关于超越方程的解法
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3.2.3化为关于和齐次方程
这种方程的一般形式为
①如，则以除方程的两端，于是得到与原方程同解得方程：
这是关于的代数方程，由此求得的值，使得到以正切函数表示的最简三角方程。
②如果，但，则方程可化为如下形式：
由此可得，或
这后一个方程可按①得方法求解。
例10：解方程
解：
①பைடு நூலகம்
方程两边同除以（暂设），得
即②
由，得
三角方程的常用解法有以下几种:
3.2.1用同名三角函数的相等关系
根据最简三角方程的通解公式，有以下命题成立：
如果其中是的函数，以上诸式仍然成立。
例8：解方程
解：由原方程可得
当时，可解得
当时，可解得
3.2.2解方程化积，倍角公式等进行因式分解
例9：解方程
解：原方程即
①
分别解
原方程的解
以上解题过程都是用的恒等变形，定义域无变化，故无增解，失解，如果在方程①两边同除以，将会失解。
(4)对一个等式的两边取对数。（等式两边必须都取正值）
(5)方程与方程组
同解.（即换元法）
注：解对数方程时哪些类型符合同解变形，哪些类型不符合同解变形。
例5：解方程（类型）
解：
4 =4
=1
=3
例6：解方程
解：运用换底公式将原方程化为（类型）
令，则有，即
由，得
由，得
经检验，和都是原方程的根。
例7：解方程
参考文献
[1]李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995：219～231
[2]余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究（下册）[M].高等教育出版社，1988.2：195～203
[3]张尊宙，张广祥.中学代数研究[M].高等教育出版社，2006. 6：207～218
[4]林国泰.初等代数研究教程[M].北京：高等教育出版社，2001.3：290～294
由，得
解题过程中，在方程①到②这一步可能失根。因此，须将的解代入原方程检验，显然不适合（如果适合，则须补日此失根）。
因此原方程的解是
3.2.4引入辅助角的方法
对于形如（为非零实数）的三角方程，可在方程两边都除以，然后令，（即），则方程变形为
当时，方程有解。否则这方程无解。
例11：解方程
解：将原方程变形为
(5)方程（其中）与方程组同解。（即换元法）
例1：解方程（类型或）
解：
例2：解方程（类型）
解：原方程可变形为
于是有
由此解得
例3：解方程（类型）
解：
或
例4：解方程（类型）
解：以除原方程的两边，得
令代入上式，得
解得，其中不满足的条件，舍去。
所以
二、对数方程
定义5：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。特殊地，形如的方程叫做最简对数方程。
解：方程的定义域是对方程两边取常用对数，得
类型
令则可化为解得
由
由
经检验，两根都是原方程的根。
三、三角方程
定义6：含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，特殊地，形如：，的方程叫做最简三角方程。
3.1最简三角方程的通解公式
的解集是
当时无解。
的解集是
当时无解。
的解集是
的解集是
3.2三角方程的解法
凡是可以用初等方法求解的三角方程，一般总可以通过三角式的恒等变形和代数方程将原方程划归为一个或几个最简三角方程。然后写出它的解，由于三角函数的丰富内涵，三角恒等变形的千变方化，因而三角方程的解法也是灵活多样的。
解法1：
解集是
解法2：
解集是
当值每增加1时，和中所含的五个子集的代表值分别增加
它们的最小公倍数是，即公共周期。
算出和的值在0到间的特殊的值：
的值
的值
可见和的这两组取值相同，因此和是等效的。
四、反三角方程
定义7：反三角函数符号后面含有未知数的方程叫做反三角方程。
解反三角方程常需对方程的两边施行三角运算，这样变形的结果容易引入增解，有时也可能失解。
解：原方程即
①
由上述讨论知，原方程变形为方程①只可能曾根，不可能失根，所以先解方程①。
因为
即
由此得
经检验，是原方程的根，是增根
总结
上面对求初等超越方程解法的一些方法和技巧作了一些归纳和整理，希望读者在解题过程中进一步探索规律总结方法，从而迅速，准确的解决不同类型的方程，不断提高解初等超越方程的能力。
例如方程①
与②
是不同解的。方程②是方程①的结果，方程②的解是
③
可见方程②不仅含有方程①的解（当时③的值），而且含有许多不是方程①的解（时③的值），即含有方程①的增解。
因此，在解反三角方程时必须注意根的检验。
例17：解方程
解：设，，则
从而有
因为，所以
即，于是有
由此解得
经检验，为原方程的解，为增根。
例18：解方程
2.1最简对数方程的解法
对于任何，方程总有唯一解。
2.2对数方程的初等解法
解对数方程时不仅要用到同解变形，而且要运用非同解变形，所以在求出根后，一般应验根，以发现有无增根，失根，常用变形有以下几种：
(1)根据对数定义。方程可同解变形为
(2)方程可以变形为，（定义域扩大，应验根）。
(3)运用对数基本恒等式，对数运算法则和换底公式进行变形，（应注意，验根）。
例14：解方程
解：原方程化为
即①
因为，所以要使方程①成立，必须
因为，所以
因此原方程的解是
3.3三角方程的解集的等效性
在解三角方程时，由于解法不同或所取特殊解的代表值具有不同表达式，一般地说，只要解法正确，在别除增解，补回失解之后，同一方程的不同形式的解集应该是等效的。
判别解集等效性有两种常用方法
3.3.1推理法：
定义1：不是代数函数的函数称为超越函数。
定义2：指数函数、对数函数、无理数的幂函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等超越函数。
定义3：最简超越方程是指形如的方程，其中是基本初等超越函数，是常数。解最简超越方程是求一切使基本初等函数的值等于已知常数的变数值。
下面介绍基本初等超越方程的解法
一、指数方程
定义4：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程，特殊地，形如的方程叫做最简指数方程。
1.1最简指数方程的解法
当时，方程有唯一解；当时，方程无解。
1.2指数方程的解法
解指数方程的主要工具下面的几种同解变形：
(1)方程与方程同解；
(2)方程与方程同解；
(3)方程且与方程同解。（因为）
(4)方程与方程同解；
①
令，则方程①可化为
或
即或
由于，代入上式，得原方程的解
3.2.5运用降次公式
把已知的高次方程化为低次方程然后求解
例12：解方程
解：原方程可化为
即
由，得①
由，得②
注意到解集②是解集①的真子集，不必重复。所以原方程的解是。
3.2.6换元法
例13：解方程
解：令，则原方程化
，即
所以
即。所以
3.2.7运用三角函数的有界性
通过推理，证明同一方程的表达式不同的两个解集是相等的。
例15：解方程
解法1：，故
解法2：根据三倍角公式，原方程即
原方程的解集为
解集和是等效的，即它们是相等的集合，证明如下：
（其中）
3.3.2实验法：
先找出两个解集的代表值增减的公共周期，然后算出两解集在区间内的具体数值，看它们是否一致。
例16：解方程
[5]曹才翰，沈伯英.初等代数教程[M].北京师范大学出版社，1991.4：404～419
[6]薛金星.数学基础知识手册（高中）[M].人民教育出版社，2003.7：74～97
[7]高级中学课本.代数（上册）[M].北京：人民教育出版社，1992.4：60～66
这种方程的一般形式为
①如，则以除方程的两端，于是得到与原方程同解得方程：
这是关于的代数方程，由此求得的值，使得到以正切函数表示的最简三角方程。
②如果，但，则方程可化为如下形式：
由此可得，或
这后一个方程可按①得方法求解。
例10：解方程
解：
①பைடு நூலகம்
方程两边同除以（暂设），得
即②
由，得
三角方程的常用解法有以下几种:
3.2.1用同名三角函数的相等关系
根据最简三角方程的通解公式，有以下命题成立：
如果其中是的函数，以上诸式仍然成立。
例8：解方程
解：由原方程可得
当时，可解得
当时，可解得
3.2.2解方程化积，倍角公式等进行因式分解
例9：解方程
解：原方程即
①
分别解
原方程的解
以上解题过程都是用的恒等变形，定义域无变化，故无增解，失解，如果在方程①两边同除以，将会失解。
(4)对一个等式的两边取对数。（等式两边必须都取正值）
(5)方程与方程组
同解.（即换元法）
注：解对数方程时哪些类型符合同解变形，哪些类型不符合同解变形。
例5：解方程（类型）
解：
4 =4
=1
=3
例6：解方程
解：运用换底公式将原方程化为（类型）
令，则有，即
由，得
由，得
经检验，和都是原方程的根。
例7：解方程
参考文献
[1]李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995：219～231
[2]余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究（下册）[M].高等教育出版社，1988.2：195～203
[3]张尊宙，张广祥.中学代数研究[M].高等教育出版社，2006. 6：207～218
[4]林国泰.初等代数研究教程[M].北京：高等教育出版社，2001.3：290～294
由，得
解题过程中，在方程①到②这一步可能失根。因此，须将的解代入原方程检验，显然不适合（如果适合，则须补日此失根）。
因此原方程的解是
3.2.4引入辅助角的方法
对于形如（为非零实数）的三角方程，可在方程两边都除以，然后令，（即），则方程变形为
当时，方程有解。否则这方程无解。
例11：解方程
解：将原方程变形为
(5)方程（其中）与方程组同解。（即换元法）
例1：解方程（类型或）
解：
例2：解方程（类型）
解：原方程可变形为
于是有
由此解得
例3：解方程（类型）
解：
或
例4：解方程（类型）
解：以除原方程的两边，得
令代入上式，得
解得，其中不满足的条件，舍去。
所以
二、对数方程
定义5：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。特殊地，形如的方程叫做最简对数方程。
解：方程的定义域是对方程两边取常用对数，得
类型
令则可化为解得
由
由
经检验，两根都是原方程的根。
三、三角方程
定义6：含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，特殊地，形如：，的方程叫做最简三角方程。
3.1最简三角方程的通解公式
的解集是
当时无解。
的解集是
当时无解。
的解集是
的解集是
3.2三角方程的解法
凡是可以用初等方法求解的三角方程，一般总可以通过三角式的恒等变形和代数方程将原方程划归为一个或几个最简三角方程。然后写出它的解，由于三角函数的丰富内涵，三角恒等变形的千变方化，因而三角方程的解法也是灵活多样的。
解法1：
解集是
解法2：
解集是
当值每增加1时，和中所含的五个子集的代表值分别增加
它们的最小公倍数是，即公共周期。
算出和的值在0到间的特殊的值：
的值
的值
可见和的这两组取值相同，因此和是等效的。
四、反三角方程
定义7：反三角函数符号后面含有未知数的方程叫做反三角方程。
解反三角方程常需对方程的两边施行三角运算，这样变形的结果容易引入增解，有时也可能失解。
解：原方程即
①
由上述讨论知，原方程变形为方程①只可能曾根，不可能失根，所以先解方程①。
因为
即
由此得
经检验，是原方程的根，是增根
总结
上面对求初等超越方程解法的一些方法和技巧作了一些归纳和整理，希望读者在解题过程中进一步探索规律总结方法，从而迅速，准确的解决不同类型的方程，不断提高解初等超越方程的能力。
例如方程①
与②
是不同解的。方程②是方程①的结果，方程②的解是
③
可见方程②不仅含有方程①的解（当时③的值），而且含有许多不是方程①的解（时③的值），即含有方程①的增解。
因此，在解反三角方程时必须注意根的检验。
例17：解方程
解：设，，则
从而有
因为，所以
即，于是有
由此解得
经检验，为原方程的解，为增根。
例18：解方程
2.1最简对数方程的解法
对于任何，方程总有唯一解。
2.2对数方程的初等解法
解对数方程时不仅要用到同解变形，而且要运用非同解变形，所以在求出根后，一般应验根，以发现有无增根，失根，常用变形有以下几种：
(1)根据对数定义。方程可同解变形为
(2)方程可以变形为，（定义域扩大，应验根）。
(3)运用对数基本恒等式，对数运算法则和换底公式进行变形，（应注意，验根）。
例14：解方程
解：原方程化为
即①
因为，所以要使方程①成立，必须
因为，所以
因此原方程的解是
3.3三角方程的解集的等效性
在解三角方程时，由于解法不同或所取特殊解的代表值具有不同表达式，一般地说，只要解法正确，在别除增解，补回失解之后，同一方程的不同形式的解集应该是等效的。
判别解集等效性有两种常用方法
3.3.1推理法：
定义1：不是代数函数的函数称为超越函数。
定义2：指数函数、对数函数、无理数的幂函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等超越函数。
定义3：最简超越方程是指形如的方程，其中是基本初等超越函数，是常数。解最简超越方程是求一切使基本初等函数的值等于已知常数的变数值。
下面介绍基本初等超越方程的解法
一、指数方程
定义4：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程，特殊地，形如的方程叫做最简指数方程。
1.1最简指数方程的解法
当时，方程有唯一解；当时，方程无解。
1.2指数方程的解法
解指数方程的主要工具下面的几种同解变形：
(1)方程与方程同解；
(2)方程与方程同解；
(3)方程且与方程同解。（因为）
(4)方程与方程同解；
①
令，则方程①可化为
或
即或
由于，代入上式，得原方程的解
3.2.5运用降次公式
把已知的高次方程化为低次方程然后求解
例12：解方程
解：原方程可化为
即
由，得①
由，得②
注意到解集②是解集①的真子集，不必重复。所以原方程的解是。
3.2.6换元法
例13：解方程
解：令，则原方程化
，即
所以
即。所以
3.2.7运用三角函数的有界性
通过推理，证明同一方程的表达式不同的两个解集是相等的。
例15：解方程
解法1：，故
解法2：根据三倍角公式，原方程即
原方程的解集为
解集和是等效的，即它们是相等的集合，证明如下：
（其中）
3.3.2实验法：
先找出两个解集的代表值增减的公共周期，然后算出两解集在区间内的具体数值，看它们是否一致。
例16：解方程
[5]曹才翰，沈伯英.初等代数教程[M].北京师范大学出版社，1991.4：404～419
[6]薛金星.数学基础知识手册（高中）[M].人民教育出版社，2003.7：74～97
[7]高级中学课本.代数（上册）[M].北京：人民教育出版社，1992.4：60～66