方程。
解反三角方程常需对方程的两边施行三角运算，这样变形的结果容易引入增解，有时也可能失解。